1、學習資料收集于網絡，僅供參考數學思想與方法期末復習一、填空題1、古代數學大體可分為兩種不同的類型：一種是崇尚邏輯推理，以幾何原本為代表；一種是長于計算和實際應用，以九章算術為典范。2、在數學中建立公理體系最早的是幾何學，而這方面的代表著作是古希臘歐幾里得的幾何原本3、幾何原本所開創的公理化方法不僅成為一種數學陳述模式,而且還被移植到其它學科，并且促進他們的發展。4、推動數學發展的原因主要有兩個：實踐的需要，理論的需要；數學思想方法的幾次突破就是這兩種需要的結果。5、變量數學產生的數學基礎是解析幾何，標志是微積分。6、數學基礎知識和數學思想方法是數學教學的兩條主線。7、隨機現象的特點是在一定條件

2、下，可能發生某種結果，也可能不發生某種結果。8、等腰三角形的抽象過程，就是把一個新的特征：兩邊相等，加入到三角形概念中去,使 三角形概念得到強化。9、學生理解或掌握數學思想方法的過程有如下三個主要階段潛意識階段，明朗化階段，深刻理解階段。10、數學的統一性是客觀世界統一性的反映，是數學中各個分支固有的內在聯系的體現，它表現為數學的各個分支相互滲透和相互結合的趨勢。11、強抽象就是指，通過犯，一些新特征加入到某一概念中去而形成新概念的抽象過程。12、菱形概念的抽象過程就是把一個新的特征：一組鄰邊相等.加入到平行四邊形概念中去，使平行四邊形概念得到了強化。13、演繹法與歸納法被認為是理性思維中兩種

3、最重要的推理方法。14、所謂類比，是指由一類事物所具有的某種屬性.可以推測與其類似的事物也具有該屬性的一種推理方法；常稱這種方法為類比法,也稱類比推理。15、反例反駁的理論依據是形式邏輯的矛盾生_16、猜想具有兩個顯著特點：具有一定的科學性，具有一定的推測性。17、三段論是演繹推理的主要形式。三段論由大前提、小前提、結論三部分組成。18、化歸方法是指， 招待解決的問題：通過某種轉化過程：歸結到一類已經能解決或較易解決的問題中，最終獲得原問題解答的一種方法。19、在化歸過程中應遵循的原則是簡單化原則、熟熬化原則、和諧化原則。20、在計算機時代，計算方法已成為與理論方法、實驗方法并列的第三種科學方

4、法。21、算法具有下列特點：有限，件：確定性：有效性。22、算法大致可以分為多項式算法和指數型算法兩大類。23、勻速直線運動的數學模型是一次函批一24、所謂數學模型方法是利用數學模型解決問題的一般數學方法。25、分類必須遵循的原則是不重復，為遺漏，標準同一。26、所謂數形結合方法，就是在研究數學問題時，由數思形、見形思數、數形結合考慮問題 的一種思想方法。27、所謂特殊化是指在研究問題時，從對象的一個給定集合出發，進而考慮某個包含于該集合的較小集合的思想方法。28、面對一個問題，經過認真的觀察和思考， 通過歸納或類比提出猜想，然后從兩個方面入 手：演繹證明此猜想為真；或者尋找反例說明此猜想為假

5、，并且進一步修正或否定此猜想。29、化歸方法的三個要素是：化歸對象、化歸目標、化歸途徑。30、根據學生掌握數學思想方法的過程有潛意識、明朗化、深刻理解三個階段，可相應地將小學數學思想方法教學設計成多次孕育、初步理解、簡單應用 三個階段。31、數學思想方法是聯系數學知識與數學能力的紐帶,是數學科學的靈魂， 它對發展學生的數學能力，提高學生的思維品質都具有十分重要的作用。32、一個概括過程包括比較、區分、擴張和分析等幾個主要環節。33、算法的有效性是指如果使用該算法從它的初始數據出發，能夠得到這一問題的正確解。34、數學的研究對象大致可以分成兩大類：數量關系；空間形式。二、判斷題（只要答“是”或“

6、否”）1、計算機是數學的創造物，又是數學的創造者。是2、抽象得到的新概念與表述原來的對象的概念之間一定有種屬關系。否3、一個數學理論體系內的每一個命題都必須給出證明。否4、九章算術不包括代數、幾何內容。否5、既沒有脫離數學知識的數學思想方法，也沒有不包括數學思想方法的數學知識。 是6、數學模型方法在生物學、經濟學、軍事學等領域沒應用。否7、在解決數學問題時，往往需要綜合運用多種數學思想方法才能取得效果。是8、如果某一類問題存在算法，并且構造出這個算法，就一定能求出該問題的精確解。 否9、對同一數學對象，若選取不同的標準，可以得到不同的分類。是10、數學思想方法教學隸屬數學教學范疇，只要貫徹通常

7、的數學教學原則就可實現 數學思想方法教學目標。否11、由類比法推得的結論必然正確。否12、有時特殊情況能與一般情況等價。是13、完全歸納法實質上屬于演繹推理的范疇。是14、古希臘的柏拉圖曾在他的學校門口張榜聲明：不懂幾何的人不得入內。這是因為他的學校里所學習的課程要用到很多幾何知識。否15、完全歸納法的一般推理形式是：設$=4，A2, A3,An, I由于A、外、 An具有性質P,因此推斷集合S中的 每一個對象都具有性質 P。否 三、 簡答題1、為什么說幾何原本是一個封閉的演繹體系？學習資料學習資料收集于網絡，僅供參考在形式上，它是以少數原始概念和公設、公理為基礎，運用邏輯規則將當時所知的幾何

8、學中的主要命題（定理）全部推演出來，從而形成一個井然有序的整體。在這個體系中，除了邏輯規則外，每個定理的證明所采用的論據均是公設、公理或前面已經證明過的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合邏輯上對概念下定義的要求，原則上不再依賴其它東西。另外， 幾何原本回避任何與社會生產現實生活有關的應用問題，對社會生活的各個領域來說，它也是封閉的。所以， 幾何原本是一個比較完整的、相對封閉的演繹體系。2、試對九章算術思想方法的一個特點“算法化的內容”加以說明。九章算術在每一章內先列舉若干個實際問題，并對每個問題都給出答案，然后再給出“術 ”，作為一類問題的共同解法。以后遇到同類問題，只要按“術”

9、給出的程序去做就一定能求出問題的答案；書中的“術”其實就是算法。3、簡述確定性現象、隨機現象的特點以及確定性數學的局限性。確定性現象的特點是：在一定的條件下，其結果可以唯一確定。因此確定性現象的條件和結果之間存在著必然的聯系，所以事先可以預知結果如何。隨機現象的特點是：在一定的條件下，可能發生某種結果，也可能不發生某種結果。對于這類現象，由于條件和結果之間不存在必然性聯系。在數學學科中，人們常常把研究確定性現象數量規律的那些數學分支稱為確定數學。用這些分支來定量地描述某些確定性現象的運動和變化過程，從而確定結果。但是由于隨機現象條件和結果之間不存在必然性聯系，因此不能用確定數學來加以定量描述。

10、同時確定數學也無法定量地揭示大量同類隨機現象中所蘊涵的規律性。這就是確定數學的局限所在。4、簡述計算機在數學方面的三種新用途。（ 1 ）用來證明一些數學命題；（2）用來預測某些數學問題的可能結果; （ 3）用來驗證某些數學問題的結果的正確性.。5、簡述數學抽象的特征。數學抽象有以下幾個特征。（ 1 ）數學抽象具有無物質性; （2）數學抽象具有層次性; （3）數學抽象過程要憑借分析或直覺 ;（4）數學抽象不僅有概念抽象還有方法抽象。6、簡述化歸方法在數學教學中的應用。化歸方法在數學教學中的功能至少可以歸結為以下三個方面：（1）利用化歸方法學習新知識；（2）利用化歸方法指導解題；（3）利用化歸原則

11、理清知識結構。7、簡述用MM 方法解決實際問題的基本步驟，并用框圖加以表示。MM 方法解題的基本步驟為：（1 ）從現實原型抽象概括出數學模型。也稱為建模階段。（2） 在數學模型上進行邏輯推理、論證或演算，求得數學問題的解。這也是數學求解階段。（3） 從數學模型過渡到現實原型，即把研究數學模型所得到的結論，返回到現實原型上去，使實際問題得到解答。可用框圖表示如下：學習資料推理去:演翼8、試用框圖表示用特殊化方法解決問題的一般過程。9、簡述化歸方法的和諧化原則。和諧化是數學內在美的主要內容之一。美與真在數學命題和數學解題中一般是統一的。 因此，我們在解題過程中，可根據數學問題的條件或結論以及數、式

12、、形等的結構特征，利 用和諧美去思考問題，獲得解題信息，從而確立解題的總體思路，達到以美啟真的作用。 10、什么是算法的有限性特點？試舉一個不符合算法有限性特點的例子。算法的有限性是指，一個算法必須在有限步之內終止。以十進制小數的除法這個算法為例，如取數2和3作為初始數據，則有 2 + 3 = 0.6666.“，無論怎樣延續這個過程都不能結 束，同時也不會出現中斷。因此，除法對于2和3這組數不符合算法有限性特點。11、簡述培養數學猜想能力的途徑。猜想能力培養可以貫穿于數學教學的方方面面。新知識的學習、數學規律的尋求、解題 思路的探索等都可以作為實施猜想能力培養的載體。12、簡述特殊化方法在數學

13、教學中的應用。 特殊化方法在數學教學中有重要的作用：(1)在選擇題時，我們經常選擇特殊值來考察；(2)利用特殊化探求問題的結論；(3)利用特殊化檢驗一般結果；(4)利用特殊化探索解題思路。13、什么是類比猜想？并舉一個例子說明。人們運用類比法，根據一類事物所具有的某種屬性，得出與其類似的事物也具有這種屬 性的一種推測性的判斷，即猜想，這種思想方法稱為類比猜想。例如，分式與分數非常相似， 只不過是用字母代數而已。因此，我們可以猜想，分式與分數在定義、基本性質、約分、通 分、四則運算等方面都是對應相似的。14、什么是歸納猜想？并舉一個例子說明。人們運用歸納法，得出對一類現象的某種一般性認識的一種推

14、測性的判斷，即猜想，這種思想方法稱為歸納猜想。例如，人們在量度了很多圓的周長和半徑以后，發現它們的比值總是近似等于3.14,于是提出了圓周率是 3.14的猜想。后來數學家從理論上證明了圓周率 的數值為n，果然和3.14很接近。15、簡述將“化隱為顯”列為數學思想方法教學的一條原則的理由。由于數學思想方法往往隱含在知識的背后，知識教學雖然蘊含著思想方法，但如果不是有意識地把數學思想方法作為教學對象，在數學學習時，學生常常只注意到處于表層的數學知識，而注意不到處于深層的思想方法。因此，進行數學思想方法教學時必須以數學知識為載體，把隱藏在知識背后的思想方法顯示出來，使之明朗化，才能通過知識教學過程達

15、到思想方法教學的目的。學習資料學習資料收集于網絡，僅供參考四、解答題1、運用方程模型解應用題時，其中最重要的是“設想問題已經解出、“用兩種不同方式表示同一個量”、“方程個數和未知量個數相等”這三個要點。這是為什么？請闡述你的理解。解答：“設想問題已經解出”，即在列式時將未知量與已知量同等對待。這是列方程中的一個重要思想，也是它優于算術之處。在算術列式中，未知量只能列在等號左邊，且系數必須為1,已知量只能在等號右邊出現。已知量與未知量的地位截然不同，因此列式比較困 難。而在方程列式中，已知量與未知量處于同等地位，都可以在等號兩邊出現，于是列式就 容易多了。“用兩種不同方式表示同一量”，這是列方程

16、的關鍵。所謂方程，其實就是用兩種不同 的方法表示同一個量，并用等號聯結起來。“方程個數和未知量個數相等”，是為了得到確定的解。這里有個自由度的思想。當方 程個數少于未知量個數時，就會出現不定方程（組）。這時方程（組）的解一般會有無窮多個。2、（1）什么是類比推理？ （2）寫出類比推理的表示形式。（3）怎樣才能增加由類比得出的結論的 可靠性？解答：（1）類比推理是指，由一類事物所具有的某種屬性，可以推測與其類似的事物也 具有這種屬性的一種推理方法。（2）類比推理的表示形式為：A具有性質a1, a；, , an及d ;B具有性質a；, a2,，a； 因此，b也可能具有性質d。（3）盡量滿足下列條件

17、可增加類比結論的可靠性：A與B共同（憐相似）的屬性盡可能多些；可遷移和“鼠3、圓周角定理證明思路如下：將圓周角的兩邊所處的位置分成三種情況：角的一邊落在直徑上；角的兩邊在某一直徑的兩側；角的兩邊在某一直徑的同側。如上圖所示。 先對情況進行證明，然后將情況、轉化為情況分別進行證明。最后得出圓周角定理對任意圓周角都成立的結論。試具體分析上述證明中需要用到哪些數學思想方法。解答：該證明中用到下面幾種數學思想方法：將圓周角分成三種情況，用到分類方法；先證明角恰有一邊在直徑上的特殊情況，用到特殊化方法；將其他兩種情況轉化為角恰有角恰有一邊在直徑上的情況，用到化歸方法；通過對所有三種情況的證明，然后得出圓

18、周角定理的結論，用到完全歸納法； 證明過程中需要進行演繹推理，因此用到演繹方法。4、以“認識長方形的對邊相等”為內容，設計一個教學片斷。（要求：教學過程要比較具體、合理，且有一定的層次；要有與數學知識教學相聯系的本課程中所學習的數學思想方法教學內容；不少于300字）解答：將教學過程設計成四個層次：讓學生說一說：我們周圍有哪些長方形物體？學生會舉出黑板、桌面、教室的門、課本的封面等例子。要求學生仔細觀察： 看一看、想一想，這些長方形的四條邊的長短有什么關系？學生 經過觀察后，會猜想：長方形相對的兩條邊長度相等。教師進一步提出問題：同學們敢于大膽猜想的精神值得鼓勵！我們怎樣才能驗證長方形相對的兩條

19、邊的長短相等呢?這日生會想出許多辦法,如：用尺量、將圖形對折等方學習資料法。教師順勢引導學生通年 師板書：長方形對邊相等。對邊的問題。3座米471若再具體揶作，確信長方形相對的兩條邊長短相等。教接著，師生討論長方形“對邊”的含義，以及一個長方形有幾組（）厘米鞏固長方形對邊相等的認識。利用多媒體展示下面的長彳膾師：如何填寫括號內的數字？為什么？要求學生會用“因為-所以-”句式回答。如“因為長方形的對邊相等，已知長方形的一條邊是4厘米，所以它的對邊也是 4厘米。”中央廣播電視大學 2008 2009學年度第二學期 開放本科”期末考試數學思想與方法 試題一、填空題（每題3分，共30分）1 .概括通常

20、包括兩種：經驗概括和理論概括。而經驗概括是從事實出發，以對個別事 物所作的觀察陳述為基礎，上升為普遍的認識 的認識。2 .算法大致可以分為 兩大類。3 .反駁反例是用否 定的一種思維形式。4 .類比聯想是人們運用類比法獲得猜想的一種思想方法，它的主要步驟5 .歸納猜想是運用歸納法得道的猜想，它的思維步驟6 .傳統數學教學只注重 的數學知識傳授，忽略了數學思想方法的挖掘、整 理、提煉。7 .所謂統一性，就是 、協調一致。8 .中國九章算術一的算法體系和古希臘幾何原本 的體系在數學歷史發 展進程中爭奇斗妍、交相輝映。9 .所謂數學模型方法是10 .所謂特殊化是指在研究問題時， 二、判斷題（每題4分

21、，共20分。在括號里填上是或否）1 .數學思想方法教學隸屬數學教學范疇，只要貫徹通常的數學教學原則就可實現數學思想方法教學目標。（）2 .數學基礎知識和數學思想方法是數學教學的兩條主線。（）3 .新頒發的數學課程標準中的特點之一再創造”體現了我國數學課程改革與發展的新的理念。（）4 .法國的布爾巴基學派利用數學結構實現了數學的統一。（）5 .由類比法推得的結論必然正確。（）三、簡答題（每題10分，共30分）1 .常量數學應用的局限性是什么 ？2 .簡述計算的意義。3 .簡述培養數學猜想能力的途徑。一、填空題（每題3分，共30分）1 .由對個體特性的認識上升為對個體所屬的種的特性2 .多項式算法

22、和指數型算法3 .特殊 一般4 .聯想類比猜測5 .特例歸納猜測6 .形式化7 .就是部分與部分部分與整體之間的8 .以算為主邏輯演繹9 .利用數學模型解決問題的一般數學方法10 .從對象的一個給定集合出發，進而考慮某個包含于該集合的較小集合 二、判斷題（每題4分，共20分。填是或否）1 .否 2.是 3 .是 4.是 5.否三、簡答題（每題10分，共30分）1 .答：在建立了太陽中心理論后，17世紀的人們面臨了如何改進計算行星位置，以及如何解釋地球上靜止的物體保持不動、下降的物體還落在地球上等之類的問題。這類問題的核心是物體的運動。 面對這類帶有運動特征的問題，人們已有的數學知識：算術、 初

23、等代數、初等幾何和三角等構成的初等數學，顯得無效。由于初等數學都是以不變的數量（即常量）和固定的圖形為其研究對象 （因此這部分內容也稱為常量數學 ）。運用這些知識可以有 效地描述和解釋相對穩定的事物和現象。可是，對于這些運動變化的事物和現象，它們顯然無能為力。學習資料收集于網絡，僅供參考2 .答：推動了數學的應用；加快了科學的數學化；促進了數學的發展。3 答：猜想能力培養可以通過數學教學，如：新知識的學習、數學規律的尋求、解題思路的探索等途徑來實現。數學思想與方法試題一、填空題( 每題 3 分，共 30 分 )1. 概 括通常包括兩種: 經驗概括和理論概括。而經驗概括是從事實出發，以對個別事物

24、所作的觀察陳述為基礎，上升為普遍的認識的認識。2. 算法大致可以分為3. 反駁反例是用兩大類。否定的一種思維形式。類比聯想是人們運用類比法獲得猜想的一種思想方法，它的主要步驟是5. 歸納 猜想是運用歸納法得道的猜想，它的思維步驟是6. 傳統 數 學教學只注重_ 的數學知識傳授，忽略了數學思想方法的挖掘、整理、提煉。7. 所謂 統一性，就是協調一致。8. 中 國 九章算術的算法體系和古希臘幾何原本的體 系 在 數 學 歷 史 發 展 進程中 爭 奇 斗 妍 、 交 相 輝 映 。9. 所 謂 數學模型方法是10. 所 謂 特殊化是指在研究問題時，的思想方法。二、判斷題( 每題 4 分，共 20

25、分。在括號里填上是或否)1 . 數學思想方法教學隸屬數學教學范疇，只要貫徹通常的數學教學原則就可實現數學思想方法教學目標。( )2 數學基礎知識和數學思想方法是數學教學的兩條主線。( )3，新頒發的數學課程標準中的特點之一“再創造”體現了我國數學課程改革與發展的新的理念。( ) 法國的布爾巴基學派利用數學結構實現了數學的統一。由類比法推得的結論必然正確。( )三、簡答題( 每題 10 分，共 30 分 )1. 常量數學應用的局限性是什么?2. 簡述計算的意義。3，簡述培養數學猜想能力的途徑。四、證明題(20 分 )在四面體 ABC邛，如圖，已知 AB CD,A D BC;求證:AC BDo數學

26、思想與方法試題答案及評分標準一、填空題( 每題 3 分 . 共 30 分 1. 由 對 個體特性的認識上升為對個體所屬的種的特性2. 多 項 式算法和指數型算法3. 特 殊 一般 4. 聯 想 類比猜測5. 特 例 歸納猜測6. 形 式 化 7. 就 是 部分與部分部分與整體之間的8. 以 算 為主邏輯演繹9. 利 用 數學模型解決問題的一般數學方法10. 從 對 象的一個給定集合出發，進而考慮某個包含于該集合的較小集合二、判斷題（ 每題 4 分，共 20 分。填是或否）1. 否 2. 是 3. 是 4，是 5. 否三、簡答題（ 每題 10 分，共 30 分 ）1. 答 : 在建立了太陽中心理

27、論后，17世紀的人們面臨了如何改進計算行星位置，以及如何解釋地球上靜止的物體保持不動、下降的物體還落在地球上等之類的問題。這類問題的核心是物體的運動。面對這類帶有運動特征的問題，人們已有的數學知識: 算術、初等代數、初等幾何和三角等構成的初等數學，顯得無效。由于初等數學都是以不變的數量（即常量） 和固定的圖形為其研究對象（ 因此這部分內容也稱為常量數學） 。運用這些知識可以有效地描述和解釋相對穩定的事物和現象。可是， 對于這些運動變化的事物和現象，它們顯然無能為力。2. 答 : 推動了數學的應用; 加快了科學的數學化; 促進了數學的發展。3. 答 : 猜想能力培養可以通過數學教學，如：新知識的

28、學習、數學規律的尋求、解題思路的探索等途徑來實現。四、解答題（20 分 ）答：本題可利用兩個非零向量a,b垂直的充要條件是 ab=0 ,加以證明。（注 ： 雖然本題也可依據三垂線定理及其逆定理進行證明，但是不及向量證法既有幾何直觀，又簡潔明快）數學思想與方法試題一、填空題（ 每題 3 分 . 共 30 分 ）. 三段論是演繹推理的主要形式，它由三部分組成。3. 演繹法與4. 被認為是理性思維中兩種最重要的推理方法。是聯系數學知識與數學能力的紐帶，是數學科學的靈魂，它劉發展學生的數學能力，提高學生的思維品質都具有十分重要的作用。5. 分類方法具有三個要素：6. 數學研究的對象可以分為兩類： 一類

29、是，另一類是7. 所謂社會科學數學化就是指，也就是運用來揭示社會現象的一般規律。在古代的活動中就有概率思想的雛形，但是作為一門學科則產生于17 世紀中期前后，它的起源與一個所謂的點數問題有關。8. 在數學中建立公理體系最早的是，而這方面的代表著作是古希臘學者歐幾里得的9. 九章算術是世界上最早系統地敘述運算的著作，它關于的論述也是世界上最早的。10. 數學知識與數學思想是數學教學的兩條主線，是一條明線，它被寫在教材中; 則是一條暗線，需要教師挖掘、提煉并貫穿在教學過程中。二、判斷題（ 每題 4 分，共 20 分。在括號里填上是或否）1. 在解決數學問題時，往往需要綜合運用多種數學思想方法才能取

30、得效果。（ ）2. 分類可使知識條理化、系統化。（ ）3. 既沒有脫離數學知識的數學思想方法，也沒有不包括數學思想方法的數學知識。對同一數學對象，若選取不同的標準，可以得到不同的分類。完全歸納法實質上屬于演繹推理的范疇。（ ）三、簡答題（ 每題 10 分，共 30 分 ）1，什么是算法的有限性特點?試舉一個不符合算法有限性特點的例子。2. 我國數學教育存在哪些問題?試舉例子說明。3，簡述公理化方法發展。四、解答題（20 分 ）通過 下 列 例子具體說明化歸方法的含義:一 鐵 球 浮在水銀上，若將水再傾注在水銀之上，并覆蓋鐵球，這時球相對于水銀面將下沉?上升?還是保持在同樣的深度上?（ 已知水銀

31、密度為13.6 ，鐵密度為7.8 4 ，水密度為1）數學思想與方法試題答案及評分標準一、填空題（ 每題 3 分 . 共 30 分 ）1. 大 前 提小前提結論2. 歸 納 法 3. 數 學 思想方法4. 劃 分 的對象劃分后所得的類概念劃分的標準5. 研 究 數量關系研究空間形式6. 數 學 向社會科學的滲透數學方法7. 游 戲 與賭博 8. 幾 何 學幾何原本9. 分 數 負數 10. 數 學 知識數學思想二、判斷題（ 每題 4 分，共 20 分 . 填是或否）1. 是 2. 是 3. 是 4. 是三、簡答題（ 每題 10 分，共 30 分 ）1. 答: 算法的有一限性是指一個算法必須在有限

32、步之內終止。 例 如 ，對初始數據20 和 3，計算過程為 豎式 20 除以 3無 論怎樣 延 續這個過程都不能結束，同時也不會出現中斷。如果在某一處中斷過程，我們只能得到一個近似的、不準確的結果。而且如果在某一步中斷計算過程已經不是執行原來的算法。可見，十進制小數除法對于20 和 3 這組數不符合算法的“有限性”特點。2. 答 : 數學教學重結果，輕過程 ; 重解題訓練，輕智力、 情感開發; 不重視創新能力培養，雖然學生考試分數高，但是學習能力低下；重模仿，輕探索，學習缺少主動性，缺乏判斷 力和獨立思考能力：學生學業負擔過重。原因是課堂教學效益不高，教學圍繞升學考試指 揮棒轉，不斷重復訓練各

33、種題型和模擬考試，不少教師心存以量求質的想法，造成學生學業負擔過重。3. 答 : 公 理化方法是一個由個別上升到特殊再上升到一般的過程，最后形成了數學中普遍適用的科學方法。它的發展關系可以用下列圖示表明: 個 別 、 特殊一一般歐 氏空間一各種幾何一一般意義空間具 體 公理方法一抽象公理方法一形式化公理方法四、解答題（20 分 ）解 答 : 這 是 一個物理問題。用數學的眼光來考慮不會滿足于是上升或下沉的定性的描述， 而是渴望有定量的分析，即在傾人水前后兩種情況下，計算球在水銀平面之上的那部分體積占整球體積的比例。10 7 3 不排 除 定性的直觀想象，因為這對理解問題會有好處。不妨想象在水銀

34、上包圍鐵球上部的液體連續地改變其密度，從空氣水 鐵的密度，球必上升完全超出水銀，如果密度繼續增加，球就會從想象的液體中浮出來。由此可見，當覆蓋球的物質從空氣逐漸變為水的時候，球將上升。下 面 將 數學問題轉化為代數問題，分別設上面液體的密度為“，下面液體的密度為 b,球的密度為。,v表示球的體積，x,表示球上半部分的體積y,表示球下半部分的體積。根據阿基米德原理: 浮體質量等于所排開液體的質量，可列方程: 回到 原 題，傾水前a=O,b=13.60 ,c=7.8 4 ，由此得二二0.4 32v; 傾水后 a=1.0 0 ，求得 x=0.45 7v ，故知傾水后球浮于水銀上的部分占球總體積的比例

35、增大，即球上升。此 題 的 解決過程是先把問題轉化為數學問題，再轉化為代數問題，最后歸結為解方程組，通過解方程組得到解。數學思想與方法試題一、填空題（ 每題 3 分，共 30 分 ）1. 學生理解或掌握數學思想方法的過程有如下三個主要階段2. 面對一個問題，經過認真的觀察和思考，通過歸納或類比提出猜想，然后從兩個方面人手 : 演繹證明此猜想為真; 或者正或否定此猜想。，并且進一步修3. 變量數學產生的數學基礎是，標志是4. 化歸方法是將轉化為已知問題。5. 公理方法是從盡可能少的初始概念和公理出發，應用嚴格的 _ ，使一門數學構建成為演繹系統的一種方法。6. 數學的第一次危機是由于出現了而造成

36、的。7. 數學猜想具有兩個明顯的特點: 與8. 所 謂社 會科學數學化就是指數學向_ 的滲透，運用數學方法來揭示的一般規律。9. 分 類必 須遵循的原則是_10. 深 層 類比又稱實質性類比，它是通過而得到的類比。二、判斷題（ 每題 4 分。共 20 分，填是或否）1. 數 學 模型方法是近代才產生的。（ ）2. 在小學數學教學中，本教材所涉及到的數學思想方法并不多見。（）3. 所謂特殊化是指在研究問題時，從對象的一個給定集合出發，進而考慮某個包含于該集合的較小集合的思想。（ ）4. 既沒有脫離數學知識的數學思想方法，也沒有不包括數學思想方法的數學知識。5. 對同一數學對象，若選取不同的標準，

37、可以得到不同的分類。（得分評卷人三、簡答題（ 每題 10 分，共 30 分 ）1. 簡述概括與抽象的關系。2. 簡述培養數學猜想能力的途徑。3. 微積分產生可以歸結為哪四類情況?得分評卷人四、論述題（20 分 ）論述幾何原本和九章算術思想方法的特點。一、填空題（ 每題 3 分，共 30 分 ）1. 對 同 一數學對象，若選取不同的標準，可以得到不同的分類2. 尋 找 反例說明此猜想為假 3. 解 析 幾何微積分4. 疑 難 問題 5. 邏 輯 推理 6. 無 理 數 （ 或涯7. 科 學 性推測性8. 社 會 科學社會現象9. 不 重 復 ; 無遺漏; 標準同一10. 對 被 比較對象的處理相

38、互依存的各種相似屬性之間的多種因果關系的分析二、判斷題（ 每題4 分，共 20 分，填是或否）1. 否 2. 否 3. 是 4. 是 5. 是三、簡答題（ 每題10 分 . 共 30 分 ）1. 答 : 概括方法與抽象方法是不同的，但是它們又有十分密切的聯系。抽象是舍棄事物的一些屬性而收括固定出其固有的另一些屬性的思維過程，抽象得到的新概念與表述原來的對象的概念之間不一定有種屬關系。概括是在思維中由認識個別事物的本質屬性，發展到認識具有這種本質屬性的一切事物，從而形成關于這類事物的普遍概念。由概括得出的新概念是表述概括對象概念的一個屬概念。概括和抽象雖有差別，但又是互相聯系、密不可分的。 抽象

39、是概括的基礎，沒有抽象就不能認識任何事物的本質屬性，就無法概括。概括也是抽象思維過程中所必須的一個環節，前述“收括”操作實際上也是一個概括過程， 有人就把“收括”稱之為概括， 由于對共同點的概括才能得出對象的本質屬性，從而完成抽象過程。2.答：猜想能力培養可以通過數學教學，如：新知識的學習、數學規律的尋求、解題思路的探索等途徑來實現。3，答 : 這 些問題歸結到數學上主要有如下四類情況。第 一 類 是 : 已知物體移動的距離為時間的函數，求物體瞬時速度和加速度; 反過來，已知物體的加速度為時間的函數，求速度和距離。第二類是：求曲線切線的斜率和方程。第三類是: 求函數的最大值與最小值。第四類是:

40、 求曲線的長度，曲邊梯形的面積，曲面圍成的物體的重心。這四類問題的核心是求一個常量無法確定的量變量 問題。四、解答題【20 分 ）答 ： 幾 何 原本的思想方法的特點： 封閉 的 演繹體系因為 在 幾何原本中，除了推導時所需要的邏輯規則外，每個定理的證明所采用的論據均是公設、公理或前面已經證明過的定理，并且引人的概念（ 除原始概念） 也基本上是符合邏輯上對概念下定義的要求，原則上不再依賴其它東西。因此 幾何原本是一個封閉的演繹體系。另外，幾 何原本的理論體系回避任何與社會生產現實生活有關的應用問題，因此對于社會生活的各個領域來說，它也是封閉的。所以 ，幾 何原本是一個封閉的演繹體系。 抽象 化

41、 的內容幾何 原 本 中研究的對象都是抽象的概念和命題，它所探討的是這些概念和命題之間的邏輯關系，不討論這些概念和命題與社會生活之間的關系，也不考察這些數學模型所由之產生的現實原型。因此幾何原本的內容是抽象的。 公 理 化的方法幾 何 原 本 的第一篇中開頭5 個公設和5 個公理，是全書其它命題證明的基本前提，接著給出 23 個定義，然后再逐步引人和證明定理。定理的引人是有序的，在一個定理的證明中，允許采用的論據只有公設和公理與前面已經證明過的定理。以后各篇除了不再給出公設和公理外也都照此辦理。這種處理知識體系與表述方法就是公理化方法。九 章 算 術的思想方法的特點: 開 放 的歸納體系從 九

42、 章 算術的內容可以看出，它是以應用問題解法集成的體例編纂而成的書，因此它是一個與社會實踐緊密聯系的開放體系。在九 章 算術中通常是先舉出一些問題，從中歸納出某一類問題的一般解法; 再把各類算法綜合起來，得到解決該領域中各種問題的方法; 最后，把解決各領域中問題的數學方法全部綜合起來，就得到整個九章算術。另外 該 書還按解決問題的不同數學方法進行歸納， 從這些方法中提煉出數學模型，最后再以數學模型立章寫人九章算術。 因 此 ， 九章算術是一個開放的歸納體系。 算 法 化的內容九 章 算 術在每一章內先列舉若干個實際問題，并對每個問題都給出答案，然后再給出 “術”，作為一類問題的共同解法。因此，

43、內容的算法化是九章算術思想方法上的特點之一。 模 型 化的方法九 章 算 術各章都是先從相應的社會實踐中選擇具有典型意義的現實原型，并把它們表述成問題，然后通過“術”使其轉化為數學模型。 當然有的章采取的是由數學模型到原型的過程，即先給出數學模型，然后再舉出可以應用的原型。試卷代號:1173 座位號巨二一、填空題( 每題 3 分，共 3。分)1. 等腰三角形的抽象過程，就是把一個新的特征: ， 加人到三角形概念中去，使三角形概念得到強化。2. 所謂類比，是指 ; 常稱這種方法為類比法，也稱類比推理。. 反例反駁的理論依據是形式邏輯的. 猜想具有兩個顯著特點: 算法大致可以分為所謂數學模型方法是

44、所謂特殊化方法是指在研究問題時，兩大類。的思想方法。8 特性。 9 數學模型具有公理方法就是從初始概念和公理出發，按照，推導出1i. 他一切命題的一種演繹方法10 . 概 括 通常包括兩種 : 經驗概括和理論概括。而經驗概括是從事實出發，以對個別事物所作的觀察陳述為基礎，上升為普遍的認識的認識。二、判斷題( 每題 4 分，共 20 分。在括號里填上是或否)2. 數學思想方法教學隸屬數學教學范疇，只要貫徹通常的數學教學原則就可實現數學思想方法教學目標。( )3. 由類比法推得的結論必然正確。( )4. 有 時 特殊情況能與一般情況等價。( )5. 演 繹 的根本特點就是當它的前提為真時，結論必然

45、為真。( )6. 抽 象 得到的新概念與表述原來的對象概念之間不一定有種屬關系。( )得分評卷人三、簡答題( 每題 10 分，共 30 分 )1. 簡述確定性現象、隨機現象的特點以及確定性數學的局限性。2. 簡述計算機在數學方面的三種新用途。3. 簡述化歸方法的和諧化原則。四、解答題（20 分 ）以“ 認 識 長方形的對邊相等”為內容，設計一個教學片斷。（要 求 : 教學過程要比較具體、合理， 且有一定的層次; 要有與數學知識教學相聯系的本課程中所學習的數學思想方法教學內容; 不少于300 字 ）一、填空題（ 每題 3 分，共30 分 ）1. 兩邊相等2. 由一類事物所具有的某種屬性，可以推測

46、與其類似的事物也具有該屬性的一種推理方法3. 矛盾律4. 具 有一定的科學性，具有一定的推測性5. 多項式算法和指數型算法6. 利用數學模型解決問題的一般數學方法7. 從對象的一個給定集合出發，進而考慮某個包含于該集合的較小集合8. 抽象性、準確性和演繹性、預測性9. 一定的規定定義出其他所有的概念10. 由 對 個體特性的認識上升為對個體所屬的種的特性二、判斷題（ 每題 4 分，共20 分。在括號里填上是或否）3. 是 4. 是 5. 是三、簡答題（ 每題 10 分，共 30 分 ）1. 答 : 確定性現象的特點是: 在一定的條件下，其結果完全被決定，或者完全肯定，或者完全否定，不存在其他可

47、能。即這種現象在一定的條件下必然會發生某種結果，或者必然不會發生某種結果。隨機現象的特點是：在一定的條件下，可能發生某種結果，也可能不發生某種結果。對于隨機現象，由于條件和結果之間不存在必然性聯系，因此不能用確定數學來加以定量描述; 此外，由于隨機現象并不是雜亂無章的現象，就個體而言，似乎沒有什么規律存在，但當同類現象大量出現時，從總體上卻呈現出一種規律性，而確定數學無法定量地揭示這利，規律性。2. 答 : 推動了數學的應用; 加快了科學的數學化; 促進了數學的發展。（4 ）完整3,答：和 諧化是數學內在美的主要內容之一。美與真在數學命題和數學 解題中一般是統一的。因此，我們在解題過程中，可根據數學問題的條件或結論以及數、 式、形等的結構特征，利用和諧美去思考問題，獲得解題信息，從而確立解題的總體思路，達到以美啟真的作用。四、解答題（20 分 ）1. 答 : 將 教學過程設計成四個層次: 讓 學 生說一說: 我們周圍有哪些長方形物體?學生會舉出黑板、桌面、教室的門、課本的封面等例子。 要求 學 生仔細觀察: 看一看、想一想，這些長方形的