1、現代控制理論理論教案緒論【教學目的】 了解現代控制理論的基本原理及方法，以便進行系統分析與設計，同時為進一步學習現代控制理論打下較扎實的基礎。【教學重點】 了解控制理論發展的三個階段并掌握各階段的主要任務。【教學方法及手段】 課堂教學【課外作業】閱讀教材【學時分配】2學時【教學內容】本教材緒論部分主要講述了以下幾個問題：一、控制理論發展簡況1）古典控制理論：研究對象以單輸入、單輸出線性定常系統為主，以傳遞函數為系統的基本描述，以頻率法和根軌跡法為主要分析與設計手段。2）現代控制理論以狀態狀態空間模型為基礎，可研究多輸入、多輸出、時變、非線性等各種對象；研究系統內部結構的關系提出了能控性、能觀測

2、性等重要概念，提出了不少設計方法。3）大系統與智能控制階段。二、現代控制理論的基本內容(1)線性多變量系統理論。這是現代控制理論中最基礎、最成熟的部分。它揭示系統的內在想律，從能控性、能觀測性兩個基本概念出發，研究系統的極點配置、狀態觀測器設計和抗干擾問題的一般理論。 (2)最優控制理論。在被控對象數學模型已知的情況下，尋求一個最優控制規律(或最優控制函數)，使系統從某一個初始狀態到達最終狀態并使控制系統的性能在某種意義下是最優的。(3)最優估計理論。在對象數學模型已知的情況下，最優估計理論研究的問題是如何從被噪聲污染的觀測數據中，確定系統的狀態，并使這種估計在某種意義下是最優的。由于噪聲是隨

3、機的，而且是非乎穩隨機過程(隨機序列)，這種憎況下的狀態估計是卡爾曼提出和解決的，故又稱卡爾曼濾波。這種濾波方法是保證狀態估計為線性無偏最小估計誤差方差的估計。(4)系統辨識與參數估計。這是基于對象的輸入、輸出數據、在希望的估計準則下，建立與對象等價的動態系統(即建立對象的數學模型)，由于效學模型一船地說，是由階致和參數決定的。因此，要決定系統的階數和參數(即參數估計)。三、本課程的基本任務該課程是工業自動化專業的一門重要的專業基礎課程。通過這門課的學習了解現代控制理論的基本原理及方法，以便進行系統分析與設計，同時為進一步學習現代控制理論打下較扎實的基礎。所謂系統分析，就是指在規定的條件下，對

4、數學模型已知的性能進行分析。系統分析包括定量分析和定性分析。定量分析是通過系統對某一個輸人信號的實際響應來進行的；定性分析則研究系統能控性、能觀測性、穩定性和關聯性等一般特性。各種設計方法往往來源于系統分析。因此，系統分析是十分重要的。所謂系統設計，就是構造一個能完成給定任務的系統，這個系統具有所希望的瞬態，穩態性能以及抗干擾性能。一般地說，設計過程不是一個簡單的一次能完成的過程，而是一個逐步完善的過程。在這個過程中，有可能引入補償器或調整某些參數。第一章 控制系統的數學模型第一節 狀態空間表達式【教學目的】 了解狀態空間描述的基本概念，掌握根據物理機理來建立狀態空間表達式。掌握狀態空間表達式

5、的建立方法。【教學重點】 基本概念的剖析與掌握。【教學難點】 掌握狀態變量是確定系統狀態的最小一組變量。【教學方法及手段】 課堂教學【課外作業】1.1 【學時分配】2學時【教學內容】一、狀態、狀態變量和狀態空間通過RLC電路講清楚狀態、狀態變量、狀態空間的基本概念。二、狀態空間表達式通過RLC電路的狀態方程的建立將其分析結果推廣到一般情況，可得到以下各種情況：1）多輸入、多輸出（MIMO）線性定常系統：= （1-1）其中A為系統矩陣，B為輸入矩陣，C為輸出矩陣，D為直接傳輸矩陣或稱關聯矩陣。2）單輸入、單輸出（SISO）系統： （1-2）3）多輸入、多輸出（MIMO）線性時變系統： （1-3）

6、4）非線性時變系統： Y= （1-4）5）非線性定常系統：= （1-5）三、狀態變量的選取1）同一系統可以取不同的狀態變量；2）狀態變量的選取是非唯一的；3）系統狀態變量的數目是唯一的。四、狀態空間表達式建立的舉例通過質量、彈簧、阻尼器系統和直流他勵電動機的狀態空間表達式的建立以了解實際系統的建模步驟及思想。第二節 由微分方程求狀態空間表達式【教學目的】 掌握根據系統微分方程建立狀態空間表達式的方法。【教學重點】 狀態方程的建立。【教學難點】 不同形式狀態方程的建立。【教學方法及手段】 課堂教學【課外作業】 1.5【學時分配】2學時【教學內容】微分方程中不含有輸入信號導數項一般情況下，系統的輸

7、入和輸出關系由n階微分方程描述： （1-6） (1-7)二、微分方程含有輸入信號的導數項 (1-8)第三節 傳遞函數矩陣【教學目的】 掌握系統傳遞函數矩陣也是線性定常系統的一種描述。【教學重點】 系統傳遞函數矩陣的求解【教學難點】 由狀態空間表達式求系統傳遞函數陣【教學方法及手段】 課堂教學【課外作業】 1.7【學時分配】1學時【教學內容】1） 單輸入、單輸出系統的傳遞函數： （1-39）講例1-42） 傳遞函數矩陣：；（1-43）講例1-5，例1-5的特點為兩輸入、兩輸出系統，這有別于單位輸入、單輸出系統。3） 閉環系統傳遞函數矩陣 （1-9）4） 傳遞函數描述和狀態空間描述的比較。見P19

8、第四節 離散系統的數學描述 【教學目的】 了解離散系統空間表達式的建立方法。【教學重點】 差分方程、 脈沖傳遞函數化為離散系統狀態空間表達式。【教學難點】 離散系統空間表達式與連續系統表達式的區別。【教學方法及手段】 課堂教學【課外作業】 1-8,1-9【學時分配】1學時【教學內容】1）差分方程中不含有輸入量差分項的狀態空間表達式的建立；以三維為例，2）差分方程中含有輸入量差分項的狀態空間表達式的建立； G、H、C同上講清例1-6并要求畫出狀態圖3）脈沖傳遞函數（矩陣）， （1-10）通過例1-7搞清離散系統的傳遞函數矩陣的求法。第五節 線性變換【教學目的】 通過研究線性變換關系得到便于應用且

9、簡單的狀態空間表達式【教學重點】 各種標準的狀態空間表達式，如能控、能觀、對角、約旦型。【教學難點】 非奇異變換陣的選取【教學方法及手段】 課堂教學【課外作業】1-11，1-12【學時分配】2學時【教學內容】1）等價系統方程 線性定常系統的方程為 通過線性變換 ，于是轉換后的系統方程為：2)線性變換的基本特性a、 線性變換不改變系統特征值；b、線性變換不改變系統的傳遞函數矩陣。3）化系統矩陣A為標準形a、 化A為對角陣；講例1-8，1-9b、 化A為約當陣例：考慮由下式確定的系統：試求其狀態空間表達式之能控標準形、能觀測標準形和對角線標準形。解：能控標準形為：能觀測標準形為：對角線標準形為：講

10、例1-10化A為約旦型。小結本章介紹了狀態空間描述和傳遞函數短陣描述。介紹了從狀態變量的定義、狀態變量的選取到建立狀態空間表達式的整個過程,對于線性定常系統，在初始松弛情況下，也可以來用傳遞函數矩陣描述。這兩種描述在系統分析和設計中都有應用。至于采用何種描述，應視所研究的問題以及時這兩種描述的熟悉程度而定。一個系統，狀態變量的數目是唯一的，而狀態變量的選取是非唯一的。選取不同助狀態變量，建立的狀態空間表達式亦異。它們之間可以通過線性變換進行轉換。本章介紹了線性變換定義、基本持性以及應用變換的方法獲得幾種標準形。線性變換的方法相當重要，本門課程很多章節中均要應用。傳遞函數矩陣的描述與狀態變量選擇

11、無關，即系統狀態變量的不同選擇，傳遞函數(短陣)是不改變的。第二章 線性控制系統的運動分析第一節 線性定常系統齊次狀態方程的解狀態轉移矩陣（由定義求，由拉普拉斯變換求）【教學目的】 了解狀態轉移矩陣的基本概念及求法【教學重點】 狀態轉移矩陣的兩種求法【教學難點】 由拉普拉斯變換求【教學方法及手段】 課堂教學【課外作業】 2.1【學時分配】2學時【教學內容】1)齊次方程的解為；2)狀態轉移矩陣的基本性質.P41例21 試求如下線性定常系統的狀態轉移矩陣(t)和狀態轉移矩陣的逆-1(t）。解 對于該系統，其狀態轉移矩陣由下式確定由于其逆矩陣為因此由于-1（t）=(-t)，故可求得狀態轉移矩陣的逆為

12、第二節狀態轉移矩的求法(凱萊-哈密爾頓(Caley-Hamilton)定理, 對角線標準形與Jordan標準形法)【教學目的】 了解狀態轉移矩陣的另外兩種求法【教學重點】 對角線標準形【教學難點】 凱萊-哈密爾頓(Caley-Hamilton)定理【教學方法及手段】 課堂教學【課外作業】2.2，2.4【學時分配】2學時【教學內容】1）化eAt為A的有限項法(Caley-Hamilton定理法)； 2）對角線標準形與Jordan標準形法例：解 該矩陣的特征方程為因此，矩陣A有三個相重特征值=1。可以證明，矩陣A也將具有三重特征向量（即有兩個廣義特征向量）。易知，將矩陣A變換為Jordan標準形的

13、變換矩陣為 矩陣P的逆為注意到可得 =例： 試用前面介紹的兩種方法計算解 方法一由于A的特征值為0和-2（1=0，2= -2），故可求得所需的變換矩陣P為P =因此，由式(2.10）可得方法二由于可得因此第三節線性定常系統非齊次狀態方程的解第四節線性離散系統的運動分析【教學目的】掌握線性定常系統非齊次狀態方程的解及線性離散系統的運動分析【教學重點】 線性定常系統非齊次狀態方程的解【教學難點】 線性離散系統的運動分析【教學方法及手段】 課堂教學【課外作業】2.6，2.20【學時分配】2學時【教學內容】給定線性定常系統非齊次狀態方程為： (2-28)其中，且初始條件為。 將方程（2.28）寫為 在

14、上式兩邊左乘e-At，可得 將上式由O積分到t，得故可求出其解為(2-31) (2.32)式中為系統的狀態轉移矩陣。例2.2 求下列系統的時間響應：式中，u(t)為t = 0時作用于系統的單位階躍函數，即u(t)=1(t)。解 對該系統 狀態轉移矩陣已在前例中求得，即因此，系統對單位階躍輸入的響應為：或 如果初始狀態為零，即X(0)=0,可將X(t)簡化為小結 本章對系統運動的分析是通過求系統方程的解來進行的。狀態方程是矩陣微分(差分)方程，輸出方程是矩陣代數方程。因此，求系統方程的解的關鍵在于求狀態方程的解。 線性系統方程曲解是借助狀態轉移矩陣來表示的。本章介紹了狀態轉移矩陣的定義、基本性質

15、和求解方法。重點介紹了線性定常系統狀態轉移矩陣的四種計算方法。有了狀態轉移矩陣，就可以求出系統在初始狀態激勵下的自由運動(齊次狀態方程的解)以及在輸入向量作用下的強迫運動(非齊次狀態方程的解)。應當指出，系統自由運動軌線的形態是由狀態轉移短陣決定的，也就是由A唯一決定的。然而對一個系統來說，A是一定的，因此只有靠人為地采取措施(如第五章的狀態反饋和輸出反饋)來改造自由運動的形態。狀態x(t)求出后，即可求出系統的輸出y(t)。不同的輸入向量，響應y(t)不同。但是只要有了y(t)就可以按經典控制理論中介紹的時域分析法來定量地分橋系統的性能。由于這個響應y（t）是針對某個控制u（t）而言的，這就

16、為用u（t）來達到希望的y(t)形態提供了可能(見第五章第六節)。實驗一狀態空間控制模型系統仿真及狀態方程求解【實驗目的】 借助Matlab工具在計算機上實現前二章所講的重要內容。【實驗重點】 各種不同狀態方程之間的轉換及狀態方程的求解、【實驗難點】 對角型、約旦型、模態型的轉換【教學方法及手段】 上機實驗。【課外作業】認真寫實驗報告，復習鞏固實驗內容【學時分配】2學時第三章 控制系統的能控性和能觀測性【教學目的】 掌握系統的能控性的概念及其判據。【教學重點】 線性連續定常系統的能控性的判斷。【教學難點】 能控性判據概念的理解。【教學方法及手段】 課堂教學【課外作業】3-1【學時分配】2學時【

17、教學內容】在經典控制理論中，著眼點在于研究對系統輸出的控制。對于一個單輸入單輸出系統來說，系統的輸出量既是被控量，又是觀測量。因此，輸出量明顯地受輸人信號控制，同時，也能觀測，即系統不存在能控、不能控和能觀測、不能觀測的問題。 現代控制理論著眼點在于研究系統狀態的控制和觀測。這時就遇到系統的能控性和能觀測性問題了。能控性(controllability)和能觀測性(observability)深刻地揭示了系統的內部結構關系，由R.E.Kalman于60年代初首先提出并研究的這兩個重要概念，在現代控制理論的研究與實踐中，具有極其重要的意義，事實上，能控性與能觀測性通常決定了最優控制問題解的存在性

18、。例如，在極點配置問題中，狀態反饋的的存在性將由系統的能控性決定；在觀測器設計和最優估計中，將涉及到系統的能觀測性條件。通過例3-1、3-2可知，研究系統的狀態變量與輸人信號之間的關系時，存在能控與不能控的問題。系統能觀測問題是研究測量輸出變量y去確定系統狀態變量的問題。通過例3-3可知，狀態x存在能觀測和不能觀測的問題。至此，我們可以知道，在基于狀態空間描述的現代控制理論中，存在狀態能控性和能觀測性問題。這是兩個反映系統構造特性的基本概念。在本章中，我們的討論將限于線性系統。將首先給出能控性與能觀測性的定義，然后推導出判別系統能控和能觀測性的若干判據。第一節 能控性及其判據一、線性定常系統的

19、能控性及其判據(一)能控性定義線性定常系統狀態方程為=（3-1）其中x、u分別為n、r維向量，A、B為滿足矩陣運算的常值矩陣。若給定系統的一個初始狀態可為x(t0)（t0可為0），如果在的有限時間區間t0，t1內，存在容許控制u（t）使x(t1)0，則稱系統狀態在t0時刻是能控的；如果系統對任意一個初始狀態都能控，則稱系統是狀態完全能控的，簡稱系統是狀態能控的或系統是能控的。由這個定義可知： 1)系統能控性定義中的初始狀態x(t0)是狀態空間中任意的非零有限點，控制的目標是狀態空間坐標原點(有的文獻稱為達原點的能控性)。 2)如果在時間區間t0，t1內存在容許控制u（t），使系統從狀態空間坐標

20、原點推向預先指定的狀態x(t1)，則稱為狀態能達性。由于連續系統狀態轉移矩陣是非奇異的因此可以證明系統能控性與能達性是等價的。 ·3)在能控性研究中，我們考察的并不是x(t0)推向x(t1)0的時變形式，而是考察能控狀態在狀態空間中的分布。很顯然，只有整個狀態空間中所有的有限點都是能控的，系統才是能控的。(二)能控性判據判據一：若式（3-1）系統能控，則能控性矩陣 滿秩。即 判據一的證明從略，結合具體例子介紹其方法。例 考慮由下式確定的系統：由于即Q為奇異，所以該系統是狀態不能控的。例 考慮由下式確定的系統： (3-2) 對于該情況，即Q為非奇異，因此系統是狀態能控的。判據二：由于狀

21、態能控的條件是A的特征向量互異，關于定常系統能控性的判據很多。除了上述的代數判據外，本小節將給出一種相當直觀的方法，這就是從標準形的角度給出的判據。 考慮（3-2）的線性系統。 如果A的特征向量互不相同，則可找到一個非奇異線性變換矩陣P可將A陣轉換為對角陣，當且僅當轉換后的輸入矩陣沒有一行的所有元素均為零時，系統才是狀態能控的。如果式（3-2）中的矩陣A不具有互異的特征向量，則不能將其化為對角線形式。在這種情況下，可將A化為Jordan標準形。例如，若A的特征值分別1,1,1,4,4,6,n,并且有n - 3個互異的特征向量，那么A的Jordan標準形為(3-3)與每個Jordan塊最后一行相

22、對應的的任一行元素不其中，在主對角線上的3×3和2×2子矩陣稱為Jordan塊。 假設能找到一個變換矩陣S，使得 如果利用x = S z(3-4)定義一個新的狀態向量z，將式（3-4）代入式（3-2）中，可得到(3-5)從而式（3-5）確定的系統的狀態能控性條件可表述為，當且僅當：（1）式（3-3）中的矩陣J中沒有兩個Jordan塊與同一特征值有關；（2）全為零；（3）對應于不同特征值的的每一行的元素不全為零時，則系統是狀態能控的。例 下列系統是狀態能控的：下列系統是狀態不能控的：判據三：用傳遞函數矩陣表達的狀態能控性條件狀態能控的條件也可用傳遞函數或傳遞矩陣描述。狀態能控

23、性的充要條件是在傳遞函數或傳遞函數矩陣中不出現相約現象。如果發生相約，那么在被約去的模態中，系統不能控。例 考慮下列傳遞函數：顯然，在此傳遞函數的分子和分母中存在可約的因子（s+2.5）(因此少了一階)。由于有相約因子，所以該系統狀態不能控。當然，將該傳遞函數寫為狀態方程，可得到同樣的結論。狀態方程為 由于即能控性矩陣的秩為1，所以可得到狀態不能控的同樣結論。第二節 能觀測性及其判據【教學目的】 掌握系統的能觀性的概念及其判據。【教學重點】 線性連續定常系統的能觀性的判斷。【教學難點】 能觀性判據概念的理解。【教學方法及手段】 課堂教學【課外作業】3-2【學時分配】2學時【教學內容】現在討論線

24、性系統的能觀測性。考慮零輸入時的狀態空間表達式 (3-6)式中，。如果每一個狀態x(to)都可通過在有限時間間隔tott1內，由y(t)觀測值確定，則稱系統為(完全)能觀測的。本節僅討論線性定常系統。不失一般性，設to=0。能觀測性的概念非常重要，這是由于在實際問題中，狀態反饋控制遇到的困難是一些狀態變量不易直接量測。因而在構造控制器時，必須首先估計出不可量測的狀態變量。在“系統綜合”部分我們將指出，當且僅當系統是能觀測時，才能對系統狀態變量進行觀測或估計。在下面討論能觀測性條件時，我們將只考慮由式（3-6）給定的零輸入系統。這是因為，若采用如下狀態空間表達式則從而 由于矩陣A、B、C和D均為

25、已知，u(t)也已知，所以上式右端的最后兩項為已知，因而它們可以從被量測值y(t)中消去。因此，為研究能觀測性的充要條件，只考慮式（3-6）所描述的零輸入系統就可以了。判據一、線性定常系統狀態能觀測性及其判據 考慮由式（3-6）所描述的線性定常系統。將其重寫為 易知，其輸出向量為 將寫為A的有限項的形式，即因而或(3-7) 顯然，如果系統是能觀測的，那么在0tt1時間間隔內，給定輸出y(t)，就可由式（3-7）唯一地確定出x(0)。可以證明，這就要求nm×n維能觀測性矩陣的秩為n。由上述分析，我們可將能觀測的充要條件表述為：由式（3-6）所描述的線性定常系統，當且僅當n×n

26、m維能觀測性矩陣的秩為n，即時，該系統才是能觀測的。此為判據一。例 試判斷由式所描述的系統是否為能控和能觀測的。解 由于能控性矩陣的秩為2，即，故該系統是狀態能控的。 對于輸出能控性，可由系統輸出能控性矩陣的秩確定。由于的秩為1，即，故該系統是輸出能控的。為了檢驗能觀測性條件，我們來驗算能觀測性矩陣的秩。由于 的秩為2，故此系統是能觀測的。判據二、狀態能觀測性條件的標準形判據 考慮由式（3.13）和（3.14）所描述的線性定常系統，將其重寫為 (3-8) 設非奇異線性變換矩陣P可將A化為對角線矩陣，如果m×n維矩陣的任一列中都不含全為零的元素，那么系統是能觀測的。如果不能將式（3-8

27、）變換為對角線標準形，則可利用一個合適的線性變換矩陣P，將其中的系統矩陣A變換為Jordan標準形。系統能觀測的充要條件為：（1）J中沒有兩個Jordan塊與同一特征值有關；（2）與每個Jordan塊的第一行相對應的矩陣列中，沒有一列元素全為零；（3）與相異特征值對應的矩陣列中，沒有一列包含的元素全為零。為了說明條件(2），在下例中，對應于每個Jordan塊的第一行的列之元素用下劃線表示。例 下列系統是能觀測的：顯然，下列系統是不能觀測的：判據三、用傳遞函數矩陣表達的能觀測性條件類似地，能觀測性條件也可用傳遞函數或傳遞函數矩陣表達。此時能觀測性的充要條件是：在傳遞函數或傳遞函數矩陣中不發生相約

28、現象。如果存在相約，則約去的模態其輸出就不能觀測了。例3.6 證明下列系統是不能觀測的。式中解 由于能觀測性矩陣注意到即，故該系統是不能觀測的。 事實上，在該系統的傳遞函數中存在相約因子。由于X1(s)和U (s)之間的傳遞函數為又Y (s)和X1(s)之間的傳遞函數為故Y(s)與U(s)之間的傳遞函數為顯然，分子、分母多項式中的因子（s+1）可以約去。這意味著，該系統是不能觀測的，或者說一些不為零的初始狀態x(0)不能由y(t)的量測值確定。 第四節 離散系統的能控性和能觀測性【教學目的】 掌握離散系統的能控性、能觀性的概念及其判據。【教學重點】 線性定常離散系統的能控性、能觀性的判斷。【教

29、學難點】 能控性、能觀性判據概念的理解。【教學方法及手段】 課堂教學【課外作業】3-9，3-10【學時分配】2學時【教學內容】一、能控性定義關于離散系統的能控性和能觀測性問題，幾乎與連續系統完全類似地有一套相應的理論和方法。因此本節只作扼要地介紹。線性定常離散系統方程為 （3-9）其中x(k)、u（k）、y（k）分別為n、r、m維向量，G、H、C為滿足矩陣運算的矩陣。對系統(333)的任一初始狀態x(0)，存在k0，在有限時間區間0，k內，存在容許控制序列u（k），使得x(k)0，則稱系統是狀態完全能控的，簡稱系統是能控的。由于在k時刻，有x(k)=0，有的書稱為第k步能控。如果在有限時間區間

30、0，k內，存在容許控制序列u（k），將系統從狀態空間坐標原點x（k）0推向預先指定的狀態x(k)，則稱為能達性。在連續系統中，系統的能達性與能控性是等價的，而離散系統的能達性與的控性之間關系如何呢?離散系統與連續系統略有差別。在離散系統中，如果系數矩陣G是非奇異的則能達性與能控性等價。也就是說，離散系統中的能達性和能控性等價是有條件的。二、能控性判據線性定常離散系統能控的充要條件為 滿秩。例3-11 線性定常離散系統狀態方程為試判別系統的能控性。解：故系統能控。三、能觀性定義對于系統(39)，根據有限個采樣周期y（k），可以唯一地確定系統的任一初始狀態x(0)，則稱系統是狀態完全能觀測的，簡稱

31、系統是能觀測的，有的書稱為第k步能觀測。同樣也可以討論系統的能檢測性，而且離散系統的能檢測性、能觀測性之間的關系與連續系統略有差別。在離散系統中，只有系數短陣G是非奇異時，能檢測性與能觀測性才是等價的，也就是說，離散系統的能檢測性和能觀測性是有條件的等價。四、能觀測性判據系統(3-9)能觀測的充分必要條件是型能觀測性矩陣的秩為。即例3-12 線性定常離散系統方程為試判別系統的能觀測性。故系統能觀測。第五節 對偶原理下面討論能控性和能觀測性之間的關系。為了闡明能控性和能觀測性之間明顯的相似性，這里將介紹由R.E.Kalman提出的對偶原理。 考慮由下述狀態空間表達式描述的系統S1：（3-10）式

32、中，。系統能控性是研究輸入u（t)與狀態x(t)之間的關系，而能觀測性是研究輸出y（t)與狀態x(t)之間的關系。通過上面的討論可以看到，能控性與能觀測性，無論在概念上還是判據的形式上，都很相似。它給人們一個啟示，即能控性與能觀測性之間存在某種內在的聯系。這個聯系就是卡爾曼提出的對偶性。現在我們來構造一個系統（3-11）其狀態圖如下所示。對偶系統有兩個基本特征：1對偶的兩個系統傳遞函數陣互為轉置2對偶的兩個系統特征值相同3.線性定常系統(310)和系統(311)為對偶系統，系統(310)的能控性等價于系統(311)的能觀測性；而系統(310)的能觀測性與系統(311)的能控性等價。這就是對偶原

33、理。例314 線性定常系統方程為試判別系統能觀測性。解 該題可以宜接檢查能觀測性短陣的秩來判grj系統能觀測性。但是為了熟悉對偶原理的應用，下面用檢查其對偶系統能控性來判別系統能觀測性。該題的對偶系統為能控性矩陣 對偶系統能控。根據對偶原理知，原系統能觀測。實際上，系統能觀測，與按對偶原理判別結果一致。 小結能控性和能觀測性是系統定性分析的重要內容之一。本章介紹能控性和能觀測性的定義，導出了線性系統能控性、能觀測性的定理。其中定理36和定理314是本章兩個基本結果。因為導出它們所用的假定最少(只需假定連續性)，因此可以最廣泛地應用。若引入附加假定(連續可微性)，則得到定理38和定理315，它們

34、雖僅給出充分條件，但易于應用。對于線性定常系統，可以得到系統能控和能觀穗的充分必要條件。如果將能控性、能觀測性的定理一一對應列出，持會發現其間的對偶性。對偶原理搭起了控制問題和估計問題的橋梁，在理論和實際兩方面具有很大意義。第四章 控制系統的穩定性穩定性是系統定性分析的又一個重要內容。工程實際中，可以應用的系統必須是穩定的。不穩定的系統是不能付諸實用的。在系統分析和設計中，不可避免地會遇到穩定性問題。【教學目的】 掌握系統穩定性的概念及判據【教學重點】 李亞甫諾夫意義下穩定性的定義【教學難點】 有關穩定性幾個重要概念的理解【教學方法及手段】課堂教學【課外作業】4-1【學時分配】2學時【教學內容

35、】隨著科學技術的發展以及航空、航天工業發展的需要，控制問題由線性、定賞、單輸入單輸出系統問題剛E線性、時變、多輸入多輸出系統向題延伸。使得穩定性問題分析的復雜程度急劇地增加。那些在經典控制理論中行之有效的穆定性分析方法在此無能為力。必須尋求其它方法。李亞甫諾夫在1892年發表了運動穩定性一般問題論文，建立了運動穩定性的一般理論和方法。他把分析常微分方程組穩定性的所有方法歸納為兩種。第一種方法是求出常微分方程的解，分析系統的穩定性，這是一種間接方法；第二種方法是不需要求解激微分方程的解而能提供穩定性的信息。這是一種直接方法。由于求解非線性時變微分方程組的解是很困難的，甚至是不可能的。因此，李亞甫

36、諾夫第二法就顯得特別的重要。該方法研究系統穩定性是建立在這樣一個事實之上的，即系統的一個平衡狀態若為漸近穩定時，在外界作用下，系統能量要發生變化。但是，系統貯存的能量必將隨著時間的增長而衰減，直至趨于平穩狀態而使能量趨于最小值。書上通過例-1以一個機械平移系統為例來說明這個問題。李亞甫諾夫構造了所謂廣義能量函數，稱之為李亞甫諾夫函數，記成V(x，t)。當李亞甫諾夫函數不顯含時間t，就記成V（x）。通過研究V(x，t)或V（x）及其沿系統狀態軟線運動隨時間的變化率的定號性就可以給出系統穩定性的信息。圖4-2以二維系統為例，說明了能量函數E（x1，x2）隨時間t的的增加而而連續減小。李亞甫諾夫第二

37、法是研究系統乎衡狀態穩定性的。什么是系統平衡狀態呢? 在例41中，x10，x20稱為平衡狀態。一般地說，系統的狀態方程為 (41)其初始狀態為x(0)。系統的狀態軌線x(t)是隨著時間而變化的。當且僅當有，則稱為系統的平衡狀態。由此可見，當狀態軌線x（t）達到平衡狀態時，如果系統不加輸入，則狀態就永遠停留在平衡狀態。第一節李亞甫諾夫意義下穩定性的定義一、 穩定二、漸近穩定李亞甫諾夫意義下漸近穩定就是經典控制理論中所說的穩定。工程中的系統都要求是李亞甫諾夫意義下漸近穩定。三、大范圍漸近穩定漸近穩定性是系統的一個局部穩定性概念。如果對于狀態空間中，初始狀態是整個狀態空間中的任何點，而從出發的狀態軌

38、線有（4-2）則稱0為李亞甫諾夫意義下大范圍漸近穩定或李亞甫諾夫意義下全局漸近穩定。當大范圍漸近穩定與初始時刻選擇無關時，則稱一致大范圍漸近穩定。很顯然，對于大范圍漸近穩定的系統，其必要條件是整個狀態空間中，只存在一個平衡狀態。對于線性系統，只要系統=0是漸近穩定的，則一定是大范圍漸近穩定的。四、不穩定第三節 李亞甫諾夫第二法【教學目的】 掌握李亞甫諾夫第二法判斷系統穩定性的幾個定理。【教學重點】 一致大范例漸近穩定的概念【教學難點】 二次型定號性與穩定性的關系【教學方法及手段】課堂教學【課外作業】復習所講內容【學時分配】2學時【教學內容】在本章第一節中已簡單地介紹了李亞甫諾夫第二法研究系統穩

39、定性的基本方法，即構造一個與系統狀態x有關的標量函數V(x，t)來表征系統的廣義能量。V(x，t)稱為李亞甫諾夫函數。研究V(x，t)及其沿狀態軌線隨時間的變化率的定號性，就可以得到有關系統的穩定性信息。換句話說，對一個系統來說，如果我們能夠構造V(x，t)，就能判斷該系統的運動核定性。 本節介紹李亞甫諾夫第二法判斷系統穩定性的幾個定理。定理4-1 設系統狀態方程為 （4-3）在平衡狀態的某領域內，標量函數，具有連續一階導數，且滿足1、2、則是一致漸近穩定的。如果則是一致大范例漸近穩定的。定理4-2 設系統狀態方程為 （4-4）在平衡狀態的某領域內，標量函數，具有連續一階導數，且滿足1、2、3

40、、除平衡狀態外，還有的點，但不會在整條狀態軌跡上有，則是一致漸近穩定的。如果則是一致大范例漸近穩定的。定理4-3 設系統狀態方程為（4-5）在平衡狀態的某領域內，標量函數，具有連續一階導數，且滿足1、2、則是一致穩定的。定理4-4 設系統狀態方程為（4-6）在平衡狀態的某領域內，標量函數，具有連續一階導數，且滿足1、2、則是不穩定的。第四節 線性連續系統的穩定性【教學目的】 掌握李亞甫諾夫第二法判斷線性連續及離散系統的穩定性。【教學重點】 連續系統李亞甫諾夫方程【教學難點】 離散系統李亞甫諾夫方程【教學方法及手段】課堂教學【課外作業】4-4、4-5、4-6【學時分配】2學時【教學內容】設系統狀

41、態方程為假定A是非奇異矩陣，這時系統存在唯一的平衡狀態。李亞甫諾夫函數為狀態變量的二次型形式，即 (4-7)其中P為型正定的對稱常值矩陣。顯然有，當要求為漸近穩定時，應為負定的。令 (4-8) 式中的Q陣為正定對稱矩陣且滿足，式4-8稱為李亞甫諾夫方程。且Q是正定矩陣。式(4-8)稱為李亞甫諾夫方程。因為Q是正定短陣，則0，這就意味著沿的任意軌線x（t），V(x)隨時間單調減小，當時，V(x)最終將趨于零。根據李亞甫諾夫穩定性定理41可知，是一致漸近穩定的。因為是線性系統，故是一致大范圍漸近穩定的。在運用李亞甫諾夫方程（48)判別系統的穩定性時，先指定正定陣Q，再按式(4-7)求出P陣，然后檢

42、查P陣的正定性。由于Q陣的形式可以任意給定，并且最終的判斷結果與正定陣Q的不同選擇無關。故最方便也是最簡單的選擇是選取QI(單位陣)。這時李亞南諾夫方程就成為(420)根據式(4-7)求出P陣，用賽爾維斯特判據來檢驗其正定性，當P陣是正定陣時，則為一致漸近穩定的，并且是一致大范圍漸近穩定的。詳細講解例4-6。線性定常離散系統的穩定性線性定常離散系統的狀態方程為 （4-9）是系統的平衡狀態。下面用李亞甫諾夫第二法來研究系統的漸近穩定性問題。對于式(421)描述的線性定常離散系統。假設G為型奇異常陣，是唯一的平衡狀態。選取李亞甫諾夫函數為式中，P為正定的對稱常值短陣。顯然有 V0， 而的差分為式中

43、Q為正定對稱常陣。而 （4-23）稱為李亞甫諾夫方程。與線性定常連續系統類似，判別系統的漸近穩定性時，通常是給出一個正定對稱常P，然后用式(423)求出P陣，并驗證其正定性。如果P陣是正定的，則為一致漸近穩定的，且是一致大范圍斯近穩定的。講解書上例4-7。 小 結 穩定性與能控性、能觀測性一樣都是系統的重要特性。本章介紹了李亞甫諾夫意義下穩定性的定義和李亞甫諾夫第二法分析系統平衡狀態穩定性的定理，同時介紹了線性定常系統零狀態響應的穩定性及其與平衡狀態穩定性的關系，即平衡狀態漸近穩定包含了BIBO穩定，而BIBO穩定的系統未必是平衡狀態慚近穩定，只有當系統能控又能觀測時，BIBO穩定的系統才是平

44、衡狀態漸近穩定。 線性定常系統的穩定性可以由傳遞函數的極點或由A的特征值來分析。也可以用李亞甫諾夫第二法來分析。應該指出，到目前為止，還沒有構造李亞甫諾夫函數的一般方法，而靠經驗與技巧。由于李亞甫諾夫第二法給出的結果是非線性系統穩定性的充分條件，所以，對某個系統而盲，構造不出李亞甫諾夫函數，我們不能說，該系統不穩定，只能說，無法提供有關系統穩定性的信息。穩定性分析方法同樣可應用到離散系統中去。只是線性離散系統的李亞甫諾夫方程形式和線性連續系統略有不同。實驗二 能控能觀判據及穩定性判據【實驗目的】 借助Matlab工具在計算機上實現能控性及能觀性判據【實驗重點】 李亞甫諾夫穩定性判據【實驗難點】

45、 能控性、能觀性判據【教學方法及手段】 上機實驗。【課外作業】認真寫實驗報告，復習鞏固實驗內容【學時分配】2學時第五章線性定常系統的綜合第一節 引 言 第二節 狀態反饋和輸出反饋【教學目的】掌握狀態反饋及輸出反饋的概念【教學重點】 狀態反饋的意義【教學難點】 狀態反饋的的作用【教學方法及手段】課堂教學【課外作業】復習所講內容【學時分配】2學時【教學內容】在第二章，研究的是在己知系統的結構和參數情況下系統的運動，從而了解系統的運動形態。第三章介紹了系統的能控性和能觀測性。第四章是系統穩定性問題。如果將上述研究的內容概括起來說，就是在已知系統的結構和參數情況下，研究系統的性能或特性，即所謂系統分析

46、問題。本章將研究線性定常系統的綜合。這是一個與系統分析相反的命題，是在給定被控對象的情況下，通過設計控制器的結構和參數，使系統滿足預先規定的性能指標要求。采用的方法是先涵量系統的狀態，再用狀態來確定被控對象上所加的控制輸人，從而構成狀態反饋系統。對狀態反饋系統來說，能控性和能觀測性同祥具有很重要的意義。采用狀態反饋，對系統能控性和能觀測性有無影響呢?這是本章討論的重要內容之一。同時研究一個能控的系統，引入狀態反蝕可以任意配置狀態反饋系統的極點，保證系統具有所希望的瞬態性能和穩態性能；對于系統的狀態變量無法測量但又要用它來實現反饋的情況，將介紹在系統朗觀測條件下，通過狀態重構方法。設計狀態觀測器

47、。用重構狀態實現狀態反饋。本章還將研究用狀態反饋進行系統解耦。在經典控制理論中，利用系統的輸出進行反饋，構成輸出負反饋系統，可以得到較滿意的系統性能；減小于擾對系統的影響；減小被控對象參數變化對系統性能的影響。因此，輸出反饋控制得到了廣泛的應用。在現代控制理論中，為了達到希望的控制要求，也采用反饋控制方法來構成反饋系統。這里采用的反饋控制有狀態反饋和輸出反饋兩種。一、狀態反饋線性定常系統方程為（5-1）其中狀態x、輸入u和輸出y分別為n、r、m維向量。A、B、C、D為滿足短陣運算的短陣。假定有可能設置n個傳感器，使全部狀態變量均可用于反饋。其反饋控制律為 u=V-Kx (5-2)其中 K為rn

48、型反饋增益矩陣;V為r維輸入向量。構成的狀態反饋系統如圖51所示。狀態反饋系統方程為Ax十B(VKx)(A一BK)x+BVy(CDK)x+DV (5-3)由方程(53)可知： 1)狀態反饋不增加新的狀態變量o 2)狀態反饋對輸入矩陣B和直接傳暢矩陣D無影響o 3)系統的系數矩陣由A變成(A-BK)。 4)輸出矩陣由C變成(CDK)。 系統的瞬態性能主要由系數矩陣決定。A、B陣是已知的，不能改變。K陣可以在一個很寬范圍內選擇。因此，通過適當的方法選擇反饋陣K，就可以使系統達到希望的控制目的。二、輸出反饋 在工程實踐中，輸出反饋也是常用的。對方程(51)所描述的線性定常系統，采用輸出反饋控制律為

49、u=V-Hy (5-4)其中 H為rm型常值短陣。輸出反饋系統的結構圖如圖52所示。第三節 狀態反饋系統的能控性和能觀測性【教學目的】掌握狀態反饋對原系統的影響及具體設計方法。【教學重點】 狀態反饋對原系統能觀測性及能控性的影響。【教學難點】 狀態反饋的設計【教學方法及手段】課堂教學【課外作業】5-1，5-2【學時分配】2學時【教學內容】線性定常系統方程為=Ax+Buy=Cx (5-6)其中 x、u、y維數同前。如果引人狀態反饋uVKx (5-7)其中 v、K意義同前，則狀態反饋系統方程為=(A-BK)x+Bvy=Cx (5-8) 對狀態反饋系統來說，能控性和能觀測性同樣具有很重要的意義。那么

50、，引入狀態反饋的系統能控性、能觀測性與未引入狀態反饋的情況下的系統能控性、能觀測性有什么關系呢?換句話說，狀態反饋對系統能控性、能觀測性有無影響呢?這個問題的結論是狀態反饋不改變系統的能控性，但可能改變系統能觀測性。 定理51 對于任何常值反饋陣K，狀態反饋系統能控的充分必要條件是式(5-6)的系統能控。例5-1 系統方程為y=可以驗證，該系統能控、能觀測。現在引入狀態反饋 u=V-狀態反饋系統方程為rankQc=2,該系統能控. rankQ0=rank即狀態反饋系統不能觀測，即引入狀態反饋改變了這個系統的能觀測性。 這個例子說明原系統是能觀測的，引入狀態反饋后，改變了原系統的能觀測性。也可能出現相反的情況，即原系統不能觀測，引入狀態反饋后，狀態反饋系統變成能觀測了。一般地說，當用狀態反饋配置的系統極點與原系統零點相同，即出現零、極點相消時，狀態反饋就改變了系統的能現測性。 第四節極點配置 狀態反饋系統購穩定性和瞬態性能主要是由系統極點決定的。如果引人狀態反饋將系統的極點配置在S左半平面的希望位置上，則可以得到滿意的系統特性。一個系統引入狀態反饋可以任