1、第四章第四章 振動(dòng)振動(dòng) 簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng) 阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)、共振阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)、共振 簡諧振動(dòng)的合成簡諧振動(dòng)的合成 1、掌握簡諧振動(dòng)方程，以及方程中各物理量掌握簡諧振動(dòng)方程，以及方程中各物理量 （特別是相位）的物理意義，各量之間的相互（特別是相位）的物理意義，各量之間的相互 關(guān)系。關(guān)系。 2、掌握矢量圖示法（旋轉(zhuǎn)矢量法）。掌握矢量圖示法（旋轉(zhuǎn)矢量法）。3、掌握簡諧振動(dòng)的基本特征。掌握簡諧振動(dòng)的基本特征。 能根據(jù)給定的初能根據(jù)給定的初 始條件寫出一維簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，并理始條件寫出一維簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，并理 解其物理意義。解其物理意義。 4、理解兩個(gè)同方向、同頻率簡諧振動(dòng)的合成規(guī)理解兩

2、個(gè)同方向、同頻率簡諧振動(dòng)的合成規(guī) 律，以及合振動(dòng)振幅極大和極小的條件。律，以及合振動(dòng)振幅極大和極小的條件。 5、了解阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)、共振了解阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)、共振 6、了解垂直方向簡諧振動(dòng)的合成。了解垂直方向簡諧振動(dòng)的合成。物體在一定位置附近作來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)，稱物體在一定位置附近作來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)，稱 為振動(dòng)。為振動(dòng)。振動(dòng)的傳播過程，稱為波動(dòng)。振動(dòng)的傳播過程，稱為波動(dòng)。推廣推廣 振動(dòng)：振動(dòng)：任意物理量在某一定值附近作反復(fù)任意物理量在某一定值附近作反復(fù) 變化（如電學(xué)量）。變化（如電學(xué)量）。振動(dòng)的種類：振動(dòng)的種類：機(jī)械振動(dòng)（位移）機(jī)械振動(dòng)（位移） 電磁振動(dòng)（電磁振動(dòng)（i，u) 第一節(jié)第一節(jié) 簡

3、諧振動(dòng)簡諧振動(dòng)復(fù)雜的振動(dòng)可以近似地看作是許多簡諧振復(fù)雜的振動(dòng)可以近似地看作是許多簡諧振 動(dòng)的合振動(dòng)動(dòng)的合振動(dòng)一、簡諧振動(dòng)方程一、簡諧振動(dòng)方程彈簧振子模型彈簧振子模型kSF彈簧振子所受的力稱為彈簧振子所受的力稱為彈性力彈性力(又稱恢復(fù)力又稱恢復(fù)力),滿足胡克定律滿足胡克定律:彈簧振子的質(zhì)量彈簧振子的質(zhì)量m很小，運(yùn)動(dòng)過程中不考慮摩擦，很小，運(yùn)動(dòng)過程中不考慮摩擦，是理想模型。是理想模型。kxtxmmaF22dd2.2.微分方程微分方程 022xmktxddm/k2令1.1.胡克定律胡克定律 kxF0 xtx222dd3.3.簡諧振動(dòng)方程簡諧振動(dòng)方程 1cos()xAt2sin()xAt待定常數(shù)待定常

4、數(shù)決定于系統(tǒng)本身的常量決定于系統(tǒng)本身的常量Ox 簡諧振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程簡諧振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程212tx1.1.用時(shí)間的用時(shí)間的余弦（或正弦）余弦（或正弦）函數(shù)來描述的運(yùn)動(dòng)，函數(shù)來描述的運(yùn)動(dòng)， 稱為稱為簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng)。 2. 質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)在線性回復(fù)力線性回復(fù)力的作用下圍繞平衡位置的運(yùn)動(dòng)的作用下圍繞平衡位置的運(yùn)動(dòng)3. 物體振動(dòng)時(shí)如果加速度對(duì)于平衡位置的位移成正物體振動(dòng)時(shí)如果加速度對(duì)于平衡位置的位移成正 比，而方向相反。比，而方向相反。線性回復(fù)力：線性回復(fù)力：若作用于質(zhì)點(diǎn)的力總與質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于若作用于質(zhì)點(diǎn)的力總與質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于平衡位置的位移成正比，且指向平衡位置，則此作平衡位

5、置的位移成正比，且指向平衡位置，則此作用力稱為線性回復(fù)力。用力稱為線性回復(fù)力。xmktx22ddkxF1cos()xAt 二、描述簡諧振動(dòng)的特征量二、描述簡諧振動(dòng)的特征量 1. 振幅振幅A(m)：離開平衡位置的最大距離：離開平衡位置的最大距離 2. 周期和頻率周期和頻率周期周期T （s） 振動(dòng)物體完成一次全振動(dòng)所需的時(shí)間振動(dòng)物體完成一次全振動(dòng)所需的時(shí)間 頻率頻率n (n (Hz ) 振動(dòng)物體在振動(dòng)物體在1 秒內(nèi)所完成全振動(dòng)的次數(shù)秒內(nèi)所完成全振動(dòng)的次數(shù)圓頻率圓頻率（角頻率）（角頻率）T-1 振動(dòng)在振動(dòng)在2秒內(nèi)完成全秒內(nèi)完成全 振動(dòng)的次數(shù)振動(dòng)的次數(shù)n21TmkT2 三者關(guān)系三者關(guān)系k km m2

6、22 2T T 無阻尼自由振動(dòng)完全決定于無阻尼自由振動(dòng)完全決定于振動(dòng)系統(tǒng)本身振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)的性質(zhì)固有（本征）角頻率固有（本征）角頻率3.相位和初相位相位和初相位(rad)相位：相位：t時(shí)刻運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)時(shí)刻運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)初相位：計(jì)時(shí)起點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)初相位：計(jì)時(shí)起點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)tcos()xAt相位：相位：)02)0txtxA當(dāng)（時(shí)，當(dāng)（時(shí)，)cos()2cos()sin(1tAtAtAtxdd)cos()cos()cos(222222tAtAtAtxadd三、簡諧振動(dòng)的速度和加速度三、簡諧振動(dòng)的速度和加速度)cos(tAx 1 1）速度和加速度也隨時(shí)間作周期性變化；）速度和加速度也隨時(shí)

7、間作周期性變化； 2 2）加速度和位移成正比而反向。）加速度和位移成正比而反向。 思考：簡諧振動(dòng)是一種什么樣的運(yùn)動(dòng)？思考：簡諧振動(dòng)是一種什么樣的運(yùn)動(dòng)？20)2, 1,0()12()2, 1,0(21212121212nnnn振動(dòng)振動(dòng)2超前超前1振動(dòng)振動(dòng)1超前超前2初相位用于兩同頻率振動(dòng)相位比較初相位用于兩同頻率振動(dòng)相位比較設(shè)有下列兩個(gè)簡諧振動(dòng)設(shè)有下列兩個(gè)簡諧振動(dòng))cos(111tAx)cos(222tAx任意時(shí)刻的相位差都等于初相位差與任意時(shí)刻的相位差都等于初相位差與時(shí)間無關(guān)。時(shí)間無關(guān)。同步同步反相反相tx()2vA COSt2()aACOStxACOStva 四：初始條件四：初始條件(ini

8、tial condition) (initial condition) cos0Ax A0sin22020 xA00arctanxAAx0cossin0A1)()(2020AAx0000)/()(tanxAxA)cos(tAxA 和和 決定于決定于t = 0 時(shí)的位移和速度。時(shí)的位移和速度。 令令t = 0 例例 1：有一勁度系數(shù)為有一勁度系數(shù)為32.0 N m-1 的輕彈簧的輕彈簧, 放置放置在光滑的水平面上，其一端被固定在光滑的水平面上，其一端被固定, 另一端系一質(zhì)量另一端系一質(zhì)量為為500 g的物體。將物體沿彈簧長度方向拉伸至距平的物體。將物體沿彈簧長度方向拉伸至距平衡位置衡位置10.0

9、 cm 處，然后將物體由靜止釋放處，然后將物體由靜止釋放, 物體將物體將在水平面上沿一條直線作簡諧振動(dòng)。分別寫出振動(dòng)在水平面上沿一條直線作簡諧振動(dòng)。分別寫出振動(dòng)的位移、速度和加速度與時(shí)間的關(guān)系。的位移、速度和加速度與時(shí)間的關(guān)系。 解：解：設(shè)物體沿設(shè)物體沿x 軸作簡諧振動(dòng)軸作簡諧振動(dòng) A = 10.0 cm = 0.100 m 1 -1srad008srad5000032.mk當(dāng)當(dāng)t = 0 時(shí)時(shí) ，x = A ，cos =1 ， 即即 = 0 所以所以 x = 0.100 cos 8.00 t m 速度、加速度的最大值為速度、加速度的最大值為 vm = A = 8.000.100 m s 1

10、= 0.800 m s 1 am= 2 A = (8.00)2 0.100 m s 2 = 6.40 m s 2 v = 0.800 sin 8.00 t m s 1 a = 6.40 cos 8.00 t m s 2 所以所以 例例 2：已知某簡諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示，試已知某簡諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示，試寫出該振動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系。寫出該振動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系。 解：解：由圖知由圖知 A = 4.0102 m 當(dāng)當(dāng) t =0 時(shí)，時(shí)， 0,2=00vAx由式由式 x0 = A cos v0 = A sin 解得解得 3)3(cos100 . 42tx所以所以 m 又由曲線知又由曲線知

11、當(dāng)當(dāng) t =1s 時(shí)時(shí), ,x =0, ,代入上式得代入上式得 04 01032.cos()m 2.0-2.0 x/cmt/s-4.0 4.01OP即即()2356rad srad s-1-1簡諧振動(dòng)的表達(dá)式為簡諧振動(dòng)的表達(dá)式為254.0 10cos()63xt23, 0問題問題: : 勻速率旋轉(zhuǎn)的矢量勻速率旋轉(zhuǎn)的矢量A的末端的末端在在x x軸上的投影長軸上的投影長 為多少為多少? ?是什么運(yùn)動(dòng)是什么運(yùn)動(dòng)? ?五、簡諧振動(dòng)的矢量圖示法五、簡諧振動(dòng)的矢量圖示法t = tt = 0 t + xAO投影長為投影長為: :所以所以: :勻速旋轉(zhuǎn)矢量的末端的投影點(diǎn)的勻速旋轉(zhuǎn)矢量的末端的投影點(diǎn)的 運(yùn)動(dòng)就是

12、簡諧振動(dòng)。運(yùn)動(dòng)就是簡諧振動(dòng)。cos()xAt矢量的大小表示簡諧振矢量的大小表示簡諧振動(dòng)動(dòng) 的振幅；的振幅；矢量旋轉(zhuǎn)的角速度矢量旋轉(zhuǎn)的角速度表示表示 簡諧振動(dòng)的角頻率；簡諧振動(dòng)的角頻率；矢量與矢量與x軸的夾角表示為軸的夾角表示為 簡諧振動(dòng)的相位；簡諧振動(dòng)的相位；矢量圖表示法矢量圖表示法（幾何表（幾何表示法）：用旋轉(zhuǎn)矢量在坐示法）：用旋轉(zhuǎn)矢量在坐標(biāo)軸上的投影來描述簡諧標(biāo)軸上的投影來描述簡諧振動(dòng)的方法。振動(dòng)的方法。t = tt = 0 t + xAO)cos(tAx2TA 振幅矢量振幅矢量初相為零的振動(dòng)：初相為零的振動(dòng)：初相為初相為的振動(dòng)：的振動(dòng)：六、簡諧振動(dòng)的能量六、簡諧振動(dòng)的能量)(sin212

13、12222tAmmEk)(cos2121222tkAkxEp2222121kAAmEEEpk動(dòng)能動(dòng)能勢能勢能總機(jī)械能總機(jī)械能1）動(dòng)、勢能均隨時(shí)間變化；）動(dòng)、勢能均隨時(shí)間變化；2）動(dòng)、勢能相互轉(zhuǎn)換；）動(dòng)、勢能相互轉(zhuǎn)換；3）總機(jī)械能守恒）總機(jī)械能守恒AkEpE221kAE Ao勢能曲線勢能曲線動(dòng)能曲線動(dòng)能曲線結(jié)論：（結(jié)論：（1）簡諧振動(dòng)是周期性振動(dòng)）簡諧振動(dòng)是周期性振動(dòng) （2）簡諧振動(dòng)由）簡諧振動(dòng)由A、 決定，振動(dòng)頻率由決定，振動(dòng)頻率由 系統(tǒng)本身決定，系統(tǒng)本身決定， A、決定于初始條件。決定于初始條件。思考題：思考題：簡諧運(yùn)動(dòng)的速度和加速度的表達(dá)式中都有個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)的速度和加速度的表達(dá)式中都有個(gè)負(fù)號(hào)

14、，這是否意味著速度和加速度負(fù)號(hào)，這是否意味著速度和加速度總是負(fù)值？總是負(fù)值？是否意是否意味著二者總是同方向？味著二者總是同方向？)sin(tAtxddxtAtxa2222)cos(dd)cos(tAx比較時(shí)應(yīng)化為同一余弦函數(shù)形式比較時(shí)應(yīng)化為同一余弦函數(shù)形式)cos(tAx2)cos()sin(tAtAtxdd)cos()cos(2222tAtAtxadd12345t101001：已知如圖，兩個(gè)同方向、同頻率的簡諧振動(dòng)：已知如圖，兩個(gè)同方向、同頻率的簡諧振動(dòng) x-t 曲曲 線。線。 寫出簡諧振動(dòng)方程；比較二者相位關(guān)系寫出簡諧振動(dòng)方程；比較二者相位關(guān)系xS12345T(s)10100)2t2cos

15、(10 x)23t2cos(10 xt2cos10 x2T2s4T10A221或超前？第二節(jié)第二節(jié) 阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)和共振阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)和共振一、阻尼振動(dòng)一、阻尼振動(dòng) (damped vibration)振幅隨時(shí)間減小的振動(dòng)稱為振幅隨時(shí)間減小的振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)。以物體受流體阻力作用下的振動(dòng)為例以物體受流體阻力作用下的振動(dòng)為例阻力為阻力為物體的振動(dòng)方程物體的振動(dòng)方程txvfdd0dddd22xktxtxm令令 則有則有,mmk220dddd220220 xtxtx式中式中0稱為振動(dòng)系統(tǒng)的稱為振動(dòng)系統(tǒng)的固有角頻率固有角頻率，稱為稱為阻阻尼常量尼常量。討論：討論：1. 當(dāng)當(dāng) 2 02

16、時(shí)，阻尼較小時(shí)，阻尼較小 ，上式，上式的解為的解為 )(costAxte0其中其中 220振動(dòng)曲線如圖，是一種準(zhǔn)周期性運(yùn)動(dòng)。振動(dòng)曲線如圖，是一種準(zhǔn)周期性運(yùn)動(dòng)。 周期為周期為22022T2. 當(dāng)當(dāng) 2 02 時(shí)時(shí)， 阻尼較大，即過阻阻尼較大，即過阻尼，不再是周期性的了尼，不再是周期性的了, 如圖。如圖。3. 當(dāng)當(dāng) 2 02時(shí)，臨界阻尼狀態(tài)，如圖。時(shí)，臨界阻尼狀態(tài)，如圖。t欠阻尼欠阻尼)(txt過阻尼過阻尼)(txt臨界阻尼臨界阻尼)(tx二、受迫振動(dòng)二、受迫振動(dòng) (forced vibration)在周期性外力作用下發(fā)生的振動(dòng)，稱為在周期性外力作用下發(fā)生的振動(dòng)，稱為受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)。引起受迫振動(dòng)

17、的周期性外力稱為引起受迫振動(dòng)的周期性外力稱為驅(qū)動(dòng)力驅(qū)動(dòng)力。設(shè)驅(qū)動(dòng)力為設(shè)驅(qū)動(dòng)力為 F cos t，則振動(dòng)方程，則振動(dòng)方程 22ddcosddxxmk xFttt 此式表示此式表示, 受迫振動(dòng)是由阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)是由阻尼振動(dòng) 和簡諧振動(dòng)和簡諧振動(dòng) 兩項(xiàng)疊加而成的。兩項(xiàng)疊加而成的。 )(costAte0)cos(tA或或2202dd2cosddxxxhtttFhm(1)其解其解)(cos)(costAtAxte0(2)可見，可見，穩(wěn)定狀態(tài)的受迫振動(dòng)是一個(gè)與簡諧驅(qū)動(dòng)力穩(wěn)定狀態(tài)的受迫振動(dòng)是一個(gè)與簡諧驅(qū)動(dòng)力同頻率的簡諧振動(dòng)同頻率的簡諧振動(dòng)。 將將(3)式代入式代入(1)得得thtAtAcos)sin()c

18、os()(2220由此得由此得將將cos ( t ) 和和 sin ( t ) 展開，則展開，則 thtAAtAAcossincos2sin)(+cossin2cos)(220220hAAsin2cos)(220(4)受迫振動(dòng)達(dá)到受迫振動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)時(shí))cos(tAx(3)0cos2sin)(220AA(5)由由(6)式求得式求得2222204)(2sin2222202204)(cos由式由式(6)和式和式(7)看出，受迫振動(dòng)的初相位看出，受迫振動(dòng)的初相位 和振和振幅幅A不僅與振動(dòng)系統(tǒng)自身的性質(zhì)有關(guān)，而且與驅(qū)不僅與振動(dòng)系統(tǒng)自身的性質(zhì)有關(guān)，而且與驅(qū)動(dòng)力的頻率和幅度有關(guān)。動(dòng)力的頻率和幅度

19、有關(guān)。 將上兩式代入將上兩式代入(4)式得式得2222204)(hA(7)由由(5)式求得式求得2202tanarc(6)三、共振三、共振 (resonance) 當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的角頻率接近系統(tǒng)的固有角頻率時(shí)，當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的角頻率接近系統(tǒng)的固有角頻率時(shí)，受迫振動(dòng)振幅急劇增大的現(xiàn)象受迫振動(dòng)振幅急劇增大的現(xiàn)象 ，稱為，稱為共振共振。振幅振幅達(dá)到最大值時(shí)的角頻率達(dá)到最大值時(shí)的角頻率稱為稱為共振角頻率共振角頻率。 222220()4hA (2222242242200022222422000222204242220 對(duì)對(duì)(7)式求極大值得共振角頻率為式求極大值得共振角頻率為可見，可見，系統(tǒng)的共振角頻率既與系統(tǒng)的共

20、振角頻率既與系統(tǒng)自身的性質(zhì)有關(guān)，也與阻系統(tǒng)自身的性質(zhì)有關(guān)，也與阻尼常量有關(guān)尼常量有關(guān)。 將將(8)式代入式代入(7)式得共振時(shí)振幅峰值為式得共振時(shí)振幅峰值為220r2hA220r2(8)越小，則越小，則A0越大，越大，022r002r220022hhA 第三節(jié)第三節(jié) 簡諧振動(dòng)的合成簡諧振動(dòng)的合成一、兩個(gè)同方向、同頻率簡諧振動(dòng)的合成一、兩個(gè)同方向、同頻率簡諧振動(dòng)的合成設(shè)兩個(gè)在同一直線上進(jìn)行的同頻率的簡諧振動(dòng)的表達(dá)設(shè)兩個(gè)在同一直線上進(jìn)行的同頻率的簡諧振動(dòng)的表達(dá)式分別為式分別為)cos(111tAx)cos(222tAx合振動(dòng)合振動(dòng))cos()cos(221121tAtAxxx簡諧振動(dòng)的矢量圖示法簡

21、諧振動(dòng)的矢量圖示法 )cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinarctanAAAABC)cos(tAxk21221AAA) 12(12k21AAAAAA21)(21AA 為任意值時(shí)為任意值時(shí)1）2）3）如何求合運(yùn)動(dòng)？如何求合運(yùn)動(dòng)？方法：方法：二、同方向、不同頻率的簡諧振動(dòng)的合成二、同方向、不同頻率的簡諧振動(dòng)的合成影響因素：影響因素：分振動(dòng)的分振動(dòng)的頻率、振幅、初相位頻率、振幅、初相位 1）.合振動(dòng)不是簡諧振合振動(dòng)不是簡諧振動(dòng)，但是周期振動(dòng)，主周動(dòng)，但是周期振動(dòng)，主周期期 2）. 合振動(dòng)周期是分振動(dòng)合振動(dòng)周期是分振動(dòng)周期的最小公倍數(shù)。周期的最小公倍數(shù)。整數(shù)21

22、1.2.2.考慮兩個(gè)頻率不同，但是很接近，振幅和初相位相同的兩考慮兩個(gè)頻率不同，但是很接近，振幅和初相位相同的兩個(gè)振動(dòng)的合成個(gè)振動(dòng)的合成 )cos()cos(2211tAxtAx利用三角學(xué)中的和差化積公式利用三角學(xué)中的和差化積公式 ttAttAxxx2cos2cos2)cos()cos(12122121振幅振幅角頻率角頻率余弦函數(shù)絕對(duì)值的周期等于余弦函數(shù)絕對(duì)值的周期等于 ，振幅變化的周期為，振幅變化的周期為 TttAx2cos2cos21212121221nnnT121222TT即(t22Acos2tcos12Atcos12AAAAAt )cos(21212122112212221合合AAAA

23、A振幅為正值，取絕對(duì)值振幅為正值，取絕對(duì)值CARRIERENVELOPE21212拍拍(beat) 拍頻拍頻（beat frequencybeat frequency） 單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)加強(qiáng)或減弱的單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)加強(qiáng)或減弱的次數(shù)次數(shù)兩個(gè)分振動(dòng)的頻率存在微小差異而產(chǎn)生的合振動(dòng)的振幅隨時(shí)間作周期性緩慢變化的現(xiàn)象稱為拍拍三、振動(dòng)譜三、振動(dòng)譜任一復(fù)雜的周期性振動(dòng)都可以分解為一系列簡諧振動(dòng)。任一復(fù)雜的周期性振動(dòng)都可以分解為一系列簡諧振動(dòng)。傅里葉分析傅里葉分析(Fourier analysis)：根據(jù)振動(dòng)曲線或位移時(shí)間函數(shù)關(guān)系，據(jù)振動(dòng)曲線或位移時(shí)間函數(shù)關(guān)系，求出振動(dòng)所包含的各種簡諧振動(dòng)的頻率和振幅的數(shù)學(xué)方法

24、。求出振動(dòng)所包含的各種簡諧振動(dòng)的頻率和振幅的數(shù)學(xué)方法。與原振動(dòng)頻率相同的分振動(dòng)稱為與原振動(dòng)頻率相同的分振動(dòng)稱為基頻振動(dòng)基頻振動(dòng)，其他稱，其他稱為為二次、三次諧頻振動(dòng)二次、三次諧頻振動(dòng)(或稱倍頻、泛頻或稱倍頻、泛頻) 。 tBtBtAtAAtF2sinsin2coscos)(21210傅里葉級(jí)數(shù)理論：任意周期性函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)理論：任意周期性函數(shù)都可以展開為正弦或余弦函數(shù)的級(jí)數(shù)。都可以展開為正弦或余弦函數(shù)的級(jí)數(shù)。諧振分析諧振分析（harmonic vibration analysisharmonic vibration analysis）把一個(gè)復(fù)雜的周期性振動(dòng)分解為一系列簡諧振動(dòng)的方法把一個(gè)復(fù)雜的

25、周期性振動(dòng)分解為一系列簡諧振動(dòng)的方法頻譜圖：以角頻率頻譜圖：以角頻率為橫坐標(biāo)，為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的振幅為縱坐標(biāo)做出的圖。相應(yīng)的振幅為縱坐標(biāo)做出的圖。四、兩個(gè)同頻率、互相垂直的簡諧振動(dòng)的合成四、兩個(gè)同頻率、互相垂直的簡諧振動(dòng)的合成設(shè)兩個(gè)頻率相同的簡諧振動(dòng)在相互垂直的設(shè)兩個(gè)頻率相同的簡諧振動(dòng)在相互垂直的 X X、Y Y 軸軸上進(jìn)行上進(jìn)行 )cos(11tAx)cos(22tAy消去消去t t 得合成振動(dòng)的軌跡方程得合成振動(dòng)的軌跡方程 以以cos 乘以乘以(3)式，式，cos 乘以乘以(4)式，后相減得式，后相減得 )sin(sincoscostByAx（5）)(sin)cos(222222ABxyBy

26、Ax以以sin 乘以乘以(3)式，式，sin 乘以乘以(4)式后相減得式后相減得 (5)式、式、(6)式分別平方后相加得合振動(dòng)的軌跡方程式分別平方后相加得合振動(dòng)的軌跡方程 )sin(cossinsintByAx（6）改寫為改寫為sinsincoscosttAxsinsincoscosttBy（3）（4）幾種特殊情形幾種特殊情形 （1） 0120)AyAx(221（2）120)AyAx(221)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAxxAAy12xAAy120AAxy2AyAx212222120AAxy2AyAx212222122212cos()rAAt（3）2/12122

27、2212AyAxtAxcos1)2cos(2tAy綜上所述：綜上所述： 兩個(gè)頻率相同的互相垂直的簡諧振動(dòng)兩個(gè)頻率相同的互相垂直的簡諧振動(dòng)合成后，合成后，合振動(dòng)在一直線上或者在橢圓上進(jìn)行合振動(dòng)在一直線上或者在橢圓上進(jìn)行, （直線是退化了的橢圓）當(dāng)兩個(gè)分振動(dòng)的振幅相等（直線是退化了的橢圓）當(dāng)兩個(gè)分振動(dòng)的振幅相等時(shí)，時(shí)，橢圓軌道就成為圓橢圓軌道就成為圓。4、 垂直方向、不同頻率簡諧振動(dòng)的合成垂直方向、不同頻率簡諧振動(dòng)的合成一般是復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)一般是復(fù)雜的運(yùn)動(dòng),軌道不是封閉曲軌道不是封閉曲線，即合成運(yùn)動(dòng)不是周期性的運(yùn)動(dòng)。線，即合成運(yùn)動(dòng)不是周期性的運(yùn)動(dòng)。下面就兩種情況討論下面就兩種情況討論1)、 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，

28、可視為同頻率的合成，時(shí)，可視為同頻率的合成，不過兩個(gè)振動(dòng)的相位差在緩慢地變化，所以不過兩個(gè)振動(dòng)的相位差在緩慢地變化，所以質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道將不斷地從下圖所示圖形依質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道將不斷地從下圖所示圖形依次的循環(huán)變化。次的循環(huán)變化。210120212當(dāng)當(dāng) 時(shí)是順時(shí)針轉(zhuǎn)；時(shí)是順時(shí)針轉(zhuǎn)； 時(shí)是逆時(shí)針轉(zhuǎn)。時(shí)是逆時(shí)針轉(zhuǎn)。01241243124745212232 2、如果兩個(gè)互相垂直的振動(dòng)頻率成整數(shù)比，、如果兩個(gè)互相垂直的振動(dòng)頻率成整數(shù)比，合成運(yùn)動(dòng)的軌道是封閉曲線，運(yùn)動(dòng)也具有周期。合成運(yùn)動(dòng)的軌道是封閉曲線，運(yùn)動(dòng)也具有周期。這種運(yùn)動(dòng)軌跡的圖形稱為李薩如圖形。這種運(yùn)動(dòng)軌跡的圖形稱為李薩如圖形。用李薩如圖形用李薩如圖形在無線電技術(shù)中在無線電技術(shù)中可以測量頻率：可以測量頻率：在示波器上，垂直方向與水平方向同時(shí)輸入在示波器上，垂直方向與水平方向同時(shí)輸入兩個(gè)振動(dòng)，已知其中一個(gè)頻率，則可根據(jù)所兩個(gè)振動(dòng)，已知其中一個(gè)頻率