1、會計學1圓周運動圓周運動臨界臨界(ln ji)問題問題第一頁，共30頁。非勻速非勻速圓周運動圓周運動勻速勻速圓周運動圓周運動角速度、周期、頻率不變，角速度、周期、頻率不變，線速度、向心加速度、向心力的大小不變，線速度、向心加速度、向心力的大小不變，方向時刻方向時刻(shk)改變；改變；合外力不指向合外力不指向(zh xin)圓心，與速度方圓心，與速度方向不垂直；向不垂直；合外力大小不變，方向始終合外力大小不變，方向始終(shzhng)與速度方向垂直，與速度方向垂直，且指向圓心。且指向圓心。合外力沿著半徑方向的分量提供向心力合外力沿著半徑方向的分量提供向心力，改變速度方向；，改變速度方向；沿著速

2、度方向的分量，改變速度大小沿著速度方向的分量，改變速度大小。特點：特點：性質：性質：變速運動；變速運動； 非勻變速曲線運動；非勻變速曲線運動；條件：條件：向心力就是物體作圓周運動的合外力。向心力就是物體作圓周運動的合外力。當速率增大時，合外力與速度方向的夾角為銳角當速率增大時，合外力與速度方向的夾角為銳角；反之，為鈍角。；反之，為鈍角。第1頁/共30頁第二頁，共30頁。物體做圓周運動時，題干中常常會出現物體做圓周運動時，題干中常常會出現“最大最大”“”“最小最小”“”“剛好剛好”“”“恰好恰好”等詞語，該類問題等詞語，該類問題(wnt)即為圓周運動的臨界即為圓周運動的臨界問題問題(wnt)第2

3、頁/共30頁第三頁，共30頁。一、勻速圓周運動一、勻速圓周運動(yndng)中的極中的極值問題值問題1、滑動(hudng)與靜止的臨界問題第3頁/共30頁第四頁，共30頁。如圖所示，用細繩一端系著的質量為如圖所示，用細繩一端系著的質量為M M0.6 kg0.6 kg的的物體物體A A 靜止在水平轉盤上靜止在水平轉盤上, ,細繩另一端通過轉盤中心的細繩另一端通過轉盤中心的光滑小孔光滑小孔O O吊著質量為吊著質量為m m0.3 kg0.3 kg的小球的小球B B，A A的重心到的重心到O O點的距離為點的距離為0.2 m0.2 m，若，若A A與轉盤間的最大靜摩擦力與轉盤間的最大靜摩擦力(jn (

4、jn m c l)m c l)為為FmFm2 N2 N，為使小球，為使小球B B保持靜止，求轉盤繞保持靜止，求轉盤繞中心中心O O旋轉的角速度旋轉的角速度的取值范圍的取值范圍( (取取g g10 m/s2)10 m/s2)【答案(d n)】2.9 rad/s6.5 rad/s第4頁/共30頁第五頁，共30頁。 如圖所示，勻速轉動的水平圓盤上，沿半徑方向兩如圖所示，勻速轉動的水平圓盤上，沿半徑方向兩個用細線相連的小物體個用細線相連的小物體A A、B B的質量均為的質量均為m m，它們到轉軸，它們到轉軸的距離分別為的距離分別為rA=20cmrA=20cm，rB=30cmrB=30cm。A A、B

5、B與圓盤間的最與圓盤間的最大靜摩擦力大靜摩擦力(jn m c l)(jn m c l)均為重力的均為重力的0.40.4倍，（倍，（g=10m/s2g=10m/s2）求：）求：（1 1）當細線上開始出現張力，圓盤的角速度；）當細線上開始出現張力，圓盤的角速度；（2 2）當）當A A開始滑動時，圓盤的角速度開始滑動時，圓盤的角速度第5頁/共30頁第六頁，共30頁。2、繩子(shng zi)中的臨界問題）3045CABL L例：如圖所示，兩繩子系一個質量例：如圖所示，兩繩子系一個質量(zhling)(zhling)為為m=0.1kgm=0.1kg的小球，上面繩子長的小球，上面繩子長L=2mL=2m，

6、兩繩都拉直時與，兩繩都拉直時與軸夾角分別為軸夾角分別為3030與與4545。問球的角速度滿足什么條。問球的角速度滿足什么條件，兩繩子始終張緊？件，兩繩子始終張緊？2.4rad/s 3.16rad/s第6頁/共30頁第七頁，共30頁。3、脫離(tul)與不脫離(tul)的臨界問題）37可看成質點可看成質點(zhdin)(zhdin)的質量為的質量為m m的小球隨圓錐體一起做勻速的小球隨圓錐體一起做勻速圓周運動，細線長為圓周運動，細線長為L L，求：，求：lg /（1）當）當 時繩時繩子子(shng zi)的拉力；的拉力；lg /2（2）當）當 時繩時繩子的拉力；子的拉力；第7頁/共30頁第八頁，

7、共30頁。圖3-5例：如圖例：如圖3-5所示，在電機所示，在電機(dinj)距軸距軸O為為r處固定一質量處固定一質量為為m的鐵塊電機的鐵塊電機(dinj)啟動后，鐵塊以角速度啟動后，鐵塊以角速度繞軸繞軸O勻速轉動則電機勻速轉動則電機(dinj)對地面的最大壓力和最小壓力之對地面的最大壓力和最小壓力之差為差為_.（1）若）若m在最高點時突然與電機脫離，在最高點時突然與電機脫離，它將如何運動它將如何運動?（2）當角速度）當角速度為何值時，鐵塊在最高為何值時，鐵塊在最高點與電機恰無作用力點與電機恰無作用力?（3）本題也可認為是一電動打夯機的原）本題也可認為是一電動打夯機的原理示意圖。若電機的質量為理

8、示意圖。若電機的質量為M，則，則多大多大時，電機可以時，電機可以“跳跳”起來起來(q li)?此情況此情況下，對地面的最大壓力是多少下，對地面的最大壓力是多少?第8頁/共30頁第九頁，共30頁。二、豎直平面內的圓周運動的臨界(ln ji)問題球繩模型第9頁/共30頁第十頁，共30頁。模型(mxng)1 ：繩球模型(mxng) 不可伸長的細繩長為不可伸長的細繩長為L L，拴著可看成，拴著可看成(kn (kn chn)chn)質點的質量為質點的質量為m m的小球在豎直平面內做圓周的小球在豎直平面內做圓周運動。運動。 oALvABv0試分析：試分析： 當小球在最高點當小球在最高點B的速度為的速度為v

9、0 時，繩的拉力時，繩的拉力(ll)與速度的關系？與速度的關系？第10頁/共30頁第十一頁，共30頁。v1o思考：小球過最高點的最小速思考：小球過最高點的最小速度度(sd)(sd)是多少是多少? ? 最高點：最高點：LvmmgT20gLvT0, 0v2當當v=v0v=v0，對繩子的拉力剛好為，對繩子的拉力剛好為0 0 ，小球剛好能夠通過，小球剛好能夠通過(tnggu)(tnggu)（到）最高點、剛好能做完整的圓周運動；（到）最高點、剛好能做完整的圓周運動；mgT思考：當思考：當v=v0、 vv0、vv0時分別時分別(fnbi)會發生什么現象？會發生什么現象？當當vvvvvv0 0，對繩子的有拉

10、力，小球能夠通過最高點。，對繩子的有拉力，小球能夠通過最高點。第11頁/共30頁第十二頁，共30頁。思考：要使小球做完整的圓周運動，思考：要使小球做完整的圓周運動，在最低點的速度有什么在最低點的速度有什么(shn me)要求要求？oALvABvB由機械能守恒由機械能守恒(shu hn)可的：可的：22222BAvmvmrmg當當VB取得取得(qd)最小值時最小值時，即：，即：grvBVA取得最小值即：取得最小值即：grvA5結論：要使小球做完整的圓結論：要使小球做完整的圓周運動，在最低點的速度周運動，在最低點的速度grvA5第12頁/共30頁第十三頁，共30頁。Lv20gL 例：長為例：長為L

11、 L的細繩，一端系一質量為的細繩，一端系一質量為m m的小球的小球, ,另一端固定于另一端固定于某點，當繩豎直時小球靜止，現給小球一水平初速度某點，當繩豎直時小球靜止，現給小球一水平初速度v0v0，使小球在豎直平面使小球在豎直平面(pngmin)(pngmin)內做圓周運動，并且剛好過內做圓周運動，并且剛好過最高點，則下列說法中正確的是：（最高點，則下列說法中正確的是：（ ）A.A.小球過最高點時速度為零小球過最高點時速度為零B.B.小球開始運動時繩對小球的拉力為小球開始運動時繩對小球的拉力為m mC.C.小球過最高點時繩對小的拉力小球過最高點時繩對小的拉力mgmgD.D.小球過最高點時速度大

12、小為小球過最高點時速度大小為D第13頁/共30頁第十四頁，共30頁。變型題變型題2：在傾角為：在傾角為=30的光滑斜面上用細繩拴的光滑斜面上用細繩拴住一小球，另一端固定，其細線長為住一小球，另一端固定，其細線長為0.8m，現為，現為了了(wi le)使一質量為使一質量為0.2kg的小球做圓周運動，則的小球做圓周運動，則小球在最高點的速度至少為多少？小球在最高點的速度至少為多少？第14頁/共30頁第十五頁，共30頁。在在“水流星水流星(lixng)”表演中，杯子在豎直平表演中，杯子在豎直平面做圓周運動，在最高點時，杯口朝下，但杯中面做圓周運動，在最高點時，杯口朝下，但杯中水卻不會流下來，為什么？

13、水卻不會流下來，為什么？對杯中對杯中(bi zhn)水：水：GFNrvmFmg2N時，當grv FN = 0水恰好水恰好(qiho)不流出不流出表演表演“水流星水流星” ，需要保證杯子，需要保證杯子在圓周運動最高點的線速度不得在圓周運動最高點的線速度不得小于小于gr即：即：grv 實例一：水流星實例一：水流星重力的效果重力的效果全部提供向心力全部提供向心力第15頁/共30頁第十六頁，共30頁。實例實例(shl)二：過山二：過山車車第16頁/共30頁第十七頁，共30頁。拓展拓展(tu zhn)：物體沿豎直：物體沿豎直內軌運動內軌運動 有一豎直放置有一豎直放置(fngzh)(fngzh)、內壁光滑

14、圓、內壁光滑圓環，其半徑為環，其半徑為r r，質量為，質量為m m的小球沿它的的小球沿它的內表面做圓周運動時，分析小球在最高內表面做圓周運動時，分析小球在最高點的速度應滿足什么條件？點的速度應滿足什么條件？rvmFgN2m思考：小球過最高點的最小速度思考：小球過最高點的最小速度(sd)(sd)是多少是多少? ?r, 00gvFN當當v=vv=v0 0，對軌道剛好無壓力，小球剛好能夠通過最高點；，對軌道剛好無壓力，小球剛好能夠通過最高點；當當vvvvvv0 0，對軌道有壓力，小球能夠通過最高點；，對軌道有壓力，小球能夠通過最高點；mgFN 要保證過山車在最高點不掉下來，此時的速度必須滿足：要保證

15、過山車在最高點不掉下來，此時的速度必須滿足：grv Av0第17頁/共30頁第十八頁，共30頁。規律規律(gul)總結：無總結：無支持物支持物物體在圓周運動過最高點時，輕繩對物體只能產生沿繩收縮物體在圓周運動過最高點時，輕繩對物體只能產生沿繩收縮方向向下的拉力，或軌道對物體只能產生向下的彈力；方向向下的拉力，或軌道對物體只能產生向下的彈力；若速度若速度(sd)(sd)太小物體會脫離圓軌道太小物體會脫離圓軌道無支持物模型無支持物模型不能過最高點的條件：不能過最高點的條件：VVVV臨界臨界(ln ji)(ln ji)(實際上小球尚未實際上小球尚未到達最高點時就脫離了軌道到達最高點時就脫離了軌道)

16、)使小球做完整的圓周運動，使小球做完整的圓周運動，在軌道的在軌道的最低點的速度應滿足最低點的速度應滿足：5grv 第18頁/共30頁第十九頁，共30頁。模型模型(mxng)二：球桿模型二：球桿模型(mxng)：小球在輕質桿或管狀軌道彈力作用下的圓周運小球在輕質桿或管狀軌道彈力作用下的圓周運動，過最高點時桿與繩不同，桿對球既能產生動，過最高點時桿與繩不同，桿對球既能產生拉力，也能對球產生支持力；（管狀軌道的口拉力，也能對球產生支持力；（管狀軌道的口徑略大于小球的直徑徑略大于小球的直徑)第19頁/共30頁第二十頁，共30頁。長為長為L的輕桿一端固定著一質量為的輕桿一端固定著一質量為m的小球，使的小

17、球，使小球在豎直小球在豎直(sh zh)平面內做圓周運動。平面內做圓周運動。 試分析：試分析：（1）當小球在最低點）當小球在最低點A的速的速度為度為v2時，桿的受力與速度的時，桿的受力與速度的關系關系(gun x)怎樣？怎樣？（2）當小球在最高點）當小球在最高點B的速度為的速度為v1時，桿的受力與速度的關系時，桿的受力與速度的關系(gun x)怎樣？怎樣？AB第20頁/共30頁第二十一頁，共30頁。F3mgF2v2v1o思考思考: :在最高點時，何時在最高點時，何時(h sh)(h sh)桿桿表現為拉力？何時表現為拉力？何時(h sh)(h sh)表現為表現為支持力？試求其臨界速度。支持力？試

18、求其臨界速度。ABLvmF222mg 最高點：最高點：拉力拉力(ll)支持力支持力臨界臨界(ln ji)速度：速度：L, 00gvF當當vv0，桿對球有向下的拉力。，桿對球有向下的拉力。mgF1此時最低點的速度為：此時最低點的速度為：grvA5LvmFmg233第21頁/共30頁第二十二頁，共30頁。問：當問：當v2的速度的速度(sd)等于等于0時，桿時，桿對球的支持力為多少？對球的支持力為多少？F支支=mg此時此時(c sh)最低點的速最低點的速度為：度為：grvA2結論：使小球結論：使小球(xio qi)能能做完整的圓周運動在最低做完整的圓周運動在最低點的速度點的速度grvA2第22頁/共

19、30頁第二十三頁，共30頁。拓展：物體在管型軌道拓展：物體在管型軌道(gudo)內的運動內的運動如圖，有一內壁光滑、豎直放置的管如圖，有一內壁光滑、豎直放置的管型軌道型軌道(gudo)，其半徑為，其半徑為R，管內，管內有一質量為有一質量為m的小球有做圓周運動，的小球有做圓周運動，小球的直徑剛好略小于管的內徑。小球的直徑剛好略小于管的內徑。思考：在最高點時，什么時候外管壁對小球有壓力思考：在最高點時，什么時候外管壁對小球有壓力，什么時候內管壁對小球有支持力，什么時候內管壁對小球有支持力? ?什么時候內外管什么時候內外管壁都沒有壁都沒有(mi yu)(mi yu)壓力？小球在最低點的速度壓力？小球

20、在最低點的速度v v至少多大時，才能使小球在管內做完整的圓周運動至少多大時，才能使小球在管內做完整的圓周運動？臨界速度：臨界速度：gRvF0, 0當當vv0，外壁對球有向下的壓力。，外壁對球有向下的壓力。使小球能做完整的圓周運動在最低點的速度：使小球能做完整的圓周運動在最低點的速度：grvA2第23頁/共30頁第二十四頁，共30頁。第24頁/共30頁第二十五頁，共30頁。第25頁/共30頁第二十六頁，共30頁。例題例題: :輕桿長為輕桿長為2L2L，水平轉軸裝在中點，水平轉軸裝在中點O O，兩端分別固定著小球，兩端分別固定著小球(xio qi)A(xio qi)A和和B B。A A球質量為球質

21、量為m m，B B球質量為球質量為2m2m，在豎直平面內做圓，在豎直平面內做圓周運動。周運動。當桿繞當桿繞O O轉動到某一速度時，轉動到某一速度時，A A球在最高點，如圖所示，此時球在最高點，如圖所示，此時桿桿A A點恰不受力，求此時點恰不受力，求此時O O軸的受力大小和方向；軸的受力大小和方向；保持問中的速度，當保持問中的速度，當B B球運動到最高點時，求球運動到最高點時，求O O軸的受力大軸的受力大小和方向；小和方向；在桿的轉速逐漸變化的過程中，在桿的轉速逐漸變化的過程中，能否出現能否出現O O軸不受力的情況？請計算說明。軸不受力的情況？請計算說明。22,vmgmvgLL解析：解析：A A

22、端恰好不受力，則端恰好不受力，則222,4vTmgmTmgLB B球：球：2,vT mgmTmgL桿對桿對B B球無作用力，對球無作用力，對A A球球: :4Tmg 由牛頓第三定律，由牛頓第三定律，B B球對球對O O軸的拉力軸的拉力，豎直向下。，豎直向下。2Tmg由牛頓第三定律，由牛頓第三定律，A A球對球對O O軸的拉力軸的拉力，豎直向下。，豎直向下。第26頁/共30頁第二十七頁，共30頁。3ABvvgL222vTmgmgL若若B B球在上端球在上端A A球在下端，對球在下端，對B B球：球：2vT mgmL對對A A球：球：3vgL 聯系得聯系得: :2vTmgmL若若A A球在上端，球在上端，B B球在下端，對球在下端，對A A球：球：222vTmgmL對對B B球球： 23vmgmL 聯系聯系得得顯然不成立，所以顯然不成立，所以(suy)(suy)能出現能出現O O軸不受力的情況，此時軸不受力的情況，此時在桿的轉速逐漸在桿的轉速逐漸(zhjin)變化的過程中，能否出現變化的過程中，能否出現O軸不受力的情況？請計算說明。軸不受力的情況？請計算說明。第27頁/共30頁第二十八頁，共30頁。圖3-6四