1、飛行器結(jié)構(gòu)力學(xué)基礎(chǔ)飛行器結(jié)構(gòu)力學(xué)基礎(chǔ)電子教學(xué)教案電子教學(xué)教案西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院航空結(jié)構(gòu)工程系航空結(jié)構(gòu)工程系第四章第四章 靜不定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與變形計算靜不定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與變形計算Internal Forces and Deformations ofStatically Indeterminate Structures第一講第一講靜不定結(jié)構(gòu)的概念靜不定結(jié)構(gòu)的概念力法基本原理與力法正則方程力法基本原理與力法正則方程4.1 靜不定結(jié)構(gòu)的概念靜不定結(jié)構(gòu)的概念所謂靜不定結(jié)構(gòu)是指：所謂靜不定結(jié)構(gòu)是指：具有多余約束的幾何不變體具有多余約束的幾何不變體。 或或 f 0 的幾何不變體的幾何不變體

2、。從靜不定結(jié)構(gòu)的運動學(xué)上：從靜不定結(jié)構(gòu)的運動學(xué)上：結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)結(jié)構(gòu)的自由度數(shù) N獨立的靜力平衡方程數(shù)目獨立的靜力平衡方程數(shù)目N未知力未知力的數(shù)目的數(shù)目C從靜不定結(jié)構(gòu)的從靜不定結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)上：靜力學(xué)上：所謂多余約束是指：所謂多余約束是指：去掉該約束后，不會改變原結(jié)構(gòu)去掉該約束后，不會改變原結(jié)構(gòu)的幾何不變性的幾何不變性。結(jié)構(gòu)的約束數(shù)結(jié)構(gòu)的約束數(shù) C由線性代數(shù)的知識可知：由線性代數(shù)的知識可知： 當方程的數(shù)目小于未知量的數(shù)目時，滿足這組方程當方程的數(shù)目小于未知量的數(shù)目時，滿足這組方程的未知量的解有無窮多組。的未知量的解有無窮多組。因此，對于靜不定結(jié)構(gòu)：因此，對于靜不定結(jié)構(gòu)： 在滿足靜力平衡方程的無窮

3、多組解中，只有其中一在滿足靜力平衡方程的無窮多組解中，只有其中一組解是真實的，這組解必須同時滿足變形協(xié)調(diào)方程。組解是真實的，這組解必須同時滿足變形協(xié)調(diào)方程。 換句話講，僅滿足靜力平衡方程的解，不一定是靜換句話講，僅滿足靜力平衡方程的解，不一定是靜不定結(jié)構(gòu)的真實內(nèi)力解。不定結(jié)構(gòu)的真實內(nèi)力解。通常，將多余約束通常，將多余約束(多余未知力多余未知力)的數(shù)目稱為結(jié)構(gòu)的的數(shù)目稱為結(jié)構(gòu)的靜靜不定次數(shù)或靜不定度不定次數(shù)或靜不定度。 只有滿足靜力平衡條件，同時又滿足變形協(xié)調(diào)條件只有滿足靜力平衡條件，同時又滿足變形協(xié)調(diào)條件的內(nèi)力，才是靜不定結(jié)構(gòu)的真正的內(nèi)力。的內(nèi)力，才是靜不定結(jié)構(gòu)的真正的內(nèi)力。靜定結(jié)構(gòu)與靜不定結(jié)

4、構(gòu)的對比：靜定結(jié)構(gòu)與靜不定結(jié)構(gòu)的對比：靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)靜不定結(jié)構(gòu)靜不定結(jié)構(gòu)運動學(xué)：運動學(xué)： 具有最少必需約束。具有最少必需約束。靜力學(xué)：靜力學(xué)： 靜力平衡方程數(shù)目等于靜力平衡方程數(shù)目等于未知力數(shù)目。未知力數(shù)目。內(nèi)力求解方法：內(nèi)力求解方法： 僅由靜力平衡條件即可僅由靜力平衡條件即可求出全部未知力，或滿足求出全部未知力，或滿足靜力平衡條件的內(nèi)力即為靜力平衡條件的內(nèi)力即為其真實內(nèi)力。其真實內(nèi)力。運動學(xué)：運動學(xué)： 具有多余約束。具有多余約束。靜力學(xué)：靜力學(xué)： 靜力平衡方程數(shù)目小于未知靜力平衡方程數(shù)目小于未知力數(shù)目。力數(shù)目。內(nèi)力求解方法：內(nèi)力求解方法： 靜力平衡條件靜力平衡條件 變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件

5、 物理關(guān)系式物理關(guān)系式建立補充方程平衡方程4.2 力法基本原理與力法正則方程力法基本原理與力法正則方程本節(jié)將通過一個本節(jié)將通過一個2 2次靜次靜不定結(jié)構(gòu)的例子，說不定結(jié)構(gòu)的例子，說明力法基本原理和力明力法基本原理和力法正則方程。法正則方程。4.2 力法基本原理與力法正則方程力法基本原理與力法正則方程對于具有對于具有2個多余約個多余約束的靜不定結(jié)構(gòu)。束的靜不定結(jié)構(gòu)。選取選取1處的處的2個約束為多余約束，解除個約束為多余約束，解除之，代之以約束力。之，代之以約束力。靜不定結(jié)構(gòu)靜不定結(jié)構(gòu)注注 意：意：1、解除多余、解除多余約束，不是簡約束，不是簡單地將約束去單地將約束去掉，而必須用掉，而必須用相應(yīng)的

6、約束力相應(yīng)的約束力來代替。來代替。4.2 力法基本原理與力法正則方程力法基本原理與力法正則方程對于具有對于具有2個多余約個多余約束的靜不定結(jié)構(gòu)。束的靜不定結(jié)構(gòu)。選取選取1處的處的2個約束為多余約束，解除個約束為多余約束，解除之，代之以約束力。之，代之以約束力。靜不定結(jié)構(gòu)靜不定結(jié)構(gòu)注注 意：意：2、約束力必、約束力必須是成對的出須是成對的出現(xiàn)，且大小相現(xiàn)，且大小相等、方向相反。等、方向相反。這樣的一對約這樣的一對約束力構(gòu)成一對束力構(gòu)成一對自平衡力系。自平衡力系。4.2 力法基本原理與力法正則方程力法基本原理與力法正則方程對于具有對于具有2個多余約個多余約束的靜不定結(jié)構(gòu)。束的靜不定結(jié)構(gòu)。靜不定結(jié)構(gòu)

7、靜不定結(jié)構(gòu)解除多余約束后解除多余約束后,原靜不定結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)原靜不定結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化成靜定的。化成靜定的。解除多余約束后的結(jié)構(gòu)，解除多余約束后的結(jié)構(gòu)，稱之為靜不定結(jié)構(gòu)的稱之為靜不定結(jié)構(gòu)的基本基本系統(tǒng)系統(tǒng)或或基本結(jié)構(gòu)基本結(jié)構(gòu)。基本系統(tǒng)基本系統(tǒng)或基本結(jié)構(gòu)或基本結(jié)構(gòu)將已知外力和多將已知外力和多余未知力作用在余未知力作用在基本系統(tǒng)上。基本系統(tǒng)上。PX 1X 2與原靜不定與原靜不定結(jié)構(gòu)相比較，結(jié)構(gòu)相比較，差別在哪里？差別在哪里？X1 和和X2 應(yīng)滿足應(yīng)滿足約束處的約束處的變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件由疊加原理：一線彈性體在諸外力作用下產(chǎn)生的效應(yīng)等于每個由疊加原理：一線彈性體在諸外力作用下產(chǎn)生的效應(yīng)等于每個力單獨作用下產(chǎn)生

8、的效應(yīng)之和。力單獨作用下產(chǎn)生的效應(yīng)之和。iRS狀態(tài)狀態(tài)狀態(tài)狀態(tài)狀態(tài)狀態(tài)狀態(tài)狀態(tài)iRSiPS1iXS2iXS分解為三分解為三個力狀態(tài)個力狀態(tài)的疊加的疊加外載荷在基外載荷在基本系統(tǒng)上引本系統(tǒng)上引起的內(nèi)力起的內(nèi)力未知力未知力X1 在在基本系統(tǒng)上基本系統(tǒng)上引起的內(nèi)力引起的內(nèi)力未知力未知力X2 在在基本系統(tǒng)上基本系統(tǒng)上引起的內(nèi)力引起的內(nèi)力靜不定結(jié)構(gòu)靜不定結(jié)構(gòu)在外載荷作在外載荷作用下的內(nèi)力用下的內(nèi)力由疊加原理：一線彈性體在諸外力作用下產(chǎn)生的效應(yīng)等于每個由疊加原理：一線彈性體在諸外力作用下產(chǎn)生的效應(yīng)等于每個力單獨作用下產(chǎn)生的效應(yīng)之和。力單獨作用下產(chǎn)生的效應(yīng)之和。iRS狀態(tài)狀態(tài)狀態(tài)狀態(tài)狀態(tài)狀態(tài)狀態(tài)狀態(tài)iRSi

9、PS1iXS2iXS21iXiXiPiRSSSSiPS11XSi22XSiiRS將將狀態(tài)、狀態(tài)、 狀態(tài)分別用單位狀態(tài)來表示，狀態(tài)分別用單位狀態(tài)來表示，狀態(tài)狀態(tài)狀態(tài)狀態(tài)狀態(tài)狀態(tài)iPS1iS2iS1X2X單位狀態(tài)單位狀態(tài)單位狀態(tài)單位狀態(tài)X 1 =1時，在時，在基本系統(tǒng)上基本系統(tǒng)上引起的內(nèi)力引起的內(nèi)力X 2 =1時，在時，在基本系統(tǒng)上基本系統(tǒng)上引起的內(nèi)力引起的內(nèi)力PiPS1 iS2iS狀態(tài)狀態(tài)狀態(tài)狀態(tài)狀態(tài)狀態(tài)如何求這三個狀如何求這三個狀態(tài)下的內(nèi)力和位態(tài)下的內(nèi)力和位移呢？移呢？靜定結(jié)構(gòu)的靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移內(nèi)力和位移計算方法計算方法 狀態(tài)和狀態(tài)和狀態(tài)、狀態(tài)、 狀態(tài)的內(nèi)力求解：狀態(tài)的內(nèi)力求解：靜不定結(jié)構(gòu)

10、中各元件的內(nèi)力靜不定結(jié)構(gòu)中各元件的內(nèi)力2211XSXSSSiiiPiR靜不定結(jié)構(gòu)靜不定結(jié)構(gòu)iRS當當 X1 和和 X2 為已知時，為已知時， 靜不定結(jié)靜不定結(jié)構(gòu)中各元件的內(nèi)力便可以用疊加構(gòu)中各元件的內(nèi)力便可以用疊加原理，通過下式求出：原理，通過下式求出：問題關(guān)鍵是：問題關(guān)鍵是：如何確定如何確定 X1 和和 X2 呢？呢？4.2 力法基本原理與力法正則方程力法基本原理與力法正則方程靜不定結(jié)構(gòu)靜不定結(jié)構(gòu)PX 1X 2X1 和和 X2 應(yīng)滿足應(yīng)滿足1點處的變形協(xié)點處的變形協(xié)調(diào)條件：調(diào)條件：1 = 0， 2 = 01轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為利用變形協(xié)調(diào)條件，建立關(guān)于多余未知力的變形協(xié)調(diào)方程利用變形協(xié)調(diào)條件，建立關(guān)

11、于多余未知力的變形協(xié)調(diào)方程002 P2 22 12 1 P1 12 11 外力單獨作用在外力單獨作用在基本系統(tǒng)上，在基本系統(tǒng)上，在切口切口X1和和X2方向方向的相對位移為的相對位移為1P和和2P 。X1 單獨作用在單獨作用在基本系統(tǒng)上，基本系統(tǒng)上，在切口在切口X1和和X2方向的相對位方向的相對位移為移為11和和21 。X2 單獨作用在單獨作用在基本系統(tǒng)上，基本系統(tǒng)上，在切口在切口X1和和X2方向的相對位方向的相對位移為移為12和和22 。由疊加原理和變形協(xié)調(diào)條件：由疊加原理和變形協(xié)調(diào)條件：變形協(xié)變形協(xié)調(diào)方程調(diào)方程分別求出分別求出 、 三個狀態(tài)在三個狀態(tài)在1處的位移值：處的位移值： 狀態(tài)下：狀態(tài)

12、下：在切口在切口X1和和X2方方向的相對位移為向的相對位移為1P和和2P 。狀態(tài)下：在狀態(tài)下：在切口切口X1和和X2方方向的相對位移向的相對位移為為11和和21 。狀態(tài)下：在狀態(tài)下：在切口切口X1和和X2方方向的相對位移向的相對位移為為12和和22 。002 P2 2221211 P1 212111XXXX這就是這就是2 2次靜不定結(jié)次靜不定結(jié)構(gòu)的典型方程，也稱構(gòu)的典型方程，也稱為正則方程。為正則方程。11111 X12121 X21212 X22222 X將將狀態(tài)和狀態(tài)和 狀狀態(tài)的位移，分別用單位狀態(tài)的位移，分別用單位狀態(tài)態(tài)和單位狀態(tài)和單位狀態(tài)的位移來表示。的位移來表示。002 P2 222

13、1211 P1 212111XXXX 求出多余未知力：求出多余未知力：X1 和和 X22211XSXSSSiiiPiR靜不定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力求解：靜不定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力求解：疊加疊加 狀態(tài)和單位狀態(tài)狀態(tài)和單位狀態(tài)和和 求出靜不定結(jié)構(gòu)的全部內(nèi)力求出靜不定結(jié)構(gòu)的全部內(nèi)力11、21、12、22 單位狀態(tài)影響系數(shù)單位狀態(tài)影響系數(shù)。1P、2P 載荷影響系數(shù)載荷影響系數(shù)。1P 2P 11 12 12 22 正則方程中正則方程中(位移位移)影響系數(shù)的求法：影響系數(shù)的求法：可用單位可用單位載荷法計載荷法計算獲得算獲得 關(guān)于位移影響系數(shù)的進一步說明關(guān)于位移影響系數(shù)的進一步說明 i P外載荷或外載荷或狀態(tài)狀態(tài)所求位移的位置和

14、方向所求位移的位置和方向 i j所求位移的位置和方向所求位移的位置和方向單位力單位力外載荷在第外載荷在第 i 個位移方向上引起的位移。個位移方向上引起的位移。第第 j 個單位力在第個單位力在第 i 個位移方向上引起的位移。個位移方向上引起的位移。第第2個下標表示載荷作用位置；個下標表示載荷作用位置；第第1個下標表示所求位移位置。個下標表示所求位移位置。1、 i i 02、 i j = j i ( i j ) 首先解除首先解除n個多余約束代之以個多余約束代之以n個多余未知力，需要作個多余未知力，需要作( n+1 )個狀態(tài)，即一個個狀態(tài)，即一個狀態(tài)和狀態(tài)和 n 個單位狀態(tài)個單位狀態(tài) ( i=1n

15、)。 解此正則方程，求出多余未知力解此正則方程，求出多余未知力X1、X2、Xn。ii = ij = = ji iP =一般地，一般地，對于一個對于一個 n 次靜不定結(jié)構(gòu)：次靜不定結(jié)構(gòu)： 按照其變形協(xié)調(diào)條件組成的力法正則方程為按照其變形協(xié)調(diào)條件組成的力法正則方程為 疊加疊加狀態(tài)和狀態(tài)和 n 個單位狀態(tài)個單位狀態(tài) 的內(nèi)力，求出靜不定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，求出靜不定結(jié)構(gòu)的全部內(nèi)力：的全部內(nèi)力：njjijiPiRXSSS10 0022112222212111212111nPnnnnnPnnPnnXXXXXXXXX 將靜不定問題轉(zhuǎn)化為靜定問題，以多余未知力作為基本未知將靜不定問題轉(zhuǎn)化為靜定問題，以多余未知力作為基

16、本未知量，利用變形協(xié)調(diào)條件建立補充方程，從而求解結(jié)構(gòu)內(nèi)力的方量，利用變形協(xié)調(diào)條件建立補充方程，從而求解結(jié)構(gòu)內(nèi)力的方法，稱為法，稱為力法力法( force method )。 根據(jù)結(jié)構(gòu)幾何組成分析，正確判斷多余約束數(shù)根據(jù)結(jié)構(gòu)幾何組成分析，正確判斷多余約束數(shù)靜不定次靜不定次數(shù)數(shù)。 解除多余約束，轉(zhuǎn)化為靜定的解除多余約束，轉(zhuǎn)化為靜定的基本系統(tǒng)基本系統(tǒng)。多余約束代以。多余約束代以多余多余未知力未知力基本未知力基本未知力。 分析基本系統(tǒng)在單位基本未知力和外界因素作用下的位移，分析基本系統(tǒng)在單位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立建立位移協(xié)調(diào)條件位移協(xié)調(diào)條件力法典型方程或正則方程力法典型方程或正則方程。

17、 從典型方程解得基本未知力，由從典型方程解得基本未知力，由疊加原理疊加原理獲得結(jié)構(gòu)內(nèi)力。獲得結(jié)構(gòu)內(nèi)力。靜靜不定結(jié)構(gòu)分析通過轉(zhuǎn)化為靜定結(jié)構(gòu)獲得了解決。不定結(jié)構(gòu)分析通過轉(zhuǎn)化為靜定結(jié)構(gòu)獲得了解決。力法基本原理思路小結(jié)：力法基本原理思路小結(jié)：4.3 靜不定結(jié)構(gòu)內(nèi)力計算靜不定結(jié)構(gòu)內(nèi)力計算 力法解靜不定結(jié)構(gòu)內(nèi)力的步驟：力法解靜不定結(jié)構(gòu)內(nèi)力的步驟：(1) 準確判斷系統(tǒng)的靜不定次數(shù) f ； (2) 選取并解除多余約束(即選取基本系統(tǒng))，分別求出狀態(tài)和各單位狀態(tài)內(nèi)力，并作出各自的內(nèi)力圖； (3) 利用單位載荷法求位移影響系數(shù)； (4) 建立力法正則方程，并解此方程，首先求出多余未知力； (5) 利用疊加原理求出

18、結(jié)構(gòu)真實內(nèi)力，并繪制內(nèi)力圖。(6) 對計算結(jié)果進行校核。對計算結(jié)果除需進行力的校核外，還必需進行位移的校核。解解 (1) 分析靜不定次數(shù)。結(jié)構(gòu)具有分析靜不定次數(shù)。結(jié)構(gòu)具有4個自由結(jié)點，有個自由結(jié)點，有8個自由度，個自由度，而桿子數(shù)目為而桿子數(shù)目為10，相當于，相當于10個約束。故個約束。故 f = 2。 (2) 選取基本系統(tǒng)。選取基本系統(tǒng)。 選桿選桿2-4及桿及桿3-5的軸力為多余約束力，切斷桿的軸力為多余約束力，切斷桿2-4及桿及桿3-5的靜定系統(tǒng)為基本系的靜定系統(tǒng)為基本系統(tǒng)。求出統(tǒng)。求出狀態(tài)和單位狀態(tài)狀態(tài)和單位狀態(tài)、的內(nèi)力圖。的內(nèi)力圖。 例例4-1 求解圖所示靜不定桁架的內(nèi)求解圖所示靜不定

19、桁架的內(nèi)力，已知桁架水平桿及垂直桿的截力，已知桁架水平桿及垂直桿的截面面積均為面面積均為A，斜桿的斷面面積，斜桿的斷面面積為為 ，各桿子的材料相同。，各桿子的材料相同。 2A(3) 計算位移影響系數(shù)計算位移影響系數(shù) (4) 建立力法正則方程，并解之。建立力法正則方程，并解之。121402XX12173 20222XXP13 255XP(5) 利用疊加原理求各桿內(nèi)力。各桿的內(nèi)力可按下式計算，利用疊加原理求各桿內(nèi)力。各桿的內(nèi)力可按下式計算， 1122PNNN XNX例如，桿例如，桿2-5的軸力為的軸力為 253 2124 2121055555522PPNP PX552242其它各桿的軸向力均可如上

20、法求出，其它各桿的軸向力均可如上法求出，最后繪制內(nèi)力圖。最后繪制內(nèi)力圖。例例4-2 求圖示剛架的內(nèi)力。剛架幾何形求圖示剛架的內(nèi)力。剛架幾何形狀、截面慣性矩、載荷及約束情況均如狀、截面慣性矩、載荷及約束情況均如圖示。圖示。 解解 (1) 分析剛架的靜不定次數(shù)。外部約分析剛架的靜不定次數(shù)。外部約束多余束多余2個，故個，故 f = 2。 (2) 選取基本系統(tǒng)。選取基本系統(tǒng)。 選選1點處的兩個支座點處的兩個支座反力為多余約束力，去掉反力為多余約束力，去掉1點的支座的系點的支座的系統(tǒng)為基本系統(tǒng)。求出統(tǒng)為基本系統(tǒng)。求出狀態(tài)和單位狀狀態(tài)和單位狀態(tài)態(tài)、的內(nèi)力圖。的內(nèi)力圖。 (3) 計算位移影響系數(shù)，可利用計算位移影響系數(shù)，可利用圖形互乘法圖形互乘法。33311111766aaaEJEJEJ32213aEJ3122112aEJ 3115396PPaEJ3214PPaEJ (4) 建立力法正則方程，并解之。建立力法正則方程，并解之。(5) 利用疊加原理求剛架內(nèi)力，內(nèi)力可按利用疊加原理求剛架內(nèi)力，內(nèi)力可按下