1、-1-函數函數首頁課前篇自主預習一二三知識點一、函數單調性的概念1.思考課前篇自主預習一二三(3)若把增、減函數定義中的“任意x1,x2”改為“存在x1,x2”可以嗎?提示:不可以,如圖:雖然x=2-(-1)0,y=f(2)-f(-1)0,但f(x)在-1,2上并不是單調函數.因此“任意”兩字不能忽視,更不能用“特殊”取代.為了方便也可將定義改為:如果對于屬于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1x2時,總有 ,那么就說函數f(x)在區間D上是增(減)函數.課前篇自主預習一二三2.填空一般地,設函數y=f(x)的定義域為A,且MA.(1)如果對任意x1,x2M,當x1x2

2、時,都有f(x1)f(x2),則稱y=f(x)在M上是增函數(也稱在M上單調遞增),如圖(1)所示.課前篇自主預習一二三(2)如果對任意x1,x2M,當x1f(x2),則稱y=f(x)在M上是減函數(也稱在M上單調遞減),如圖(2)所示.如果一個函數在M上是增函數或是減函數,就說這個函數在M上具有單調性(當M為區間時,稱M為函數的單調區間).課前篇自主預習一二三3.做一做已知四個函數的圖像如圖所示,其中在定義域內具有單調性的函數是() 答案:B課前篇自主預習一二三4.“函數f(x)的單調增(減)區間是D”與“函數f(x)在區間D上是增(減)函數”是否相同?提示:不相同.函數f(x)的單調增(減

3、)區間是D,這一說法意味著除D之外,函數f(x)再無其他單調增(減)區間.函數f(x)在區間D上是增(減)函數,則意味著區間D是函數f(x)的單調增(減)區間的子區間,即除區間D外,函數f(x)還可能有其他的單調增(減)區間.課前篇自主預習一二三5.做一做已知函數y=f(x)的圖像如圖所示,則函數的單調減區間為.課前篇自主預習一二三知識點二、判斷函數單調性的步驟利用定義證明函數f(x)在給定的區間M上的單調性的一般步驟:(1)任取x1,x2M,且x=x2-x10;(2)作差:y=f(x2)-f(x1);(3)變形(通常所用的方法有:因式分解、配方、分子有理化、分母有理化、通分等);(4)定號(

4、即判斷y的正負);(5)下結論(即指出函數f(x)在給定的區間M上的單調性).課前篇自主預習一二三知識點三、函數的平均變化率課堂篇探究學習探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測用定義法證明用定義法證明(判斷判斷)函數的單調性函數的單調性例1 利用單調性的定義證明函數 在(-,0)內是增函數.分析:解題的關鍵是對y=f(x2)-f(x1)合理變形,最終要變為幾個最簡單因式乘積或相除的形式,以便于判號.證明設x1,x2是(-,0)內的任意兩個值,且x10,課堂篇探究學習探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測反思感悟證明函數的單調性的步驟1.取值:設x1,x2為給定區間內任意的兩個值,且x1g(1-2t),

5、求t的取值范圍.分析:(1)先將函數解析式配方,找出對稱軸,尋找對稱軸與區間的位置關系求解;(2)充分利用函數的單調性,實現函數值與自變量不等關系的互化.課堂篇探究學習探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測解:(1)f(x)=x2+2(a-1)x+2=x+(a-1)2-(a-1)2+2,該二次函數圖像的對稱軸為x=1-a.f(x)的單調減區間為(-,1-a.f(x)在(-,4上是減函數,對稱軸x=1-a必須在直線x=4的右側或與其重合.1-a4,解得a-3.(2)g(x)在R上為增函數,且g(t)g(1-2t),課堂篇探究學習探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測反思感悟根據單調性求參數的方法1.已知

6、函數的單調性求參數范圍,要注意數形結合,畫出圖像,往往解題很方便,同時要采取逆向思維求解;2.充分利用了函數的單調性,在單調區間內,變量與函數值之間的關系,將函數值的不等關系轉化為自變量取值的不等關系,即將抽象不等式轉化為具體不等式求參數t.課堂篇探究學習探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測延伸探究延伸探究已知f(x)=-x3+ax在(0,1)內是增函數,求實數a的取值范圍.課堂篇探究學習探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測分類討論思想在函數單調性中的應用典例 討論函數f(x)= (-1x1,a0)的單調性.思路點撥:要討論函數的單調性,只需要用定義判定,由于函數中含有參數,因此要注意分類討論思想

7、的應用.課堂篇探究學習探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測解:設x1,x2是(-1,1)內的任意兩個自變量,且x10時,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),此時f(x)在(-1,1)內是減函數;當a0時,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0時,函數f(x)在(-1,1)內是減函數;當a0,選項A中,y=f(x2)-f(x1)=(3-x2)-(3-x1)=x1-x20,所以該函數在區間(-,0)內為減函數;同理可判斷選項B中和選項C中函數在區間(-,0)內為減函數,選項D中函數在區間(-,0)內為增函數.答案:D課堂篇探究學習探究一探究二探究三思維辨析當堂檢測2.下列命題正確的是

8、()A.定義在(a,b)內的函數f(x),若存在x1x2,使得f(x1)f(x2),則f(x)在(a,b)內為增函數B.定義在(a,b)內的函數f(x),若有無數多對x1,x2(a,b),使得當x1x2時有f(x1)f(x2),則f(x)在(a,b)內為增函數C.若f(x)在區間I1上為增函數,在區間I2上也為增函數,則f(x)在I1I2上為增函數D.若f(x)在區間I上為增函數,且f(x1)f(x2)(x1,x2I),則x1g(1-3t),求t的取值范圍. -30-第1 1課時函數的單調性函數的概念與性質函數的概念與性質首頁首頁一二一、增函數和減函數的定義1.(1)畫出函數f(x)=x,f(

9、x)=x2的圖象,觀察它們的圖象,圖象的升降情況如何?提示:根據列表法的三個步驟:列表描點連線得兩函數的圖象如下.函數f(x)=x的圖象由左到右是上升的;函數f(x)=x2的圖象在y軸左側是下降的,在y軸右側是上升的;函數y=-x2的圖象在y軸左側是上升的,在y軸右側是下降的.首頁一二(2)如何利用函數解析式f(x)=x2來描述隨著自變量x值的變化,函數值f(x)的變化情況?提示:在(-,0上,隨著自變量x值的增大,函數值f(x)逐漸減小;在(0,+)上,隨著自變量x值的增大,函數值f(x)逐漸增大.(3)用x與f(x)的變化來描述當x在給定區間從小到大取值時,函數值依次增大?如果是函數值依次

10、減小呢?提示:在給定區間上,x1,x2,且x1x2,則f(x1)f(x2).在給定區間上,x1,x2且x1f(x2).(4)增函數的定義中,把“當x1x2時,都有f(x1)x2時,都有f(x1)f(x2)”,這樣可以嗎?提示:可以.增函數的定義:由于當x1x2時,都有f(x1)f(x2),即都是相同的不等號“x2時,都有f(x1)f(x2)”也是相同的不等號“”,步調也一致.因此我們可以簡稱為:步調一致增函數.首頁一二2.填表 首頁一二3.做一做(1)f(x)=-2x-1在(-,+)上是.(填“增函數”或“減函數”)(2)f(x)=x2-1在區間0,+)上是.(填“增函數”或“減函數”)答案:

11、(1)減函數(2)增函數首頁一二二、函數的單調性與單調區間1.(1)“函數y=f(x)在區間D上是增函數”與“函數y=f(x)的單調遞增區間為D”一樣嗎?提示:不一樣.“函數y=f(x)的單調遞增區間為D”,說明區間D是函數y=f(x)的所有單調遞增區間;而“函數y=f(x)在區間D上是增函數”,只要函數在區間D上遞增即可,區間D是整個單調增區間的子集.(2)函數y= 的定義域是(-,0)(0,+),圖象在第一、三象限內分別是單調遞減的,能否說函數y= 的單調遞減區間是(-,0)(0,+)?提示:不能.不連續的單調區間必須分開寫,中間用“,”或“和”連接,不能用符號“”連接.首頁一二(3)寫一

12、個函數的單調區間時,是否只能寫成開區間?提示:不是.對于某一個點而言,由于它的函數值是一個確定的常數,無單調性可言,因此在寫單調區間時,可以包括端點,也可以不包括端點,但對于某些不在定義域內的區間端點,書寫時必須去掉,因此,書寫單調區間時,不妨約定“能閉則閉,需開則開”.2.填空如果函數y=f(x)在區間D上單調遞增(或單調遞減),那么就說函數y=f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性,區間D叫做y=f(x)的單調遞增(或減)區間.首頁一二3.做一做(1)若函數f(x)的定義域為(0,+),且滿足f(1)f(2)f(3),則函數f(x)在(0,+)上為()A.增函數B.減函數 C.先增后減D.

13、不能確定(2)函數y= 的單調遞減區間是()A.0,+)B.(-,0)C.(-,0)和(0,+)D.(-,0)(0,+)(3)根據下圖寫出在每一單調區間上,函數是增函數還是減函數.首頁一二(1)解析:由于函數單調性的定義突出了x1,x2的任意性,所以僅憑區間內幾個有限的函數值的關系,是不能作為判斷單調性的依據的,也就是說函數單調性定義的三個特征缺一不可.因此本題選D.答案:D(2)解析:函數y= 在(-,0)和(0,+)上單調遞減,故其單調遞減區間為(-,0)和(0,+).答案:C(3)解:函數在-1,0上是減函數,在0,2上是增函數,在2,4上是減函數,在4,5上是增函數.首頁一二4.判斷正

14、誤:(1)若函數f(x)在區間I上是減函數,且非空數集DI,則f(x)在D上也是減函數.()(2)若函數f(x)在定義域a,b上是增函數,且f(x1)f(x2),則ax10時,該函數在R上是增函數;當k0時,該函數在R上是減函數.課前篇自主預習探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練(2)二次函數y=ax2+bx+c(a0)的單調性以對稱軸x=- 為分界線.課前篇自主預習探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練延伸探究已知xR,函數f(x)=x|x-2|,試畫出y=f(x)的圖象,并結合圖象寫出函數的單調區間.由圖象可知,函數的單調增區間為(-,1,2,+);單調減區間為1,2.課前篇自主預習探究一探究二

15、探究三思維辨析隨堂演練證明證明函數的單調性函數的單調性例2求證:函數f(x)=x+ 在區間(0,1)內為減函數.分析:x1,x2(0,1),且x1f(x2)即可. 0 x1x20,x1x2-10,x1-x20,即f(x1)f(x2).課前篇自主預習探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟反思感悟 利用定義法證明或判斷函數的單調性的步驟 課前篇自主預習探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練特別提醒作差變形的常用技巧:(1)因式分解.當原函數是多項式函數時,作差后的變形通常進行因式分解.如f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).(2)通分.當原函數是分式函數時,作差后往往進行通分,然后對分子

16、進行因式分解.如本例.(3)配方.當所得的差式是含有x1,x2的二次三項式時,可以考慮配方,便于判斷符號.(4)分子有理化.當原函數是根式函數時,作差后往往考慮分子有理化.課前篇自主預習探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練延伸探究延伸探究判斷并證明本例中的函數f(x)在區間1,+)上的單調性.證明如下:x1,x21,+),且x1x2,1x1x2,x1-x20,x1x20.f(x1)-f(x2)0,即f(x1)g(1-3t),求t的取值范圍.課前篇自主預習探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練因混淆“單調區間”和“在區間上單調”兩個概念而致錯典例 若函數f(x)=x2+2(a-1)x+4的單調遞減區間

17、是(-,4,則實數a的取值集合是.錯解函數f(x)的圖象的對稱軸為直線x=1-a,由于函數在區間(-,4上單調遞減,因此1-a4,即a-3.故實數a的取值集合為a|a-3.以上解題過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?如何防范?提示:錯解中把單調區間誤認為是在區間上單調.正解:因為函數的單調遞減區間為(-,4,且函數圖象的對稱軸為直線x=1-a,所以有1-a=4,即a=-3.故實數a的取值集合為-3.答案:-3課前篇自主預習探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練糾錯糾錯心得心得 單調區間是一個局部概念,比如說函數的單調遞減區間是I,指的是函數遞減的最大范圍為區間I.而函數在某一區間上單

18、調,則是指該區間為相應單調區間的子集.所以我們在解決函數的單調性問題時,一定要仔細讀題,明確條件的含義.課前篇自主預習探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練變式訓練若函數f(x)=2x2+7(a-3)x+2在區間(-,5上單調遞減,則實數a的取值范圍是.課前篇自主預習探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練1.若函數f(x)的定義域為(0,+),且滿足f(1)f(2)f(3),則函數f(x)在(0,+)內()A.是增函數B.是減函數C.先增后減D.單調性不能確定解析:1,2,3不是任意取的值,不能作為判斷函數單調性的依據.答案:D課前篇自主預習探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練2.函數y=f(x),x-

19、4,4的圖象如圖所示,則函數y=f(x)的所有單調遞減區間為()A.-4,-2B.1,4C.-4,-2和1,4D.-4,-21,4答案:C3.若函數y=(2k+1)x+b在(-,+)上是減函數,則k的取值范圍是()解析:當2k+10,即k”“”或“=”)解析:f(x)在區間-2,2上是減函數,且-1f(2).答案:證明:x1,x2(0,+),且x1x2, 第三章函數3.1函數的概念與性質3.1.2函數的單調性第1課時單調性的定義與證明606162自主探新知預習63646566單調性 676869最值點最值7071727374合作提素養探究75定義法證明(判斷)函數的單調性767778798081求函數的單調區間82838485868788函數單調性的應用8990919