1、二二. 能帶和布里淵區(qū)能帶和布里淵區(qū)2. 低能級對應的能帶窄；高能級對應能帶較寬。低能級對應的能帶窄；高能級對應能帶較寬。 能帶帶寬主要取決于電子波函數(shù)的交疊程度。能帶帶寬主要取決于電子波函數(shù)的交疊程度。 考慮晶格周期場的作用，晶體中的內(nèi)層電子狀態(tài)考慮晶格周期場的作用，晶體中的內(nèi)層電子狀態(tài)用布洛赫函數(shù)描述，電子能量呈能帶狀分布。用布洛赫函數(shù)描述，電子能量呈能帶狀分布。3. 一個能帶在波矢空間占據(jù)一個布里淵區(qū)體積。一個能帶在波矢空間占據(jù)一個布里淵區(qū)體積。布里淵區(qū)內(nèi)：能量準連續(xù)分布布里淵區(qū)內(nèi)：能量準連續(xù)分布布里淵區(qū)邊界：能量發(fā)生突變布里淵區(qū)邊界：能量發(fā)生突變4. 每個能帶布里淵區(qū)能容納每個能帶布里

2、淵區(qū)能容納2N個電子個電子三種近似方法：三種近似方法：mkE2221. 自由電子近似：（適用于金屬晶體）自由電子近似：（適用于金屬晶體）波函數(shù)：波函數(shù)：rk iAe能量：能量：準連續(xù)準連續(xù)2. 準自由電子近似：（適用于晶體中原子的外層電子）準自由電子近似：（適用于晶體中原子的外層電子）波函數(shù)：波函數(shù)： rk ikeru布洛赫函數(shù)布洛赫函數(shù)能量：準連續(xù)的能量在布里淵區(qū)邊界突變，分裂為能帶。能量：準連續(xù)的能量在布里淵區(qū)邊界突變，分裂為能帶。3. 緊束縛近似：（適用于晶體中原子的內(nèi)層電子）緊束縛近似：（適用于晶體中原子的內(nèi)層電子）波函數(shù)：波函數(shù)： rk ikeru布洛赫函數(shù)布洛赫函數(shù)能量：一個能級列

3、變?yōu)橐粋€能帶。能量：一個能級列變?yōu)橐粋€能帶。單電子近似準自由近似和緊束縛近似），又稱為能帶論單電子近似準自由近似和緊束縛近似），又稱為能帶論5.5晶體中電子的準經(jīng)典運動晶體中電子的準經(jīng)典運動 在量子力學中晶體中布洛赫電子的運動由波在量子力學中晶體中布洛赫電子的運動由波包來描述。所謂波包由空間分布在包來描述。所謂波包由空間分布在r0附近的附近的r范圍內(nèi)，波矢取值在范圍內(nèi)，波矢取值在k0附近的附近的k范圍內(nèi)的布范圍內(nèi)的布洛赫電子態(tài)組成洛赫電子態(tài)組成,rk必須滿足不確定關系。必須滿足不確定關系。一般一般k必須小于第一布里淵區(qū)的線度，這樣必須小于第一布里淵區(qū)的線度，這樣r必須遠大于晶體原胞的線度，只能

4、在這個線必須遠大于晶體原胞的線度，只能在這個線度內(nèi)，布洛赫電子可以看作經(jīng)典粒子。度內(nèi)，布洛赫電子可以看作經(jīng)典粒子。1()dEv kdk 晶體中電子的狀態(tài)是一個布洛赫波，所以電子的速度可以用布洛赫波波包的群速度來描述。平均速度與其能量和狀態(tài)有密切的關系。平均速度與其能量和狀態(tài)有密切的關系。nknkvvdx 一維：一維： 三維：三維：1( )( )kv kE k 1( )(, , )iiEv kix y zk 其中其中xkxkxv Exkxk能量是波矢能量是波矢k的偶函數(shù)的偶函數(shù))()(kEkE在能量的極值，即能帶的底部和頂部，在能量的極值，即能帶的底部和頂部，E(k)為極值，電子為極值，電子的速

5、度為的速度為0。 是波矢是波矢k的奇函數(shù)的奇函數(shù)()( )vkv k kv變化變化kv變化變化產(chǎn)生加速度產(chǎn)生加速度d2E /dk20點對點對應速度的最大值應速度的最大值點點dtvFEdkkk0 kkkvFdtdk Ev那那么么，而而：對一維晶體施加外電場對一維晶體施加外電場電子受到電場力電子受到電場力:eFd pFd t 牛頓定律：牛頓定律：運動狀態(tài)變化的基本公式運動狀態(tài)變化的基本公式根據(jù)功能原理：根據(jù)功能原理：Fdtkd(1)(2)引入準動量引入準動量kp(3)三維：三維：kp留意：晶體中電子的準動量不同于電子的真實動量。留意：晶體中電子的準動量不同于電子的真實動量。 dtdkF)k(E1v

6、k222222dkEdFdtkddkEddkdEdtddtdv 222*dkEdm引入有效質(zhì)量：引入有效質(zhì)量：dtdvmF*討論：討論： 1.有效質(zhì)量取決于能帶結構的曲率有效質(zhì)量取決于能帶結構的曲率曲率愈小，有效質(zhì)量愈大；曲率愈小，有效質(zhì)量愈大； 曲率愈大，有效質(zhì)量愈小。曲率愈大，有效質(zhì)量愈小。 Exkxk有效質(zhì)量小有效質(zhì)量小有效質(zhì)量大有效質(zhì)量大根據(jù)牛頓運動定律進行類比：根據(jù)牛頓運動定律進行類比：dtdvmF 222即dkEdFdtdv：2. 有效質(zhì)量有正、有負有效質(zhì)量有正、有負能帶底部，能帶底部，0*, 022mdkEd能帶頂部，能帶頂部，0*, 022mdkEd*mxkxk晶體場的作用被概

7、括到有效質(zhì)量內(nèi)部，所以有效質(zhì)晶體場的作用被概括到有效質(zhì)量內(nèi)部，所以有效質(zhì)量有正、有負。量有正、有負。在布里淵區(qū)邊界處，電子交給晶格的動量多于它從在布里淵區(qū)邊界處，電子交給晶格的動量多于它從外場中獲得的能量，即由于晶格周期場的阻力，電外場中獲得的能量，即由于晶格周期場的阻力，電子的速度減小，加速度與外力反向，子的速度減小，加速度與外力反向，0m 222*dkEdm3. 引入有效質(zhì)量后，晶體場中的電子類似自由電子引入有效質(zhì)量后，晶體場中的電子類似自由電子能帶底部附近：能帶底部附近：21221*()0md Emdk 其中其中能帶頂部附近：能帶頂部附近：21221*()0Md Emdk 其中其中晶體場

8、作用被概括到有效質(zhì)量內(nèi)部。晶體場作用被概括到有效質(zhì)量內(nèi)部。4. 在外力作用下，晶體中的電子猶如一個質(zhì)量為在外力作用下，晶體中的電子猶如一個質(zhì)量為m* 的經(jīng)典質(zhì)點的經(jīng)典質(zhì)點*222MtmkEE*222mbmkEE一、能帶理論一、能帶理論雖然所有固體都包含大量的電子，但有雖然所有固體都包含大量的電子，但有的具有很好的導電性，有的卻是絕緣體。的具有很好的導電性，有的卻是絕緣體。這一基本事實曾長期得不到完滿的理論這一基本事實曾長期得不到完滿的理論解釋。在能帶理論基礎上，首次對為什解釋。在能帶理論基礎上，首次對為什么有導體、絕緣體、半導體提出了一個么有導體、絕緣體、半導體提出了一個理論上的說明，這是能帶

9、論發(fā)展初期的理論上的說明，這是能帶論發(fā)展初期的一個重大成就。也正是以此為起點，逐一個重大成就。也正是以此為起點，逐步發(fā)展了有關導體、絕緣體和半導體的步發(fā)展了有關導體、絕緣體和半導體的現(xiàn)代理論?，F(xiàn)代理論。5.6導體、絕緣體和半導體導體、絕緣體和半導體由能帶論，波矢由能帶論，波矢 取某些值時，能量曲線上有突變，取某些值時，能量曲線上有突變，形成帶隙。對于實際晶體形成帶隙。對于實際晶體(三維三維)發(fā)生能帶重疊。發(fā)生能帶重疊。k重帶重帶允許帶允許帶允許帶允許帶允許帶允許帶禁帶禁帶允許帶允許帶一種情形是能量間斷處的間隙很小，形成準連續(xù)的能一種情形是能量間斷處的間隙很小，形成準連續(xù)的能帶帶, 或發(fā)生能帶交

10、疊，導體中大多屬于這種類型?；虬l(fā)生能帶交疊，導體中大多屬于這種類型。另一種情形是能量間斷處的間隙很大，形成有帶隙的另一種情形是能量間斷處的間隙很大，形成有帶隙的能帶；絕緣體、半導體和部分導體屬于這種類型。能帶；絕緣體、半導體和部分導體屬于這種類型。二、滿帶不導電二、滿帶不導電在一個完全為電子充滿的能帶中，每個電子貢獻在一個完全為電子充滿的能帶中，每個電子貢獻電流密度電流密度 ，但，但 狀態(tài)與狀態(tài)與 狀態(tài)的電子狀態(tài)的電子電流密度電流密度 和和 互相抵消互相抵消)(kevkk)(kev)( kev凈電流為凈電流為0，不導電，不導電 1.未加外電場未加外電場2.施加外電場施加外電場k軸上各點均以完全

11、相同的速度移動，在布軸上各點均以完全相同的速度移動，在布里淵區(qū)邊界里淵區(qū)邊界 和和 處處, 從從 點移出的電子同點移出的電子同時從時從 移進來，保持整個能帶處于均勻填移進來，保持整個能帶處于均勻填滿的狀況，亦無凈電流滿的狀況，亦無凈電流 。（。（k和和-k仍然對稱仍然對稱分布）分布）AAAAk)(kEAAaa0)(kv0aak滿帶不導電滿帶不導電 3.、不滿帶導電、不滿帶導電在一個不滿帶中，電子在布里淵區(qū)中對稱分布，在一個不滿帶中，電子在布里淵區(qū)中對稱分布， 狀態(tài)與狀態(tài)與 狀態(tài)電子的電流密度互相抵消。狀態(tài)電子的電流密度互相抵消。kk凈電流為凈電流為0，不導電，不導電 未加外電場未加外電場施加外

12、電場施加外電場k軸上各點均以完全相同的速度移動，電子軸上各點均以完全相同的速度移動，電子在布里淵區(qū)中不再分布對稱，電流密度不在布里淵區(qū)中不再分布對稱，電流密度不能完全抵消。能完全抵消。凈電流不為凈電流不為0，參與導電，參與導電 不滿帶導電不滿帶導電不滿帶導電不滿帶導電 F導體能帶示意圖導體能帶示意圖實際晶體中，電子從低到高填充能帶，形成一系列實際晶體中，電子從低到高填充能帶，形成一系列的滿帶。的滿帶。 最外層價電子填充的能帶，稱為價帶。最外層價電子填充的能帶，稱為價帶。導體：價帶是不滿帶。導體：價帶是不滿帶。非導體：價帶也是滿帶。非導體：價帶也是滿帶。滿帶滿帶導帶導帶滿帶滿帶價帶價帶非導體能帶

13、示意圖非導體能帶示意圖絕緣體與半導體的區(qū)別在于價帶絕緣體與半導體的區(qū)別在于價帶和導帶之間禁帶寬度的大小。和導帶之間禁帶寬度的大小。絕緣體能帶示意圖絕緣體能帶示意圖價帶價帶導帶導帶禁帶禁帶價帶價帶導帶導帶禁帶禁帶半導體能帶示意圖半導體能帶示意圖作業(yè)：1，什么是能級狀態(tài)密度，試求解體積為V的晶體的能級狀態(tài)密度函數(shù)gE）;2,什么是費米能級？3，什么是blocth定理？簡單說明對blocth函數(shù)波的理解。4，定義能帶和能隙？簡單說明能隙是如何產(chǎn)生的。5，證明每個能帶包含的電子狀態(tài)數(shù)為2N。6，定義布里淵區(qū)并說明每個布里淵區(qū)的大小7，以二維作圖為例，畫出簡單立方的二維布里淵區(qū)分布畫到第三區(qū)）8，說明并

14、解釋體心立方晶體和面心立方晶體的第一布里淵區(qū)的結構特點。9，圖示說明什么是能帶交疊？10，推導有效質(zhì)量的表達式，說明引進有效質(zhì)量概念的意義或作用。11，應用準經(jīng)典運動的概念解釋滿帶和不滿帶在電場作用下的導電性為。復習 (二經(jīng)典物理學的困難二經(jīng)典物理學的困難 （1黑體輻射問題黑體輻射問題 （2光電效應光電效應 （3Compton散射問題散射問題 (104 cm) (104 cm)能量密度能量密度0 05 51010（1 1PlankPlank輻射定律：輻射定律：在解釋輻射場與腔壁物質(zhì)相互作用的實驗規(guī)律中，必須假在解釋輻射場與腔壁物質(zhì)相互作用的實驗規(guī)律中，必須假定腔內(nèi)電磁場和腔壁物質(zhì)之間所交換的能

15、量是斷續(xù)的、一定腔內(nèi)電磁場和腔壁物質(zhì)之間所交換的能量是斷續(xù)的、一份一份的，份一份的，h,2 h,3 hh,2 h,3 h。即必須假定，對所有頻率。即必須假定，對所有頻率相應的能量都是量子化的。相應的能量都是量子化的。19001900年出現(xiàn)的年出現(xiàn)的PlanckPlanck公式標志著量子力學的誕生。公式標志著量子力學的誕生。（2 2光電效應問題光電效應問題1897Hertz-1897Hertz-1916Millikan 1916Millikan （2 2光電效應問題光電效應問題1897Hertz-1897Hertz-1916Millikan 1916Millikan 總結出的光電實驗規(guī)律無法為經(jīng)

16、典物理所解釋：總結出的光電實驗規(guī)律無法為經(jīng)典物理所解釋：1.1.臨界頻率臨界頻率v0v02.2.電子的能量只是與光的頻率有關，與光強無關，光強只電子的能量只是與光的頻率有關，與光強無關，光強只決定電子數(shù)目的多少。決定電子數(shù)目的多少。3. 3. 光電子發(fā)射時間在光電子發(fā)射時間在10109s9s內(nèi)，與光強無關。內(nèi)，與光強無關。按照光的電磁理論，光的能量只決定于光的強度而與頻率按照光的電磁理論，光的能量只決定于光的強度而與頻率無關。無關。EinsteinEinstein用光量子的概念成功地解釋了光電效應用光量子的概念成功地解釋了光電效應的規(guī)律。的規(guī)律。 p = E/C p = E/C AhV 221

17、nk22hknnhnChnCEphE , , : 其中其中光子的動量光子的動量（3 3ComptonCompton散射問題散射問題19231923-光的粒子性的進一步證光的粒子性的進一步證實實1 1、 散射光中，除了原來散射光中，除了原來X X光的波長光的波長外，增加了一外，增加了一個新的波長為個新的波長為的的X X光，光，且且 ；2 2、波長增量、波長增量:=:= 隨散射角增大而增大。隨散射角增大而增大。這一現(xiàn)象稱為這一現(xiàn)象稱為 Compton Compton 效效應。應。但是如果把但是如果把 X-射線被電子散射的過程看成是光子與電子的射線被電子散射的過程看成是光子與電子的碰撞過程，則該效應

18、很容易得到理解。碰撞過程，則該效應很容易得到理解。自從自從19051905年年Einstein Einstein 通過通過E= hE= h公式提出光量子理公式提出光量子理論，經(jīng)過論，經(jīng)過1818年之久，年之久，de Brogliede Broglie克服積習的約束，克服積習的約束，逆過來理解這組關系，將上面這組關系從針對逆過來理解這組關系，將上面這組關系從針對 的情況推廣到的情況推廣到 的情況，提出原先是微粒的情況，提出原先是微粒的微觀粒子也具有波動性：的微觀粒子也具有波動性：m 0m 0（1 1）、）、 De Broglie De Broglie 關系關系 pkE kpE 粒子性參數(shù)粒子性參

19、數(shù)波動特性參數(shù)波動特性參數(shù)),(),(kpE De Broglie De Broglie 關系關系物質(zhì)世界的普遍規(guī)律物質(zhì)世界的普遍規(guī)律自從自從19051905年年Einstein Einstein 通過通過E= hE= h公式提出光量子理公式提出光量子理論，經(jīng)過論，經(jīng)過1818年之久，年之久，de Brogliede Broglie克服積習的約束，克服積習的約束，逆過來理解這組關系，將上面這組關系從針對逆過來理解這組關系，將上面這組關系從針對 的情況推廣到的情況推廣到 的情況，提出原先是微粒的情況，提出原先是微粒的微觀粒子也具有波動性：的微觀粒子也具有波動性：m 0m 0（1 1）、）、 De

20、 Broglie De Broglie 關系關系粒子波粒二相性的解釋：結論：衍射實驗所揭示的電子的波動性是：結論：衍射實驗所揭示的電子的波動性是： 許多電子在同一個實驗中的統(tǒng)計結果，或者是一許多電子在同一個實驗中的統(tǒng)計結果，或者是一個電子在許多次相同實驗中的統(tǒng)計結果。個電子在許多次相同實驗中的統(tǒng)計結果。 波函數(shù)正是為了描述粒子的這種行為而引進的，波函數(shù)正是為了描述粒子的這種行為而引進的，在此基礎上，在此基礎上，Born 提出了波函數(shù)意義的統(tǒng)計解釋。提出了波函數(shù)意義的統(tǒng)計解釋。|(r)|2 的意義是代表電子出現(xiàn)在的意義是代表電子出現(xiàn)在 r 點附近幾率的大小，確切的點附近幾率的大小，確切的說，說，

21、|(r)|2 x y z 表示在表示在 r 點處體積元點處體積元x y z中找到粒子中找到粒子的幾率。波函數(shù)在空間某點的強度振幅絕對值的平方和在的幾率。波函數(shù)在空間某點的強度振幅絕對值的平方和在這點找到粒子的幾率成比例。這點找到粒子的幾率成比例。據(jù)此，描寫粒子的波可以認為是幾率波，反映微觀客體運動的據(jù)此，描寫粒子的波可以認為是幾率波，反映微觀客體運動的一種統(tǒng)計規(guī)律性，波函數(shù)一種統(tǒng)計規(guī)律性，波函數(shù) (r)有時也稱為幾率幅。有時也稱為幾率幅。這就是首先由這就是首先由 Born 提出的波函數(shù)的幾率解釋統(tǒng)計解釋），提出的波函數(shù)的幾率解釋統(tǒng)計解釋），它是量子力學的基本原理。它是量子力學的基本原理。3、波

22、函數(shù)的性質(zhì)、波函數(shù)的性質(zhì)（1幾率和幾率密度幾率和幾率密度根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋，波函數(shù)有如下重要性質(zhì)：根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋，波函數(shù)有如下重要性質(zhì)：在在t 時辰，時辰，r 點，點，d=dxdydz 體積內(nèi)，找到由波函數(shù)體積內(nèi)，找到由波函數(shù)(r,t)描寫的粒子的幾率是：描寫的粒子的幾率是：dW(r,t)=C|(r,t)|2d，其中，其中，C是比例系數(shù)。是比例系數(shù)。C | (r , t)|2 d= 1 （2平方可積平方可積（3歸一化波函數(shù)歸一化波函數(shù)（4平面波歸一化平面波歸一化平面波可歸一化為平面波可歸一化為 函數(shù)函數(shù))(xxpp 1、態(tài)疊加原理、態(tài)疊加原理微觀粒子具有波動性，會產(chǎn)生衍射圖樣。而干涉和

23、微觀粒子具有波動性，會產(chǎn)生衍射圖樣。而干涉和衍射的本質(zhì)在于波的疊加性，即可相加性，兩個相衍射的本質(zhì)在于波的疊加性，即可相加性，兩個相加波的干涉的結果產(chǎn)生衍射。加波的干涉的結果產(chǎn)生衍射。因此，同光學中波的疊加原理一樣，量子力學中也因此，同光學中波的疊加原理一樣，量子力學中也存在波疊加原理。因為量子力學中的波，即波函數(shù)存在波疊加原理。因為量子力學中的波，即波函數(shù)決定體系的狀態(tài)，稱波函數(shù)為狀態(tài)波函數(shù)，所以量決定體系的狀態(tài)，稱波函數(shù)為狀態(tài)波函數(shù)，所以量子力學的波疊加原理稱為態(tài)疊加原理。子力學的波疊加原理稱為態(tài)疊加原理。一般情況下，如果一般情況下，如果1和和2 是體系的可能狀態(tài)，那么它是體系的可能狀態(tài)，

24、那么它們的線性疊加們的線性疊加= C11 + C22 也是該體系的一個可能狀態(tài)。也是該體系的一個可能狀態(tài)。其中其中C1 和和 C2 是復常數(shù)，這就是量子力學的態(tài)疊加原理。是復常數(shù)，這就是量子力學的態(tài)疊加原理。力學量算符力學量算符既然既然(x) 是歸一化波函數(shù)，相應動量表象波函數(shù)為是歸一化波函數(shù)，相應動量表象波函數(shù)為c(px) 一一 一一 對應，相互等價的描述粒子的同一狀態(tài)，那么動對應，相互等價的描述粒子的同一狀態(tài)，那么動量的平均值也應可以在坐標表象用量的平均值也應可以在坐標表象用(x)表示出來。但是表示出來。但是(x)不含不含px變量，為了能由變量，為了能由(x)來確定動量平均值，動來確定動量平均值，動量量 px必須改造成只含自變量必須改造成只含自變量 x 的形式，這種形式稱為動的形式，這種形式稱為動量量 px的算符形式，記為：的算符形式，記為：xp dxdipx xx m2pT2 微觀粒子量子狀態(tài)用波函數(shù)完全描述微觀粒子量子狀態(tài)用波函數(shù)完