1、初中數(shù)學(xué)整式乘除培優(yōu)考試要求:考試內(nèi)容A (基本要求)B (略高要求)C (較高要求)幕的運(yùn)算了解整數(shù)指數(shù)幕的意義和 基本性質(zhì)能用幕的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題整式的乘法理解整式乘法的運(yùn)算法則， 會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的整式乘法運(yùn) 算(其中的多項(xiàng)式乘法僅指 一次式相乘)會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的整式乘法與加 法的混合運(yùn)算能選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行相應(yīng) 的代數(shù)式變形平方差公式、 完全平方公式理解平方差公式、完全平方 公式，了解貝幾何背景能用平方差公式、完全平方 公式進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算能根據(jù)需要,運(yùn)用公式進(jìn)行相 應(yīng)的代數(shù)式的變形知識(shí)點(diǎn)匯總：模塊一壽的運(yùn)算需的運(yùn)算概念：求個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做幕，在/中，叫做底數(shù), n叫做

2、指數(shù).含義：水中，"為底數(shù)，為指數(shù)，即表示的個(gè)數(shù)，/表示有刃個(gè)連續(xù)相乘.例如：3'表示 3×3×3×3×3 , (一3f 表示(一3)x(-3)x(-3)x(-3)x(-3) , -3'表示 -(3×3×3×3×3)z2 < . 2 222225. . 2x2x2x2x277 777777特別注意負(fù)數(shù)及分?jǐn)?shù)的乘方，應(yīng)把底數(shù)加上括號(hào).“奇負(fù)偶正” 口訣的應(yīng)用：口訣“奇負(fù)偶正”在多處知識(shí)點(diǎn)中均提到過(guò)，它具體的應(yīng)用有如下幾點(diǎn)：多重負(fù)號(hào)的化簡(jiǎn)，這里奇偶指的是“一”號(hào)的個(gè)數(shù)，例如：一-(一3)

3、 = -3； -+(-3) = 3 有理數(shù)乘法，當(dāng)多個(gè)非零因數(shù)相乘時(shí)，這里奇偶指的是負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)，正負(fù)指結(jié)果中積的 符號(hào)，例如：(3) × (2) × (6) = 36,而(3) × (2) X (+6) = 36 有理數(shù)乘方，這里奇、偶指的是指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，指數(shù)為奇數(shù)，則嫌為負(fù)；指數(shù)為 偶數(shù)，則幕為正，例如：(一3) = 9 , (一3)、= 一27 特別地：當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，(一")”=一：而當(dāng)“為偶數(shù)時(shí)，(-a)n =an負(fù)數(shù)的奇次幕是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次幕是正數(shù)正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)，1的任何次幕都是1,任何不為O的數(shù)的O次幕都是(1) 同底數(shù)幕相

4、乘同底數(shù)的彖相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.用式子表示為：(m都是正整數(shù))(2) 策的乘方.幕的乘方的運(yùn)算性質(zhì)：幕的乘方.底數(shù)不變，指數(shù)相乘.用式子麥?zhǔn)緸? (町=曠(m9n都是正整數(shù))積的乘方.積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)：積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的無(wú)相乘用 式子表示為： (ab)naflhfl (“是正整數(shù))(4)同底數(shù)彖相除同底數(shù)的幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.用式子表示為:10(0 , In ,規(guī)定 0 = l (O);“都是正整數(shù))(0, P是正整數(shù))模塊二整式的乘法單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘：系數(shù)、同底數(shù)幕分別相乘作為積的因式，只有一個(gè)單項(xiàng)式里含有的 字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)

5、因式以下舉例說(shuō)明單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的規(guī)則如下：Ub 3a2byc2 = 3ac2,兩個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)分 別為1和3,乘積的系數(shù)是3,兩個(gè)單項(xiàng)式中關(guān)于字母的幕分別是和/,乘積中d的幕 是才,同理，乘積中b的幕是戻，另外，單項(xiàng)式“b中不含C的幕，而3il2bic2中含¢2,故乘 積中含疋單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：?jiǎn)雾?xiàng)式分別與多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)相乘，然后把所得的積相加，公式為：m(a + b + c) = ma + mb + me ,其中加為單項(xiàng)式，a+b + c為 多項(xiàng)式.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘:將一個(gè)多項(xiàng)式中的每一個(gè)單項(xiàng)式分別與另一個(gè)多項(xiàng)式中的每一個(gè)單 項(xiàng)式相乘，然后把積相加，公式為：( + n)(

6、a + b) = ma + mb + Ha + Hh模塊三整式的除法(1) 單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式系數(shù)、同底數(shù)的幕分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式中含有 的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式如：3a2b3c2 *ab = 3ab2c2 ,被除式為3a2b3c2, 除式為肪，系數(shù)分別為3和1,故商中的系數(shù)為3, 的彖分別為/和,故商中的 幕為=,同理，的幕為，另外，被除式中含Y,而除式中不含關(guān)于c的策，故 商中e的幕為c'(2) 多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，然后把所得的商相加，公式為：(" + b + c)÷m = "*"2

7、+ b*m + c*"?,其中加為單項(xiàng)式，a + h + c為多項(xiàng)式.(3) 多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式后有專(zhuān)題介紹.模塊四平方差公式(a+ h)a-b) = a2 -h2平方差公式的特點(diǎn)：即兩數(shù)和與它們差的積等于這兩數(shù)的平方差。(1) 左邊是一個(gè)二項(xiàng)式相乘，這兩項(xiàng)中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)。(2) 右邊是乘方中兩項(xiàng)的平方差(相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方)。注意：(1 )公式中的G和可以是具體的數(shù)也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。如：(d + 2)(r-2) = «2 -4 ； (x + 3y)(x-3y)=x? -9y2: (a + h + c)a + b-c) = (U + h)2

8、 -C2 ；(a3+b5)(a3-b5) = a6-bwt>(2)不能直接運(yùn)用平方差公式的，要基于轉(zhuǎn)化變形，也可能運(yùn)用公式。如：97 × 103 = ( 1OO - 3)( 1OO + 3) = 9991 ； ( + b)b + a) = (a + b)(a -b) = a2-b2.模塊五完全平方公式(a+b)2=a2 + 2ab+b2; (a-b)2 =a2-2ab + b11 即兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和加上(或減去)它們積的2倍。完全平方公式的特點(diǎn)：左邊是一個(gè)二項(xiàng)式的完全平方，右邊是一個(gè)二次三項(xiàng)式，其中有 兩項(xiàng)是公式左邊二項(xiàng)式中的毎一項(xiàng)的平方，另一項(xiàng)是左邊二項(xiàng)

9、式中二項(xiàng)乘積的2倍，可簡(jiǎn)單 概括為口訣：“首平方，尾平方，首尾之積2倍加減在中央S注意：(1)公式中的“和b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。(2) 一些本來(lái)不是二項(xiàng)式的式子的平方也可以利用完全平方公式來(lái)計(jì)算，如：(a+b + c)2 =( + Z?) +CF =(a + b)2 +2(a + b)×c + c1=a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 =UI +b2 + C2 + 2ab + 2ac + IbC立方和公式：(a+b)(a2 -Ub + h2) = US + b' J立方差公式：(ii-b)(a2 + ah + b2) = a" -

10、b' ;和的完全立方公式：(< + =a3+3a2b + 3ab2 +b3 ；差的完全立方公式：(a - b)' =/ -3b + 3ub - c'例題精講：板塊一：幕的運(yùn)算【例1】已知“ =5 b = -. “為正整數(shù)，你能求出a2n+2b2nb2的值嗎？【解析】幕運(yùn)算的綜合應(yīng)用【答案】a22b2nb2(ab22"2當(dāng) a11b2nb2(ab)229原式=5×【例2】若(9x2)3 =4,求P的值【解析】略【答案 1 (9)38 =(3x)2 J-(I)8 =1()2 ()2=36/. X3 = ±6【例3】已知b互為相反數(shù)Od互為

11、倒數(shù)，兀的絕對(duì)值等于2, 試求：X2 - (a + h + Cd)X + (U + b)2' + (-)20°3 的值.【解析】由題意可知a + b = O 9 Cd = 1 , x = ±2x2-(a + b + Cd)X + ( + b)200i + (-cd)20°3 = (±2) 一(O + I)x(±2) + O2003 + (-)20ai當(dāng) X = 2 吋，A-2-(a + b + Cd)X + (a + b)2,xB + (-)20°3 = 1當(dāng) x = -2t, X2 一(a + h + Cd)X + (U +

12、 b)2' + (-<)2 = 5【答案】見(jiàn)解析【例4】已知:“ =2002 + 2001× 2002 + 2001× 2000' + + 2001 x 2OO22(XX) + 2001× 20022, b = 20022試比較與的大小【解析】變形時(shí)，注意從簡(jiǎn)單情況入手找規(guī)律.【答案】“ = /?例5 你能比較兩個(gè)數(shù)200829和2009z的大小嗎？為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們先寫(xiě)岀它的一般形式，即比較嚴(yán) 與5 + 1)"的大小("是 自然數(shù))，然后，我們分析n = 2, h = 2, h = 3,中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)歸納，猜想得 出

13、結(jié)論通過(guò)計(jì)算，比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大小(在空格中填寫(xiě)“ > ”、“ =J 號(hào)) l2_21； 2'_32；3'_43；4'_54：5&_65從帝)題的結(jié)果麗歸納，而猜想出嚴(yán)誦5 + 1)”的齊、關(guān)系是根據(jù)上而歸納猜想得到的一般結(jié)論，試比較下列兩個(gè)數(shù)的大小2008'9 2009咖【解析】從簡(jiǎn)單情況找規(guī)律.【答案(1XD12<2i;23<32;34>43;45>54;56>65(2) n+l<(n + l)n(n = l9 2), n"+, >(n + l) (n3); (3)282009 >

14、2OO92008.【鞏固】符號(hào)川表示正整數(shù)從1到刃的連乘積，讀作卄的階乘.例如5! = lx2x3x4x5試比 較3“與(n + l)!的大小(n是正整數(shù))【解析】當(dāng) H = I 時(shí)，3m =3, (n + l)!=l×2 = 2當(dāng) n = 2Ht, 3 =9 , (n + l)!=l×2×3 = 6當(dāng)農(nóng)=3時(shí).3=27, (n + l)! = l×2×3×4 = 24當(dāng) =43t, 了=81, (h + 1)! = 1×2×3×4×5 = 120當(dāng) /7 = 5 Ht, 3“ =243, (h

15、 + 1)! = 6! = 720當(dāng) n = l, 2, 3 時(shí)，3>( + 1)!,當(dāng) n>3Bt3fl <(w + l)l.【答案】見(jiàn)解析【鞏固】比較/與(為正數(shù)，"為正整數(shù))的大小.【解析】略【答案】方法1T“>0, 為正整數(shù)，6>0,T,+2=-, 分三種情況：當(dāng) a>i 則 / > 1, Ir>Cr :當(dāng) a = 9 則 u2=l, a2 =a當(dāng) OVdVl,則 a2 < 9 則 ar2 <an 方法 2 V a>09 ”為正整數(shù)，>0, T 一 = tr,Un分三種請(qǐng)況：當(dāng) a>lf SU2 &

16、gt;1, an2>an;當(dāng) U = If 則 a2 = , +2= :當(dāng) 0 Vi, RU2 <1,2 < an 【例6】 計(jì)算：2-22 -23 -24 -25 -26 -27 一28 -2® +2,° =【解析】可直接計(jì)算求出結(jié)果，也可通過(guò)觀察式子的特點(diǎn)，注意到2H)詢(xún)面為“ + ”號(hào)，提 取公因式，再進(jìn)行計(jì)算.原式= 2l° -29 -28 -27 -26 -25 -24 -23 -22 +2= 29(2-1)-28 -27 -26 -25 -24 -23 -2z+2 = 22(2-l) + 2 = 6教師不防在此回憶鞏固下面兩個(gè)典型題目

17、的計(jì)算：廠 111IIIII1 IlIll2丿 刁+歹+尸+ 莎 +亍=廳+尹+歹+時(shí) +歹+歹一亍=1一喬【答案】 20+2i+22 + 23 + 24+2=20+20+2i+22+23+24 + .+2-20=2,HBl-I 見(jiàn)解析【例7】 已知：an=2> am=3, ak=4,則a?"" 2k的值為【解析】利用同底數(shù)彖的乘法和除法法則的逆運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算.【答案】當(dāng) an=2, am=3. ak=4 l,a2n+m'2k=a2nam÷a2k= (an) 2am÷ (ak) 2=4×3÷16=44【例8】比較3555,

18、 4444, 5333的大小關(guān)系，用大于號(hào)連接為.【解析】由于3個(gè)麻的底數(shù)與指數(shù)都不相同，觀察發(fā)現(xiàn)，它們的指數(shù)有最大公約數(shù)111,所 以逆用幕的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，可將3個(gè)幕都轉(zhuǎn)化為指數(shù)是Ill的幕的形式，然后只 需比較它們的底數(shù)即可.【答案V3555=35XlII= (35) 111=243111,4444=44Xlll= (44) 111=256111,5333=53x1II=(53)叫125】11,又 V256>243>125,256111>243111>125111,即 4444>3555>5b3.【鞏固】比較2100與375的大小2100 375.【解

19、析】把兩個(gè)數(shù)化成指數(shù)相同底數(shù)不同的數(shù)，通過(guò)比較底數(shù)比較大小.【答案V21= (24) 25=162 375= (33) 25=2725,且 1625 < 2725,2100<375 【例9】比較3555, 4444, 5333的大小關(guān)系，用大于號(hào)連接為.【解析】由于3個(gè)纂的底數(shù)與指數(shù)都不相同，觀察發(fā)現(xiàn)，它們的指數(shù)有最大公約數(shù)111,所 以逆用嫌的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，可將3個(gè)幕都轉(zhuǎn)化為指數(shù)是Ill的幕的形式，然后只 需比較它們的底數(shù)即可.【答案】護(hù)S=35×111=(35)111=243111,4444=44xl Il= (44) 111=256111,5333=53XllI=

20、(53)叫125】1】,又 V256>243>125,256111>243111>125111,即 4444>3555>5b3.【鞏固】比較2100與375的大小2100 375.【解析】把兩個(gè)數(shù)化成指數(shù)相同底數(shù)不同的數(shù)，通過(guò)比較底數(shù)比較大小.【答案】2wo= (24) 25=162s, 375= (33) 25=272 且 1625<2725,2100<375 【例10】比較下列各題中幕的大小.比較大小：U = -OA29 = -4巴2(-丄嚴(yán)，(I = C丄)°44LL知“ =81" , b = 2741, c = 961

21、 »比較d, b , C的大小關(guān)系.(3) 比較2匕344 , 53 6"這4個(gè)數(shù)的大小關(guān)系(4) 15,6與3屮的大小關(guān)系是1嚴(yán)33° (填“ >”、“ < ”或).(5) 已知 =62,+72cm, 7V = 65+72,比較 M、N 的大小關(guān)系.已知P =畚,Q =器,比較P、0的大小關(guān)系.3> + a2007 +1已知A = 討，B = =，試比較A與的大小對(duì)于“>b>c>o,加>心0(八是正整數(shù))，比較汽r, /b, “VH的大小 關(guān)系.【解析】本題介紹了幕的大小比較常用的8個(gè)方法.(1 )</ = 0.1

22、6 , b = = 0.0625 , C = I6, d = 1 . a <b<d <c .直接計(jì)算.(2)w = (34)3,=3,24 , h = (33)4,=3,23 t c = (32)6,=3,22 ,所以a>b>c.比較指數(shù). 255=(25),=32h, 344 =(34),=81,1, 533 =(53)u =125n, 622 = (62)n =36", 32u<36"<81,<12511, 255 <622 <344 <533 .比較底數(shù).(4)15,6<16l6=2 33l3 &

23、gt;32n = 265 >2,所以 1516<33n.放縮.因?yàn)?M-N= 6如 + 73-(6, + 721 )= 62(XH + 725 - 62B 一 72,q9° Q9 X119 q9°TF=L T?= L 所以P=Q-作商. ->0, B = I>0.3" +19“ +16/ + 1 3a + + l)(9 + l) 9 + 10d + l=62o(1-62) + 72(72-1)=48x72(IO,-35×6, >O , 所以M>N.作差.因?yàn)檑腆肐=空Q 理 99°9" 119(7H

24、殳326=o,則 A = tA而_ _ 亠 J ' ' 1 4_、13l TfB3t + 1 9t + l (3" + l)29+6< + l 9+6t + '(8)因?yàn)?a>b>c>0 9 m>/?>0 (In , m + n-p = 0 為正整數(shù))， 故可取 “ =3, Z? = 2 , c = l, tn = 3 , n = 2 ,則 ,7=33×22=1O8 ,h,c,n=22×i=4 , Cvn=I2×33 = 27 . 所 以O(shè)mbn > cnam >bncm 【答案】見(jiàn)

25、解析板塊二：整式的乘除【例 11 】計(jì)算(2x+l)(3x-2)×(6-4)(4x+2).【解析】原式=(2x+1)(4 + 2) (6-4)(3 2)=(2x + l)2(2% + !) 2(3X 2)*(3x一2)=1在乘除混合運(yùn)算中，巧用結(jié)合律，有時(shí)可簡(jiǎn)化運(yùn)算.實(shí)際上，我們利用除法是乘法的逆運(yùn)算，除以一個(gè)整式，相當(dāng)于乘以該整式的倒數(shù) 通過(guò)約分，可更容易地解決問(wèn)題其解如下：原式= (2x + D×-J-×(6x-4)×-! 3x-24x + 2(2x + 1).(6-4) I(3x-2)(4x + 2)【答案】見(jiàn)解析 【鞏固】計(jì)算：（3Ay）2（才2

26、 一2）_（4牙2y2）2壬字+92/【解析】原式=9y2（x2-y2）-16x4/ ÷8y2 +9x2/ =9x4y2 -9x2y4 -2x4y2 +9 =7x4y2【答案】見(jiàn)解析【例12】已知a=v5 - 1,貝J 2a3+7a22a - 12的值等于 【解析】將a = y5 一1轉(zhuǎn)化為(a+l) 2=5,再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化a2+2a=4將2a3 + Ja2 一 2“ 一 12轉(zhuǎn)化為2/ + Aa2 + Ia + 3/ 一牝一 12,對(duì)前三項(xiàng)提取公因 式2紙 運(yùn)用完全平方公式變?yōu)?a(a + )2+3a2-4a-n此時(shí)將(a+l) 2=5代入上式，變?yōu)?+6d-12,再對(duì)祈兩項(xiàng)提取公因

27、數(shù)2,變 為 3(/+ 2d) 12此時(shí)將a2 + 2a = 4代入上式.最終問(wèn)題得以解決.【答案】解：由已知得(a+l) 2=5,所以a2+2a=4則原式=2a3÷4a2+2a+3a2 - 4a - 12=2a (a2+2a+l) +3a' - 4a - 12=2a (a+l) '+3a' - 4a - 12=2a×5+3a2 - 4a - 12=3a2÷6a - 12=3 (a2+2a) - 12=3×4 - 12=O故答案0【例 13】先化簡(jiǎn)英中 x=-l> y=l,則-2 (3x2 - xy) ÷( - 6

28、x2+3xy - 1) =【解析】此題多項(xiàng)式中含有括號(hào)，則先進(jìn)行去括號(hào)，然后合并同類(lèi)項(xiàng)得到最簡(jiǎn)式，最后將X, y的值代入最簡(jiǎn)式求多項(xiàng)式的值.答案】解：原式=-(6x' - 2xy) + ( - 2x"÷xy - J)=-6x'+2Xy - 2x+xy -扌=-8x+3Xy -扌當(dāng)X=-L y=l吋,原式=-S - 3 -寺=-11吉【例14】先化簡(jiǎn)，再求值：(1) 若 a=2, b=-2, (2a+2b2a) - 2 (a2b- 1) +3ab2+2=:(2) 已知：A - 2B=7a2 - 7ab> 且 B= - 4a2+6ab+7,A=；若 a+l

29、+ (b-2) 2=0,則 A=(3) 已知多項(xiàng)式(2mx2-2+3x+l) - (5x2y2+3x)化簡(jiǎn)后不含Q項(xiàng).則多項(xiàng)式 2m3 - 3m3 - (4m - 5) +n=.【解析】(1) (2)關(guān)饞是化簡(jiǎn)，然后把給定的值代入求值.(3)先化簡(jiǎn)，再根據(jù)不含F(xiàn)項(xiàng)，即疋項(xiàng)的系數(shù)為0,得關(guān)于m的方程.求解再 代入多項(xiàng)式2m3 -3m3 -(4m-5) + m化簡(jiǎn)求值.【答案】解：(1)原=2a+2b2a - 2a2b - 2+3ab2+2=2a2b+2b2a - 2a+2 - 3ab2 - 2=-ab2 當(dāng) a=2, b= - 2 時(shí),原式=-2× ( - 2 ) 2= - 8(2)由

30、題意知，A= (7a2-7ab) +2B=(7a2- 7ab) +2 ( - 4a2+6ab+7)=7a2 - 7ab - 8a2+12ab+14=-a2+5ab+14Va+l+ (b-2) 2=0,'a+l=0, b - 2=0,即 a= - L b=2當(dāng) a= - L b=2 時(shí)，原式=-I- 10+14=3.(3 ) (2mx2 - x2+3x+1 ) - (5x2 - 4y2+3)=2mx2 - x2+3x+1 - 5x2+4y2 - 3x=(2m - 6) x2+4y2+l不含X2項(xiàng). 2m - 6=0 > 解得 m=3 '2m'3m' - (4

31、m -5) +m=2mj - 3n? - 4m+5÷m=2m' - 3m'+4m - 5 -In=-m'+3m - 5當(dāng)m=3時(shí)原式=- 27+9 - 5=- 23 【例 15】已知 2x+y=7, x2+y2=5t 則(4x+2y) 2 - 3x2 - y2+2 (1 - y2)的值為【解析】把(4.r + 2y)2 一3x2 一y2 + 2(1-/)化簡(jiǎn)為2(2 + y)f -3x2-y2+2-2y2,合 并同類(lèi)項(xiàng)得4(2x + y)2-3(x2 + y2) + 2, V2x+y=7, x2+y2=5,代入可求值.【答案】解：原式=2 (2x+y) J2

32、- 3x2 - y2+2 - 2y2=4 (2x+y ) 2 - 3 (x2+y2 ) +2 V2x+y=7, x2+y2=5原式=183.【例 16】若 Y=箸，則壬(9y-3) +33 (9y-3) =.【解析】把原式去括號(hào)，合并同類(lèi)項(xiàng)，再代入求值.【答案】解：解法一：I (9y-3) +33 (9y- 3) =3y - l+297y - 99=3OOy - 100,7Q當(dāng) 尸塔孑時(shí)，原式=2009 - 100=1909解法二：I (9y-3) +33 (9y- 3)=(9y-3)(扣3)=(9y-3) X晉=30Oy- 100 (以下同法一)【例 17】計(jì)算:(1)(x5-1)÷

33、;(-1);(2)(3x4-5+2 + 2)÷(x2+3).【解析】用豎式除法a2+x÷1X-I)A-3+02÷0-1-3-X2 + Ox兀一1A-I0所以，商式為x2+x+l,余式為0.3F-5x-8(2) X2 + 3)3疋一5丘+十+0.丫 + 23疋 +9F5x* - 8a* ÷ OX5x3 1SX-8a2 + 15 + 2-8十-2415x+26所以，商式為32-5x-8,余式為15x+26說(shuō)明：多項(xiàng)式的除法總可以用豎式除法來(lái)計(jì)算計(jì)算時(shí)注意降慕排列，缺項(xiàng)補(bǔ)0(或空位)，同次項(xiàng)對(duì)齊等等對(duì)多項(xiàng)式除法，我們有帶余除法，即：被除式=除式X商式+余式，其

34、中余式的最 1鬲次數(shù)低于除式的最爲(wèi)次數(shù)當(dāng)余式為O吋，我們也稱(chēng)除式整除被除式，用“除式I 被除式"表示如，我們可記(A-I)I(X3-I):當(dāng)余式不為O時(shí)，被除式不能整 除被除式：當(dāng)余式為常數(shù)時(shí)，我們也稱(chēng)余式為余數(shù).顯然，當(dāng)除式為一次多項(xiàng)式時(shí)， 余式必為常數(shù)后有專(zhuān)題講解！【答案】見(jiàn)解析板塊三：乘法公式【例18】若×2+kxy+49y2是一個(gè)完全平方式，則k=.【解析】這里首末兩項(xiàng)是X和7y這兩個(gè)數(shù)的平方，那么中間一項(xiàng)為加上或減去X和7y枳的 2倍.【答案】2+kxy+49y2是一個(gè)完全平方式，±2×x×7y=kxy,. k=±14 【例

35、19】已知m2+2km+16是完全平方式，則k=-【解析】這里首末兩項(xiàng)是m和4這兩個(gè)數(shù)的平方.那么中間一項(xiàng)為加上或減去m和4積的 2倍.【答案】.m2+2km+16是完全平方式，2kn=±8m,解得k=±4.【例20】用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：212 - 4002×2000+20002=【解析】觀察可得原式可整理得：200P-2×2001×2000-20002r 2001和2000兩數(shù)的平方和 減去他們它們乘積的2倍，符合完全平方公式結(jié)構(gòu)特紅，因此可應(yīng)用完全平方公式 進(jìn)行計(jì)算.【答案】20012 - 2×2001×2000+20002

36、,=(2001 - 2000) 2,=I2=I.【例21】a2x2 - 4x+b2是一個(gè)完全平方式，則ab=【解析】這里首末兩項(xiàng)是ax和b這兩個(gè)數(shù)的平方，那么中間一項(xiàng)為加上或減去ax和b積的 2 倍，故 2ab=±4, ab=±2 【答案】中間一項(xiàng)為加上或減去ax和b積的2倍，故 2ab=±4,ab=±2故填±2.【例22】用乘法公式計(jì)算：(1) 59.8×60.2=: (2) 1982=【解析】(1) 59.8與60.2都與60差Oz 所以可變形為(600.2) (60+0.2)后利用平方 差公式解題；(2)中可變形為(200 -

37、2) 2后利用完全平方公式計(jì)算.【答案】(1)原式=(60 - 0.2) (60+0.2)=60 0.22=3599.96(2)原式=(200 - 2) 2=2002 - 2×200×2+22=39204【例23】1232122×124=【解析】觀察可得122=123 - 1, 124=123+1,代入原式后，配成平方差公式，應(yīng)用該公式解 題可得答案.【答案】原式=1232 - (123 - 1) × (123+1) =1232 - (1232 - 1) =1.【例24】P二=()612-3923AX 117Cx 11B、D、5_H2H【解析】先根據(jù)平方

38、差公式分別對(duì)分子、分母進(jìn)行因式分解，然后計(jì)算即可.【答案】53三竺612 -392(53 +47)(53 47)(61 + 39)(61 - 39) 100X6100X22故選A.【例25】推導(dǎo)(a + b)2+(b + c)2+(c + a)2的展開(kāi)式，并總結(jié)公式.【解析】(d + by + (b + c)2 +(c + a)2 = 2(a2 + b2 + c2 + Ub + he + Ca)或 *(“ + b)2 +(b + c)2 +(c + a)2 = 62 +h2 +c2 + Clb + be + Ca 幫助學(xué)生認(rèn)淸每一項(xiàng)是由哪一部分產(chǎn)生的！【答案】見(jiàn)解析【鞏固】根據(jù)例題結(jié)論請(qǐng)直接寫(xiě)

39、岀下而式子的答案()(a + b)2 + (h - c)2 +(c + a)2(2) (a + b)2 +(b-c)' +(c-d)'【解析】(I)(U+ b)2 +(b-c)2 +(c + a)2 = 2(Cr +b2 +c2 +ab-bc + ca)(2) (a + b)2 + (b Cy + (c - a)2 = 2(a2 +b2 +c2 + Ub 一 be Ca)【答案】見(jiàn)解析鞏固】 填空：(1)2 +b2 + c2 -ab-be-ca =:(2) Cr +b2 + c2 + Uh + be Ca =；(3) a2 +h2 + c2 - Uh + be _ Ca =【解

40、析(1)1 (-b)2 +(b-c)? + (c-“)2: * (" + b)2 +(b + c)2 +c-a)2 J : (3)1(" 一 b)2 +(b + c)2 +(c-a)2【答案】見(jiàn)解析【例26】推導(dǎo)(a + b + c)2 > (a + h + c + d)2 的公式，比較(a + b)2 X (a + h + c)2 X (a + b + c + d)2 的公式，并探索規(guī)律.【解析】(a + b)2=a2+b2+2ab(a+ h + c)2 = u2 +b2 + c2 + 2ab + 2hc + 2ca(a + b + c + d)2 = (U + b

41、)2 + 2(a + b)(c + d) + (c + J)2=U2 + Iy +c2 +d2 + 2ab + 2cc + 2cd + Tbc + Uxl + 2ccl觀察上述三個(gè)公式，可發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：一、項(xiàng)數(shù)：設(shè)字母(或者說(shuō)元)的個(gè)數(shù)為“，則公式的展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)為 丄。丄丄nn+1)2二、次數(shù)：每個(gè)公式的展開(kāi)式中的每一項(xiàng)的次數(shù)均為2：三、系數(shù)：每個(gè)公式中每個(gè)字母的二次項(xiàng)的系數(shù)為1,其余均為2.根據(jù)上述規(guī)律，可寫(xiě)出任意個(gè)字母的完全平方公式.【答案】見(jiàn)解析【鞏固】利用例題得出的規(guī)律推導(dǎo)(a + b + c-d) (么+ 尸、(a + h + c + d + e)2的展 開(kāi)式.【解析】令(“ + b

42、 + f + d = Cr + h2 +c2 + d2 + 2ah + 2ac + 2nd + 2bc + 2bd + 2cd 中=,也就是以-替換d可得，(a + b + c-d)2 = a2 + b1 +c2 ÷ cl2 + 2ch + 2ac 一 2ad + 2bc- 2bd 一 2cd同理可知.(U + /?-C-J)2 = / +h2+c2+ d2 + Zab 一 ICIC 一 ICUl 一 2bc- 2bd + led根據(jù)例題中歸納出來(lái)的規(guī)律，(a + b + c + d+e)2的展開(kāi)式共有15項(xiàng)，所有字母的 二次項(xiàng)的系數(shù)均為1,其他項(xiàng)的系數(shù)均為2,每一項(xiàng)的次數(shù)均為2,由

43、上述特點(diǎn)可知(a + b + c + d + e)2 = Cr + b2 +c2 +d2 +e2 + 2ab + 2ac + fIcid + 2ae + IbC + 2bd + 2/疋 + 2ccl + 2ce + 2de 【答案】見(jiàn)解析鞏固(a + b-c + d-e)2 =.【解析】Ul +b2 + c2 + d2 +e2 + 2ab - 2ac + 2ad - 2ce 一 2bc + 2hd 2Je 2cd + 2ce - Ide . 【答案】見(jiàn)解析板塊四：立方公式【例27】計(jì)算:(2m + n2)(4m2 - 2mn2 +n4) :(2)(3x2 -2y×9 +6x2y +

44、4y2):(3)(Xm + )(x2m -Zln +x2n);( + 2y)2 (十 一2xy + 4y2)2:【解析】(D(2w + )(4n2 -2fnn2 +n4) = 8zn3 +n :(2) (32 一 2y×9x4 + 6x2y + 4y2) = (3x2 )3 - (2y)' = 27 一 8/ :(D (Xm + )(2m - Xw, +X2JI) = (,it)3 + (Z)3 = m + j,:(2) ( + 2y)2. (x2 - 2>* + 4y2 )2 = (x + 2y)(x2 -2>4)2=(x3 + 8y3 )2=+l 6 + 64

45、y6【答案】見(jiàn)解析【鞏固】利用立方和、立方差公式填空：(b -)(4t2 + 2ab + b2) = lf - 8/ (2) (x + 3y)(x2 一+ 9y2) = + 27:(3) (m + 2n)(- Imn +) = nr + 8/?3 【解析】加：(2)3), ： (3),n2, 4 .【答案】見(jiàn)解析【例28】已知.+y = l, 2+ y2 =2,求x6 + /的值.【解析】由 Xy = -(X+y)2 -(2 + y2)J=-!-,2 2.+/=()3+(r)3 = ( + )3- 3a-2(+y2)=.【答案】見(jiàn)解析【鞏固】若a + b = 5,求/+戻+ 15"的

46、值. 【解析】解法一：由a+b = 5f故a3 + b = (U + b)(a2 -ab + b2) = (U + b)(“ + b)2 乂力=125-1 Sab從而可知，/+戻+15" = 125解法二：由a+ b = 5 ,故(a + b)' = Cr + 3a2b + Sab2 + b' = a + 3ab(a + h) = / +1> +1 Sab = 125【答案】見(jiàn)解析課后作業(yè)：【習(xí)題1】通過(guò)訃算幾何圖形的面積可表示一些代數(shù)恒等式，如圖可表示的代數(shù)恒等式是 ( )abA. (a - b) 2=a' 2ab+b2B、(a+b) 2=a2+2ab+b2C> 2a (a+b) =2,+2abD、(a+b) (a - b) =a' - b-【解析】由趣意知，長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)2a乘以寬(a+b),面積也等于四個(gè)小圖形的面積 之和，從而建立兩種算法的等量關(guān)系.【答案】解：長(zhǎng)方形的面積等于：2a (a+b),也等于四個(gè)小圖形的面積之和：a2+a2+ab+ab=2a2&