1、小學數學思想方法的梳理（一）課程教材研究所王永春數學思想和數學方法既有區別又有密切聯系。數學思想的理論和抽象程度要高一些，而數學方法的實踐性更強一些。人們實現數學思想往往要靠一定的數學方法；而人們選擇數學方法，又要以一定的數學思想為依據。因此，二者是有密切聯系的。我們把二者合稱為數學思想方法。數學思想方法是數學的靈魂，那么，要想學好數學、用好數學，就要深入到數學的“靈魂深處”。數學課程標準在總體目標中明確提出：“ 學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識以及基本的數學思想方法和必要的應用技能。 ” 這一總體目標貫穿于小學和初中，這充分說明了數學思想方法的重要性。在小學數學階

2、段有意識地向學生滲透一些基本的數學思想方法可以加深學生對數學概念、公式、法則、定律的理解，提高學生解決問題的能力和思維能力，也是小學數學進行素質教育的真正內涵之所在。同時，也能為初中數學思想方法的學習打下較好的基礎。在小學階段，數學思想方法主要有 符號化 思想、 化歸 思想、 類比 思想、 歸納 思想、分類 思想、 方程 思想、 集合 思想、 函數 思想、 一一對應 思想、 模型 思想、 數形結合 思想、 演繹推理 思想、變換 思想、 統計與概率思想等等。為了使廣大小學數學教師在教學中能很好地滲透這些數學思想方法，筆者把這些思想方法比較系統地進行概括和梳理，明晰這些思想方法的概念，整理它們在小

3、學數學各個知識點中的應用，以及了解每個思想方法的適當拓展。一、符號化思想1. 符號化思想的概念。數學符號是數學的語言，數學世界是一個符號化的世界，數學作為人們進行表示、計算、推理和解決問題的工具，符號起到了非常重要的作用；因為數學有了符號，才使得數學具有簡明、抽象、清晰、準確等特點，同時也促進了數學的普及和發展；國際通用的數學符號的使用，使數學成為國際化的語言。符號化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意義。2. 如何理解符號化思想。數學課程標準比較重視培養學生的符號意識，并提出了幾點要求。那么，在小學階段，如何理解這一重要思想呢？下面結合案例做簡要解析。第一，能從具體情境中抽象 出 數量關系

4、和 變化規律 ，并用符號表示。這是一個從具體到抽象、從特殊到一般的探索和歸納的過程。如通過幾組具體的兩個數相加， 交換加數的位置和不變，歸納出加法交換律，并用符號表示：a+b=b+a。再他如在長方形上拼擺單位面積的小正方形，探索并歸納出長方形的面積公式，并用符號表示：S= abo這是一個符號化的過程，同時也是一個 模型化 的過程。第二，理解符號所代表 的數量關系和變化規律。這是一個從一般到特殊、從理論到實踐的過程。包括用關系式、表格和圖象等表示情境中數量間的關系。如假設一個正方形的邊長是a,那么4a就表示該正方 形的周長，a2表示該正方形的面積。這同樣是一個符 號化的過程，同時也是一個解釋和應

5、用模型的過程。第三，會進行符號間的轉換。數量間的關系一旦確定，便可以用數學符號表示出來，但數學符號不是唯一的，可以豐富多彩。如一輛汽車的行駛時速為定值 80 千米，那么該輛汽車行駛的路程和時間成正比，它們之間的數量關系既可以用 表格的形式表示，也可 以用公式s=80t表示，還可以用 圖象表示。即這些符 號是可以相互轉換的。第四，能選擇適當的程序和方法解決用符號所表 示的問題。這是指完成符號化后的下一步工作，就是 進行數學的運算和推理。能夠進行正確的運算和推理 是非常重要的數學基本功，也是非常重要的數學能力。3. 符號化思想的具體應用。數學的發展雖然經歷了幾千年，但是數學符號的 規范和統一卻經歷

6、了比較慢長的過程。如我們現在通 用的算術中的十進制計數符號數字 09于公元8世紀 在印度產生，經過了幾百年才在全世界通用，從通用 至今也不過幾百年。代數在早期主要是以文字為主的 演算，直到16、17世紀書達、笛卡爾和萊布尼茲等數 學家逐步引進和完善了代數的符號體系。符號在小學數學中的應用如下表知識領 域知識點應用舉例應用拓展數與代 數數的表示阿拉伯數字：09中文數子：一 十百分號：千分號：%。用數軸表示數數的運算+、一、x、+、（） 2 （平方）3 （立方）數的大小關 系=、=、A、W、豐運算定律加法交換律：a+b=b+a加法結合律：a+b+c=a+（b+c）乘法交換律：ab=ba乘法結合律：

7、(ab) c=a(bc)乘法分配律： a(b+c)=ab+ac方程ax+b=c數量關系時間、速度和路程：s=vt數量、單價和總價：a=np正比例關系：y/x=k反比例關系：xy=k用去格表水數量間的關 系用圖象表示數量間的關 系空間與 圖形用字母表示 的單位長度單位：km、m、dm、cm、mm面積單位：km2、m2、dm2、cm2、mm2質量單位：t、kg、g用符號表示 圖形用字母表示點：三角形ABC用符號表示角：/1、/2、/3、/4 ABC 線段AB 直線CD 直線L兩線段平行：AB/CD 兩線段垂直：ABXCD口 ABCD用字母表示三角形面積：$= ab公式平行四邊形面積：S= ah梯形

8、面積：S= (a+b)h2圓周長：C = 2兀r 圓面積：S=兀r 2長方體體積：v=abc正方體體積：v=a3 圓柱體積：v=sh 圓錐體積：1v=sh3統計與 概率統計圖和統 計表用統計圖表描述和分析 各種信息可能性用分數表示可能性的大 小4,符號化思想的教學。符號化思想作為數學最基本的思想之一，數學課 程標準把培養學生的符號意識作為必學的內容，并提 出了具體要求，足以證明它的重要性。教師在日常教 學中要給予足夠的重視，并落實到課堂教學目標中。 要創設合適的情境，引導學生在探索中 歸納和理解數 學模型，并進行解釋和應用。學生只有理解和掌握了 數學符號的內涵和思想，才有可能利用它們進行正確

9、的運算、推理和解決問題。數學符號是人們在研究現實世界的數量關系和空 間形式的過程中產生的，它 來源于生活，但并不是生 活中真實的物質存在，而是一種抽象概括。如數字1, 它可以表示現實生活中任何數量是一個的物體的個 數，是一種高度的抽象概括，具有一定的抽象性。一 個數學符號一旦產生并被廣泛應用，它就具有明確的 含義，就能夠進行精確的數學運算和推理證明，因而 它具有精確性。數學能夠幫助人們完成大量的運算和 推理證明，但如果沒有簡捷的思想和符號的參與，它 的工作量及難度也是很大的，讓人望而生畏。一旦簡 捷的符號參與了運算和推理證明，數學的簡捷性就體 現出來了。如歐洲人12世紀以前基本上用羅馬數字進 行計數和運算，由于這種計數法不是十進制的，大數 的四則運算非常復雜，嚴重阻礙了數學的發展和普及。直到 12 世紀印度數字及十進制計數法傳入歐洲，才使得算術有了較快發展和普及。數學符號的發展也經歷了從各自獨立到逐步規范、統一和國際化的過程，最明顯的就是早期的數字符號從各自獨立的埃及數字、巴比倫數字、中國數字、印度數字和羅馬數字到