1、建立數(shù)學模型的方法、步驟、特點及分類學習目標1 .能表述建立數(shù)學模型的方法、步驟；2 .能表述建立數(shù)學模型的逼真性、可行性、漸進性、強健性、可轉(zhuǎn)移性、非預制性、條理性、技藝性和局限性等特點；3 .能表述數(shù)學建模的分類；4 .會采用靈活的表述方法建立數(shù)學模型；5 .培養(yǎng)建模的想象力和洞察力。一、建立數(shù)學模型的方法和步驟一般說來建立數(shù)學模型的方法大體上可分為兩大類、一類是機理分析方法， 一類是測試分析方法.機理分析是根據(jù)對現(xiàn)實對象特性的認識、分析其因果關(guān)系, 找出反映內(nèi)部機理的規(guī)律，建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實意義.測試分折將 研究對象視為一個“黑箱”系統(tǒng)，內(nèi)部機理無法直接尋求，可以測量系統(tǒng)的輸

2、人 輸出數(shù)據(jù)、并以此為基礎運用統(tǒng)計分析方法，按照事先確定的準則在某一類模型 中選出一個與數(shù)據(jù)擬合得最好的模型。這種方法稱為系統(tǒng)辨識(SystemIdentification) .將這兩種方法結(jié)合起來也是常用的建模方法。即用機理分析 建立模型的結(jié)構(gòu)，用系統(tǒng)辨識確定模型的參數(shù).可以看出，用上面的哪一類方法建模主要是根據(jù)我們對研究對象的了解程度 和建模目的決定的.如果掌握了機理方面的一定知識，模型也要求具有反映內(nèi)部 特性的物理意義。那么應該以機理分析方法為主.當然，若需要模型參數(shù)的具體 數(shù)值，還可以用系統(tǒng)辨識或其他統(tǒng)計方法得到.如果對象的內(nèi)部機理基本上沒掌 握，模型也不用于分析內(nèi)部特性，譬如僅用來做

3、輸出預報，則可以系統(tǒng)辯識方法 為主.系統(tǒng)辨識是一門專門學科，需要一定的控制理論和隨機過程方面的知識. 以 下所謂建模方法只指機理分析。建模要經(jīng)過哪些步驟并沒有一定的模式，通常與實際問題的性質(zhì)、建模的 目的等有關(guān)，從§ 16.2節(jié)的幾個例子也可以看出這點.下面給出建模的 一般步驟，如圖16-5所 示.圖16-5建模步驟示意圖模型準備 首先要了解問題的實際背景，明確建模的目的搜集建模必需的各 種信息如現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等，盡量弄清對象的特征，由此初步確定用哪一類模型，總 之是做好建模的準備工作.情況明才能方法對，這一步一定不能忽視，碰到問題 要虛心向從事實際工作的同志請教，盡量掌握第一手資料 .

4、模型假設 根據(jù)對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的、合理的簡化， 用精確的語言做出假設，可以說是建模的關(guān)鍵一步.一般地說，一個實際問題不 經(jīng)過簡化假設就很難翻譯成數(shù)學問題， 即使可能，也很難求解.不同的簡化假設 會得到不同的模型.假設作得不合理或過份簡單，會導致模型失敗或部分失敗， 于是應該修改和補充假設；假設作得過分詳細，試圖把復雜對象的各方面因素都 考慮進去，可能使你很難甚至無法繼續(xù)下一步的工作.通常，作假設的依據(jù)，一 是出于對問題內(nèi)在規(guī)律的認識，二是來自對數(shù)據(jù)或現(xiàn)象的分析，也可以是二者的 綜合.作假設時既要運用與問題相關(guān)的物理、化學、生物、經(jīng)濟等方面的知識， 又要充分發(fā)揮想象力、洞察

5、力和判斷力，善于辨別問題的主次，果斷地抓住主要 因素，舍棄次要因素，盡量將問題線性化、均勻化.經(jīng)驗在這里也常起重要作用.寫 出假設時，語言要精確，就象做習題時寫出已知條件那樣.模型構(gòu)成 根據(jù)所作的假設分析對象的因果關(guān)系，利用對象的內(nèi)在規(guī)律和適 當?shù)臄?shù)學工具，構(gòu)造各個量（常量和變量）之間的等式（或不等式）關(guān)系或其他數(shù)學 結(jié)構(gòu).這里除需要一些相關(guān)學科的專門知識外， 還常常需要較廣闊的應用數(shù)學方 面的知識，以開拓思路.當然不能要求對數(shù)學學科門門精通，而是要知道這些學科 能解決哪一類問題以及大體上怎樣解決. 相似類比法，即根據(jù)不同對象的某些相 似性，借用已知領(lǐng)域的數(shù)學模型，也是構(gòu)造模型的一種方法.建模

6、時還應遵循的 一個原則是，盡量采用簡單的數(shù)學工具，因為你建立的模型總是希望能有更多的 人了解和使用，而不是只供少數(shù)專家欣賞.模型求解 可以采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數(shù)值計算等各 種傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學方法，特別是計算機技術(shù).模型分析 對模型解答進行數(shù)學上的分析，有時要根據(jù)問題的性質(zhì)分析變量 間的依賴關(guān)系或穩(wěn)定狀況，有時是根據(jù)所得結(jié)果給出數(shù)學上的預報， 有時則可能 要給出數(shù)學上的最優(yōu)決策或控制，不論哪種情況還常常需要進行誤差分析、模型 對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性或靈敏性分析等.模型檢驗 把數(shù)學上分析的結(jié)果翻譯回到實際問題， 并用實際的現(xiàn)象、數(shù)據(jù) 與之比較，檢驗模型的合理性和適用性.這一步對于建模

7、的成敗是非常重要的， 要以嚴肅認真的態(tài)度來對待.當然，有些模型如核戰(zhàn)爭模型就不可能要求接受實 際的檢驗了.模型檢驗的結(jié)果如果不符合或者部分不符合實際，問題通常出在模 型假設上，應該修改、補充假設，重新建模.有些模型要經(jīng)過幾次反復，不斷完 善，直到檢驗結(jié)果獲得某種程度上的滿意.模型應用 應用的方式自然取決于問題的性質(zhì)和建模的目的，這方面的內(nèi)容 不是本書討論的范圍應當指出，并不是所有建模過程都要經(jīng)過這些步驟， 有時各步驟之間的界限 也不那么分明.建模時不應拘泥于形式上的按部就班，本書的建模實例就采取了 靈活的表述方式.二、數(shù)學模型的特點我們已經(jīng)看到建模是利用數(shù)學工具解決實際問題的重要手段。數(shù)學模型

8、有許多優(yōu)點，也有弱點。建模需要相當豐富的知識、經(jīng)驗和各方面的能力，同時應注 意掌握分寸.下面歸納出數(shù)學模型的若干特點，以期在學習過程中逐步領(lǐng)會.模型的逼真性和可行性一般說來總是希望模型盡可能逼近研究對象，但是 一個非常逼真的模型在數(shù)學上常常是難于處理的，因而不容易達到通過建模對現(xiàn) 實對象進行分析、預報、決策或者控制的目的，即實用上不可行.另一方面，越 逼真的模型常常越復雜，即使數(shù)學上能處理，這樣的模型應用時所需要的 “費 用”也相當高，而高“費用”不一定與復雜模型取得的“效益”相匹配.所以建 模時往往需要在模型的逼真性與可行性，“費用”與“效益”之間做出折衷和抉 擇.模型的漸進性稍微復雜一些的

9、實際問題的建模通常不可能一次成功，要經(jīng) 過上一節(jié)描述的建模過程的反復迭代， 包括由簡到繁，也包括刪繁就簡，以獲得 越來越滿意的模型.在科學發(fā)展過程中隨著人們認識和實踐能力的提高，各門學科中的數(shù)學模型也存在著一個不斷完善或者推陳出新的過程.從19世紀力學、熱學、電學等許多學科由牛頓力學的模型主宰，到 20世紀愛因斯坦相對論模型 的建立，是模型漸進性的明顯例證.模型的強健性 模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)常常是由對象的信息如觀測數(shù)據(jù)確定的， 而觀測數(shù)據(jù)是允許有誤差的. 一個好的模型應該具有下述意義的強健性： 當觀測數(shù)據(jù)(或其他信息)有微小改變時，模型結(jié)構(gòu)和參數(shù)只有微小變化，并且一般也應 導致模型求解的結(jié)果有微小

10、變化.模型的可轉(zhuǎn)移性 模型是現(xiàn)實對象抽象化、理想化的產(chǎn)物，它不為對象的所 屬領(lǐng)域所獨有，可以轉(zhuǎn)移到另外的領(lǐng)域.在生態(tài)、經(jīng)濟、社會等領(lǐng)域內(nèi)建模就常 常借用物理領(lǐng)域中的模型.模型的這種性質(zhì)顯示了它的應用的極端廣泛性.模型的非預制性 雖然已經(jīng)發(fā)展了許多應用廣泛的模型， 但是實際問題是各種各樣、變化萬千的，不可能要求把各種模型做成預制品供你在建模時使用。模型的這種非預制性使得建模本身常常是事先沒有答案的問題(Open-endproblem).在建立新的模型的過程中甚至會伴隨著新的數(shù)學方法或數(shù)學概念的產(chǎn) 生.模型的條理性 從建模的角度考慮問題可以促使人們對現(xiàn)實對象的分析更全面、更深入、更具條理性，這樣即

11、使建立的模型由于種種原因尚未達到實用的 程度，對問題的研究也是有利的。模型的技藝性建模的方法與其他一些數(shù)學方法如方程解法、規(guī)劃解法等是 根本不同的，無法歸納出若干條普遍適用的建模準則和技巧.有入說。建模目前與其是一門技術(shù)、不如說是一種藝術(shù).是技藝性很強的技巧.經(jīng)驗、想象力、洞 察力、判斷力以及直覺、靈感等在建模過程中起的作用往往比一些具體的數(shù)學知 識更大.模型的局限性 這里有幾方面的含義.第一，由數(shù)學模型得到的結(jié)論雖然具 有通用性和精確性，但是因為模型是現(xiàn)實對象簡化、 理想化的產(chǎn)物，所以一旦將 模型的結(jié)論應用于實際問題，就回到了現(xiàn)實世界，那些被忽視、簡化的因素必須 考慮，于是結(jié)論的通用性和精確

12、性只是相對的和近似的.第二，由于人們認識能 力和科學技術(shù)包括數(shù)學本身發(fā)展水平的限制，還有不少實際問題很難得到有著實 用價值的數(shù)學模型.如一些內(nèi)部機理復雜、影響因素眾多、測量手段不夠完善、 技藝性較強的生產(chǎn)過程，像生鐵冶煉過程，需要開發(fā)專家系統(tǒng)，與建立數(shù)學模型 相結(jié)合才能獲得較滿意的應用效果.專家系統(tǒng)是一種計算機軟件系統(tǒng)，它總結(jié)專 家的知識和經(jīng)驗，模擬人類的邏輯思維過程，建立若干規(guī)則和推理途徑，主要是 定性地分析各種實際現(xiàn)象并做出判斷.專家系統(tǒng)可以看成計算機模擬的新發(fā) 展.第三，還有些領(lǐng)域中的問題今天尚未發(fā)展到用建模方法尋求數(shù)量規(guī)律的階段， 如中醫(yī)診斷過程，目前所謂計算機輔助診斷也是屬于總結(jié)著名

13、中醫(yī)的豐富臨床經(jīng) 驗的專家系統(tǒng).建模過程是一種創(chuàng)造性思維過程，除了想象、洞察、判斷這些屬于形象思維、 邏輯思維范疇的能力之外，直覺和靈感往往也起著不可忽視的作用。 當由于各種 限制利用已有知識難以對研究對象做出有效的推理和判斷時，憑借相似、類比、 猜測、外推等思維方式及不完整、不連續(xù)、不嚴密的，帶啟發(fā)性的直覺和靈感， 去“戰(zhàn)略性”地認識對象，是人類創(chuàng)造性思維的特點之一，也是人腦比按程序邏 輯工作的計算機、機器人的高明之處.歷史上不乏在科學家的直覺和靈感的火花 中誕生的假說、論證和定律.當然，直覺和靈感不是憑空產(chǎn)生的，它要求人們具 有豐富的背景知識，對問題進行反復思考和艱苦探索，對各種思維方法運

14、用嫻 熟.相互討論和思想交鋒，特別是不同專業(yè)的成員之間的探討， 是激發(fā)直覺和靈 感的重要因素.所以由各種專門人才組成的所謂團隊工作方式 (Team work)越來 越受到重視.前面說過，建模可以看成一門藝術(shù).藝術(shù)在某種意義下是無法歸納出幾條準 則或方法的.一名出色的藝術(shù)家需要大量的觀摩和前輩的指教，更需要親身的實 踐.類似地，掌握建模這門藝術(shù)培養(yǎng)想象力和洞察力，一要大量閱讀、思考別人 做過的模型，二要親自動手，認真做幾個實際題目.三、數(shù)學模型的分類數(shù)學模型可以按照不同的方式分類，下面介紹常用的幾種.1 .按照模型的應用領(lǐng)域（或所屬學科）分.如人口模型、交通模型、環(huán)境模型、 生態(tài)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模

15、型、水資源模型、再生資源利用模型、污染模型等.范疇 更大一些則形成許多邊緣學科如生物數(shù)學、醫(yī)學數(shù)學、地質(zhì)數(shù)學、數(shù)量經(jīng)濟學、 數(shù)學社會學等.2 .按照建立模型的數(shù)學方法（或所屬數(shù)學分支）分.如初等數(shù)學模型、幾何模 型、微分方程模型、圖論模型、馬氏鏈模型、規(guī)劃論模型等.按第一種方法分類的數(shù)學模型教科書中， 著重于某一專門領(lǐng)域中用不同方法 建立模型，而按第二種方法分類的書里，是用屬于不同領(lǐng)域的現(xiàn)成的數(shù)學模型來 解釋某種數(shù)學技巧的應用.在本書中我們重點放在如何應用讀者已具備的基本數(shù) 學知識在各個不同領(lǐng)域中建模.3 .按照模型的表現(xiàn)特性又有幾種分法：確定性模型和隨機性模型取決于是否考慮隨機因素的影響.近

16、年來隨著數(shù)學的發(fā)展，又有所謂突變性模型和模糊性模型.靜態(tài)模型和動態(tài)模型 取決于是否考慮時間因素引起的變化.線性模型和非線性模型 取決于模型的基本關(guān)系，如微分方程是否是線性的.離散模型和連續(xù)模型 指模型中的變量（主要是時間變量）取為離散還是連 續(xù)的.雖然從本質(zhì)上講大多數(shù)實際問題是隨機性的、動態(tài)的、非線性的，但是由于 確定性、靜態(tài)、線性模型容易處理，并且往往可以作為初步的近似來解決問題， 所以建模時常先考慮確定性、靜態(tài)、線性模型.連續(xù)模型便于利用微積分方法求 解，作理論分析，而離散模型便于在計算機上作數(shù)值計算， 所以用哪種模型要看 具體問題而定.在具體的建模過程中將連續(xù)模型離散化，或?qū)㈦x散變量視作

17、連續(xù)， 也是常采用的方法.4 .按照建模目的分.有描述模型、分析模型、預報模型、優(yōu)化模型、決策模 型、控制模型等.5.按照對模型結(jié)構(gòu)的了解程度分.有所謂白箱模型、灰箱模型、黑箱模型.這是 把研究對象比喻成一只箱子里的機關(guān)， 要通過建模來揭示它的奧妙.白箱主要包 括用力學、熱學、電學等一些機理相當清楚的學科描述的現(xiàn)象以及相應的工程技 術(shù)問題，這方面的模型大多已經(jīng)基本確定， 還需深入研究的主要是優(yōu)化設計和控 制等問題了.灰箱主要指生態(tài)、氣象、經(jīng)濟、交通等領(lǐng)域中機理尚不十分清楚的 現(xiàn)象，在建立和改善模型方面都還不同程度地有許多工作要做.至于黑箱則主要指生命科學和社會科學等領(lǐng)域中一些機理（數(shù)量關(guān)系方面

18、）很不清楚的現(xiàn)象.有些 工程技術(shù)問題雖然主要基于物理、化學原理，但由于因素眾多、關(guān)系復雜和觀測 困難等原因也常作為灰箱或黑箱模型處理.當然，白、灰、黑之間并沒有明顯的 界限，而且隨著科學技術(shù)的發(fā)展，箱子的 顏色”必然是逐漸由暗變亮的.建立數(shù)學模型的方法和步驟建立數(shù)學模型的方法和步驟1. 模型準備要了解問題的實際背景，明確建模目的，搜集必需的各種信息，盡量弄清對象的特征。2. 模型假設根據(jù)對象的特征和建模目的，對問題進行必要的、合理的簡化，用精確的語言作出假設， 是建模至關(guān)重要的一步。如果對問題的所有因素一概考慮，無疑是一種有勇氣但方法欠佳的行為，所以高超的建模者能充分發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別主次，而且為了使處理方法簡單，應盡量使問題線性化、均勻化。3. 模型構(gòu)成根據(jù)所作的假設分析對象的因果關(guān)系，利用對象的內(nèi)在規(guī)律和適當?shù)臄?shù)學工具， 構(gòu)造各個量間的等式關(guān)系或其它數(shù)學結(jié)構(gòu)。這時， 我們便會進入一個廣闊的應用數(shù)學天地，這里在高數(shù)、概率老