1、奇數和偶數一、奇數和偶數的性質（一）兩個整數和的奇偶性。奇數奇數（ ），奇數偶數（ ），偶數偶數（ ）一般的，奇數個奇數的和是( )，偶數個奇數的和是( )，任意個偶數的和為( )。（二）兩個整數差的奇偶性。奇數奇數（ ），奇數偶數（ ），偶數偶數（ ），偶數奇數（ ）。（三）兩個整數積的奇偶性。奇數*奇數（ ），奇數*偶數（ ），偶數*偶數（ ）一般的，在整數連乘當中，只要有一個因數是偶數，那么其積必為（ ）；如果所有因數都是奇數，那么其積必為（ ）。（四）兩個整數商的奇偶性。在能整除的情況下，偶數除以奇數得（ ），偶數除以偶數可能得( )，也可能得( )，奇數不能被偶數整除。(五)如果兩個

2、整數的和或差是偶數，那么這兩個整數或者都是( ),或者都是( ).(六)兩個整數之和與兩個整數之差有相同的奇偶性，即A+B、A-B奇偶性相同(A、B為整數)。(七)相鄰兩個整數之和為( )，相鄰兩個整數之積為( )。(八)奇數的平方被除余1，偶數的平方是4的倍數。(九)如果一個整數有奇數個約數，那么這個數一定是完全平方數(1,4，9,16,25是完全平方數)。如果一個數有偶數個約數，那么這個數一定不是完全平方數。奇數與偶數練習題一填空題1. 1+2+3+4+5+49+50的結果（ ）。（填偶數或奇數）2. 有一列數1,1,2,4,7,13,24,44,81，從第4個數開始，每個數都是它前邊三個

3、數之和，那么第100個數是（ ）。（填偶數或奇數）3 某自然數分別與兩個相鄰自然數相乘，所得積相差100，某數是( ).4. 三個相鄰偶數的積是四位數*8，這三個相鄰偶數是（ ）。5. 每張方桌上放有12個盤子，每張圓桌上放有13個盤子。若共有盤子109個，則圓桌有（ ）張,方桌有（ ）張。6. 7個學生進行象棋比賽，下到某一階段時，統計員統計各人下的盤數如下人ABCDEFG盤數6564325小明看過后，說統計員肯定統計錯了，你的看法是（ ）. 1）在由自然數組成的自然數列的前100個數中，即從1到100中，共有（）個奇數，共有（）個偶數。2）算式11+12+13+14+89+90的得數的奇偶

4、性為（）。3）一群同學進行投籃球比賽，投進一球得5分，投不進得1分，每人都投進10次，這些同學得分總和的奇偶性為（）4）有一列數，它們的排列順序是：前兩個數為4、5，從第三個數起，每個數都是它前面兩個數的和。這列數前1000個數（含第1000）中偶數有（）個。5）每張方桌上放有12個盤子，每張圓桌上放有13個盤子。若共有盤子109個，則圓有（）張，方桌有（）張。6）1+2×3+4×5+6×7+100×101的和的奇偶性為（）。二選擇題1）從3開始，根據后一數是前一數加上3，接連寫出2000個數，排成一行：3,6,9，12,15,18,21，在列數中第19

5、97個、第1998個數的奇偶性為( )。A 奇數、偶數 B奇數、奇數C 偶數、偶數 D偶數、奇數2)已知三個數a,b,c的和是奇數，并且a-b=3，那么a,b,c的奇偶性適合( )A三個都是奇數要 B兩個奇數一個偶數C一個奇數兩個偶數 D 三個都是偶數3)某數學競賽，共20道題，評分標準是每道題答對給3分，不答給1分，答錯扣1分。則參加競賽學生總得分的奇偶性為( )。A奇數 B偶數C 不能確定，與參賽學生數的奇偶性有關。D不能確定，與參賽學生答對題數的奇偶性有關。4)若5×3×a×9×b是奇數，則整數a,b的奇偶性適合( )。A a奇b偶 B a奇b奇

6、C a偶b偶 D a偶b奇5)若a+b+c=奇數，a×b×c=偶數，則a,b,c的奇偶性適合( )。A 三個都是奇數 B 兩個奇數一個偶數C一個奇數兩個偶數D 三個都是偶數。6)若a,b,c是任意給定的三個整數，那么乘積(a+b)(b+c)(c+a)的奇偶性為( )A 奇數 B 偶數C 不能確定，取決于a,b,c的奇偶性。D不能確定，取決于a,b,c的具體數值。7)已知a,b,c中有一個是1997，一個是1998，一個是1999，試判斷(a-1)(b-2)(c-3)的奇偶性( )A 奇數 B 偶數C 不能確定，取決于a,b,c的奇偶性。D不能確定，取決于a,b,c的具體數值

7、。.如果用n表示一個自然數，那么n(n+1)是（）。（）奇數（）偶數（）奇數或偶數（）由定奇偶.有個連續奇數，第個與第個的和為，那么這個數中最小的與最大的各是（）（）與（）與（）與（）與9.已知三個整數a、b、c的和是奇數，并且a-b=3，那么a、b、c的奇偶性為（ ）。（A）三個都是奇數 （B）兩個奇數一個偶數（C）一個奇數兩個偶數 （D）三個都是偶數10. 有四個不相同的正整數，它們中任意兩個的和是2的倍數，任意三個數的積是3的倍數，為了使這四個數的和盡可能的小，這四個數分別是（ ）（A）1,3,5,9 （B）3,9,15,21（C）1,3,7,9 （D）3,6,9,12三、簡答題11.

8、計算前100個正整數中所有奇數的和與所有偶數的和。12. 從3,15,9,7,21,1,5,11,7中挑出7個數，使它們的和為50.能不能做到？說說你是怎么想的。13. 用1,2,3,4,5這五個數兩兩相乘，可以得到10個不同的乘積。問乘積中是偶數多還是奇數多？14. 在黑板上寫3個整數，然后擦去一個換成其他兩數之和或者差，這樣繼續操作下去，最后得到64,78,142.問：原來寫的三個整數能否為1,3,5？15 如圖是一所房間的示意圖，數字表示房間號碼，第一個房間與隔壁房間有門相通。小靈通想從1號房間出發，不重復地走遍這九個房間，又回到1號房間，他能做到嗎。試著利用奇數偶數知識來解答。1234

9、5678916 有12張卡片，其中有3張上面寫著1，有3張上面寫著3，有3張上面寫著5，有3張下面寫著7。你能否從中選出五張，使它們上面的數字和為20，為什么？17 能否將自然數1,2，3,4，5,6，7,8，9分別填入右圖的方格中，使得每個橫行中的三個數之和是偶數？         18 在自然數中計算：前2個奇數的和：1+3=前3個奇數的和：1+3+5=前4個奇數的和：1+3+5+7=前5個奇數的和：1+3+5+7+9=觀察下面的計算，尋找規律加以總結，并回答下列問題：(1)自然數中，按奇數的順序，前

10、n個奇數的和是多少？(2)第n個奇數是多少？并利用上面的規律計算：前2004個奇數的和是：1+3+5+7+。第2004個奇數是多少？前2004個偶數的和是多少？因數與倍數應用題1、學生參加跳繩比賽，進行分組。按每組6人或每組8人，都能恰好分成幾組，參加跳繩比賽的至少有多少人？2、把45厘米、30厘米的兩根彩帶剪成長度一樣的短彩帶且沒有剩余，每根短彩帶最長是多少厘米？3、一塊瓷磚長12厘米，寬10厘米，要鋪成一個正方形地面，這個正方形地面的邊長至少是多少厘米？面積是多少？4、某幼兒園大班有35人，中班有40人，小班有45人。按班分組三個班的每組人數一樣多，問每組最多有多少個小朋友？5、甲乙兩數的

11、最大公因數是10，最小公倍數是60，如果甲數是20，乙數是多少？6、甲乙兩數的積是200，甲乙兩數的最小公倍數是40，最大公因數是多少？7、用51多紅花和34朵白花做成花束，如果每束里的紅花朵數相同，白花朵數也相同，最多可以做成多少束？每束花里最少有多少朵？8、甲服裝店每8天進一次貨，乙服裝店每10天進一次貨，兩個商店同一天進貨后，過多少天兩個服裝店再次同一天進貨？9、五年級同學分組參加植樹，每6人一組或8個一組都沒有剩余，已知該班的人數在30人和50人之間，該班有學生多少人？10、公路的一側有一排電線桿，相鄰兩根電線桿之間的距離都是30米，現在要把相鄰兩根電線桿之間的距離都改為45米，如果第

12、一根電線桿不移動，那么下一根不必移動的電線桿是第幾根？（提示：畫圖來考慮）11、長方形磚長42厘米，寬是28厘米，用這樣的磚鋪成一塊正方形的地，至少需要多少塊磚？12、用48朵紅花和36朵白花做花束，如果每個花束里的紅花與白花的朵數相等，每個花束里最多有幾朵花？13、五一班有40人，五二班有32人，兩個班學生分組參加一項活動，要求各班每組的人數相同，并且不能有剩余的學生，每組最多有多少人？這時兩個班共分成多少組？14、一個數除以4余2，除以5余3，這個最少是多少？15、王老師把50本數學本和40本語文本平均分給第一小組的同學，結果數學本剩下2本，語文本剩下4本，第一小組最多有幾名同學？16、一

13、個數除以4余2，除以5余2，除以6余2，寫出三個這樣的數。17、有一行數：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，從第三個數開始，每個數都是前兩個數的和，在前100個數中，偶數有多少個？18、一個長方形的長和寬都是自然數，面積是36平方米，這樣的形狀不同的長方形共有多少種？19、一種長方形的地磚，長24厘米，寬16厘米，用這種磚鋪一個正方形，至少需多少塊磚？20、有一個長80厘米，寬60厘米，高115厘米的長方體儲冰容器，往里面裝入大小相同的立方體冰塊，這個容器最少能裝多少數量冰塊？21、已知某小學六年級學生超過100人，而不足140人。將他們按每組12人分組，多3人；按每組8人分，也

14、多3人。這個學校六年級學生多少？22、有四個小朋友，他們的年齡一個比一個大一歲，四個人的年齡的乘積是360。他們中年齡最大是多少歲？23、汽車站內每隔3分鐘發一輛公交車，4分鐘發一輛中巴車，1小時共發了幾輛汽車？其中有幾輛中巴車？24、一塊長方形鐵皮，長96厘米，寬80厘米，要把它剪成同樣大小的正方形且沒有剩余，這種正方形的邊長是多少？被剪成幾塊？25、既能整除18，又能整除30的數，最大是多少？能被18和30同時整除的數，最小的是多少？一個數既是6的倍數，同時又是8和9的倍數，這個數最小是多少？26、甲、乙兩數的積是375，甲乙兩數的最大公約數是5，甲乙兩數的最小公倍數是多少？甲乙兩數的最大

15、公約數是8，最小公倍數是48，甲數是24，乙數是多少？27、一張長方形紙，長18厘米，寬12厘米，要把它分成大小相同的正方形，不能有剩余，這個正方形的邊長最大是多少厘米？一些大小相等的長方形紙片，每張長18厘米，寬12厘米,要把它們擺成一個正方形，正方形的邊長至少是多少厘米？28、用4、6和8分別除一個自然數，都余1，這個自然數小是多少？用一個自然數分別除57和73，都余1，這個自然數最大是多少？29、小明、小強和小蘭輪流到特殊學校去幫助殘疾兒童。小明每隔4天去一次，小強每隔5天去一次，小蘭每隔6天去一次。他們在六一兒童節這一天一起到特殊學校表演節目，經過多少天他們又同時到學校幫助孩子們？這一

16、天是幾月幾號？30、用2520個棱長是1厘米的小正方體堆成一個長方體，它的高是12厘米，長和寬都大于高。它的長和寬各是多少厘米？31、用3、5、7分別除一個數，結果都余2，這個數至少是多少？一個數，用3除少1，用5除少3，用7除少5。這個自然數最小是多少？一個數，被3除余2，被4除余3，被5除余4。這個數最小是多少？32、有一堆桔子，按每4個一堆分少1個，按每5個一堆分也少1個，按每6個一堆分還是少1個。這堆桔子至少有多少個？33、有三根鋼管，分別長200厘米、240厘米、360厘米?，F要把這三根鋼管截成盡可能長而且相等的小段，一共能截成多少段？34、兩個小于150的數的積是2028，它們的最

17、大公約數是13，求這兩個數。35、兩個自然數的最大公約數是7，最小公倍數是210。這兩個自然數的和是77，求這兩個自然數。36、現有三個自然數，它們的和是1111，這樣的三個自然數的公約數中，最大的可以是多少？37、甲、乙、丙三人繞操場競走，他們走一圈分別需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同時從起點出發，最少需多長時間才能再次在起點相會？38、用自然數a去除498，450，414，得到相同的余數，a最大是多少？39、育紅小學五（1）班同學參加義務勞動。男生25人，女生30人，把他們分成勞動小組。如果每組中男生人數相同，女生人數也相同，最多可以分成幾組？每組有男生和女生各多少人？40、五（1

18、）班買來46本書、32枝筆，獎給各方面表現突出的同學。每個同學得到的獎品同樣多，最后余下1本書和2枝筆。問最多有多少個同學得獎品？41、一個長方體木塊，長30cm,寬21cm，高18cm。把它切成大小相等的小正方體，不準有剩余，那么正方體小木塊棱長最大是多少？能切成多少塊？42、把38個蘋果和31個梨子分給若干個小朋友，若要使每個小朋友分得梨的個數相同，蘋果個數也相同。結果蘋果多2個，梨少1個，分到蘋果和梨的小朋友最多是幾個？每人分幾個蘋果和幾個梨？43、將一塊長120m，寬80m的長方形土地劃分成面積相等的正方形。正方形的面積最大是多少？44、小麗想用105塊大小相同的正方形積木拼成一個長方

19、形，有多少種不同的拼法？45、某小學五年級同學在操場做操，每行16人或12人，正好是整行。已知五年級同學在140160人之間。請問五年級一共有多少人？46、一個兩位數減去12后，即是8的倍數，又是9的倍數。這個數最小是多少？47、同學們參加勞動。9人一組則多6人，8人一組則多5人，參加勞動的同學至少有多少人？48、有一車飲料，如果3箱一數，還剩1箱；如果5箱一數，也剩1箱；如果7箱一數，也剩1箱。這車飲料至少有多少箱？49、兩個質數的最小公倍數是77，這兩個質數的和是多少？50、馬路旁栽一行小樹，從第一棵到最后一棵的距離是80米，原來每隔2米植一棵，現小樹長大，改為每隔5米植一棵。如果兩端不移

20、動，中間有幾棵樹不用移動？七 奇數與偶數(A)年級 班 姓名 得分 一、填空題1. 2，4，6，8，是連續的偶數，若五個連續的偶數的和是320，這五個數中最小的一個是_.2.有兩個質數,它們的和是小于100的奇數,并且是17的倍數.這兩個質數是_.3.100個自然數,它們的和是10000,在這些數里,奇數的個數比偶數的個數多,那么,這些數里至多有_個偶數.4.右圖是一張靶紙,靶紙上的1、3、5、7、9表示射中該靶區的分數.甲說:我打了六槍,每槍都中靶得分,共得了27分.乙說:我打了3槍,每槍都中靶得分,共得了27分. 1 3 57 9已知甲、乙兩人中有一人說的是真話，那么說假話的是_.AA點時

21、,甲說它共轉了81次彎,乙說它共轉了82次彎.如果甲、乙二人有一人說對了，那么誰正確？.A6.一次數學考試共有20道題,規定答對一題得2分,答錯一題扣1分,未答的題不計分.考試結束后,小明共得23分.他想知道自己做錯了幾道題,但只記得未答的題的數目是個偶數.請你幫助小明計算一下,他答錯了_道題.7.有一批文章共15篇,各篇文章的頁數分別是1頁、2頁、3頁14頁和15頁的稿紙，如果將這些文章按某種次序裝訂成冊，并統一編上頁碼，那么每篇文章的第一頁是奇數頁碼的文章最多有_篇.8.一本書中間的某一張被撕掉了,余下的各頁碼數之和是1133,這本書有_頁,撕掉的是第_頁和第_頁.9.有8只盒子,每只盒內

22、放有同一種筆.8只盒子所裝筆的支數分別為17支、23支、33支、36支、38支、42支、49支、51支.在這些筆中,圓珠筆的支數是鋼筆的支數的2倍,鋼筆支數是鉛筆支數的,只有一只盒里放的水彩筆.這盒水彩筆共有_支.10.某次數學競賽準備了35支鉛筆作為獎品發給一、二、三等獎的學生，原計劃一等獎每人發給6支，二等獎每人發給3支，三等獎每人發給2支，后來改為一等將每人發13支，二等獎每人發4支，三等獎每人發1支.那么獲二等獎的有_人.二、解答題11如下圖，從0點起每隔3米“愛護樹木”的小木牌分別掛在3棵樹上，那么不管怎么掛，至少有兩棵掛牌樹之間的距離是偶數（以米為單位）.試說明理由.0369121

23、5182124A、B兩點.有黑、白二蟻從A點同時出發分別沿著這兩個大圓爬行.黑蟻爬赤道大圓一周要10秒鐘,白蟻爬過南北極的大圓一周要8秒鐘.問:在10分鐘內黑、白二蟻在B點相遇幾次？為什么？BA13如右圖所示，一個圓周上有9個位置，依次編為19號.現在有一個小球在1號位置上,第一天順時針前進10個位置,第二天逆時針前進14個位置.以后,第奇數天與第一天相同,順時針前進10個位置,第偶數天與第二天相同,逆時針前進14個位置.問:至少經過多少天,小球又回到1號位置.19287436514.在右圖中的每個 中填入一個自然數(可以相同),使得任意兩個相鄰的 中的數字之差(大數減小數),恰好等于它們之間

24、所標的數字.能否辦到?為什么?35421答 案 1. 60這五個連續偶數的第三個(即中間的那一個)偶數是3205=64.所以，最小的偶數是60.2. 2,83因為兩個質數的和是奇數,所以必有一個是2.小于100的17的奇數倍有17,51和85三個,17,51與2的差都不是質數,所以另一個質數是85-2=83.3. 48由于100個自然數的和是10000,即100個自然數中必須有偶數個奇數,又由于奇數比偶數多,因此偶數最多只有48個.4. 甲由于分數都是奇數,6個奇數之和為偶數,不可能是奇數27,所以說假話的是甲. 5. 甲因為老鼠遇到格點必須轉彎,所以經過多少格點就轉了多少次彎.如右圖所示,老

25、鼠從黑點出發,到達任何一個黑點都是轉奇數次彎,所以甲正確.6. 3小明做錯的題的數目一定是奇數個,若是做錯1個,則應做對12個才會得122-1=23分,這樣小明共做13個題,未做的題的個數7不是偶數；若是做錯3個，則應做對13個才能得132-3=23分，這樣未答的題是4個，恰為偶數個.此外小明不可能做錯5個或5個以上的題.故他做錯的題有3個.7. 11根據奇數+偶數=奇數的性質,先編排偶數頁的文章(2頁,4頁,，14頁)，這樣共有7篇文章的第一頁都是奇數頁碼.然后,編排奇數頁的文章(1頁,3頁,，15頁)，根據奇數+奇數=偶數的性質，這樣編排，就又有4篇文章的第一頁都是奇數頁碼.所以,每篇文章

26、的第一頁是奇數頁碼的文章最多是7+4=11(篇).8. 48,21,22設這本書的頁碼是從1到n的自然數,正確的和應該是1+2+n=( n+1)由題意可知，( n+1)>1133由估算，當n=48時，( n+1)=4849=1176，1176-1133=43.根據書頁的頁碼編排,被撕一張的頁碼應是奇、偶，其和是奇數，43=21+22.所以,這本書有48頁,被撕的一張是第21頁和第22頁.9. 49依題意知,若鋼筆為1份,則圓珠筆為2份,鉛筆為3份,也就是說,這三種筆的總支數一定是6的倍數,即能同時被2和3整除.又因為8只盒子中有3只盒子裝的筆的支數是偶數,5只盒子裝的筆的支數是奇數,根據

27、偶數+奇數=奇數,可知裝有鉛筆、圓珠筆、鋼筆的7只盒子一定有3只盒子里裝有偶數支筆，4支盒子里面裝有奇數支筆，裝有水彩筆的盒子一定裝有奇數支筆.把8只盒子所裝筆支數的數字分別加起來:1+7+2+3+3+3+3+6+3+8+4+2+4+9+5+1=64因為64-(4+9)=51正好能被3整除,所以裝有水彩筆的盒子共裝有49支.10. 3首先根據“后來改為一等獎每人發13支”，可以確定獲一等獎的人數不大于3.否則僅一等獎就要發不小于39支鉛筆,已超過35支,這是不可能的.其次分別考慮獲一等獎有2人或者1人的情況:當獲一等獎有2人時,那么按原計劃發二、三等獎的鉛筆數應該是35-62=23，按改變后發

28、二、三等獎的鉛筆數應該是35-13“二等獎每人發4支”，可以確定獲二等獎的人數僅1人（否則僅二等獎就要發超過9支鉛筆了），經檢驗，這是不可能的，這就是說，獲一等獎不會是2人.“二等獎每人發4支”，且總數不超過22支，我們能夠推知二等獎人數不會超過5，經檢驗，只有獲二等獎是3人才符合題目要求.11.相距最遠的兩塊木牌的距離,等于它們分別與中間一塊木牌的距離之和.如果三塊木牌間兩兩距離都是奇數,就會出現“奇+奇=奇”，這顯然不成立，所以必有兩塊木牌的距離是偶數.12.相遇0次.(黑、白二蟻永不能在B點相遇)黑蟻爬半圓需要5秒鐘，白蟻爬半圓需要4秒鐘，黑、白二蟻同時從A點出發，要在B點相遇，必須滿足

29、兩個條件：黑、白二蟻爬行時間相同，在此時間內二蟻爬行奇數個半圓.但黑蟻爬行奇數個半圓要用奇數秒(5奇數),白蟻爬行奇數個半圓要用偶數秒(4奇數),奇數與偶數不能相等.所以黑、白二蟻永遠不能在B點相遇.13.順時針前進10個位置,相當于順時針前進1個位置；逆時針前進14個位置，相當于順時針前進18-14=4（個）位置.所以原題相當于:順時針每天1個位置,4個位置交替前進,直到前進的位置個數是9的倍數為止.偶數天依次前進的位置個數:5,10,15,20,25,30,35,40，奇數天依次前進的位置個數：1，6，11，16，21，26，31，36 ，41，第15天前進36個位置，36天是9的倍數，所

30、以第15天又回到1號位置。14. 不能.如果能,設最上面 中的數是奇數(見下圖),由奇數奇數=偶數；偶數偶數=偶數；奇數偶數=奇數，沿順時針方向推知，最上面 中又應是偶數，矛盾.當最上面 中是偶數時,同理可證.5324 偶1 奇 奇 偶 奇 偶第3講奇偶分析我們知道，全體自然數按被2除的余數不同可以劃分為奇數與偶數兩大類。被2除余1的屬于一類，被2整除的屬于另一類。前一類中的數叫做奇數，后一類中的數叫做偶數。關于奇偶數有一些特殊性質，比如，奇數偶數，奇數個奇數之和是奇數等。靈活、巧妙、有意識地利用這些性質，加上正確的分析推理，可以解決許多復雜而有趣的問題。用奇偶數性質解題的方法稱為奇偶分析，善

31、于運用奇偶分析，往往有意想不到的效果。例1 下表中有15個數，選出5個數，使它們的和等于30，你能做到嗎？為什么？分析與解：如果一個一個去找、去試、去算，那就太費事了。因為無論你選擇哪5個數，它們的和總不等于30，而且你還不敢馬上斷言這是做不到的。最簡單的方法是利用奇偶數的性質來解，因為奇數個奇數之和仍是奇數，表中15個數全是奇數，所以要想從中找出5個使它們的和為偶數，是不可能的。例2 小華買了一本共有96張練習紙的練習本，并依次將它的各面編號（即由第1面一直編到第192面）。小麗從該練習本中撕下其中25張紙，并將寫在它們上面的50個編號相加。試問，小麗所加得的和數能否為2000？解：不能。由

32、于每一張上的兩數之和都為奇數，而25個奇數之和為奇數，故不可能為2000。說明：“相鄰兩個自然數的和一定是奇數”，這條性質幾乎是顯然的，但在解題過程中，能有意識地運用它卻不容易做到，這要靠同學們多練習、多總結。例3 有98個孩子，每人胸前有一個號碼，號碼從1到98各不相同。試問：能否將這些孩子排成若干排，使每排中都有一個孩子的號碼數等于同排中其余孩子號碼數的和？并說明理由。解：不能。如果可以按要求排成，每排中都有一個孩子的號碼數等于同排中其余孩子號碼數的和，那么每一排中各號碼數之和都是某一個孩子號碼數的2倍，是個偶數。所以這98個號碼數的總和是個偶數，但是這98個數的總和為1+2+98=99&

33、#215;49，是個奇數，矛盾！所以不能按要求排成。例4 如右圖，把圖中的圓圈任意涂上紅色或藍色。問：有無可能使得在同一條直線上的紅圈數都是奇數？請說明理由。解：不可能。 如果每條直線上的紅圈數都是奇數，而五角星有五條邊，奇數個奇數之和為奇數，那么五條線上的紅圈共有奇數個（包括重復的）。從另一個角度看，由于每個圓圈是兩條直線的交點，則每個圓圈都要計算兩次，因此，每個紅圈也都算了兩次，總個數應為偶數，得出矛盾。所以，不可能使得在同一條直線上的紅圈數都是奇數。說明：上述兩題都是從兩個不同的角度去分析處理同一個量，而引出矛盾的。例5 有20個1升的容器，分別盛有1，2，3，20厘米3水。允許由容器A

34、向容器B倒進與B容器內相同的水（在A中的水不少于B中水的條件下）。問：在若干次倒水以后能否使其中11個容器中各有11厘米3的水？解：不可能。在倒水以后，含奇數立方厘米水的容器數是不會增加的。事實上以（偶，偶）（偶，奇）（奇，奇）來表示兩個分別盛有偶數及偶數，偶數及奇數，奇數及奇數立方厘米水的容器。于是在題中條件限制下，在倒水后，（偶，偶）仍為（偶，偶）；而（偶，奇）會成為（偶，奇）或（奇，偶）；（奇，奇）卻成為（偶，偶）。在任何情況下，盛奇數立方厘米水的容器沒有多出來。因為開始時有10個容器里盛有奇數立方厘米的水，所以不會出現有11個盛有奇數立方厘米水的容器。例6 一個俱樂部里的成員只有兩種人

35、：一種是老實人，永遠說真話；一種是騙子，永遠說假話。某天俱樂部的全體成員圍坐成一圈，每個老實人兩旁都是騙子，每個騙子兩旁都是老實人。外來一位記者問俱樂部的成員張三：“俱樂部里共有多少成員？”張三答：“共有45人?！绷硪粋€成員李四說：“張三是老實人?！闭埮袛嗬钏氖抢蠈嵢诉€是騙子？分析與解：根據俱樂部的全體成員圍坐一圈，每個老實人兩旁都是騙子，每個騙子兩旁都是老實人的條件，可知俱樂部中的老實人與騙子的人數相等，也就是說俱樂部的全體成員總和是偶數。而張三說共有45人是奇數，這說明張三是騙子，而李四說張三是老實人，說了假話，所以李四也是騙子。說明：解答此題的關鍵在于根據題設條件導出老實人與騙子的人數相

36、等，這里實質上利用了對應的思想。類似的問題是：圍棋盤上有19×19個交叉點，現在放滿了黑子與白子，且黑子與白子相間地放，并使黑子（或白子）的上、下、左、右的交叉點上放著白子（或黑子）。問：能否把黑子全移到原來的白子的位置上，而白子也全移到原來黑子的位置上？提示：仿例6。答：不能。例7 某市五年級99名同學參加數學競賽，競賽題共30道，評分標準是基礎分15分，答對一道加5分，不答記1分，答錯一道倒扣1分。問：所有參賽同學得分總和是奇數還是偶數？解：對每個參賽同學來說，每題都答對共可得165分，是奇數。如答錯一題，就要從165分中減去6分，不管錯幾道，6的倍數都是偶數，165減去偶數，差

37、還是奇數。同樣道理，如有一題不答，就要減去4分，并且不管有幾道題不答，4的倍數都是偶數，因此，從總分中減去的仍是偶數，所以每個同學的得分為奇數。而奇數個奇數之和仍為奇數，故99名同學得分總和一定是奇數。例8 現有足夠多的蘋果、梨、桔子三種水果，最少要分成多少堆（每堆都有蘋果、梨和桔子三種水果），才能保證找得到這樣的兩堆，把這兩堆合并后這三種水果的個數都是偶數。分析與解：當每堆都含有三種水果時，三種水果的奇偶情況如下表：可見，三種水果的奇偶情況共有8種可能，所以必須最少分成9堆，才能保證有兩堆的三種水果的奇偶性完全相同，把這兩堆合并后這三種水果的個數都是偶數。說明：這里把分堆后三種水果的奇偶情況

38、一一列舉出來，使問題一目了然。例9 有30枚2分硬幣和8枚5分硬幣，5角以內共有49種不同的幣值，哪幾種幣值不能由上面38枚硬幣組成？解：當幣值為偶數時，可以用若干枚2分硬幣組成；當幣值為奇數時，除1分和3分這兩種幣值外，其余的都可以用1枚5分和若干枚2分硬幣組成，所以5角以下的不同幣值，只有1分和3分這兩種幣值不能由題目給出的硬幣組成。說明：將全體整數分為奇數與偶數兩類，分而治之，逐一討論，是解決整數問題的常用方法。若偶數用2k表示，奇數用2k+1表示，則上述討論可用數學式子更為直觀地表示如下：當幣值為偶數時，2k說明可用若干枚2分硬幣表示；當幣值為奇數時，2k+1=2（k-2）+5，其中k2。當k=0，1時，2k+1=1，3。1分和3分硬幣不能由2分和5分硬幣組成，而其他幣值均可由2分和5分硬幣組成。例10 設標有A，B，C，D，E，F，G的7盞燈順次排成一行，每盞燈安裝一個開關?，F在