1、高中數學解題思維與思想-.W.-3 v3> -.-3 «.-3 二-.w.-3 -3*-3> w3> -.-31 w3> -.-3* -.-3>'，三$二$二、3>1勺、勺. v3M9 7、必導 讀；)Ii數學家g .波利亞在怎樣解題中說過：數學教學的目的在于培jii養學生的思維能力，培養良好思維品質的途徑，是進行有效的訓練，本策f!,略結合數學教學的實際情況，從以下四個方面進行講解：;：一、數學思維的變通性；ii根據題設的相關知識，提出靈活設想和解題方案I艮二、數學思維的反思性s!J:!提出獨特見解，檢查思維過程，不盲從、不輕信。！Cy三

2、、數學思維的嚴密性-S;考察問題嚴格、準確，運算和推理精確無誤。：F!i四、數學思維的開拓性i*3對一個問題從多方面考慮、對一個對象從多種角度觀察、對一個題JJ,目運用多種不同的解法。,iiiJ;!什么”轉變，從而培養他們的思維能力。！ii思維與思想的即時性、針對性、實用性，已在教學實踐中得到了*; 全面驗證。；iiII,iIIiiII呂'.'3 .=.白-.'3 ,=1.'3 :二注通:二區 73 :=通-.'3 v=jM -.'3 :=區:=區".'3 .=.，凈-.'3 .=.，三".'3 .=1

3、.3 73 :=通.=.，呂".'3 :=通,.,3 ,=1.'3 ".'3三:=通".'3 7二通信:=注通:=*臺3事-.'3 :=3注 vh'M'M 由M .&一、高中數學解題思維策略第一講數學思維的變通性一、概念數學問題千變萬化，要想既快又準的解題，總用一套固定的方案是行不通的， 必須具有思維的變通性一一善于根據題設的相關知識，提出靈活的設想和解題方案。 根據數學思維變通性的主要體現，本講將著重進行以下幾個方面的訓練：(1)善于觀察心理學告訴我們：感覺和知覺是認識事物的最初級形式，而觀察則是知

4、覺的高 級狀態，是一種有目的、有計劃、比較持久的知覺。觀察是認識事物最基本的途徑, 它是了解問題、發現問題和解決問題的前提。任何一道數學題，都包含一定的數學條件和關系。要想解決它，就必須依據題目 的具體特征，對題目進行深入的、細致的、透徹的觀察，然后認真思考，透過表面現象看其本質，這樣才能確定解題思路，找到解題方法。1n(n 1)1例如，求和1 2這些分數相加，通分很困難，但每項都是兩相鄰自然數的積的倒數，且111111111 、 一 ，1 1 ,因此，原式等于11111-1 ,問題很快就n(n 1) n n 1223nn 1 n 1解決了。(2)善于聯想聯想是問題轉化的橋梁。稍具難度的問題和

5、基礎知識的聯系，都是不明顯的、間接的、復雜的。因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征,靈活運用有關知識，做出相應的聯想，將問題打開缺口，不斷深入。例如，解方程組x y 2xy 3這個方程指明兩個數的和為2,這兩個數的積為 3。由此聯想到韋達定理，x、y是一元二次方程t2 2t 3 0的兩個根，x 1x 3所以 或.可見，聯想可使問題變得簡單。y 3y 1(3)善于將問題進行轉化數學家G .波利亞在怎樣解題中說過： 數學解題是命題的連續變換。 可見，解題過程是通過問題的轉化才能完成的。轉化是解數學題的一種十分重要的思維方法。那么怎樣轉化呢？概括地講，就是把復雜問題轉化成簡單問題

6、，把抽象問題轉化 成具體問題，把未知問題轉化成已知問題。在解題時，觀察具體特征，聯想有關問題 之后，就要尋求轉化關系。1111例如，已知一一 一 ，(abc 0, a b c 0),a b c a b c求證a、b、c三數中必有兩個互為相反數。恰當的轉化使問題變得熟悉、簡單。要證的結論，可以轉化為：(a b)(b c)(c a) 0思維變通性的對立面是思維的保守性，即思維定勢。思維定勢是指一個人用同一種思維方法解決若干問題以后，往往會用同樣的思維方法解決以后的問題。 它表現就 是記類型、記方法、套公式，使思維受到限制，它是提高思維變通性的極大的障礙,必須加以克服。綜上所述，善于觀察、善于聯想、

7、善于進行問題轉化，是數學思維變通性的具體體現。要想提高思維變通性，必須作相應的思維訓練。二、思維訓練實例(1)觀察能力的訓練雖然觀察看起來是一種表面現象，但它是認識事物內部規律的基礎。所以，必須重視觀察能力的訓練，使學生不但能用常規方法解題，而且能根據題目的具體特征， 采用特殊方法來解題。例1 已知a,b, c,d都是實數，求證Ja2 b2Vc2 d2式a c)2 (b d)2.思路分析 從題目的外表形式觀察到，要證的結論的右端與平面上兩點間的距離公式很相似，而左端可看作是點到原點的距離公式。根據其特點，可采用下面巧妙而簡捷的證法，這正是思維變通的體現。證明 不妨設A(a,b), B(c,d)

8、如圖12 1所示, 則 AB| J(a c)2 (b d)2.OA Va2 b2, OB Vc2 d2,在 OAB中，由三角形三邊之間的關系知：OA OB AB當且僅當。在AB上時，等號成立。因此，.a2 b2, c2 d2. (a c)2 (b d)2.思維障礙 很多學生看到這個不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法等, 公式相似的原因，是對這個公式不熟，進一步講是對基礎知識的掌握不牢固。因此，而此題利用這些方法證明很繁學生沒能從外表形式上觀察到它與平面上兩點間距離平時應多注意數學公式、定理的運用練習。例2已知3x2 2y2 6x ,試求x2 y2的最大值。解由3x2 2y2 6x得y2

9、x2 3x.223 2y 0,-x 3x Q 0 x 2.2又 x2 y2 x2 3 x2 3x9(x 3)2 9,222當x 2時，x2 y2有最大值，最大值為2(2 3)2 9 4.思路分析 要求x2 y2的最大值，由已知條件很快將 x2 y2變為一元二次函數 f(x) 2(x 3)2 2,然后求極值點的x值，聯系到y2 0,這一條件，既快又準地 求出最大值。上述解法觀察到了隱蔽條件，體現了思維的變通性。思維障礙大部分學生的作法如下:由 3x2 2y2 6x得 y22x2 3x,x2 y2 x2 3x2 3x 1(x 3)2 9, 222當x 3時，x2 y2取最大值，最大值為這種解法由于

10、忽略了 y2 0這一條件，致使計算結果出現錯誤。因此，要注意審題，不僅能從表面形式上發現特點，而且還能從已知條件中發現其隱蔽條件，既要注 意主要的已知條件, 又要注意次要條件，這樣，才能正確地解題，提高思維的變通性。有些問題的觀察要從相應的圖像著手例3 已知二次函數f(x) ax2 bx c 0(a 0),滿足關系f (2 x) f (2 x),試比較 "0.5)與£()的大小。思路分析 由已知條件f (2 x) f (2 x)可知，在與x 2左右等距離的點的函數值相等，說明該函數的圖像關于直線 x 2對稱，又由 已知條件知它的開口向上，所以，可根據該函數的大致 圖像簡捷地

11、解出此題。解(如圖 122)由 f(2 x) f (2 x),知f(x)是以直線x 2為對稱軸，開口向上的拋物線它與x 2距離越近的點，函數值越小。2 0.52 f (0.5) f()思維障礙 有些同學對比較f(0.5)與f()的大小，只想到求出它們的值。而此題 函數f(x)的表達式不確定無法代值，所以無法比較。出現這種情況的原因，是沒有充 分挖掘已知條件的含義，因而思維受到阻礙，做題時要全面看問題，對每一個已知條 件都要仔細推敲，找出它的真正含義，這樣才能順利解題。提高思維的變通性。(2)聯想能力的訓練例4在ABC中，若 C為鈍角，則tgA tgB的值(A)等于1(B)小于1(C)大于1(D

12、)不能確定思路分析 此題是在 ABC中確定三角函數tgA tgB的值。因此，聯想到三角函數正切的兩角和公式tg(A B) tgA tgB可得下面解法。1 tgA tgBC為鈍角，tgC 0 .在ABC中A B C(A B)且A、B均為銳角,tgCtg(AB) tg(AB) IgAAtgBB0.tgA0,tgB0,1tgA tgB0.即tgA tgB 1.故應選擇(B)思維障礙 有的學生可能覺得此題條件太少，難以下手，原因是對三角函數的基 本公式掌握得不牢固，不能準確把握公式的特征，因而不能很快聯想到運用基本公式。例5 若(z x)2 4(x y)(y z) 0,證明：2y x z.思路分析此題

13、一般是通過因式分解來證。但是，如果注意觀察已知條件的特點, 不難發現它與一元二次方程的判別式相似。于是，我們聯想到借助一元二次方程的知識來證題。證明當 x y 0 時，等式(z x)2 4(x y)(y z) 0可看作是關于t的一元二次方程(x y)t2 (z x)t (y z) 0有等根的條件，在進一步觀察這個方程，它的兩個相等實根是1 ,根據韋達定理就有：-一z 1 即 2y x z x y若x y 0,由已知條件易得 z x 0,即x y z,顯然也有2y x z.例6已知a、b、c均為正實數，滿足關系式a2 b2 c2,又n為不小于3的自然數，求證:anbncn.思路分析由條件a2 b

14、2c2聯想到勾股定理，a、b、c可構成直角三角形的三邊，進一步聯想到三角函數的定義可得如下證法。證明 設a、b、c所對的角分別為A、B、C.則C是直角，A為銳角，于是asin A , cosAcb,且0 csin A1, 0 cos A 1,當 n3時，有 sin n A sin 2 A, cosn A cos2 A于是有 sin n A cosn A sin 2 A cos2 A1即 (a)n (b)n1,c c從而就有an bn cn.思維阻礙 由于這是一個關于自然數n的命題，一些學生都會想到用數學歸納法 來證明，難以進行數與形的聯想，原因是平時不注意代數與幾何之間的聯系，單純學 代數，學

15、幾何，因而不能將題目條件的數字或式子特征與直觀圖形聯想起來。(3)問題轉化的訓練我們所遇見的數學題大都是生疏的、復雜的。在解題時，不僅要先觀察具體特征，聯想有關知識，而且要將其轉化成我們比較熟悉的，簡單的問題來解。恰當的轉化， 往往使問題很快得到解決，所以，進行問題轉化的訓練是很必要的。轉化成容易解決的明顯題目,一111例11 已知a b c - 1,求證a、b、c中至少有一個等于1。a b c思路分析 結論沒有用數學式子表示，很難直接證明。首先將結論用數學式子表 示，轉化成我們熟悉的形式。a、b、c中至少有一個為1,也就是說a 1、b 1、c 1 中至少有一個為零，這樣，問題就容易解決了。證

16、明 1 1 1 1, bc ac ab abc.a b c于是(a 1)(b 1)(c 1) abc (ab ac bc 1) (a b c) 0.a 1、b 1、c 1中至少有一個為零，即a、b、c中至少有一個為1。思維障礙 很多學生只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證明三者中至少有一個為1,其原因是不能把要證的結論“翻譯”成數學式子，把陌生問題變 為熟悉問題。因此，多練習這種“翻譯”，是提高轉化能力的一種有效手段。例12 直線L的方程為x ，其中p 0;橢圓E的中心為0（2 £,0）,焦點 在X軸上，長半軸為2,短半軸為1,它的一個頂點為A（-p,0）,問p在什么范圍內

17、取 值時，橢圓上有四個不同的點，它們中的每一點到點 A的距離等于該點到直線L的距思路分析 從題目的要求及解析幾何的知識可知，四個不同的點應在拋物線(1)2y 2px是，又從已知條件可得橢圓E的方程為因此，問題轉化為當方程組x (2 224y2 1(1) 、 (2)有四個不同的實數解時，求p的取值范圍。將（2）代入（1）得:x2 (7p2p4)x 2p 0.4(3)確定p的范圍，實際上就是求（3）有兩個不等正根的充要條件，解不等式組:(7p244)22p7p在p 0的條件下，得0p 13.2p4(2p) 04本題在解題過程中，不斷地把問題化歸為標準問題：解方程組和不等式組的問題。2逆向思維的訓練

18、逆向思維不是按習慣思維方向進行思考，而是從其反方向進行思考的一種思維方式。當問題的正面考慮有阻礙時，應考慮問題的反面，從反面入手，使問題得到解決。例13 已知函數f(x) 2x2 mx n,求證f(1)、f(2)、f (3)中至少有一個不 小于1.思路分析 反證法被譽為“數學家最精良的武器之一”，它也是中學數學常用的解題方法。當要證結論中有“至少”等字樣，或以否定形式給出時，一般可考慮采用 反證法證明(反證法)假設原命題不成立，即|f(1)|、|f(2)、| f (3)都小于1。f 112m n 13m n1則f (2)|1182m n 192m n7f(3)11183m n 1193m n1

19、7十得11 2m n 9,與矛盾，所以假設不成立，即|f、|f(2)、|f (3)中至少有一個不小于1。3 一題多解訓練由于每個學生在觀察時抓住問題的特點不同、運用的知識不同，因而，同一問題可能得到幾種不同的解法，這就是“一題多解”。通過一題多解訓練，可使學生認真 觀察、多方聯想、恰當轉化，提高數學思維的變通性。例14 已知復數z的模為2 ,求|z i|的最大值。解法一(代數法)設z x yi(x、y R),則x2 y2=4. z i vx2 (y 1)2 <5 2y.y 2,當 y 2時，z imax 3.解法二（三角法）設z 2（cos isin ）,4cos2十 (2sin 1)2

20、.54sin .解法三（幾何法）2,點謂圓max 3.x2 y24上的點,z i表示z與i所對應的點之間的距離如圖12 3所示，可知當z2i時,解法四（運用模的性質）z i而當z2i時,3.max 3.解法五（運用模的性質）(z i)(z i)zz(zz)i 15 2I(z),(I (z)表z的虛部).又 I(z)2,2max 9,max 3.第二講數學思維的反思性、概述精細地檢查思維過程，不盲獲得獨特的解決問題的方法,數學思維的反思性表現在思維活動中善于提出獨立見解, 從、不輕信。在解決問題時能不斷地驗證所擬定的假設, 它和創造性思維存在著高度相關。本講重點加強學生思維的嚴密性的訓練，培養他

21、們 的創造性思維。、思維訓練實例(1)檢查思路是否正確，注意發現其中的錯誤例1 已知f (x) ax錯誤解法由條件得+得 3錯誤分析c b 3a 3f(1) 0,f(2)6,求f (3)的范圍2a43,畔f(3) 433采用這種解法，忽視了這樣個事實xf(x) ax -，其值是同時受a和b制約的。當a取取大(/J b6 a 158 b23 33:作為滿足條件的函數)值時，b不一定取最大(小)值，因而整個解題思路是錯誤的。正確解法由題意有f(1) a b bf(2) 2a b解得：a%2f(2) f(1), b 72 f (1) f(2), 33f(3) 3a 3 f) 9f., 1637把f和

22、f (2)的范圍代入得-f(3) 37 33在本題中能夠檢查出解題思路錯誤， 并給出正確解法，就體現了思維具有反思性。只有牢固地掌握基礎知識，才能反思性地看問題。例2證明勾股定理：已知在 ABC中， C 90 ,求證c2 a2 b2.ab 一 o錯塊證法 在 Rt ABC 中，sin A -, cosA -，而sin A cos A 1 , cc(a)2 (b)2 1,即 c2 a2 b2. c c錯誤分析 在現行的中學體系中，sin2 A cos2 A 1這個公式本身是從勾股定理推出來的。這種利用所要證明的結論，作為推理的前提條件，叫循環論證。循環論證 的錯誤是在不知不覺中產生的，而且不易發

23、覺。因此，在學習中對所學的每個公式、法則、定理，既要熟悉它們的內容，又要熟悉它們的證明方法和所依據的論據。這樣 才能避免循環論證的錯誤。發現本題犯了循環論證的錯誤，正是思維具有反思性的體 現。驗算的訓練驗算是解題后對結果進行檢驗的過程。通過驗算，可以檢查解題過程的正確性, 增強思維的反思性。例3已知數列an的前n項和& 2n 1,求an.錯誤解法 an Sn Sn1(2n1) (2n1 1) 2n 2n 12nl.錯誤分析顯然，當n 1時，© S1 3 211 1 ,錯誤原因，沒有注意公式an Sn Sn1成立的條件是n2(nN).因此在運用an SnSn1時，必須檢驗n時的

24、情形。即：anS1 (n 1)Sn (n 2,n N)1例4實數a為何值時，圓x y 2ax a 1 0與拋物線y x有兩個公共點。錯誤解法 將圓x2 y2 2ax a2 1 0與拋物線y2 乂聯立，消去丫，212得 x2 (2a -)x a2 1 0 (x 0).01因為有兩個公共點，所以方程有兩個相等正根，得 2a 1 02a2 1 0.右17解之，得a -.8錯誤分析(如圖22 1; 2 22)顯然，當a 0時，圓與拋物線有兩個公共點。要使圓與拋物線有兩個交點的充要條件是方程有一正根、一負根；或有兩個相等正根。當方程有一正根、一負根時，得 2 0 解之，得1 a 1.a2 1 0.171

25、 .因此，當a 或1 a 1時，圓x y 2ax a 1 0與拋物線y -x有兩 82個公共點。思考題：實數a為何值時，圓x2 y2 2ax a2 1 0與拋物線y2 1x,(1)有一個公共點；(2)有三個公共點；(3)有四個公共點；(4)沒有公共點。養成驗算的習慣，可以有效地增強思維反思性。如：在解無理方程、無理不等式； 對數方程、對數不等式時，由于變形后方程或不等式兩端代數式的定義域可能會發生 變化，這樣就有可能產生增根或失根，因此必須進行檢驗，舍棄增根，找回失根。(3)獨立思考，敢于發表不同見解受思維定勢或別人提示的影響，解題時盲目附和，不能提出自己的看法，這不利于增強思維的反思性。因此

26、，在解決問題時，應積極地獨立思考，敢于對題目解法發表自己的見解，這樣才能增強思維的反思性，從而培養創造性思維。例5 30支足球隊進行淘汰賽，決出一個冠軍，問需要安排多少場比賽？解 因為每場要淘汰1個隊，30個隊要淘汰29個隊才能決出一個冠軍。因此應安排29場比賽。思 路分析 傳統的思維方法是：30支隊比賽，每次出兩支隊，應有15 + 7 +4 + 2+1 = 29場比賽。而上面這個解法沒有盲目附和，考慮到每場比賽淘汰1個隊,要淘汰29支隊，那么必有29場比賽。例6解方程x2 2x 3 cosx.考察方程兩端相應的函數y (x 1)2 2, y cosx ,它們的圖象無交點。所以此方程無解。例7

27、 設、是方程x2 2kx k 6 0的兩個實根，則(1)2 (1)2的最小值是()49一,，(A)49；(B) 8;(C) 18;(D)不存在4思路分析 本例只有一個答案正確，設了 3個陷阱，很容易上當。利用一元二次方程根與系數的關系易得:2k, k 6,(1)2(22_2_1)212()2 22(3 24(k 7)49449有的學生一看到 49 ,常受選擇答案(A)的誘惑，盲從附和。這正是思維缺乏 4反思性的體現。如果能以反思性的態度考察各個選擇答案的來源和它們之間的區別, 就能從中選出正確答案原方程有兩個實根、，4k2 4(k 6) 0, k 2 或 k 3.當k 3時，(1)2 (1)2

28、的最小值是8;當k 2時，(1)2(1)2的最小值是18;這時就可以作出正確選擇，只有(B)正確第三講 數學思維的嚴密性、概述在中學數學中，思維的嚴密性表現為思維過程服從于嚴格的邏輯規則，考察問題時嚴格、準確，進行運算和推理時精確無誤。數學是一門具有高度抽象性和精密邏輯性的 科學，論證的嚴密性是數學的根本特點之一。但是，由于認知水平和心里特征等因素 的影響，中學生的思維過程常常出現不嚴密現象，主要表現在以下幾個方面：概念模糊 概念是數學理論體系中十分重要的組成部分。 它是構成判斷、推理的要素。因此必須弄清概念，搞清概念的內涵和外延，為判斷和推理奠定基礎。概念不清就容易陷入思維混亂，產生錯誤。判

29、斷錯誤 判斷是對思維對象的性質、關系、狀態、存在等情況有所斷定的一種思維形式。數學中的判斷通常稱為命題。在數學中，如果概念不清，很容易導致判斷錯誤。 1 例如，”函數y (3) x是一個減函數”就是一個錯誤判斷。推理錯誤推理是運用已知判斷推導出新的判斷的思維形式。它是判斷和判斷的聯合。任何一個論證都是由推理來實現的，推理出錯，說明思維不嚴密。，一 一 一一 ,1例如，解不等式x -.x解 X -,x2 1,X12X 1,或X 1.這個推理是錯誤的。在由X -推導X2 1時，沒有討論X的X正、負，理由不充分，所以出錯。思維的嚴密性是學好數學的關鍵之一。訓練的有效途徑之一是查錯。(1)有關概念的訓

30、練概念是抽象思維的基礎，數學推理離不開概念。”正確理解數學概念是掌握數學基礎知識的前提。”中學數學教學大綱(試行草案)例1、 不等式 log(x2 2)(3x2 2x 4) log(x2 2)(x2 3x 2).錯誤解法 x2 2 1,_ 2_2_3x 2x 4 x 3x 2,2x2 x 6 0, x 3 或x 2.2錯誤分析當x 2時，真數x2 3x 2 0且x 2在所求的范圍內(因 2 |),說明解法錯誤。原因是沒有弄清對數定義。此題忽視了 “對數的真數大于零”這一條件造成解法錯誤，表現出思維的不嚴密性。正確解法 x2 2 13x2 2x 4 02x2 3x 2 03x2 2x 4 x2

31、3x 2x 2或 x2.1 ,13.x 或x3x 2或x 13或x2例2、求過點(0,1)的直線，使它與拋物線11332x僅有一個交點。錯誤解法設所求的過點(0,1)的直線為y kx 1 ,則它與拋物線的交點為y kx 122,消去 y 得：（kx 1） 2x 0.整理得k2x2y 2x(2 k 2)x 1 0.直線與拋物線僅有一個交點,一 1 10,解得k -. 所求直線為y -x 1.22錯誤分析此處解法共有三處錯誤：第一，設所求直線為y kx 1時，沒有考慮k 0與斜率不存在的情形，實際上就是承認了該直線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴密的。第二，題中要求直線與拋物線只有一個交點，它包

32、含相交和相切兩種情況，而上述解法沒有考慮相切的情況，只考慮相交的情況。原因是對于直線與拋物線“相切”和“只 有一個交點”的關系理解不透。第三，將直線方程與拋物線方程聯立后得一個一元二次方程，要考慮它的判別式，所 以它的二次項系數不能為零，即k 0,而上述解法沒作考慮，表現出思維不嚴密(0,1),所以x 0,即正確解法 當所求直線斜率不存在時，即直線垂直x軸，因為過點y軸，它正好與拋物線y判斷的訓練造成判斷錯誤的原因很多，我們在學習中，應重視如下幾個方面。 2x相切。當所求直線斜率為零時，直線為y 1,平行x軸，它正好與拋物線y2 2x只有一個交設所求的過點(0,1)的直線為ykx 1 (k 0

33、)則y kx 1y2 2x '(2k 2)x 1 0.令0,解得 k1,，一1所求直線為2y 2x 1.綜上，滿足條件的直線為:1y 1, x 0, y 2 x1.注意定理、公式成立的條件數學上的定理和公式都是在一定條件下成立的。如果忽視了成立的條件，解題中難免出現錯誤。例3、實數m,使方程x2 (m 4i)x 1 2mi 0至少有一個實根。錯誤解法方程至少有一個實根，2_2_(m 4i)4(1 2mi) m 20 0.m 2J5，或 m2j5.錯誤分析 實數集合是復數集合的真子集，所以在實數范圍內成立的公式、定理，在復數范圍內不一定成立，必須經過嚴格推廣后方可使用。一元二次方程根的判

34、別式是對實系數一元二次方程而言的，而此題目盲目地把它推廣到復系數一元二次方程中，造成解法錯誤。正確解法 設a是方程的實數根，則a2 (m 4i)a 1 2mi 0, 2a ma 1 (4a 2m)i 0.由于a、m都是實數，a2 ma 1 04a 2m 0解得 m 2.例4已知雙曲線的右準線為x 4,右焦點F(10,0),離心率e 2,求雙曲線方程。2錯解 1 x 4,c 10, a2 40, b2 c2 a2 60. c故所求的雙曲線方程為22L 1.40 60錯解2 由焦點F (10,02 10,22a 75.c2e 2, a 5,b c a故所求的雙曲線方程為2 x252L 1.75錯解

35、分析 這兩個解法都是誤認為雙曲線的中心在原點，而題中并沒有告訴中心 在原點這個條件。由于判斷錯誤，而造成解法錯誤。隨意增加、遺漏題設條件，都會 產生錯誤解法。正解1設P(x,y)為雙曲線上任意一點，因為雙曲線的右準線為x 4,右焦點F(10,0),離心率e 2,由雙曲線的定義知(x 10)2 y2.|x 4|整理得正解2依題意，設雙曲線的中心為(m,0)(x 2)2 亡 1I .10解得482.所以,22b c2_a64 1648,故所求雙曲線方程為(x 2)2162 y1.1648注意充分條件、必要條件和充分必要條件在解題中的運用我們知道：如果A成立，那么B成立，即A B,則稱A是B的充分條

36、件。如果B成立，那么A成立，即B A,則稱A是B的必要條件。如果A B ,則稱A是B的充分必要條件。充分條件和必要條件中我們的學習中經常遇到。 像討論方程組的解，求滿足條件的點的軌跡等等。但充分條件和必要條件中解題中的作用不同，稍用疏忽，就會出錯例5解不等式Jx 1 x 3.錯誤解法要使原不等式成立，只需x 1 0x 3 0,解得3x5.2x 1 (x 3)2錯誤分析 不等式VA B成立的充分必要條件是:A 0B 0或A B2原不等式的解法只考慮了一種情況x10x30,而忽視了另一種情況x1(x3)23 x 5 ,或1 x 3.原不等式的解集為x|1 x 5例6 （軌跡問題）求與y軸相切于右側

37、，并與OC : x2 y2 6x 0也相切的圓的圓心的軌跡方程。錯誤解法 如圖3-2-1所示，已知。C的方程為（x 3）2 y2 9.設點P（x, y）（x 0）為所求軌跡上任意一點，并且。P與y軸相切于M點， 與。C相切于N點。根據已知條件得2 2-|CP | | PM | 3 ,即 v（x 3） y x 3.化簡得y2 12x （x 0）.錯誤分析本題只考慮了所求軌跡的純粹性（即所求的軌跡上的點都滿足條件）， 而沒有考慮所求軌跡的完備性（即滿足條件的點都在所求的軌跡上）。事實上，符合 題目條件的點的坐標并不都滿足所求的方程。從動圓與已知圓內切，可以發現以 x軸 正半軸上任一點為圓心，此點到

38、原點的距離為半徑（不等于 3）的圓也符合條件，所 以y 0 （x 0且x 3）也是所求的方程。即動圓圓心的軌跡方程是y2 12x （x 0）和 y 0 （x 0且x 3）。因此，在求軌跡時，一定要完整的、細致地、周密地分析問題， 這樣，才能保證所求軌跡的純粹性和完備性。防止以偏概全的錯誤以偏概全是指思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完全，不能給出問題的全 部答案，從而表現出思維的不嚴密性。例7 設等比數列an的全n項和為Sn .若S3 S62s9 ,求數列的公比q .錯誤解法S3 S6 2 s9,3 69、ai(1q) ai(1 q)2 ai(1q)1q 1 q1q整理得 q3(2q6 q3

39、 1)= 0.由 q 訓方程 2q6 q3 1 0.(2q3 1)(q3 1) 0,34q 5-或 q 1369、錯誤分析在錯解中，由a1(1 q) a1(1q) 2 a1(1q)1 q 1q1q整理得 q3(2q6 q3 1)=0.時，應有a10和q 1.在等比數列中，a10是顯然的,但公比q完全可能為1,因此，在解題時應先討論公比q 1的情況，再在q 1的情況下，對式子進行整理變形正確解法 若q 1,則有S3 3a1,S6 6a1,S9 9a1.但a1 0,即得S3 S6 2s9,與題設矛盾，故q 1.又依題意S3 S62 s9,可得整理得a« q3) a1(1 q6)2 a(1

40、 q9)1 q 1 q1 qq3(2q6 q3 1)= 0.即(2q31)(q3 1) 0,因為q 1,所以q3 10,所以2q3 1 0.所以說明 此題為1996年全國高考文史類數學試題第（21）題，不少考生的解法同 錯誤解法，根據評分標準而痛失 2分避免直觀代替論證我們知道直觀圖形常常為我們解題帶來方便。但是，如果完全以圖形的直觀聯系 為依據來進行推理，這就會使思維出現不嚴密現象。例8 （如圖3-2-2）,具有公共y軸的兩個直角坐標平面和 所成的二面角y軸 等于60 .已知 內的曲線C的方程是y2 2Px （p 0）,求曲線C在內的射影的曲線方程。.'錯誤解法 依題意，可知曲線c是

41、拋物線，在內的焦點坐標是F 0P,0）,p 0.強因為二面角y軸等于60 ,圖3且x軸 y軸，x軸 y軸，所以xox 60 .設焦點F在 內的射影是F（x,y）,那么，F位于x軸上，從而 y 0, F OF 60 , F FO 90 ,所以OF OF cos60 1十.所以點F（：,0）是所求射影的焦點。依題意，射影 是一條拋物線，開口向右，頂點在原點。所以曲線C在 內的射影的曲線方程是y2 px.錯誤分析 上述解答錯誤的主要原因是，憑直觀誤認為 F是射影（曲線）的焦點， 其次，未經證明 默認C在 內的射影（曲線）是一條拋物線。正確解法 在 內，設點M （x ,y ）是曲線上任意一點（如圖3

42、2 3）過點M作MN ,垂足為N ,/ 過N作NH y軸，垂足為H.連接MH ,x則MH y軸。所以 MHN是二面角y軸一 的平面角，依題意，MHN 60 .,1在 Rt MNH 中，HN HM cos60-x.又知HM x軸(或M與O重合)，HN x軸(或H與O重合)，設N (x,y),x 2xy y.1 x -x 則2y y因為點M (x , y )在曲線y2 2Px ( p 0)上，所以y2 2p(2x).即所求射影的方程為y2 4px(p 0).(3)推理的訓練數學推理是由已知的數學命題得出新命題的基本思維形式，它是數學求解的核 心。以已知的真實數學命題，即定義、公理、定理、性質等為依

43、據，選擇恰當的解題 方法，達到解題目標，得出結論的一系列推理過程。在推理過程中，必須注意所使用 的命題之間的相互關系(充分性、必要性、充要性等)，做到思考縝密、推理嚴密。例9設橢圓的中心是坐標原點，長軸x在軸上，離心率e會已知點P(0$到這個橢圓上的最遠距離是7 ,求這個橢圓的方程。錯誤解法依題意可設橢圓方程為2 x-2 a2y三 1(a b 0)b222, 2則e2c?一a a2b.b21 口所以T ,即aa24設橢圓上的點（x, y）到點P的距離為d ,則 d2 x8例10 求 y 2 21的取小值 sin x cos x (y 3)2 222 y 29a (1 9)y 3y - b41

44、223( y -)2 4b2 3. 2所以當y 1時，d2有最大值，從而d也有最大值。2所以 4b2 3 (<7)2,由此解得：b2 1,a2 4.2于是所求橢圓的方程為 y2 1.4錯解分析盡管上面解法的最后結果是正確的，但這種解法卻是錯誤的。結果正確只是碰巧而已。由當y 1時，d2有最大值，這步推理是錯誤的，沒有考慮 y到2的取值范圍。事實上，由于點（x,y）在橢圓上，所以有 b y b,因此在求d 2的最大值時，應分類討論。即:若b 1,則當y b時，d2 （從而d）有最大值。于是（萬）2 （b 3）2,從而解得b 71 1，與b）矛盾。22 22所以必有b 1 ,此時當y 1時，

45、d2 （從而d ）有最大值, 22所以 4b2 3 （"）2,解得 b2 1,a2 4.2錯解12sin2 x82cos xJxcoix8| sinxcosx |于是所求橢圓的方程為亍y2 1.16| sin 2x |16,.ymin 16.2. 282錯解 2 y (2 Sin x)(2 cos x) 1 2 2 2 8 11 6 2.sin xcos x28錯誤分析在解法1中，y 16的充要條件是'且|sin2x| 1.sin x cos xr-1.即|tgx| -且|sinx| 1.這是自相矛盾的。 ymin 16. 2在解法2中，y 1 6<2的充要條件是2si

46、n 2k 2 .8k k x且一82cos2x,即 sin2 x 22,cos2x2T2這是不可能的。sin xcos x正確解法 1 y 2 csc2 x 8sec2 x2(1 ctg2x) 8(1 tg2x)一 一 ,2.2 、10 2(ctg x 4tg x)10 2 2 ctg2x 4tg2x18.其中，當 ctg2x 4tg2x,即 ctg2x 2時，y 18. ymin 18.正確解法2取正常數k ,易得8(2-cos x,2、,k cos x) k,2, . 2 、y (2 ksin x) sin x6 .2k k.其中“ ”取“=”的充要條件是2 k sin2 x且 一8 k

47、cos2 x, 即 tg2x1且k 18.sin xcos x221i因此，當 tg x 一時，y 6 V2k k 18,ym.18.2第四講 數學思維的開拓性、概述 數學思維開拓性指的是對一個問題能從多方面考慮；對一個對象能從多種角度觀察; 對一個題目能想出多種不同的解法，即一題多解。“數學是一個有機的整體，它的各個部分之間存在概念的親緣關系。我們在學習 每一分支時，注意了橫向聯系，把親緣關系結成一張網，就可覆蓋全部內容，使之融 會貫通”，這里所說的橫向聯系，主要是靠一題多解來完成的。通過用不同的方法解 決同一道數學題，既可以開拓解題思路，鞏固所學知識；又可激發學習數學的興趣和 積極性，達到

48、開發潛能，發展智力，提高能力的目的。從而培養創新精神和創造能力。在一題多解的訓練中，我們要密切注意每種解法的特點，善于發現解題規律，從中發現最有意義的簡捷解法。數學思維的開拓性主要體現在：(1) 一題的多種解法例如 已知復數z滿足|z| 1,求|z i|的最大值。我們可以考慮用下面幾種方法來解決：運用復數的代數形式；運用復數的三角形式；運用復數的幾何意義；運用復數模的性質(三角不等式)|Zi | | Z2 | | Zl Z2 | | Zl | | Z2 | ；運用復數的模與共腕復數的關系|z|2 zZ；(數形結合)運用復數方程表示的幾何圖形，轉化為兩圓 |z| 1與|z i | r有 公共點時

49、，r的最大值。(2) 一題的多種解釋 1例如，函數式yax22-(a x)2 (b y)2 0, 所以 ax by 1.分析2運用分析法，從所需證明的不等式出發，運用已知的條件、定理和性質 等，得出正確的結論。從而證明原結論正確。分析法其本質就是尋找命題成立的充分條件。因此，證明過程必須步步可逆，并注意書寫規范 ' '證法2 要證 ax by 1.只需證 1 (ax by) 0,可以有以下幾種解釋：2可以看成自由落體公式s 2gt2.可以看成動能公式E -mv2.212可以看成熱量公式Q -RI2.2又如“1”這個數字，它可以根據具體情況變成各種形式，使解題變得簡捷。“1可以變

50、換為：log a a, - , sin2x cos2 x, (log a b) (logb a), sec2 x tg2x,等等。 x1 .思維訓練實例例 1 已知 a2 b2 1, x2 y2 1.求證：ax by 1.分析1用比較法。本題只要證1 (ax by) 0.為了同時利用兩個已知條件，只需要觀察到兩式相加等于2便不難解決，, 、1,證法11 (ax by) 2(1 1) (ax by)1 z 222(a b x22、y ) (ax by)1(a2 2ax x2) (b2 2by y2)2即2 2(ax by) 0,因為a2 b2 1, x2 y2 1.所以只需證(a2 b2 x2

51、y2) 2(ax圖 42 1因為最后的不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。即(a x)2(b y)2 0.分析3運用綜合法（綜合運用不等式的有關性質以及重要公式、定理（主要是 平均值不等式）進行推理、運算，從而達到證明需求證的不等式成立的方法）22.2222,22ax by. a x b y .證法 3 ax , by -. ax by - 1.2222即 ax by 1.分析4三角換元法：由于已知條件為兩數平方和等于 1的形式，符合三角函數 同角關系中的平方關系條件，具有進行三角代換的可能，從而可以把原不等式中的代 數運算關系轉化為三角函數運算關系，給證明帶來方便。證法 4a2b21,

52、 x2 y21,可設a sin ,b cos . x sin , y cosax bysinsin cos cos cos（） 1,分析5數形結合法：由于條件x2 y2 1可看作是以原點為圓心，半徑為1的單位圓，而ax byax2 by2 .聯系到點到直線距離公式，可得下面證法。a b證法5（如圖4-2-1 ）因為直線l :ax by 0經過圓x2 y2 1的圓心O,所以圓上任意一點M（x,y）到直線ax by 0的距離都小于或等于圓半徑1,| ax by |d| ax by | 1 ax by 1.a2 b2簡評五種證法都是具有代表性的基本方法，也都是應該掌握的重要方法。除了證法4、證法5的方法有適應條件的限制這種局限外，前三種證法都是好方法。可在具體應用過程中，根