1、數(shù)學(xué)研究性課題課題名稱：數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史班 級(jí)：高一（1）班組員組成：朱圓圓 王倩倩 徐博龍 王恩惠 王浩楨趙宏博李向陽指導(dǎo)老師：平泉中學(xué)學(xué)生研究性學(xué)習(xí)課題活動(dòng)計(jì)劃表編號(hào)：班級(jí)： 高一（1）班 時(shí)間：2013年10月20日主題名稱數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)程課題名稱數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史小組成員朱圓圓王倩倩徐博龍王恩惠王浩楨趙宏組R朱圓圓博李向陽長研究背景（課題立論依據(jù)）數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的圖形和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，包括代 數(shù)、幾何、三角、微函數(shù)等。它來源于生產(chǎn)服務(wù)與生活。研究目標(biāo)（課題研究的目的與意義）對(duì)數(shù)學(xué)有更新的認(rèn)識(shí)，大家通過查找數(shù)學(xué)，名人趣事，數(shù) 學(xué)常識(shí)等資料。對(duì)數(shù)學(xué)的功用問題有一個(gè)正確的認(rèn)識(shí)從而使我 們對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)

2、生興趣，提高數(shù)學(xué)成績。研究內(nèi)容、擬解決的 關(guān)鍵問題及創(chuàng)新之處研究內(nèi)容：1數(shù)學(xué)研究方法討論問題；2總的科學(xué)發(fā)展史、數(shù) 學(xué)史通史；3數(shù)學(xué)各分支的分科史。研究方法、條件及可 能遇到的困難與對(duì)策研究方法：1課題報(bào)告結(jié)構(gòu)；2課題報(bào)告的基本要求；3困難 :所研究的結(jié)果。對(duì)策：探討生活繼續(xù)研究。研究 小組 成員 分工姓名承擔(dān)任務(wù)王倩倩趙宏博收集資料朱圓圓王恩惠李向陽篩選資料朱圓圓徐博龍王浩楨收集圖片并檢查訂正研究 的預(yù) 期進(jìn) 展研究階段時(shí)間安排（周次）活動(dòng)的主要內(nèi)容及目標(biāo)課題生成與小組建立1成立研究性學(xué)習(xí)并確立課題形成小組研究方案2-3確立研究方案開題論證與交流4-5討論課題，交流想法研究方案的實(shí)施6-10

3、開時(shí)實(shí)施研究中期班級(jí)交流11數(shù)學(xué)歷史及具意義資料整理與分析12-13元者并補(bǔ)充內(nèi)容形成研究成果14-16整理匯編完成研究成果交流與展示17展示成果并并修訂平泉中學(xué)學(xué)生研究性學(xué)習(xí)課題研究成果匯報(bào)表2013年10月21日編R課題名稱數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史組長朱圓圓組員朱圓圓王倩倩徐博龍 王恩惠王浩楨趙宏博 李向陽導(dǎo)師徐克位結(jié)題報(bào)告報(bào)告執(zhí)筆附錄材料課題申t#表_J份，活動(dòng)計(jì)劃_J份， 活動(dòng)記錄表_8份，訪談表 5 份，調(diào)查表 10份，其他材料：成果概述通過研究，學(xué)生更加了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史相關(guān)科 學(xué)述語成果體 現(xiàn)依據(jù)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)普遍提高。實(shí)物 材料編R名稱制作者內(nèi)容與功能數(shù)量數(shù)學(xué)讀本了解數(shù)學(xué)歷史10相關(guān) 統(tǒng)計(jì)

4、社會(huì)調(diào)查 J次，調(diào)查人數(shù)25人，訪問專家 _2_人回收調(diào)查表 20 份，活動(dòng)經(jīng)費(fèi) 20 元.上網(wǎng) 20 小時(shí)。參考書目及資料清單：瀏覽相關(guān)網(wǎng)站：課題展示方式及其相關(guān)說明：班內(nèi)學(xué)生查找資料。實(shí)物材料：如制作的圖片、模型、照片、實(shí)物樣本、音像資料等。平泉中學(xué)學(xué)生研究性學(xué)習(xí)課題研究成果匯報(bào)表（一）編號(hào)課題名稱數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史導(dǎo) 師徐克位組長朱圓圓參加人數(shù)7劃行 計(jì)執(zhí)組長能夠很好地帶領(lǐng)組員按計(jì)劃實(shí)施活動(dòng)活動(dòng) 記錄活動(dòng)過程中組員積極配合，積極活動(dòng)，興趣濃厚任務(wù) 完成完成良好組員 合作合作默契，團(tuán)結(jié)一致成果 評(píng)估收獲較大，成果優(yōu)秀綜合評(píng)價(jià)：組員 成績 評(píng)定姓名等級(jí)姓名等級(jí)姓名等級(jí)朱圓圓良好王恩惠良好趙宏博王

5、倩倩良好徐博龍李向陽良好王浩楨良好等級(jí)分優(yōu)秀、良好、一般。平泉中學(xué)學(xué)生研究性學(xué)習(xí)課題實(shí)施評(píng)價(jià)表（二）（由評(píng)審組填寫）2013年10 月21 日編號(hào)課題名稱數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史組長朱圓圓參加人數(shù)7導(dǎo)師徐克位類別得分小叱（5）陳述答辯計(jì)劃實(shí)施情況（20）計(jì)劃是否合理（10）計(jì)劃實(shí)施情況（10）材料完整性（15）記錄情況 （5）完整情況（材料是含齊全）（10）成果體現(xiàn)（15）科學(xué)性、實(shí)際水平（10）展示效果（5）結(jié)題報(bào)告（30）完整性（6）實(shí)踐性（6）科學(xué)性（6）邏輯性（6）應(yīng)用性（6）成果答辯（15）陳述 （5）語百、儀表、止確性、時(shí)間運(yùn)用答辯 (10)應(yīng)答能力（3）3正確性 （3）小組合作（2）2時(shí)間

6、運(yùn)用（2）突出貢獻(xiàn)（課題是否有創(chuàng)新意識(shí)，學(xué)生能力及成果是否特別顯著）（10）課題成果總分評(píng)審組（簽名）：課題綜合等級(jí)A(100) B(90) C(80) D(70) E(60)B數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史數(shù)學(xué)古稱算學(xué)，是中國古代科學(xué)中一門重要的學(xué)科，根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展的特 點(diǎn)，可以分為五個(gè)時(shí)期：萌芽；體系的形成；發(fā)展；繁榮和中西方數(shù)學(xué)的融合。中國古代數(shù)學(xué)的萌芽原始公社末期，私有制和貨物交換產(chǎn)生以后，數(shù)與形的概念有了進(jìn)一步的發(fā)展， 仰韶文化時(shí)期出土的陶器，上面已刻有表示 1234的符號(hào)。到原始公社末期，已開始用 文字符號(hào)取代結(jié)純記事了。西安半坡出土的陶器有用18個(gè)圓點(diǎn)組成的等邊三角形和分正方形為100個(gè)小

7、正 方形的圖案，半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形。為了畫圓作方，確定平直，人們 還創(chuàng)造了規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等作圖與測量工具。據(jù)史記夏本紀(jì)記載，夏禹治水時(shí) 已使用了這些工具。商代中期，在甲骨文中已產(chǎn)生一套十進(jìn)制數(shù)字和記數(shù)法，其中最大的數(shù)字為三萬； 與此同時(shí)，殷人用十個(gè)大干和十二個(gè)地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60個(gè)名稱來記60天的日期；在周代，又把以前用陰、陽符號(hào)構(gòu)成的八卦表示八種事物發(fā)展為六十 四卦，表示64種事物。公元前一世紀(jì)的周髀算經(jīng)提到西周初期用矩測量高、深、廣、遠(yuǎn)的方法，并舉出 勾股形的勾三、股四、弦五以及環(huán)矩可以為圓等例子。禮記內(nèi)則篇提到西周貴族子弟從九歲開始便要學(xué)習(xí)數(shù)目和記數(shù)方法，他

8、們要受禮、樂、射、馭、書、數(shù)的訓(xùn)練， 作為“六藝”之一的數(shù)已經(jīng)開始成為專門的課程。春秋戰(zhàn)國之際，籌算已得到普遍的應(yīng)用，籌算記數(shù)法已使用十進(jìn)位值制，這種記 數(shù)法對(duì)世界數(shù)學(xué)的發(fā)展是有劃時(shí)代意義的。這個(gè)時(shí)期的測量數(shù)學(xué)在生產(chǎn)上有了廣泛應(yīng) 用，在數(shù)學(xué)上亦有相應(yīng)的提高。戰(zhàn)國時(shí)期的百家爭鳴也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，尤其是對(duì)于正名和一些命題的爭論直接與 數(shù)學(xué)有關(guān)。名家認(rèn)為經(jīng)過抽象以后的名詞概念與它們?cè)瓉淼膶?shí)體不同，他們提出“矩 不方，規(guī)不可以為圓”，把“大一”（無窮大）定義為“至大無外”，“小一”（無窮小） 定義為“至小無內(nèi)”。還提出了 “一尺之槌，日取其半，萬世不竭”等命題。而墨家則認(rèn)為名來源于物，名可以從不同方

9、面和不同深度反映物。墨家給出一些墨家 不同意“一尺之槌”的命題，提出一個(gè)“非半”的命題來進(jìn)行反駁：將一線段按一半 一半地?zé)o限分割下去，就必將出現(xiàn)一個(gè)不能再分割的“非半”，這個(gè)“非半”就是點(diǎn)。名家的命題論述了有限長度可分割成一個(gè)無窮序列，墨家的命題則指出了這種無限分割的變化和結(jié)果。名家和墨家的數(shù)學(xué)定義和數(shù)學(xué)命題的討論，對(duì)中國古代數(shù)學(xué)理論的 發(fā)展是很有意義的。和文化均得體系正是形志是算術(shù)已以九章算秦、漢封建展的總結(jié),現(xiàn)。秦漢是中國古代數(shù)學(xué)體系的形成 封建社會(huì)的上升時(shí)期，經(jīng)濟(jì) 到迅速發(fā)展。中國古代數(shù)學(xué) 成于這個(gè)時(shí)期，它的主要標(biāo) 成為一個(gè)專門的學(xué)科，以及 術(shù)為代表的數(shù)學(xué)著作的出九章算術(shù)是戰(zhàn)國、 社會(huì)創(chuàng)

10、立并鞏固時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)就其數(shù)學(xué)成就來說，堪稱是世界數(shù)學(xué)名著。例如分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算、今有術(shù)（西方稱三率法）、 開平方與開立方（包括二次方程數(shù)值解法卜盈不足術(shù)（西方稱雙設(shè)法）、各種面積和體積 公式、線性方程組解法、正負(fù)數(shù)運(yùn)算的加減法則、勾股形解法（特別是勾股定理和求勾股數(shù)的方法）等，水平都是很高的。其中方程組解法和正負(fù)數(shù)加減法則在世界數(shù)學(xué)發(fā)展 上是遙遙領(lǐng)先的。就其特點(diǎn)來說，它形成了一個(gè)以籌算為中心、與古希臘數(shù)學(xué)完全不 同的獨(dú)立體系。九章算術(shù)有幾個(gè)顯著的特點(diǎn)：采用按類分章的數(shù)學(xué)問題集的形式；算式都是 從籌算記數(shù)法發(fā)展起來的；以算術(shù)、代數(shù)為主，很少涉及圖形性質(zhì)；重視應(yīng)用，缺乏 理論闡述等。這些特點(diǎn)是同當(dāng)時(shí)社會(huì)

11、條件與學(xué)術(shù)思想密切相關(guān)的。秦漢時(shí)期，一切科學(xué)技術(shù)都要為 當(dāng)時(shí)確立和鞏固封建制度，以及發(fā)展社會(huì)生產(chǎn)服務(wù)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。最后成書于東漢初年的九章算術(shù)，排除了戰(zhàn)國時(shí)期在百家爭鳴中出現(xiàn)的名家和墨家重視名詞定 義與邏輯的討論，偏重于與當(dāng)時(shí)生產(chǎn)、生活密切相結(jié)合的數(shù)學(xué)問題及其解法，這與當(dāng) 時(shí)社會(huì)的發(fā)展情況是完全一致的。九章算術(shù)在隋唐時(shí)期曾傳到朝鮮、日本，并成為這些國家當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)教科書。 它的一些成就如十進(jìn)位值制、今有術(shù)、盈不足術(shù)等還傳到印度和阿拉伯，并通過印度、 阿拉伯傳到歐洲，促進(jìn)了世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展魏、晉時(shí)期出現(xiàn)的玄學(xué)，不為漢儒經(jīng)學(xué)束縛，思想比較活躍；它詰辯求勝，又能運(yùn)用邏輯思維，分

12、析義理，這些都有利于數(shù)學(xué)從理論上加以提高。 吳國趙爽注周髀算經(jīng)，漢末魏初徐岳撰九章算術(shù)注，魏末晉初劉徽撰九章算術(shù)注、九章重差圖都是出現(xiàn)在這個(gè)時(shí)期。趙爽與劉徽的工作為中國古代數(shù)學(xué)體系奠定了理論基礎(chǔ)。趙爽是中國古代對(duì)數(shù)學(xué)定理和公式進(jìn)行證明與推導(dǎo)的最早的數(shù)學(xué)家之一。他在周髀算經(jīng)書中補(bǔ)充的“勾股圓方圖及注”和“日高圖及注”是十分重要的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)。在“勾股圓方圖及注”中他提出用弦圖證明勾股定理和解勾股形的五個(gè)公式；在“日 高圖及注”中，他用圖形面積證明漢代普遍應(yīng)用的重差公式，趙爽的工作是帶有開創(chuàng) 性的，在中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展中占有重要地位。劉徽約與趙爽同時(shí)，他繼承和發(fā)展了戰(zhàn)國時(shí)期名家和墨家的思想，主張對(duì)一些數(shù)

13、學(xué)名 詞特別是重要的數(shù)學(xué)概念給以嚴(yán)格的定義，認(rèn)為對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)必須進(jìn)行“析理”，才能 使數(shù)學(xué)著作簡明嚴(yán)密，利于讀者。他的九章算術(shù)注不僅是對(duì)九章算術(shù)的方法、 公式和定理進(jìn)行一般的解釋和推導(dǎo)，而且在論述的過程中有很大的發(fā)展。劉徽創(chuàng)造割157/50劉 直角四 體積的 圓臺(tái)的 了正確東 的狀圓術(shù)，利用極限的思想證明圓的面積公式，并首次用理論的方法算得圓周率為 和 3927/1250 。徽用無窮分割的方法證明了直角方錐與面體的體積比恒為2:1，解決了一般立體 關(guān)鍵問題。在證明方錐、圓柱、圓錐、 體積時(shí)，劉徽為徹底解決球的體積提出 途徑。晉以后，中國長期處于戰(zhàn)爭和南北分裂 態(tài)。祖沖之父子的工作就是經(jīng)濟(jì)文化南移

14、以后，南方數(shù)學(xué)發(fā)展的具有代表性的工作, 他們?cè)趧⒒兆⒕耪滤阈g(shù)的基礎(chǔ)上，把傳統(tǒng)數(shù)學(xué)大大向前推進(jìn)了一步。他們的數(shù)學(xué) 工作主要有：計(jì)算出圓周率在3.14159263.1415927之間；提出祖（日恒）原理；提出 二次與三次方程的解法等。據(jù)推測，祖沖之在劉徽割圓術(shù)的基礎(chǔ)上，算出圓內(nèi)接正 6144邊形和正12288邊形的面 積，從而得到了這個(gè)結(jié)果。他又用新的方法得到圓周率兩個(gè)分?jǐn)?shù)值，即約率 22/7和密率355/113。祖沖之這一工作，使中國在圓周率計(jì)算方面，比西方領(lǐng)先約一千年之久；祖沖之之子祖（日恒）總結(jié)了劉徽的有關(guān)工作，提出“幕勢既同則積不容異”，即等 高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這

15、兩立體體積相等，這就是著名的 祖（日恒）公理。祖（日恒）應(yīng)用這個(gè)公理，解決了劉徽尚未解決的球體積公式。隋煬帝好大喜功，大興土木，客觀上促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。唐初王孝通的緝古算 經(jīng)，主要討論土木工程中計(jì)算土方、工程分工、驗(yàn)收以及倉庫和地窖的計(jì)算問題，反 映了這個(gè)時(shí)期數(shù)學(xué)的情況。王孝通在不用數(shù)學(xué)符號(hào)的情況下，立出數(shù)字三次方程，不 僅解決了當(dāng)時(shí)社會(huì)的需要，也為后來天元術(shù)的建立打下基礎(chǔ)。止匕外，對(duì)傳統(tǒng)的勾股形 解法，王孝通也是用數(shù)字三次方程解決的。唐初封建統(tǒng)治者繼承隋制，656年在國子監(jiān)設(shè)立算學(xué)館，設(shè)有算學(xué)博士和助教，學(xué)生 30 人。由太史令李淳風(fēng)等編纂注釋算經(jīng)十書，作為算學(xué)館學(xué)生用的課本，明算科考試 亦

16、以這些算書為準(zhǔn)。李淳風(fēng)等編纂的算經(jīng)十書，對(duì)保存數(shù)學(xué)經(jīng)典著作、為數(shù)學(xué)研究 提供文獻(xiàn)資料方面是很有意義的。他們給周髀算經(jīng)、九章算術(shù)以及海島算經(jīng) 所作的注解，對(duì)讀者是有幫助的。隋唐時(shí)期，由于歷法的需要，天算學(xué)家創(chuàng)立了二次 函數(shù)的內(nèi)插法，豐富了中國古代數(shù)學(xué)的內(nèi)容。算籌是中國古代的主要計(jì)算工具，它具有簡單、形象、具體等優(yōu)點(diǎn)，但也存在布 籌占用面積大，運(yùn)籌速度加快時(shí)容易擺弄不正而造成錯(cuò)誤等缺點(diǎn)，因此很早就開始進(jìn) 行改革。其中太乙算、兩儀算、三才算和珠算都是用珠的槽算盤，在技術(shù)上是重要的 改革。尤其是“珠算”，它繼承了籌算五開十進(jìn)與位值制的優(yōu)點(diǎn)，又克服了籌算縱橫 記數(shù)與置籌不便的缺點(diǎn)，優(yōu)越性十分明顯。但由于

17、當(dāng)時(shí)乘除算法仍然不能在一個(gè)橫列 中進(jìn)行。算珠還沒有穿檔，攜帶不方便，因此仍沒有普遍應(yīng)用。唐中期以后，商業(yè)繁榮，數(shù)字計(jì)算增多，迫切要求改革計(jì)算方法，從新唐書 等文獻(xiàn)留下來的算書書目，可以看出這次算法改革主要是簡化乘、除算法，唐代的算 法改革使乘除法可以在一個(gè)橫列中進(jìn)行運(yùn)算，它既適用于籌算，也適用于珠算。中國古代數(shù)學(xué)的繁榮960年，北宋王朝的建立結(jié)束了五代十國割據(jù)的局面。北宋的農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè) 空前繁榮，科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)，火藥、指南針、印刷術(shù)三大發(fā)明就是在這種經(jīng)濟(jì)高漲 的情況下得到廣泛應(yīng)用。1084年秘書省第一次印刷出版了算經(jīng)十書，1213年鮑搟 之又進(jìn)行翻刻。這些都為數(shù)學(xué)發(fā)展創(chuàng)造了良好的條件。

18、從1114世紀(jì)約300年期間，出現(xiàn)了一批著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作， 如賈憲的黃帝九 章算法細(xì)草，劉益的議古根源，秦九韶的數(shù)書九章，李冶的測圓海鏡和益 古演段，楊輝的詳解九章算法日用算法和楊輝算法，朱世杰的算學(xué)啟蒙四元玉鑒等，很多領(lǐng)域都達(dá)到古代數(shù)學(xué)的高峰，其中一些成就也是當(dāng)時(shí)世界數(shù)學(xué) 的高峰。從開平方、開立方到四次以上的開方，在認(rèn)識(shí)上是一個(gè)飛躍，實(shí)現(xiàn)這個(gè)飛躍的就是賈憲。楊輝在九章算法纂類中載有賈憲“增乘開平方法”、“增乘開立方法”； 在詳解九章算法中載有賈憲的“開方作法本源”圖、“增乘方法求廉草”和用增 乘開方法開四次方的例子。根據(jù)這些記錄可以確定賈憲已發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)系數(shù)表，創(chuàng)造了增 乘開方法。這兩項(xiàng)成

19、就對(duì)整個(gè)宋元數(shù)學(xué)發(fā)生重大的影響，其中賈憲三角比西方的帕斯 卡三角形早提出600多年。把增乘開方法推廣到數(shù)字高次方程（包括系數(shù)為負(fù)的情形）解法的是劉益。楊輝算法 中“田畝比類乘除捷法”卷，介紹了原書中 22個(gè)二次方程和1個(gè)四次方程，后者是用 增乘開方法解三次以上的高次方程的最早例子。秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在數(shù)書九章中收集了21個(gè)用增乘開方法解高次方程（最高次數(shù)為10）的問題。為了適應(yīng)增乘開方法的計(jì)算程序， 奏九韶把常數(shù) 項(xiàng)規(guī)定為負(fù)數(shù)，把高次方程解法分成各種類型。當(dāng)方程的根為非整數(shù)時(shí)，秦九韶采取 繼續(xù)求根的小數(shù)，或用減根變換方程各次幕的系數(shù)之和為分母，常數(shù)為分子來表示根的非整數(shù) 理無理

20、數(shù) 秦九韶還 第二位數(shù)早500多元代 中解決了部分，這是九章算術(shù)和劉徽注處 方法的發(fā)展。在求根的第二位數(shù)時(shí)， 提出以一次項(xiàng)系數(shù)除常數(shù)項(xiàng)為根的 的試除法，這比西方最早的霍納方法 年。天文學(xué)家王恂、郭守敬等在授時(shí)歷 三次函數(shù)的內(nèi)插值問題。秦九韶在“綴術(shù)推星”題、朱世杰在四元玉鑒“如象招數(shù)”題都提到內(nèi)插法（他們稱為招差術(shù)），朱世杰得到一個(gè)四次函數(shù)的內(nèi)插公式用天元（相當(dāng)于x）作為未知數(shù)符號(hào)，立出高次方程，古代稱為天元術(shù)，這是中國數(shù) 學(xué)史上首次引入符號(hào)，并用符號(hào)運(yùn)算來解決建立高次方程的問題。 現(xiàn)存最早的天元術(shù)著作是李冶的測圓海鏡。從天元術(shù)推廣到二元、三元和四元的高次聯(lián)立方程組，是宋元數(shù)學(xué)家的又一項(xiàng)杰出的

21、 創(chuàng)造。留傳至今，并對(duì)這一杰出創(chuàng)造進(jìn)行系統(tǒng)論述的是朱世杰的四元玉鑒。朱世杰的四元高次聯(lián)立方程組表示法是在天元術(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，他把常數(shù)放在 中央，四元的各次幕放在上、下、左、右四個(gè)方向上，其他各項(xiàng)放在四個(gè)象限中。朱 世杰的最大貢獻(xiàn)是提出四元消元法，其方法是先擇一元為未知數(shù)，其他元組成的多項(xiàng) 式作為這未知數(shù)的系數(shù)，列成若干個(gè)一元高次方程式，然后應(yīng)用互乘相消法逐步消去這一未知數(shù)。重復(fù)這一步驟便可消去其他未知數(shù)，最后用增乘開方法求解。這是線性 方法組解法的重大發(fā)展，比西方同類方法早 400多年勾股形解算學(xué)啟蒙卷 形的方法，補(bǔ)充 圓海鏡對(duì)勾股 個(gè)容圓公式，大已知黃道 點(diǎn)運(yùn)行的黃經(jīng) 個(gè)解球面直角法在

22、宋元時(shí)期有新的發(fā)展，朱世杰在 下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股 了九章算術(shù)的不足。李冶在測 容圓問題進(jìn)行了詳細(xì)的研究，得到九 大豐富了中國古代幾何學(xué)的內(nèi)容。與赤道的夾角和太陽從冬至點(diǎn)向春分 余弧，求赤經(jīng)余弧和赤緯度數(shù)，是一 三角形的問題，傳統(tǒng)歷法都是用內(nèi)插 法進(jìn)行計(jì)算。元代王恂、郭守敬等則用傳統(tǒng)的勾股形解法、沈括用會(huì)圓術(shù)和天元術(shù)解 決了這個(gè)問題。不過他們得到的是一個(gè)近似公式，結(jié)果不夠精確。但他們的整個(gè)推算 步驟是正確無誤的，從數(shù)學(xué)意義上講，這個(gè)方法開辟了通往球面三角法的途徑。中國古代計(jì)算技術(shù)改革的高潮也是出現(xiàn)在宋元時(shí)期。宋元明的歷史文獻(xiàn)中載有大 量這個(gè)時(shí)期的實(shí)用算術(shù)書目，其數(shù)量遠(yuǎn)比唐代為多，改

23、革的主要內(nèi)容仍是乘除法。與 算法改革的同時(shí)，穿珠算盤在北宋可能已出現(xiàn)。但如果把現(xiàn)代珠算看成是既有穿珠算 盤，又有一套完善的算法和口訣，那么應(yīng)該說它最后完成于元代。宋元數(shù)學(xué)的繁榮，是社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和科學(xué)技術(shù)發(fā)展的必然結(jié)果，是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的必 然結(jié)果。止匕外，數(shù)學(xué)家們的科學(xué)思想與數(shù)學(xué)思想也是十分重要的。宋元數(shù)學(xué)家都在不 同程度上反對(duì)理學(xué)家的象數(shù)神秘主義。秦九韶雖曾主張數(shù)學(xué)與道學(xué)同出一源，但他后 來認(rèn)識(shí)到，“通神明”的數(shù)學(xué)是不存在的，只有“經(jīng)世務(wù)類萬物”的數(shù)學(xué)；莫若在四 元玉鑒序文中提出的“用假象真，以虛問實(shí)”則代表了高度抽象思維的思想方法； 楊輝對(duì)縱橫圖結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，揭示出洛書的本質(zhì)，有力地批判了象

24、數(shù)神秘主義。所有 這些，無疑是促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要因素。中西方數(shù)學(xué)的融合中國從明代開始進(jìn)入了封建社會(huì)的晚期，封建統(tǒng)治者實(shí)行極權(quán)統(tǒng)治，宣傳唯心主 義哲學(xué)，施行八股考試制度。在這種情況下，除珠算外，數(shù)學(xué)發(fā)展逐漸衰落。16世紀(jì)末以后，西方初等數(shù)學(xué)陸續(xù)傳入中國，使中國數(shù)學(xué)研究出現(xiàn)一個(gè)中西融合貫通 的局面；鴉片戰(zhàn)爭以后，近代數(shù)學(xué)開始傳入中國，中國數(shù)學(xué)便轉(zhuǎn)入一個(gè)以學(xué)習(xí)西方數(shù) 學(xué)為主的時(shí)期；到19世紀(jì)末20世紀(jì)初，近代數(shù)學(xué)研究才真正開始。中國古代數(shù)學(xué)的成就與衰落數(shù)學(xué)在中國歷史久矣。在殷墟出土的甲骨文中有一些是記錄數(shù)字的文字，包括從一至十，以及百、千、萬，最大的數(shù)字為三萬；司馬遷的史記提到大禹治水使用 了規(guī)、矩

25、、準(zhǔn)、繩等作圖和測量工具，而且知道“ 勾三股四弦五”；據(jù)說易經(jīng) 還包含組合數(shù)學(xué)與二進(jìn)制思想。2002年在湖南發(fā)掘的秦代古墓中，考古人員發(fā)現(xiàn) 了距今大約2200多年的九九乘法表，與現(xiàn)代小學(xué)生使用的乘法口訣“小九九”十 分相似。中國古代的計(jì)算工具，它在春秋時(shí)期 遍；使用算籌進(jìn)行計(jì)算稱為籌算。中 的最大特點(diǎn)是建立在籌算基礎(chǔ)之上， 阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)是明顯不同的。算籌是 已經(jīng)很普 國古代數(shù)學(xué) 這與西方及但是， 于自西漢至 成書于西漢 它是1984 的漢代竹簡真正意義上的中國古代數(shù)學(xué)體系形成 南北朝的三、四百年期間。算數(shù)書 初年，是傳世的中國最早的數(shù)學(xué)專著， 年由考古學(xué)家在湖北江陵張家山出土 中發(fā)現(xiàn)的。周髀算經(jīng)

26、編纂于西漢末年，它雖然是一本關(guān)于“蓋天說”的天文學(xué)著 作，但是包括兩項(xiàng)數(shù)學(xué)成就一一（1）勾股定理的特例或普遍形式（”若求邪至日 者，以日下為旬，日高為股，句股各自乘，并而開方除之，得邪至日。”一一這 是中國最早關(guān)于勾股定理的書面記載）；（2）測太陽高或遠(yuǎn)的“陳子測日法”。九章算術(shù)在中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展過程中占有非常重要的地位。它經(jīng)過許多人 整理而成，大約成書于東漢時(shí)期。全書共收集了 246個(gè)數(shù)學(xué)問題并且提供其解法, 主要內(nèi)容包括分?jǐn)?shù)四則和比例算法、各種面積和體積的計(jì)算、關(guān)于勾股測量的計(jì) 算等。在代數(shù)方面，九章算術(shù)在世界數(shù)學(xué)史上最早提出負(fù)數(shù)概念及正負(fù)數(shù)加減 法法則；現(xiàn)在中學(xué)講授的 線性方程組的解法和

27、九章算術(shù)介紹的方法大體相同。 注重實(shí)際應(yīng)用是九章算術(shù)的一個(gè)顯著特點(diǎn)。該書的一些知識(shí)還傳播至印度和阿拉伯，甚至經(jīng)過這些地區(qū)遠(yuǎn)至歐洲。九章算術(shù)標(biāo)志以籌算為基礎(chǔ)的中國古代數(shù)學(xué)體系的正式形成，中國古代 數(shù)學(xué)在三國及兩晉時(shí)期側(cè)重于理論研究，其中以 趙爽與劉徽為主要代表人物。趙爽是三國時(shí)期吳人，在中國歷史上他是最早對(duì)數(shù)學(xué)定理和公式進(jìn)行證明的 數(shù)學(xué)家之一，其學(xué)術(shù)成就體現(xiàn)于對(duì)周髀算經(jīng)的闡釋。在勾股圓方圖注中, 他還用幾何方法證明了勾股定理，其實(shí)這已經(jīng)體現(xiàn)“割補(bǔ)原理”的方法。用幾何方法求解二次方程也是趙爽對(duì)中國古代數(shù)學(xué)的一大貢獻(xiàn)。 三國時(shí)期魏人劉徽則注釋 了九章算術(shù)，其著作九章算術(shù)注不僅對(duì)九章算術(shù)的方法、公式和

28、定理進(jìn) 行一般的解釋和推導(dǎo)，而且系統(tǒng)地闡述了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論體系與數(shù)學(xué)原理，并且多有創(chuàng)造。其發(fā)明的“割圓術(shù)”（圓內(nèi)接正多邊形面積無限逼近 圓面積），為圓周率的計(jì)算奠礎(chǔ)，同時(shí)劉徽還率的近似值3927/1250 （ 3.1416） ”。他設(shè)計(jì)的“牟合方蓋”的幾何模型為后人尋求球體積公式打下重要基礎(chǔ)。在研究多面體體積過程中，劉徽運(yùn)用極限方法證明了“陽馬術(shù)”。另外，海島算經(jīng)也是劉徽編撰的一部數(shù)學(xué)論著。南北朝是中國古代數(shù)學(xué)的蓬勃發(fā)展時(shí)期，計(jì)有孫子算經(jīng)、夏侯陽算經(jīng)、張丘建算經(jīng)等算學(xué)著作問世。祖沖之、祖咂父子的工作在這一時(shí)期最具代表性。他們著重進(jìn)行數(shù)學(xué)思維和數(shù) 學(xué)推理，在前人劉徽九章算術(shù)注的基礎(chǔ)上前進(jìn)了一

29、步。根據(jù)史料記載，其著作 綴術(shù)（已失傳）取得如下成就：圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后第六位，得到 3.1415926兀3.1415927,并求得 冗 的約率為22/7,密率為355/113,其中密率 是分子分母在1000以內(nèi)的最佳值；歐洲直到16世紀(jì)德國人鄂圖（Otto）和荷蘭 人安托尼茲（Anthonisz ）才得出同樣結(jié)果。祖咂在劉徽工作的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出球體體積公式，并提出二立體等高處截面積相等則二體體積相等（“冪勢既同則積不容異”）定理；歐洲 17 世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利（Cavalieri ）才提出同一定理祖氏父子同時(shí)在天文學(xué)上也有一定貢獻(xiàn)。隋唐時(shí)期的主要成就在于建立中國數(shù)學(xué)教育 制度， 這大概

30、主要與國子監(jiān)設(shè)立算學(xué)館及科舉制度有關(guān)。在當(dāng)時(shí)的算學(xué)館 算經(jīng)十書 成為專用教材對(duì)學(xué)生講授。算經(jīng)十書收集了周髀算經(jīng)、 九章算術(shù)、 海島算經(jīng)等10 部數(shù)學(xué)著作。所以當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)教育制度對(duì)繼承古代數(shù)學(xué)經(jīng)典是有積極意義的。公元600年，隋代劉焯在制訂皇極歷時(shí)，在世界上最早提出了等間距二次內(nèi)插公式；唐代僧一行在其大衍歷 中將其發(fā)展為不等間距二次內(nèi)插公式。從公元 11 世紀(jì)到 14 世紀(jì)的宋、元時(shí)期，是以籌算為主要內(nèi)容的中國古代數(shù)學(xué)的鼎盛時(shí)期，其表現(xiàn)是這一時(shí)期涌現(xiàn)許多杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作。中國古代數(shù)學(xué)以宋、元數(shù)學(xué)為最高境界。在世界范圍內(nèi)宋、元數(shù)學(xué)也幾乎是與阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)一道居于領(lǐng)先集團(tuán)的。賈憲 在黃帝九章算法細(xì)草中提出開任意高次冪的“增乘開方法”，同樣的方法至1819年才由英國人霍納發(fā)現(xiàn)；賈憲的 二項(xiàng)式定理系數(shù)表與17 世紀(jì)歐洲出現(xiàn)的“巴斯加三角”是類似的。遺憾的是賈