1、文檔供參考，可復(fù)制、編制，期待您的好評(píng)與關(guān)注！ §2.1 平面向量的實(shí)際背景及基本概念 （一）向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量 4、零向量、單位向量概念：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作0. 0的方向是任意的.注意0與0的含義與書寫區(qū)別.長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫單位向量.說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.5、平行向量定義：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我們規(guī)定0與任一向量平行.說明：（1）綜合、才是平行向量的完整定義；（2）向量、平行，記作.6、相等向量定義：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量.說明：（1）向量與相等，記作；（2）零向量與零向量相等；（3

2、）任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān).7、共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量，說明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.§2.2.1 向量的加法運(yùn)算及其幾何意義二、探索研究：、向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.、三角形法則（“首尾相接，首尾連”）如圖，已知向量a、.在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作a，則向量叫做a與的和，記作a，即 a，規(guī)定： a + 0-= 0 +aa aABCa+ba+baabbaa探究：（1）兩相向量的和仍是一個(gè)向量；（

3、2）當(dāng)向量與不共線時(shí)，+的方向不同向，且|+|<|+|；OABaaabbb（3）當(dāng)與同向時(shí)，則+、同向，且|+|=|+|，當(dāng)與反向時(shí)，若|>|，則+的方向與相同，且|+|=|-|；若|<|，則+的方向與相同，且|+b|=|-|.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一個(gè)向量的終點(diǎn)為后一個(gè)向量的起點(diǎn)，可以推廣到n個(gè)向量連加加法的交換律和平行四邊形法則）向量加法的平行四邊形法則（對(duì)于兩個(gè)向量共線不適應(yīng)）向量加法的交換律：+=+向量加法的結(jié)合律：(+) +=+ (+)§2.2.2 向量的減法運(yùn)算及其幾何意義一、 提出課題：向量的減法1 用“相反向量”定義向量的減法（1） “

4、相反向量”的定義：與a長(zhǎng)度相同、方向相反的向量.記作 -a（2） 規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a. 任一向量與它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0 如果a、b互為相反向量，則a = -b， b = -a， a + b = 0 （3） 向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差. 即：a - b = a + (-b) 求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.2 用加法的逆運(yùn)算定義向量的減法： 向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算： 若b + x = a，則x叫做a與b的差，記作a - b3 求作差向量：已知向量a、b，求作向量 §2.3.1 平面向量基

5、本定里1實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作：（1）|=|；（2）>0時(shí)與方向相同；<0時(shí)與方向相反；=0時(shí)=2運(yùn)算定律結(jié)合律：()=() ；分配律：(+)=+， (+)=+ 3. 向量共線定理 向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)，使=.平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2使=1+2.和 §2.3.2§2.3.3 平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示及運(yùn)算1平面向量的坐標(biāo)表示 如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底.任作一個(gè)向量，由平面向量

6、基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使得我們把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)，式叫做向量的坐標(biāo)表示.與相等的向量的坐標(biāo)也為.特別地，.如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作，則點(diǎn)的位置由唯一確定.設(shè)，則向量的坐標(biāo)就是點(diǎn)的坐標(biāo)；反過來，點(diǎn)的坐標(biāo)也就是向量的坐標(biāo).因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都是可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯一表示.2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1） 若，則，兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.設(shè)基底為、，則即，同理可得（2） 若，則一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).=-=( x2， y2) - (x1，y1

7、)= (x2- x1， y2- y1)（3）若和實(shí)數(shù)，則.實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).設(shè)基底為、，則，即§2.3.4 平面向量共線的坐標(biāo)表示 (¹)的充要條件是x1y2-x2y1=0 例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量與平行嗎？直線AB與平行于直線CD嗎？ 解：=(1-(-1)， 3-(-1)=(2， 4) ， =(2-1，7-5)=(1，2) 又 2×2-4×1=0 又 =(1-(-1)， 5-(-1)=(2，6) ，=(2， 4)，2×4-2×6

8、5;0 與不平行 A，B，C不共線 AB與CD不重合 ABCD一、 平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義6線段的定比分點(diǎn)及 P1， P2是直線l上的兩點(diǎn)，P是l上不同于P1， P2的任一點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)，使 =，叫做點(diǎn)P分所成的比，有三種情況：>0(內(nèi)分) (外分) <0 (<-1) ( 外分)<0 (-1<<0)7. 定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：若點(diǎn)P(x1，y1) ，(x2，y2)，為實(shí)數(shù)，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（），我們稱為點(diǎn)P分所成的比.8. 點(diǎn)P的位置與的范圍的關(guān)系：當(dāng)時(shí)，與同向共線，這時(shí)稱點(diǎn)P為的內(nèi)分點(diǎn).當(dāng)()時(shí)，與反向共線，這時(shí)稱點(diǎn)P為的外分點(diǎn).9.線段定比分點(diǎn)坐

9、標(biāo)公式的向量形式：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，設(shè)，可得=.二、講解新課：1兩個(gè)非零向量夾角的概念已知非零向量與，作，則（）叫與的夾角.2平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量|a|b|cosq叫與的數(shù)量積，記作a×b，即有a×b = |a|b|cosq，（）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.×探究：兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別（1）兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由cosq的符號(hào)所決定.（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a×b；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積a×b，而a×b是兩個(gè)向量的數(shù)量的積

10、，書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分.符號(hào)“· ”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在實(shí)數(shù)中，若a¹0，且a×b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a¹0，且a×b=0，不能推出b=0.因?yàn)槠渲衏osq有可能為0.（4）已知實(shí)數(shù)a、b、c(b¹0)，則ab=bc Þ a=c.但是a×b = b×c a = c 如右圖：a×b = |a|b|cosb = |b|OA|，b×c = |b|c|cosa = |b|OA|Þ a×b = b×c 但

11、a ¹ c (5)在實(shí)數(shù)中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c ¹ a(b×c) 顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線.3“投影”的概念：作圖 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)q為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)q為直角時(shí)投影為0；當(dāng)q = 0°時(shí)投影為 |b|；當(dāng)q = 180°時(shí)投影為 -|b|.4向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a×b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積.5

12、兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量.1° e×a = a×e =|a|cosq2° ab Û a×b = 03° 當(dāng)a與b同向時(shí)，a×b = |a|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a×b = -|a|b|. 特別的a×a = |a|2或4° cosq =5° |a×b| |a|b|三、講解范例：例6 已知，當(dāng)，與的夾角是60°時(shí)，分別求·.解：當(dāng)時(shí)，若與同向，則它們的夾角°，··cos0&#

13、176;3×6×118；若與反向，則它們的夾角180°，·cos180°3×6×（-1）18；當(dāng)時(shí)，它們的夾角90°，·；當(dāng)與的夾角是60°時(shí)，有·cos60°3×6×9評(píng)述：兩個(gè)向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是0°，180°，因此，當(dāng)時(shí)，有0°或180°兩種可能.二、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律二、講解新課：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律1交換律：a × b = b × a證：設(shè)a，b夾角為q，則a &

14、#215; b = |a|b|cosq，b × a = |b|a|cosq a × b = b × a2數(shù)乘結(jié)合律：(a)×b =(a×b) = a×(b)證：若> 0，(a)×b =|a|b|cosq， (a×b) =|a|b|cosq，a×(b) =|a|b|cosq，若< 0，(a)×b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq，(a×b) =|a|b|cosq，a×(b) =|a|b|cos(p-q) = -|a|

15、b|(-cosq) =|a|b|cosq.3分配律：(a + b)×c = a×c + b×c 說明：（1）一般地，(·)（·）（2）··，0（3）有如下常用性質(zhì)：，（）（）····()·三、講解范例：例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a - 5b垂直，a - 4b與7a - 2b垂直，求a與b的夾角.解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 Þ 7a2 + 16a×b -15b2 = 0 (a - 4b)(7a - 2b) = 0

16、Þ 7a2 - 30a×b + 8b2 = 0 兩式相減：2a×b = b2代入或得：a2 = b2設(shè)a、b的夾角為q，則cosq = q = 60°例評(píng)述：(1)在四邊形中，是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即0，應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用；(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因?yàn)閿?shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系.三、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角二、講解新課： 平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知兩個(gè)非零向量，試用和的坐標(biāo)表示.設(shè)是軸上的單位向量，是軸上的單位向量，那么，所以又，所以這就是說：兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.即2. 平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式二、 設(shè)，則或.（2）如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式)三、 向量垂直的判定設(shè)，則四、 兩向量夾角的余弦（） cosq =五、 講解范例：例3 已知a = (3， -1)，b = (1， 2)，求滿足x×a = 9與x×b = -4的向量x. 解：設(shè)x = (t， s)， 由 x = (2， -3)例4 已知a（，），b（，），則a與b的夾角是多少?分析：為求a與b夾角，需先求a·b及a·b