1、九十五學年度指定科目考試試題數學甲第壹部分：選擇題(單選題、多選題及選填題共佔77分)一、單選題（18%）說明：第1至3題為單選題，每題選出一個最適當的選項，劃記在答案卡之解答欄。每題答對得6分，答錯或劃記多於一個選項者倒扣1.5分，倒扣到本大題之實得分數為零為止。未作答者，不給分亦不倒扣分數。1. 試問方程式有幾個相異實數解？(1)0 個(2)1 個(3)2 個(4)3 個(5)6 個【答案】 (1) 【出處】數學甲下冊極限的應用。【目標】能利用微分來判別函數的增減性。【解析】設 , 令,+ 圖形與軸無交點無實根，故選(1)。2. 在坐標平面上，設為圖形上的一點。若的坐標為，則點的位置在(1

2、)第一象限(2)第二象限(3)第三象限(4)第四象限(5)坐標軸上【答案】 (4) 【出處】第二冊指數與對數。【目標】能比較對數值的大小。【解析】(1)點坐標. (2)點坐標 =2+ . 點在第四象限，故選(4)。3. 在坐標平面上給定兩點 A(1,3)與 B(5,6 )。考慮坐標平面上的點集合之面積為10且周長為，則(1)S 為空集合(2)S 恰含 2 個點(3)S 恰含 4 個點(4)S 為兩線段之聯集(5)S 為兩直線之聯集 【答案】 (3) 【出處】第四冊圓錐曲線。【目標】了解橢圓的定義與直線間的關係。【解析】. (1)滿足周長為15之點P在以為焦點,之橢圓上。 (2)若又要滿足面積為

3、10, 表示之高須為4。 (3), 。(4)如下圖所示，P有4個，故選(3)。二、多選題（24%）說明：第 4 至 6 題，每題各有5個選項，其中至少有一個是正確的。選出正確 選項，劃記在答案卡之解答欄。每題8分，各選項獨立計分，每答對 一個選項，可得1.6分，每答錯一個選項，倒扣1.6分，完全答對得8分；整題未作答者，不給分亦不倒扣分數。在備答選項以外之區域劃記，一律倒扣1.6分。倒扣到本大題之實得分數為零為止。4. 擲一枚均勻硬幣 4 次，恰好出現 n 次正面的機率記為 ；擲一枚均勻硬幣 8 次，恰好出現 n 次正面的機率記為 。試問以下哪些選項是正確的？(1)(2)(3)(4)(5)中的

4、最大值是 【答案】 (3)(4)(5) 【出處】數學甲上冊機率與統計II。【目標】了解重複試驗機率的分布情形。【解析】, . (1). (2). (3). (4), , . (5)中位數具有最大值，故選(3)(4)(5)。5. 在坐標平面上以 表示拋物線的圖形。試問以下哪些方程式的圖形可以由 經適當的平移或旋轉得到？(1)(2)(3)(4)(5) 【答案】 (2)(3)(4) 【出處】數學甲上冊平面上的坐標變換。【目標】能將二元二次方程式標準化。【解析】開口大小不同，不可。 (2)順時針旋轉即可。 (3)順時針旋轉即可。 (4), 向左平移2單位，向下平移1單位即可。 (5) . ，. , .

5、 , 不可。6. 考慮多項式函數，試問以下哪些選項是正確的？(1)(為正整數)；(2)；(3)函數在區間遞增；(4)若，則；(5)在坐標平面上的圖形與直線恰有兩個交點。【答案】 (2)(4)(5) 【出處】數學甲下冊極限的應用。【目標】了解微分的定義與在函數增減性上的應用。【解析】. (1)分子分母之係數比. (2). (3)(4)(5)：0130+0+故選(2)(4)(5)。三、選填題（35%）說明：第A至E題為選填題，劃記在答案卡上之解答欄內，每題選出一個最適當的選項，劃記在答案卡之解答欄內。每題完全答對得7分，答錯不倒扣；未完全答對不給分。A. 設,為兩非零向量。以表之長度，若，且表與

6、之夾角，則。(化成最簡分數)【答案】【出處】第三冊平面向量。【目標】了解向量的長度與內積的轉換。【解析】 , 將代入得 , .B. 在坐標空間中，球面交平面於一半徑為、圓心為(2, 3, 0)的圓，且通過點(6, 6, 6)，則的半徑為。【答案】【出處】第三冊圓與球。【目標】了解球面與平面的關係。【解析】如下圖所示，設球心坐標， , , 故.C. 設實係數二階方陣滿足。若，則,。【答案】【出處】數學甲上冊矩陣。【目標】了解矩陣乘法的運算規則。【解析】 = (可逆) , .D. 不透明箱內有編號分別為 1 至 9 的九個球，每次隨機取出一個，記錄其編號後放回箱內；以表示前次取球的編號之總和為偶數

7、的機率。已知存在常數使得對任意正整數都成立，則，。(化成最簡分數)【答案】【出處】數學甲上冊機率與統計II。【目標】能計算出重複試驗的機率並且找出遞迴關係式。【解析】(1), , 2奇 2偶 , 2奇1偶 3偶(2)由知： ， 可解得.E. 以表坐標平面的原點。給定一點，而點在正軸上變動。若表長，則中兩邊長比值的最大值為。(化成最簡分數)【答案】【出處】數學甲下冊極限的應用。【目標】能利用微分來處理極值問題。【解析】(1)設. (2). (3)令.+當時，有最大值.第貳部分：非選擇題（佔23分）說明：本大題共有二題計算證明題，答案務必寫在答案卷上，並於題號欄標明題 號（一、二），與子題號（(1

8、)、(2)、(3)）同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分。每題配分標於題前。一. (1) (3分) 將 48510 分解成質因數的乘積。 (2) (7分) 寫出在 1 和 250 之間且與 48510 互質的所有合數(合數就是比 1 大而不是質數的整數)。【答案】【出處】第一冊數與坐標系。【目標】了解兩數互質的意義與質數的概念。【解析】(1). (2)設所求合數為， 與互質， 不可為之倍數， 又為合數， 為大於11之質數的乘積，即 . .，不合。，不合。 故所求為.二. 傳說中孫悟空的如意金箍棒是由定海神針變形得來的。這定海神針在變形時永遠保持為圓柱體，其底圓半徑原為 12 公分且以每秒 1 公分的等速率縮短，而長度以每秒 20 公分的等速率增長。已知神針之底圓半徑只能從 12 公分縮到 4 公分為止，且知在這段變形過程中，當底圓半徑為 10 公分時其體積最大。(1) (2分) 試問神針在變形開始幾秒時其體積最大？(2) (6分) 試求定海神針原來的長度。(3) (5分) 假設孫悟空將神針體積最小時定形成金箍棒，試求金箍棒的長度。【答案】(1)2(2)60(3)220【出處】數學甲下冊極限的應用。【目標】能利用微分來處理極值問題。【解析】(1). (2)令原長度為公分， 設七秒後，