1、2012年全國中考數學選擇填空解答壓軸題分類解析匯編專題15 綜合問題一、選擇題1. （2012廣東湛江4分）已知長方形的面積為20cm2，設該長方形一邊長為ycm，另一邊的長為xcm，則y與x之間的函數圖象大致是【 】A. B. C. D.【答案】B。【考點】反比例函數的性質和圖象。【分析】根據題意，得xy=20，。故選B。2. （2012浙江湖州3分）如圖，已知點A（4，0），O為坐標原點，P是線段OA上任意一點（不含端點O，A），過P、O兩點的二次函數y1和過P、A兩點的二次函數y2的圖象開口均向下，它們的頂點分別為B、C，射線OB與AC相交于點D當OD=AD=3時，這兩個二次函數的最大

2、值之和等于【 】A B C3 D4 【答案】A。【考點】二次函數的性質，等腰三角形的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質。【分析】過B作BFOA于F，過D作DEOA于E，過C作CMOA于M，BFOA，DEOA，CMOA，BFDECM。OD=AD=3，DEOA，OE=EA=OA=2。由勾股定理得：DE=。設P（2x，0），根據二次函數的對稱性得出OF=PF=x，BFDECM，OBFODE，ACMADE。，即，解得：。BF+CM=。故選A。3. （2012天津市3分）若關于x的一元二次方程（x2）（x3）=m有實數根x1,x2，且x1x2，有下列結論：x1=2，x2=3；二次函數y=（xx1）（

3、xx2）m的圖象與x軸交點的坐標為（2，0）和（3，0）其中，正確結論的個數是【 】（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】C。【考點】拋物線與x軸的交點，一元二次方程的解，一元二次方程根的判別式和根與系數的關系。【分析】一元二次方程實數根分別為x1、x2，x1=2，x2=3，只有在m=0時才能成立，故結論錯誤。一元二次方程（x2）（x3）=m化為一般形式得：x25x6m=0，方程有兩個不相等的實數根x1、x2，=b24ac=（5）24（6m）=4m10，解得：。故結論正確。一元二次方程x25x6m=0實數根分別為x1、x2，x1x2=5，x1x2=6m。二次函數y=（xx1）（xx2

4、）+m=x2（x1x2）xx1x2m=x25x（6m）m=x25x6=（x2）（x3）。令y=0，即（x2）（x3）=0，解得：x=2或3。 拋物線與x軸的交點為（2，0）或（3，0），故結論正確。綜上所述，正確的結論有2個：。故選C。4. （2012四川廣元3分） 已知關于x的方程有唯一實數解，且反比例函數的圖象在每個象限內y隨x的增大而增大，那么反比例函數的關系式為【 】A. B. C. D. 【答案】D。【考點】一元二次方程根的判別式，反比例函數的性質。【分析】關于x的方程化成一般形式是：2x2（22b）x（b21）=0，它有唯一實數解， =（22b）28（b21）=4（b3）（b1）=

5、0，解得：b=3或1。反比例函數 的圖象在每個象限內y隨x的增大而增大，1+b0。b1。b=3。反比例函數的解析式是，即。故選D。5. （2012四川涼山4分）如圖，在平面直角坐標系中，O的半徑為1，則直線與O的位置關系是【 】A相離 B相切 C相交 D以上三種情況都有可能【答案】B。【考點】坐標與圖形性質，直線與圓的位置關系，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理。【分析】如圖，在中，令x=0，則y= ；令y=0，則x= ，A（0，），B（，0）。OA=OB= 2 。AOB是等腰直角三角形。AB=2，過點O作ODAB，則OD=BD=AB=×2=1。又O的半徑為1，圓心到直線的距離等于

6、半徑。直線y=x- 2 與O相切。故選B。6. （2012遼寧朝陽3分）如圖，矩形ABCD的對角線BD經過坐標原點，矩形的邊分別平行于坐標軸，點C在反比例函數的圖象上，若點A 的坐標為（2，3），則k的值為【 】A.1 B. 5 C. 4 D. 1或5【答案】D。【考點】矩形的性質，反比例函數圖象上點的坐標特征。【分析】如圖：四邊形ABCD、HBEO、OECF、GOFD為矩形，又BO為四邊形HBEO的對角線，OD為四邊形OGDF的對角線，。xy=k2+4k+1=6，解得，k=1或k=5。故選D。7. （2012貴州安順3分）下列說法中正確的是【 】A是一個無理數B函數的自變量的取值范圍是x1C

7、若點P（2，a）和點Q（b，3）關于x軸對稱，則ab的值為1D8的立方根是2【答案】C。【考點】無理數，函數自變量的取值范圍，二次根式有意義的條件，關于x軸對稱的點的坐標，立方根。【分析】A、=3是有理數，故此選項錯誤；B、函數的自變量的取值范圍是x1，故此選項錯誤；C、若點P（2，a）和點Q（b，3）關于x軸對稱，則b=2，a=3，故ab=32=1，故此選項正確；D、8的立方根式2，故此選項錯誤。故選C。8. （2012廣西柳州3分）小蘭畫了一個函數的圖象如圖，那么關于x的分式方程的解是【 】Ax=1 Bx=2 Cx=3 Dx=4 【答案】A。【考點】反比例函數的圖象，曲線上點的坐標與方程的

8、關系。【分析】根據點在曲線上點的坐標滿足方程的關系，關于x的分式方程的解就是函數中，縱坐標y=2時的橫坐標x的值根據圖象可以得到：當y=2時，x=1。故選A。9. （2012廣西欽州3分）在平面直角坐標系中，對于平面內任意一點（x，y），若規定以下兩種變換：f（x，y）=（y，x）如f（2，3）=（3，2）；g（x，y）=（x，y），如g（2，3）=（2，3）按照以上變換有：f（g（2，3）=f（2，3）=（3，2），那么g（f（6，7）等于【 】A（7，6） B（7，6） C（7，6） D（7，6）【答案】C。【考點】新定義，點的坐標。【分析】由題意應先進行f方式的變換，再進行g方式的變換，

9、注意運算順序及坐標的符號變化：f（6，7）=（7，6），g（f（6，7）=g（7，6）=（7，6）。故選C。10. （2012吉林長春3分） 如圖，在平面直角坐標系中，在x軸、y軸的正半軸上分別截取OA、OB,使OA=OB；再分別以點A, B為圓心，以大于AB長為半徑作弧，兩弧交于點C若點C的坐標為(m1,2n),則m與n的關系為【 】(A)m2n=1 (B)m2n=1 (C)2nm=1 (D)n2m=1【答案】B。【考點】作圖（基本作圖），角平分線性質，點到x軸、y軸距離。【分析】如圖，根據題意作圖知，OC為AOB的平分線，點C的坐標為(m1,2n)且在第一象限，點C到x軸CD=2n，到y軸

10、距離CE= m1。根據角平分線上的點到角兩邊距離相等，得m1=2n，即m2n=1 。故選B。11. （2012青海西寧3分）如圖，將矩形沿圖中虛線(其中xy)剪成四塊圖形，用這四塊圖形恰能拼一個正方形若y2，則x的值等于【 】A3 B21 C1 D1【答案】C。【考點】一元二次方程的應用（幾何問題），圖形的剪拼。【分析】如圖所示，四塊圖形拼成一個正方形邊長為x，根據剪拼前后圖形的面積相等可得，y（x+y）=x2。y=2，2（x+2）=x2，整理得，x2-2x-4=0，解得x1=1，x2=1（舍去）。故選C。12. （2012內蒙古呼和浩特3分）下列命題中，真命題的個數有【 】一個圖形無論經過平

11、移還是旋轉，變換后的圖形與原來圖形的對應線段一定平行函數圖象上的點P（x，y）一定在第二象限正投影的投影線彼此平行且垂直于投影面使得|x|y=3和y+x2=0同時成立的x的取值為A3個 B1個 C4個 D2個【答案】D。【考點】命題與定理，平移和旋轉的性質，非負數的性質，平行投影，公式法解一元二次方程，絕對值，二次根式有意義的條件。【分析】平移后對應線段平行；對應線段相等，對應角相等，圖形的形狀和大小沒有發生變化；旋轉后對應線段不平行；對應線段相等；對應角相等；圖形的形狀和大小沒有發生變化。故此命題錯誤。根據二次根式的意義得x0，y0，故函數圖象上的點P（x，y）一定在第二象限。故此命題正確。

12、根據正投影的定義得出，正投影的投影線彼此平行且垂直于投影面。故此命題正確。使得|x|y=3和y+x2=0同時成立，即y=|x|3，y=x2，故|x|3=x2，x2|x|3=0。當x0，則x2x3=0，解得：x1=，x2=（不合題意舍去）；當x0，則x2+x3=0，解得：x1=（不合題意舍去），x2=。使得|x|y=3和y+x2=0同時成立的x的取值為：，。故此命題錯誤。故正確的有2個。故選D。二、填空題1. （2012山西省3分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的對角線AC平行于x軸，邊OA與x軸正半軸的夾角為30°，OC=2，則點B的坐標是 【答案】（2，2）。【考點】矩形的

13、性質，平行的性質，坐標與圖形性質，解直角三角形，銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值。【分析】過點B作DEOE于E，矩形OABC的對角線AC平行于x軸，邊OA與x軸正半軸的夾角為30°，CAO=30°。又OC=2，AC=4。OB=AC=4。又OBC=CAO=30°，DEOE，CBA=90°，OBE=30°。OE=2，BE=OB·cosOBE =2。點B的坐標是（2，2）。2. （2012陜西省3分）如圖，從點A（0，2）發出的一束光，經x軸反射，過點B（4，3），則這束光從點A到點B所經過路徑的長為 【答案】。【考點】跨學科問題，坐標

14、與圖形性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理。【分析】如圖，過點B作BDx軸于D，A（0，2），B（4，3），OA=2，BD=3，OD=4。根據入射角等于反射角的原理得：ACO=BCD。AOC=BDC=90°，AOCBDC。OA：BD=OC：DC=AC：BC=2：3，設OC=x，則DC=4x，解得，即OC=。：BC=2：3，解得BC= 。AC+BC=，即這束光從點A到點B所經過的路徑的長為。3. （2012廣東佛山3分）如圖，邊長為的正方形紙片剪出一個邊長為m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一個矩形，若拼成的矩形一邊長為4，則另一邊長為 【答案】2m4。【考點】圖形的變換，一元一次方程

15、的應用（幾何問題）。【分析】根據拼成的矩形的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積，列式整理即可得解：設拼成的矩形的另一邊長為x，則4x=（m4）2m2=（m4m）（m4m）=8m16，解得x=2m4。4. （2012浙江湖州4分）如圖，將正ABC分割成m個邊長為1的小正三角形和一個黑色菱形，這個黑色菱形可分割成n個邊長為1的小三角形，若，則ABC的邊長是 【答案】12。【考點】一元二次方程的應用（幾何問題），菱形的性質，等邊三角形的性質，銳角三角函數定義。【分析】設正ABC的邊長為x，則由勾股定理，得高為，。所分成的都是正三角形，根據銳角三角函數定義，可得黑色菱形的較長的對角線為 ，較短的

16、對角線為。黑色菱形的面積=。，整理得，11x2144x144=0。解得（不符合題意，舍去），x2=12。所以，ABC的邊長是12。5. （2012江蘇連云港3分）如圖，直線yk1xb與雙曲線交于A、B兩點，其橫坐標分別為1和5，則不等式k1xb的解集是【答案】5x1或x0。【考點】不等式的圖象解法，平移的性質，反比例函數與一次函數的交點問題，對稱的性質。【分析】不等式k1xb的解集即k1xb的解集，根據不等式與直線和雙曲線解析式的關系，可以理解為直線yk1xb在雙曲線下方的自變量x的取值范圍即可。而直線yk1xb的圖象可以由yk1xb向下平移2b個單位得到，如圖所示。根據函數圖象的對稱性可得：

17、直線yk1xb和yk1xb與雙曲線的交點坐標關于原點對稱。由關于原點對稱的坐標點性質，直線yk1xb圖象與雙曲線圖象交點A、B的橫坐標為A、B兩點橫坐標的相反數，即為1，5。由圖知，當5x1或x0時，直線yk1xb圖象在雙曲線圖象下方。不等式k1xb的解集是5x1或x0。6. （2012江蘇南通3分）無論a取什么實數，點P(a1，2a3)都在直線l上，Q(m，n)是直線l上的點，則(2mn3)2的值等于 【答案】16。【考點】待定系數法，直線上點的坐標與方程的關系，求代數式的值。【分析】由于a不論為何值此點均在直線l上，令a=0，則P1（1，3）；再令a=1，則P2（0，1）。設直線l的解析式

18、為y=kx+b（k0）， ，解得 。直線l的解析式為：y=2x1。Q（m，n）是直線l上的點，2m1=n，即2mn=1。(2mn3)2=（1+3）2=16。7. （2012福建龍巖3分）如圖，平面直角坐標系中，O1過原點O，且O1與O2相外切，圓心O1與O2在x軸正半軸上，O1的半徑O1P1、O2的半徑O2P2都與x軸垂直，且點P1、P2在反比例函數（x>0）的圖象上，則 【答案】。【考點】反比例函數綜合題。【分析】O1過原點O，O1的半徑O1P1，O1O=O1P1。O1的半徑O1P1與x軸垂直，點P1（x1，y1）在反比例函數（x0）的圖象上，x1=y1，x1y1=1。x1=y1=1。

19、O1與O2相外切，O2的半徑O2P2與x軸垂直，設兩圓相切于點A，AO2=O2P2=y2，OO2=2+y2。P2點的坐標為：（2+y2，y2）。點P2在反比例函數（x0）的圖象上，（2+y2）y2=1，解得：y2=1+ 或1（不合題意舍去）。y1+y2=1+（1+）= 。8. （2012湖北武漢3分）在平面直角坐標系中，點A的坐標為(3，0)，點B為y軸正半軸上的一點，點C是第一象限內一點，且AC2設tanBOCm，則m的取值范圍是 【答案】。【考點】銳角三角函數定義，勾股定理，一元二次方程根的判別式。【分析】如圖，設C點坐標為（）。 tanBOCm，即。 A的坐標為(3，0)，DA=。 又A

20、C2由勾股定理，得， 即，整理得 由得。 tanBOCm0，。9. （2012湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田3分）平面直角坐標系中，M的圓心坐標為（0，2），半徑為1，點N在x軸的正半軸上，如果以點N為圓心，半徑為4的N與M相切，則圓心N的坐標為 【答案】（，0）或（，0）。【考點】相切兩圓的性質，坐標與圖形性質，勾股定理。【分析】分別從M與N內切或外切去分析：M與N外切，MN=4+1=5，圓心N的坐標為（，0）。M與N內切，MN=41=3，圓心N的坐標為（，0）。綜上所述，圓心N的坐標為（，0）或（，0）。10. （2012遼寧阜新3分）如圖1，在邊長為a的大正方形中剪去一個邊長為b的小正方

21、形，再將圖中的陰影部分剪拼成一個長方形，如圖2這個拼成的長方形的長為30，寬為20則圖2中部分的面積是 【答案】100。【考點】解二元一次方程組的應用（幾何問題）。【分析】由題意，得圖2中部分長為b，寬為ab， ，解得。 圖2中部分的面積是。11. （2012吉林長春3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A是拋物線與y軸的交點，點B是這條拋物線上的另一點，且ABx軸，則以AB為邊的等邊三角形ABC的周長為 .【答案】18。【考點】二次函數的性質，等邊三角形的性質。【分析】根據二次函數的性質，拋物線的對稱軸為x=3。 A是拋物線與y軸的交點，點B是這條拋物線上的另一 點，且ABx軸。 A，B關于x=

22、3對稱。AB=6。又ABC是等邊三角形，以AB為邊的等邊三角形ABC的周長為6×3=18。12. （2012甘肅蘭州4分）如圖，M為雙曲線上的一點，過點M作x軸、y軸的垂線，分別交直線yxm于點D、C兩點，若直線yxm與y軸交于點A，與x軸相交于點B，則ADBC的值為 【答案】2。【考點】反比例函數綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理。【分析】如圖，作CEx軸于E，DFy軸于F， 在yxm中，令x0，則ym；令y0，xm0，解得xm。A(0，m)，B(m，0)。OAB等腰直角三角形。ADF和CEB都是等腰直角三角形。設M的坐標為(a，b)，則ab，

23、CEb，DFa。ADDFa，BCCEb，ADBCab2ab2。三、解答題1. （2012上海市12分）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+6x+c的圖象經過點A（4，0）、B（1，0），與y軸交于點C，點D在線段OC上，OD=t，點E在第二象限，ADE=90°，tanDAE=，EFOD，垂足為F（1）求這個二次函數的解析式；（2）求線段EF、OF的長（用含t的代數式表示）；（3）當ECA=OAC時，求t的值【答案】解：（1）二次函數y=ax2+6x+c的圖象經過點A（4，0）、B（1，0），解得。這個二次函數的解析式為：y=2x2+6x+8。（2）EFD=EDA=90

24、76;，DEF+EDF=90°，EDF+ODA=90°。DEF=ODA。EDFDAO。，。OD=t，EF=。同理，DF=2，OF=t2。（3）拋物線的解析式為：y=2x2+6x+8，C（0，8），OC=8。如圖，連接EC、AC，過A作EC的垂線交CE于G點ECA=OAC，OAC=GCA（等角的余角相等）。在CAG與OCA中，OAC=GCA，AC=CA，ECA=OAC，CAGOCA（ASA）。CG=AO=4，AG=OC=8。如圖，過E點作EMx軸于點M，則在RtAEM中，EM=OF=t2，AM=OA+AM=OA+EF=4+，由勾股定理得： 。在RtAEG中，由勾股定理得：。在

25、RtECF中，EF=，CF=OCOF=10t，CE=CG+EG=4+由勾股定理得：EF2+CF2=CE2，即。解得t1=10（不合題意，舍去），t2=6。t=6。【考點】二次函數綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，相似三角形的判定和性質，銳角三角函數定義，全等三角形的判定和性質，勾股定理。【分析】（1）已知點A、B坐標，用待定系數法求拋物線解析式即可。 （2）先證明EDFDAO，然后利用相似三角形對應邊的比例關系以及三角形函數的定義求解。（3）通過作輔助線構造一對全等三角形：CAGOCA，得到CG、AG的長度；然后利用勾股定理求得AE、EG的長度（用含t的代數式表示）；最后在RtECF中，利用

26、勾股定理，得到關于t的無理方程，解方程求出t的值。2. （2012福建莆田14分） 如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC四個頂點的坐標分別為O(0，0)，A(0，3)，B(6，3)，C(6，0)，拋物線過點A。(1)(2分)求c的值； (2)(6分)若al，且拋物線與矩形有且只有三個交點A、D、E，求ADE的面積S的最大值；(3)(6分)若拋物線與矩形有且只有三個交點A、M、N，線段MN的垂直平分線l過點O，交線段BC于點F。當BF1時，求拋物線的解析式【答案】解：(1)拋物線過點A(0，3)，c3。(2) al， 如圖，當拋物線與矩形的兩個交點D、E分別在AB、OC邊上時， 拋物線與直線x

27、6的交點應落在C點或C點下方。 當x6時，y0。，即。 又對稱軸在y軸右側，b0。0。 由拋物線的對稱性可知： 。 又ADE的高BC3，S×b×3。0，S隨b的增大而增大。當b時，S的最大值。 如圖，當拋物線與矩形的兩個交點D、E分別在AB、BC邊上時，拋物線與直線x6的交點應落在線段BC上且不與點B重合，即03。當x6，則，06b333，b6。BE3(6b33)366b。SAD·BE·b·(366b)3b2+18b。對稱軸b3，隨b的增大而減小。當b時，S的最大值。綜上所述：S的最大值為。 (3)當a0時，符合題意要求的拋物線不存在。 當a0

28、時，符合題意要求的拋物線有兩種情況：當點M、N分別在AB、OC邊上時如圖過M點作MGOC于點G，連接OM MGOA32MNO90°。 OF垂直平分MNOMON，1MNO=90°，12。 FB1，FC312。 tan1，tan2tan1。GNGM1。設N(n，0)，則G(n1，0)，M(n1，3)。 AMn1，ONnOM。 在RtAOM中， ，解得n5。M(4，3)，N(5，0)。把M(4，3)，N(5，0)分別代入，得，解得。拋物線的解析式為。當點M、N分別在AB、BC邊上時如圖，連接MF OF垂直平分MN，1NFO90°，MFFN。 又0CB90°，2

29、CFO=90°。 12。 BF1， FC2。tan1tan2。 在RtMBN，tan1，BN3MB。設N(6，n)則FN2n，BN3一n。MF2n，MB。在RtMBF中，。解得： (不合題意舍去)，。AM6，M(，3)，N(6，) 。把M(，3)，N(6，)分別代人，得，解得。拋物線的解析式為。綜上所述，拋物線的解析式為或。【考點】二次函數綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，二次函數的性質，矩形的性質，銳角三角函數定義，勾股定理，解二元一次方程組。【分析】（1）將點A的坐標代入即可求得c的值。 （2）分拋物線與矩形的兩個交點D、E分別在AB、OC邊上和拋物線與矩形的兩個交點D、E分別

30、在AB、BC邊兩種情況應用二次函數性質分別求解。 （3）分拋物線與矩形的兩個交點D、E分別在AB、OC邊上和拋物線與矩形的兩個交點D、E分別在AB、BC邊兩種情況應用待定系數法分別求解。3. （2012甘肅蘭州10分）若x1、x2是關于一元二次方程ax2bxc(a0)的兩個根，則方程的兩個根x1、x2和系數a、b、c有如下關系：x1x2，x1x2把它稱為一元二次方程根與系數關系定理如果設二次函數yax2bxc(a0)的圖象與x軸的兩個交點為A(x1，0)，B(x2，0)利用根與系數關系定理可以得到A、B連個交點間的距離為：AB|x1x2|。參考以上定理和結論，解答下列問題：設二次函數yax2b

31、xc(a0)的圖象與x軸的兩個交點A(x1，0)，B(x2，0)，拋物線的頂點為C，顯然ABC為等腰三角形(1)當ABC為直角三角形時，求b24ac的值；(2)當ABC為等邊三角形時，求b24ac的值【答案】解：（1）當ABC為直角三角形時，過C作CEAB于E，則AB2CE。拋物線與x軸有兩個交點，b24ac0，則|b24ac|b24ac。a0，AB。又CE，。，即。b24ac0，b24ac4。（2）當ABC為等邊三角形時，由(1)可知CEAB，。b24ac0，b24ac12。【考點】拋物線與x軸的交點，根與系數的關系，等腰三角形的性質，等邊三角形的性質。【分析】（1）當ABC為直角三角形時，

32、由于ACBC，所以ABC為等腰直角三角形，過C作CEAB于E，則AB2CE根據本題定理和結論，得到AB，根據頂點坐標公式，得到CE，列出方程，解方程即可求出b24ac的值。（2）當ABC為等邊三角形時，解直角ACE，得CEAB，據此列出方程，解方程即可求出b24ac的值。4. （2012湖北黃石10分）已知拋物線C1的函數解析式為，若拋物線C1經過點，方程的兩根為，且。（1）求拋物線C1的頂點坐標.（2）已知實數，請證明：,并說明為何值時才會有.（3）若拋物線先向上平移4個單位，再向左平移1個單位后得到拋物線C2，設， 是C2上的兩個不同點，且滿足： ，.請你用含有的表達式表示出AOB的面積S

33、，并求出S的最小值及S取最小值時一次函數OA的函數解析式。（參考公式：在平面直角坐標系中，若，則P，Q兩點間的距離）【答案】解：（1）拋物線過（,）點，3a。a 。x2bx x2bx=的兩根為x1，x2且，且b。b。拋物線的頂點坐標為（，）。（2）x，。當時，即當x時，有。 （3）由平移的性質，得C2的解析式為：yx2 。(m，m2)，B（n，n2）。AOB為直角三角形，OA2OB2=AB2。m2m4n2n4（mn）2（m2n2）2，化簡得：m n。AOB=，m n，AOB。AOB的最小值為，此時m,(,)。直線OA的一次函數解析式為x。【考點】二次函數綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，一元

34、二次方程根與系數的關系，二次函數的性質，不等式的知識。【分析】（1）求拋物線的頂點坐標，即要先求出拋物線的解析式，即確定待定系數a、b的值已知拋物線圖象與y軸交點，可確定解析式中的常數項（由此得到a的值）；然后從方程入手求b的值，題目給出了兩根差的絕對值，將其進行適當變形（轉化為兩根和、兩根積的形式），結合根與系數的關系即可求出b的值。（2）將配成完全平方式，然后根據平方的非負性即可得證。（3）結合（1）的拋物線的解析式以及函數的平移規律，可得出拋物線C2的解析式；在RtOAB中，由勾股定理可確定m、n的關系式，然后用m列出AOB的面積表達式，結合不等式的相關知識可確定OAB的最小面積值以及此

35、時m的值，從而由待定系數法確定一次函數OA的解析式。別解：由題意可求拋物線C2的解析式為：yx2。(m，m2)，B（n，n2）。過點A、B作x軸的垂線，垂足分別為C、D，則由 得 ，即。AOB的最小值為，此時m,(,)。直線OA的一次函數解析式為x。5. （2012江蘇無錫8分）對于平面直角坐標系中的任意兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），我們把|x1x2|+|y1y2|叫做P1、P2兩點間的直角距離，記作d（P1，P2）（1）已知O為坐標原點，動點P（x，y）滿足d（O，P）=1，請寫出x與y之間滿足的關系式，并在所給的直角坐標系中畫出所有符合條件的點P所組成的圖形；（2）設P0（x

36、0，y0）是一定點，Q（x，y）是直線y=ax+b上的動點，我們把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直線y=ax+b的直角距離試求點M（2，1）到直線y=x+2的直角距離【答案】解：（1）由題意，得|x|+|y|=1。所有符合條件的點P組成的圖形如圖所示：（2）d（M，Q）=|x2|+|y1|=|x2|+|x+21|=|x2|+|x+1|，又x可取一切實數，|x2|+|x+1|表示數軸上實數x所對應的點到數2和1所對應的點的距離之和，其最小值為3。點M（2，1）到直線y=x+2的直角距離為3。【考點】新定義，一次函數綜合題，絕對值與數軸的關系。【分析】（1）根據新定義知|x|+|y|=1，據此可

37、以畫出符合題意的圖形。（2）根據新定義知d（M，Q）=|x2|+|y1|=|x2|+|x+21|=|x2|+|x+1|，然后由絕對值與數軸的關系可知，|x2|+|x+1|表示數軸上實數x所對應的點到數2和1所對應的點的距離之和，其最小值為3。6. （2012山東濟南9分）如圖1，拋物線y=ax2bx3與x軸相交于點A（3，0），B（1，0），與y軸相交于點C，O1為ABC的外接圓，交拋物線于另一點D（1）求拋物線的解析式；（2）求cosCAB的值和O1的半徑；（3）如圖2，拋物線的頂點為P，連接BP，CP，BD，M為弦BD中點，若點N在坐標平面內，滿足BMNBPC，請直接寫出所有符合條件的點N

38、的坐標【答案】解：（1）拋物線y=ax2bx3與x軸相交于點A（3，0），B（1，0），解得。拋物線的解析式為：y=x24x3。（2）由（1）知，拋物線解析式為：y=x24x3，令x=0，得y=3，C（0，3）。OC=OA=3，則AOC為等腰直角三角形。CAB=45°，cosCAB=。在RtBOC中，由勾股定理得：BC=。如圖1所示，連接O1B、O1C，由圓周角定理得：BO1C=2BAC=90°。BO1C為等腰直角三角形，O1的半徑O1B=。（3）點N的坐標為（，）或（，）。【考點】二次函數綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，等腰直角三角形的性質，銳角三角函數定義，特殊角的

39、三角函數值，圓周角定理，圓及拋物線的對稱性質，相似三角形的性質，勾股定理。【分析】（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；（2）如答圖1所示，由AOC為等腰直角三角形，確定CAB=45°，從而求出其三角函數值；由圓周角定理，確定BO1C為等腰直角三角形，從而求出半徑的長度。（3）如答圖2所示，首先利用圓及拋物線的對稱性求出點D坐標，從而求出點M的坐標和線段BM的長度；點B、P、C的坐標已知，求出線段BP、BC、PC的長度；然后利用BMNBPC相似三角形比例線段關系，求出線段BN和MN的長度；最后利用勾股定理，列出方程組，求出點N的坐標。拋物線y=x24x3=（x2）21，頂點P坐標為

40、（2，1），對稱軸為x= 2。又A（3，0），B（1，0），可知點A、B關于對稱軸x=2對稱。如圖2所示，由圓及拋物線的對稱性可知：點D、點C（0，3）關于對稱軸對稱。D（4，3）。又點M為BD中點，B（1，0），M（）。BM=。在BPC中，B（1，0），P（2，1），C（0，3），由勾股定理得：BP=，BC=，PC=。BMNBPC，即。解得：BN=，MN。設N（x，y），由勾股定理可得：，解得，。點N的坐標為（，）或（，）。7. （2012浙江寧波12分）如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A（1，0），B（2，0），交y軸于C（0，2），過A，C畫直線（1）求二次函數的解析式；

41、（2）點P在x軸正半軸上，且PA=PC，求OP的長；（3）點M在二次函數圖象上，以M為圓心的圓與直線AC相切，切點為H若M在y軸右側，且CHMAOC（點C與點A對應），求點M的坐標；若M的半徑為，求點M的坐標【答案】解：（1）二次函數y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A（1，0），B（2，0）設該二次函數的解析式為：y=a（x+1）（x2）， 將x=0，y=2代入，得2=a（0+1）（02），解得a=1。拋物線的解析式為y=（x+1）（x2），即y=x2x2。（2）設OP=x，則PC=PA=x+1，在RtPOC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，解得，x=，即OP=。（3）CHMAOC

42、，MCH=CAO。（i）如圖1，當H在點C下方時，MCH=CAO，CMx軸，yM=2。x2x2=2，解得x1=0（舍去），x2=1。M（1，2）。（ii）如圖2，當H在點C上方時，MCH=CAO，PA=PC。由（2）得，M為直線CP與拋物線的另一交點，設直線CM的解析式為y=kx2，把P（，0）的坐標代入，得k2=0，解得k=。y=x2。由x2=x2x2，解得x1=0（舍去），x2=。此時y=×。M（）。在x軸上取一點D，如圖3，過點D作DEAC于點E，使DE=，在RtAOC中，AC=。COA=DEA=90°，OAC=EAD，AEDAOC，即，解得AD=2。D（1，0）或D

43、（3，0）。過點D作DMAC，交拋物線于M，如圖則直線DM的解析式為：y=2x+2或y=2x6。當2x6=x2x2時，即x2+x+4=0，方程無實數根，當2x+2=x2x2時，即x2+x4=0，解得。 點M的坐標為（）或（）。【考點】二次函數綜合題，待定系數法，曲線上點的坐標與方程的關系，勾股定理，平行的判定和性質，相似三角形的判定和性質，解一元二次方程。【分析】（1）根據與x軸的兩個交點A、B的坐標，故設出交點式解析式，然后把點C的坐標代入計算求出a的值，即可得到二次函數解析式。 （2）設OP=x，然后表示出PC、PA的長度，在RtPOC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可。（3）根據相似三

44、角形對應角相等可得MCH=CAO，然后分（i）點H在點C下方時，利用同位角相等，兩直線平行判定CMx軸，從而得到點M的縱坐標與點C的縱坐標相同，是-2，代入拋物線解析式計算即可；（ii）點H在點C上方時，根據（2）的結論，點M為直線PC與拋物線的另一交點，求出直線PC的解析式，與拋物線的解析式聯立求解即可得到點M的坐標。在x軸上取一點D，過點D作DEAC于點E，可以證明AED和AOC相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求解即可得到AD的長度，然后分點D在點A的左邊與右邊兩種情況求出OD的長度，從而得到點D的坐標，再作直線DMAC，然后求出直線DM的解析式，與拋物線解析式聯立求解即可得到點M的坐

45、標。8. （2012江蘇鎮江9分）對于二次函數和一次函數，把稱為這兩個函數的“再生二次函數”，其中t是不為零的實數，其圖象記作拋物線E。現有點A（2，0）和拋物線E上的點B（1，n），請完成下列任務：【嘗試】（1）當t=2時，拋物線的頂點坐標為 。（2）判斷點A是否在拋物線E上；（3）求n的值。【發現】通過（2）和（3）的演算可知，對于t取任何不為零的實數，拋物線E總過定點，坐標為 。【應用1】二次函數是二次函數和一次函數的一個“再生二次函數”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由；【應用2】以AB為邊作矩形ABCD，使得其中一個頂點落在y軸上，或拋物線E經過A、B、C、D其中的一點，求出

46、所有符合條件的t的值。【答案】解：【嘗試】（1）（1，2）。 （2）點A在拋物線E上，理由如下： 將x=2代入得y=0。 點A在拋物線E上。（3）將（1，n）代入得 。【發現】A（2，0）和B（1，6）。【應用1】不是。 將x=1代入，得， 二次函數的圖象不經過點B。 二次函數不是二次函數和一次函數的一個“再生二次函數”。【應用2】如圖，作矩形ABC1D1和ABC2D2，過點B作BKy軸于點K，過點D1作D1Gx軸于點G，過點C2作C2Hy軸于點H，過點B作BMx軸于點M，C2H與BM相交于點T。易得AM=3，BM=6，BK=1，KBC1NBA，則，即，得。C1（0，）。易得KBC1GAD1，

47、得AG=1，GD1=。D1（3，）。易得OAD2GAD1，則，由AG=1，OA=2，GD1=得，得OD2=1。D2（0，1）。易得TBC2OD2A，得TC2=AO=2，BT=OD2=1。C2（3，5）。拋物線E總過定點A、B，符合條件的三點只可能是A、B、C或A、B、D。當拋物線經過A、B、C1時，將C1（0，）代入得；當拋物線經過A、B、D1時，將D1（3，）代入得；當拋物線經過A、B、C2時，將C2（3，5）代入得；當拋物線經過A、B、D2時，將D2（0，1）代入得。滿足條件的所有t值為，。【考點】新定義，二次函數的性質，曲線上點的坐標與方程的關系，矩形的性質。【分析】【嘗試】（1）當t=

48、2時，拋物線為，拋物線的頂點坐標為（1，2）。 （2）根據點在曲線上，點的坐標滿足方程的關系驗證即可。 （3）根據點在曲線上，點的坐標滿足方程的關系，將（1，n）代入函數關系式即可求得n的值。【發現】由（1）可得。【應用1】根據點在曲線上，點的坐標滿足方程的關系驗證即可。【應用2】根據條件，作出矩形，求出各點坐標，根據新定義求出t的值。9. （2012四川瀘州11分）如圖，二次函數的圖象與x軸相交于點A、B(點在點的左側)，與y軸相交于點C，頂點D在第一象限.過點D作x軸的垂線，垂足為H。(1)當時，求tanADH的值；(2)當60°ADB90°時，求m的變化范圍；(3)設

49、BCD和ABC的面積分別為S1、S2，且滿足S1=S2，求點D到直線BC的距離。【答案】解：（1）)當時，。D。DH=。 在中令，即，解得。 A（1，0）。AH=。tanADH=。（2），D。 DH=。在中令，即，解得。頂點D在第一象限，。A（1，0）。AH=。 當ADB=600時，ADH=300，tanADH=。 ，解得（增根，舍去）。 當ADB=900時，ADH=450，AH=DH，即，解得（不符合，舍去）。當60°ADB90°時，。（3）設DH與BC交于點M，則點M的橫坐標為m，設過點B（，0），C（0，）的直線為，則 ，解得。 直線BC為。 當時，。 M（m，）。DM=，AB=。 SBCD=DM·OB，SABC=AB·OC，SBCD=SABC， 。 又頂點D在第一象限，解得。 當時 ，A（1，0），B（5，0），C（0，）。 BC=，SABC=。 設點D到BC的距離為d，SDBC=， ，解得。 答：點D到直線BC的距離為。【考點】二次函數綜合題，二次函數的性質，曲線上點的坐標與方程的關系，待定系數法，銳角三角函數定義，點到直線的距離，解二元一次方程組和一元二次方程。