1、2020屆高三模擬考試試卷數 學(滿分160分，考試時間120分鐘)2020. 1參考公式：1 ni n1. 樣本數據X1, X2,，xn的方差s2 =和斗(Xi X)2,一 1 一 2. 圓錐的體積V = §Sh，其中S是圓錐的底面圓面積，h是圓錐的高.一、填空題：本大題共 14小題，每小題5分，共70分.1. 已知集合 A = x|0<x<2 , B= x| 1<x<1)，貝U A U B =.S 0I 1While I v 6I I + 1S S+ IEnd WhilePrint S(第 4 題)2. 已知復數z滿足z2= 4，且z的虛部小于0，則z=.

2、3. 若一組數據乙x, 6, 8, 8的平均數為7,則該組數據的方差是 .4. 執行如圖所示的偽代碼，則輸出的結果為 .5. 函數f(x)=寸Iog2x 2的定義域為 .6. 某學校高三年級有 A , B兩個自習教室，甲、乙、丙3名學生各自隨機選擇其中一個教室自習，則甲、乙兩人不在同一教室上自習的概率為 .7. 若關于x的不等式x2 mx + 3<0的解集是(1, 3)，則實數m的值為.8. 在平面直角坐標系xOy中，雙曲線 育y2= 1的右準線與漸近線的交點在拋物線y2 =2px上，則實數p的值為.9. 已知等差數列an的前n項和為Sn, a2 + a9= 8, S5= 5，貝U S1

3、5的值為.10. 已知函數y= .3sin 2x的圖象與函數y = cos 2x的圖象相鄰的三個交點分別是A, B,。，則厶ABC的面積為.11. 在平面直角坐標系 xOy中，已知圓 M: x2+ y2 4x 8y + 12 = 0，圓N與圓M外切于點(0, m)，且過點(0, 2)，則圓N的標準方程為 .12. 已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，其圖象關于直線x= 1對稱，當x (0, 1時，f(x) = eax(其中e是自然對數的底數).若f(2 020 ln 2) = 8，則實數a的值為.(第 13 題)13. 如圖，在 ABC中，D , E是BC上的兩個三等分點，AB AD = 2

4、AC AE，貝V cos/ ADE的最小值為 .14. 設函數 f(x) = |x3 ax b|, x 1, 1,其中 a, b R若 f(x) < M 恒成立，則當 M取得最小值時， ab 的值為 二、 解答題：本大題共 6小題，共90分解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或 演算步驟.15. (本小題滿分14分)如圖，在三棱錐 PABC中，AP = AB，點M , N分別為棱 PB, PC的中點，平面 PAB丄 平面PBC.求證：BC /平面AMN ;(2)平面 AMN丄平面PBC.16. (本小題滿分14分)在厶ABC中，角A , B, C的對邊分別為 a, b, c,且cos5(

5、1)若 a= 5, c= 2 5，求 b 的值；n若B=；，求tan 2C的值.417. (本小題滿分 14 分)如圖，在圓錐 SO 中，底面半徑 R 為 3，母線長 l 為 5.用一個平行于底面的平面去截圓錐， 截面圓的圓心為01,半徑為r.現要以截面為底面，圓錐底面圓心0為頂點挖去一個倒立的小 圓錐00i，記圓錐001的體積為V.(1) 將 V 表示成 r 的函數；求 V 的最大值18.(本小題滿分16分)在平面直角坐標系 xOy中，已知橢圓2 2x y2 C: a2+ b2=1(a>b>0)的右頂點為A，過點A作直線I與圓O: x2+ y2= b2相切，與橢圓C交于另一點P,

6、與右準線交于點 Q.設直線I的斜率為k.(1)用k表示橢圓C的離心率；若op OQ = o,求橢圓c的離心率.19. (本小題滿分16分)1已知函數 f(x) = (a2)ln x(a R). 若曲線y = f(x)在點(1, f(1)處的切線方程為x + y 1 = 0,求a的值；(2) 若f(x)的導函數f'存在兩個不相等的零點，求實數a的取值范圍；(3) 當a= 2時，是否存在整數 人使得關于x的不等式f(x) 入恒成立？若存在，求出入 的最大值；若不存在，請說明理由.20. (本小題滿分16分)已知數列an的首項ai = 3,對任意的n N*，都有a“+i= kan 1(k工0

7、)，數列an 1是 公比不為1的等比數列.(1) 求實數k的值；4 n, n為奇數，S2m(2) 設bn=土/中*.數列bn的前n項和為Sn,求所有正整數m的值，使得 an 1, n為偶數，S2m-1恰好為數列b n中的項.2020屆高三模擬考試試卷（四）數學附加題（滿分40分，考試時間30分鐘）21. 【選做題】 在A , B, C三小題中只能選做兩題，每小題 10分，共20分.若多做, 則按作答的前兩題計分解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.A. （選修42 :矩陣與變換）2 3已知矩陣M =的一個特征值為 4，求矩陣M的逆矩陣Mt 1'B. （選修44:坐標系與參數方

8、程）在平面直角坐標系 xOy中，以坐標原點 O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直一x = 2/5cos 0,線I的極坐標方程為pCos 0 + sin 0 ） = 12,曲線C的參數方程為（ 0為參數,y= 2sin 00 R）.在曲線C上求點M，使點M到I的距離最小，并求出最小值.C. （選修45:不等式選講）, 1 1已知正數x，y, z滿足x+y+ z=1，求xy+三+衛；的最小值.1【必做題】第22, 23題，每小題10分，共20分解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.22. 如圖，在三棱柱 ABCAiBiCi中，側面 AAiBiB為正方形，側面 BBiCiC為菱形，/

9、 BBiCi= 60°，平面 AAiBiB 丄平面 BBiCiC.(1) 求直線ACi與平面AAiBiB所成角的正弦值；求二面角BACiC的余弦值.2020屆高三模擬考試試卷（四）（蘇北四市）數學參考答案及評分標準1. x| 1<x<22. 2i144所以 OO1= 4 3r，所以 V(r) = ?n r2(4 §r) = n (3r2 r3), 0<r<3.(7 分)3 4. 20 5. 4 ,+s)6. 17. 4 8. 49. 13510.曹5242n11. （x + 2）2+ y2= 8 12. 3 13. 4 14. 37415. 證明：（

10、1）在厶PBC中，因為點 M , N分別為棱PB, PC的中點，所以 MN / BC.（3 分）又MN?平面 AMN , BC?平面 AMN，所以BC /平面 AMN.（6分）（2）在厶PAB中，因為 AP = AB，點M為棱PB的中點，所以 AM丄PB.（8分）因為平面 PAB丄平面 PBC，平面 PAB門平面 PBC = PB, AM ?平面PAB，所以 AM丄平 面 PBC.（12 分）又AM ?平面 AMN，所以平面 AMN丄平面 PBC.（14分）16. 解：（1）在厶ABC中，由余弦定理 b2 + c2 2bccos A= a2,得b2 + 20 2X 2 5xfb = 25,即

11、b2 4b 5= 0, （4 分）解得b= 5或b = 1(舍)，所以b = 5.(6分)(2)由 cos A=學及 0<A< n,得 sin A = 1 coA =所以2= 255, (8 分)5n/2VT0cos C= cos (A + B) = cos(A + -4)=(cos A sin A) =.1 (因為0<C< n,所以 sin C = 1 cos2C =1 -()2 = ,3 10從而tan C=cs=3,(12 分)10所以tan 2C=2ta n C1 tan2C17. 解：(1)在厶 SAO 中，SO= SA2 AO2=52 32= 4.(2 分)

12、SO1 r4由厶 SNOiA SAO 可知 (2)由(1)得 V(r)=扌 n (3r2 r3), 0<r<3 ,所以 V (r=9 n (6r 3r2),令 V' (=0，得 r = 2, (9 分)°； =-，所以 SO1 = -r, (4 分) SO R3當 r (0, 2)時,當 r (2, 3)時,V' (r)>0，所以V' (r)<0，所以V（r）在（0, 2）上單調遞增;V（r）在（2, 3）上單調遞減.所以當r= 2時,V（r）取得最大值V(2)=16n9答：小圓錐的體積 V的最大值為 罟.(14分)18.解：(1)直線

13、 I 的方程為 y= k(x a), 即卩 kx y ak= 0.因為直線l與圓O: x2+ y2= b2相切，所以!嚴 =b，故k2=1八k2 + 1.(4 分 )a2所以橢圓C的離心率e=- . 1b2a2設橢圓C的焦距為2c,則右準線方程為 x =.cb2a2 b2.y = k (x a),a2x =云x2 y2 彳2+ 2= 1 ,a b得(b2+ a2/”2 2a3k2x+ a4k2 a2b2 = 0,y = k (x a)a3k2 ab2a3k2 ab2 2ab2k解得 Xp = . 22，貝廿yP= k(匕2十掠2 a)=匕2+掠2 ,2ab2k八齊五)-(10分)a2 a3k2

14、 ab2 , k (a2 ac) 2ab2k =所以c 丙麗+c bra迄=°,即 a&k2 b2)= 2b2k2(a c). (12 分)由(1)知 k2= 2b b2，所以 a(嚴-b2)= 2b,a ba ba bb2+ a2k2 'a3k2 ab2 所以P(b*,因為赤 O)Q = 0,_2_2 ac得 y= k(c a)= kc，所以 Q(;k ( a2 ac)(6分)b2+av所以a= 2a 2c,即a= 2c,所以c=1，故橢圓C的離心率為£(16分)a 22” ，1 1 119.解：(1) f=(列 x + (a J)】.因為曲線y= f(x

15、)在點(1, f(1)處的切線方程為x + y 1= 0,所以 f' (= a 1= 1,解得 a= 0.(2 分)(2)因為f ' (=)ax1 嚴 x存在兩個不相等的零點，x所以當當1g(x) = ax 1 + In x存在兩個不相等的零點，則g' (x=- + a.xa> 0時，g' (x)>0，所以g(x)單調遞增，至多有一個零點.(4分)1a<0時，因為當x (0,一)時，g ' (x)>0 , g(x)單調遞增；a1當 x ( 一，+ )時，g (x)<0 , g(x)單調遞減,a1ii所以 X 1時,g(x)m

16、ax= g( a戸 In( 1)-2(6 分)一 1 因為g(x)存在兩個零點，所以ln( ? 2>0 ,解得e 2<a<0.(7分) 1 因為一e 2<a<0,所以一->e2>1. a1因為g(1) = a- 1<0,所以g(x)在(0,扌)上存在一個零點.(8分) 11 因為一e 2<a<0 ,所以(一)2> a1111因為 g( -)2)= ln(-_)2+_ 1,設 t= -，則 y= 2ln t t 1(t>e2).aa aa2 t因為y=p<0，所以y= 2ln t t 1(t>e2)單調遞減，11

17、1所以 y<2ln(e2) e2 1 = 3 e2<0,，aaa1 所以g(x)在(-，+s )上存在一個零點.a綜上可知，實數a的取值范圍是(e 2, 0). (10分)111 1 2x 1 + In x(2) 當 a= 2 時，f(x) = (2 ?ln x , f' (x) = /In x + (2 = 曠設 g(x) = 2x 1 + In x，則 g' (x> 1 + 2>0,所以 g(x)單調遞增，x且 gg) = In 1<0 , g(1) = 1>0，所以存在 X0 g, 1)使得 g(x°) = 0.(12 分)

18、因為當x (0, x0)時，g(x)< 0,即f ' (x)<0所以f(x)單調遞減; 當 x (x0,+m )時，g(x)>0,即 f ' (x)>0所以 f(x)單調遞增， 所以X= x0時，f(x)取得極小值，也是最小值，此時12x0)= (4x0 + )+ 4.(14 分)1因為 X0 g, 1)，所以 f(x 0) ( 1, 0).因為f(x) > X,且入為整數，所以 疋一1, 即卩入的最大值為一1.(16分)20.解：(1)由 an+1 = kan 1, a1 = 3 可知，a2= 3k 1, a3= 3k2 k 1. 因為an 1為

19、等比數列，所以(a2 1)2= (a1 1)(a3 1),即(3k 2)2= 2X (3k2 k 2), 即卩 3k2 10k + 8 = 0，解得 k = 2 或 k = £.(2 分)344當 k= 3時，an+ 1 3 = 3(an 3)，所以 an= 3,貝y an 1 = 2,所以數列an 1的公比為1，不符合題意；an+11當 k= 2 時，an+1 1 = 2(an 1)，所以數列an 1的公比 q= 2,an 一 I4 n, n為奇數,2n, n為偶數，所以實數k的值為2.(4分)(2)由(1)知 an 1 = 2n,所以 bn = 則 S2m= (4 1) + 4+

20、 (4 3)+ 42+ 4 (2m 1) + 4m =(4 1)+ (4 3) + + 4 (2m 1) + 4+ 42+ 4m4m+1 4=m(4 m) +3, (6 分)4m 4則 S2m 1 = S2m b2m = m(4 m) +-.因為 b2m+ b2m+ 1 = 3 2m+ 4m，又(b2m+ 2+ b2m+ 3) (b2m+ b2m +1)= 3 X 4“一 2>0 , 且 b2 + b3= 5>0 , b1 = 3>0，所以 S2m-1>0，貝y S2m>0.設= bt>0, t N*, (8 分)S2m 1則t = 1, 3或t為偶數，因為

21、b3= 1不可能，所以t = 1或t為偶數.4m+1 4當嚴=b1時,S2m 1m (4 m) + 3m3= 3,化簡得 6m2 24m + 8 = 4m< 4,4 4m (4 m) + 3即 m2 4m + 2< 0,驗證 8=3,8=3,所以m可能取值為S5=鈴得當m =1，2, 3,2時，S4= bi成立.(12分)當t為偶數時,4m+1 4m (4 m)+ 3舉=3 = 1 +S2m-14m 4 3m2 + 12m 4 'm ( 4 m) + - 3+ 14m設Cm =3m2+ 12m 4 “9m2 42m + 21，貝廿 Cm + 1 Cm=m + 14m由知m&

22、gt;3,一 3當 m=4 時，C5C4=孑 <0;當m>4時,19Cm + 1 Cm>0，所以C4>C5<C6<，所以Cm的最小值為 C5= 1024,所以0金<1 +- 193<5.+ 11 024S2m令礦=4= b2,則 1 + - 3m2+ 12m- 4 = 4，即曲+ 12m-4 = 0 無整數解.+ 1綜上，正整數 m4m的值2.（16分）2020屆高三模擬考試試卷（蘇北四市）數學附加題參考答案及評分標準|2 . 3cos()+ 2sin $ 12|n4sin (0+ 3) 12n12 4sin ( 0+ 3),(6 分)入一2 3

23、21. A.解：矩陣M的特征多項式為f（ H t =（ 2）（1） 3t.（2分）因為矩陣M 的勺一個特征值為4,所以 f(4) = 6 3t= 0,所以 t= 2.(5分）1 31323-1_2X1 3X 22X1 3X 244所以M =2，所以M1-2 2 =11.(10 分)2X 1 3X 2 2X 1 3X 222B.解：由l:pcos 0+ psin0-12 = 0，及 x = pcos 0, y= pin0,所以I的直角坐標方程為 x + y 12 = 0. （2分）在曲線 C上取點 M（2_3cos 0, 2sin $ ），則點M到I的距離n當0= "6時，d取最小值4

24、,2, (8分)此時點M的坐標為(3, 1). (10分)C.解：因為x, y, z都為正數，且x+ y + z= 1,111所以由柯西不等式，得3( - + - + )x + 2y y + 2z z + 2x71 1 1=(x+2y+z+2x)【"+ 2y)+ (y+2z)+(z+2x)(5 分)(；x+?x+2y +y+2z+sz+xz+ 2x)2= 9，1當且僅當x= y = z= 3時等號成立，111所以+ + 的最小值為3.（10分） x+ 2y y+ 2z z+ 2x22.解：（1）因為四邊形 AA1B1B為正方形，所以 AB丄BB1.因為平面 AA 1B1B丄平面 BB1C1C，平面 AA1B1B門平面 BB1C1C = BB1,AB?平面AA1B1B，所以 AB丄平面BB1C1C. （2分）以點B為坐標原點，分別以 BA , BBi所在的直線為x, y軸，以過點B且垂直于平面 AAiBiB的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Bxyz.不妨設正方形 AAiBiB的邊長為2，貝V A（2，0，0），Bi（O，2，0）.在菱形BBiCiC中，因為/ BBiCi= 60°,所以 Ci(0, 1,3)，所以 ACi= ( 2, 1,3)因為平面AAiBiB的一個法向量