1、12-1幾何證明選講基礎(chǔ)鞏固強(qiáng)化1.如圖，在ABC中，A90°，正方形DEFG的邊長(zhǎng)是6cm，且四個(gè)頂點(diǎn)都在ABC的各邊上，CE3 cm，則BC的長(zhǎng)為()A12cmB21cmC18cm D15cm答案B解析四邊形DEFG是正方形，GDBFEC90°，GDDEEF6 cm，又BC90°，BBGD90°，CBGD，BGDFCE，即BD12cm，BCBDDEEC21cm.2(文)如圖，D、E分別是ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，DEBC且2，那么ADE與四邊形DBCE的面積比是()A.B.C.D.答案C解析DEBC，ADEABC，2，2，SADESABC，S四邊形

2、DEBCSABC，故選C.(理)如圖所示，在ABCD中，BC24，E、F為BD的三等分點(diǎn)，則BMDN()A6B3C2D4答案A解析E、F為BD的三等分點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，M為BC的中點(diǎn)，連CF交AD于P，則P為AD的中點(diǎn)，由BCFDPF及M為BC中點(diǎn)知，N為DP的中點(diǎn)，BMDN1266，故選A.3(2012·天津十二校聯(lián)考)如圖所示，EA是圓O的切線，割線EB交圓O于點(diǎn)C，C在直徑AB上的射影為D，CD2，BD4，則EA()A4 B. C3 D.答案B解析根據(jù)題意可得BC2CD2BD2224220，即BC2.由射影定理得BC2AB·BD，即204AB，解得AB5，所以A

3、C，設(shè)EAx，ECy，根據(jù)切割線定理可得x2y(y2)，即x2y22y，在RtACE中，x2y2()2，故2y5，解得y，故x25，得x，即EA.4.如圖所示，矩形ABCD中，AB12，AD10，將此矩形折疊使點(diǎn)B落在AD邊的中點(diǎn)E處，則折痕FG的長(zhǎng)為()A13 B.C. D.答案C解析過點(diǎn)A作AHFG交DG于H，則四邊形AFGH為平行四邊形AHFG.折疊后B點(diǎn)與E點(diǎn)重合，折痕為FG，B與E關(guān)于FG對(duì)稱BEFG，BEAH.ABEDAH，RtABERtDAH.AB12，AD10，AEAD5，BE13，F(xiàn)GAH.5(文)如圖，O與O相交于A和B，PQ切O于P，交O于Q和M，交AB的延長(zhǎng)線于N，MN

4、3，NQ15，則PN()A3 B. C3 D3答案D解析由切割線定理知：PN2NB·NAMN·NQ3×1545，PN3.(理)如圖，AB為O的直徑，C為O上一點(diǎn)，AP和過C的切線互相垂直，垂足為P，過B的切線交過C的切線于T，PB交O于Q，若BTC120°，AB4，則PQ·PB()A2 B3 C. D2答案B解析連接OC、AC，則OCPC，則O、C、T、B四點(diǎn)共圓，BTC120°，COB60°，故AOC120°.由AOOC2知AC2，在RtAPC中，ACPAOC60°，因此PC.根據(jù)切割線定理得PQ

5、83;PBPC23.6兩個(gè)相似三角形，面積分別為16cm2和49cm2，它們的周長(zhǎng)相差6cm，則較大三角形的周長(zhǎng)為()A21cm B2cm C14cm D.cm答案C解析由相似三角形面積比等于相似比的平方，周長(zhǎng)比等于相似比知，周長(zhǎng)之比為：，設(shè)周長(zhǎng)分別為7x和4x，則7x4x6，x2，較大三角形的周長(zhǎng)為14cm.7(文)(2011·西安質(zhì)檢)如圖是某高速公路一個(gè)隧道的橫截面，若它的形狀是以O(shè)為圓心的圓的一部分，路面AB10m，凈高CD7m，則此圓的半徑OA_m.答案解析設(shè)O的半徑為R，則在RtOAD中，OA2OD2AD2，即R2()2(7R)2，解得Rm.(理)(2011·深

6、圳調(diào)研)如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上異于A，B的點(diǎn)，CDAB，垂足為D，已知AD2，CB4，則CD_.答案2解析根據(jù)射影定理得CB2BD×BA，即(4)2BD(BD2)，得BD6，又CD2AD×BD12，所以CD2.8(文)(2012·湖南理，11)如下圖，過點(diǎn)P的直線與O相交于A、B兩點(diǎn)若PA1，AB2，PO3，則O的半徑等于_答案解析設(shè)圓半徑為r，由割線定理：PA·PB(3r)·(3r)，即1×39r2，r26，r.(理)(2011·北京西城區(qū)模擬)如圖，從圓O外一點(diǎn)P引圓O的切線PA和割線PBC，已知PA2，

7、PC4，圓心O到BC的距離為，則圓O的半徑為_答案2解析設(shè)圓O的半徑為R.依題意得PA2PB·PC，PB2，BCPCPB2，R2，即圓O的半徑為2.9(2012·江南十校聯(lián)考)如圖，在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中，ABC90°，ABD30°，BDC45°，AD1，則BC_.答案解析連接AC.因?yàn)锳BC90°，所以AC為圓的直徑又ACDABD30°，所以AC2AD2.又BACBDC45°，故BC.10(2011·杭州市高三聯(lián)考)如圖，圓O的直徑AB10，弦DEAB于點(diǎn)H，AH2.(1)求DE的長(zhǎng)；(2)延長(zhǎng)ED

8、到P，過P作圓O的切線，切點(diǎn)為C，若PC2，求PD的長(zhǎng)解析(1)連接AD，DB，由于AB為圓O的直徑，ADDB.又ABDE，DHHE，DH2AH×BH2×(102)16，DH4，DE8.(2)PC切圓O于點(diǎn)C，PC2PD×PE，(2)2PD(PD8)，PD2.能力拓展提升11.(文)(2011·佛山質(zhì)檢)如圖，AB，CD是半徑為a的圓O的兩條弦，它們相交于AB的中點(diǎn)P，PDa，OAP30°，則CP_.答案解析因?yàn)辄c(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，由垂徑定理知，OPAB.在RtOPA中，BPAPacos30°a.由相交弦定理知，BP·APCP

9、·DP，即a·aCP·a，所以CPa.(理)(2012·廣東理，15)如右圖，圓O的半徑為1，A、B、C是圓周上的三點(diǎn)，滿足ABC30°，過點(diǎn)A作圓O的切線與OC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，則PA_.答案解析本題考查圓的相關(guān)知識(shí)，連結(jié)OA，則AOC60°，OA1，OAPA，AP.12(文)(2012·天津，13)如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點(diǎn)B作圓的切線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D.過點(diǎn)C作BD的平行線與圓相交于點(diǎn)E，與AB相交于點(diǎn)F，AF3，F(xiàn)B1，EF，則線段CD的長(zhǎng)為_答案解析如圖，由相交弦定理得AF·FBEF&#

10、183;FC，F(xiàn)C2，F(xiàn)CBD，BD.又由切割線定理知BD2DC·DA，又由DA4CD知4DC2BD2，DC.明確相交弦定理、切割線定理等是解題的關(guān)鍵(理)(2011·惠州市模擬)如圖，O的割線PAB交O于A、B兩點(diǎn)，割線PCD經(jīng)過圓心O，已知PA6，AB，PO12，則O的半徑是_答案8解析設(shè)O的半徑是R，PA·PBPC·PD(POR)(POR)PO2R2，PA(PAAB)PO2R2，將PA6，AB，PO12代入得R8.13(文)(2012·湖北理，15)如下圖，點(diǎn)D在O的弦AB上移動(dòng)，AB4，連接OD，過點(diǎn)D作OD的垂線交O于點(diǎn)C，則CD的最

11、大值為_答案2解析本題考查圓的性質(zhì)及勾股定理，CDOD，OC2OD2CD2，當(dāng)OD最小時(shí)，CD最大，而OE最小(E為AB的中點(diǎn))，CDmaxEB2.(理)(2012·廣州測(cè)試)如圖，AB是圓O的直徑，延長(zhǎng)AB至C，使BC2OB，CD是圓O的切線，切點(diǎn)為D，連接AD、BD，則的值為_答案解析連接OD，則ODCD.設(shè)圓O的半徑為r，則OAOBODr，BC2r.所以O(shè)C3r，CD2r.由弦切角定理得，CDBCAD，又DCBACD，所以CDBCAD.所以.14(文)如圖以RtABC的直角邊AB為直徑作O，與斜邊AC交于點(diǎn)D，E為BC邊的中點(diǎn)(1)求證：DE是O的切線；(2)連結(jié)OE、AE，當(dāng)

12、CAB為何值時(shí)，四邊形AOED是平行四邊形，并在此條件下求sinCAE的值解析(1)在OBE與ODE中，OBOD，OEOE.E、O分別為BC、AB中點(diǎn)EOAC，EOBDAO，DOEADO，又OADADO，EOBDOE，OBEODE，ODEOBE90°，ED是O的切線(2)CAB45°，sinCAE.(理)如圖，已知過ABC頂點(diǎn)A的直線交BC的延長(zhǎng)線于D，交ABC的外接圓于點(diǎn)F，連結(jié)FB、FC，且FBFC.(1)求證：AD平分EAC；(2)若AB是ABC的外接圓的直徑，AD4，EAC120°，求BC的長(zhǎng)解析(1)因?yàn)镕BFC，所以FBCFCB，因?yàn)樗倪呅蜛FBC內(nèi)接

13、于圓，所以DACFBC，又因?yàn)镋ADFABFCB.所以EADCAD，所以AD平分EAC.(2)因?yàn)锳B是ABC的外接圓的直徑，所以ACD90°，因?yàn)镋AC120°，所以DACEAC60°，D30°，所以AC2，在RtACB中，因?yàn)锽AC60°，所以BC2tan60°6.15(文)(2011·山西太原模擬)如圖，AB是半圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)(異于A、B)，過C作圓O的切線l，過A作直線l的垂線AD，垂足為D，AD交半圓于點(diǎn)E.求證：CBCE.證明證法一：連結(jié)BE.因?yàn)锳B是半圓O的直徑，E為圓周上一點(diǎn)，所以AEB90&#

14、176;，即BEAD.又因?yàn)锳Dl，所以BEl.所以DCECEB.因?yàn)橹本€l是圓O的切線，所以DCECBE，所以CBECEB，所以CECB.證法二：連結(jié)AC，BE，在DC延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F.因?yàn)锳B是半圓O的直徑，C為圓周上一點(diǎn)所以ACB90°，即BCFACD90°.又因?yàn)锳Dl，所以DACACD90°，所以BCFDAC.又因?yàn)橹本€l是圓O的切線，所以CEBBCF.又DACCBE，所以CBECEB.所以CECB.(理)如圖，AB是圓O的直徑，C是半徑OB的中點(diǎn)，D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BDOB，直線MD與圓O相交于點(diǎn)M，T(不與A、B重合)，DN與圓O相切于點(diǎn)N，連

15、接MC，MB，OT.(1)求證：DT·DMDO·DC；(2)若DOT60°，試求BMC的大小解析(1)證明：因MD與圓O相交于點(diǎn)T，由切割線定理得，DN2DT·DM，DN2DB·DA，所以DT·DMDB·DA，設(shè)半徑OBr(r>0)，因BDOB，且BCOC，則DB·DAr·3r3r2，DO·DC2r·3r2.所以DT·DMDO·DC.(2)由(1)可知，DT·DMDO·DC，且TDOCDM，故DTODCM，所以DOTDMC.根據(jù)圓周角定理得

16、，DOT2DMB，則BMC30°.16(文)(2011·新課標(biāo)全國(guó)文，22)如圖，D，E分別為ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，且不與ABC的頂點(diǎn)重合，已知AE的長(zhǎng)為m，AC的長(zhǎng)為n，AD，AB的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x214xmn0的兩個(gè)根(1)證明：C，B，D，E四點(diǎn)共圓；(2)若A90°，且m4，n6，求C，B，D，E所在圓的半徑解析(1)連結(jié)DE，根據(jù)題意在ADE和ACB中，AD×ABmnAE×AC，即.又DAECAB，從而ADEACB.因此ADEACB.所以C，B，D，E四點(diǎn)共圓(2)m4，n6時(shí)，方程x214xmn0的兩根為x12，x212.故

17、AD2，AB12.取CE的中點(diǎn)G，DB的中點(diǎn)F，分別過G，F(xiàn)作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點(diǎn)，連結(jié)DH.因?yàn)镃，B，D，E四點(diǎn)共圓，所以C，B，D，E四點(diǎn)所在圓的圓心為H，半徑為DH，由于A90°，故GHAB，HFAC.從而HFAG5，DF(122)5.故C，B，D，E四點(diǎn)所在圓的半徑為5.(理)(2012·烏魯木齊地區(qū)診斷)如圖，已知PA與O相切，A為切點(diǎn)，PBC為割線，D為O上一點(diǎn)，AD、BC相交于點(diǎn)E.(1)若ADAC，求證：APCD；(2)若F為CE上一點(diǎn)使得EDFP，已知EF1，EB2，PB4，求PA的長(zhǎng)解析(1)PA是O的切線，AD是弦，PADACD.ADA

18、C，ADCACD，PADADC，APCD.(2)EDFP，又DEFPEA，DEFPEA，有，即EF·EPEA·ED.而AD、BC是O的相交弦，EC·EBEA·ED，故EC·EBEF·EP，EC3.由切割線定理有PA2PB·PC4×(324)36，PA6.1(2011·廣東湛江高考調(diào)研)如圖，圓O上一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D，AD2，AC2，則AB_.答案10解析由射影定理知，AC2AD·AB，所以AB10.2如圖所示，已知AB為半O的直徑，直線MN切半圓于點(diǎn)C，ADMN于點(diǎn)D，BEMN于點(diǎn)E，

19、BE交半圓于點(diǎn)F，AD3cm，BE7cm.(1)則O的半徑為_；(2)則線段DE的長(zhǎng)為_答案5cm2cm解析(1)連接OC.MN切半圓于點(diǎn)C，OCMN.ADMN，BEMN，ADOCBE.OAOB，CDCE.OC(ADBE)5cm.O的半徑為5cm.(2)連接AF.AB為半O的直徑，AFB90°.AFE90°.又ADEDEF90°，四邊形ADEF為矩形DEAF，ADEF3cm.在RtABF中，BFBEEF4cm，AB2OC10cm.AF2，DE2cm.3如圖，已知PA是O的切線，A是切點(diǎn)，直線PO交O于B、C兩點(diǎn)，D是OC的中點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)E.若PA2，

20、APB30°，則AE_.答案解析PA是O的切線，OAPA，在直角三角形PAO中，tan30°.PA2，AOPA·2，即圓O的半徑為r2，同理sin30°，PO4.D是OC的中點(diǎn)，ODDC1，從而BDBOOD213，PDPOOD415，在三角形PAD中，由余弦定理得：AD2PA2PD22PA·PD·cos30°(2)2522×2×5×7，AD，再由相交弦定理得：AD·DEBD·DC，即·DE3×13，DE，AEADDE.4(2012·保定市調(diào)研)如

21、圖，O是ABC的外接圓，ABAC，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使得CDAC，連結(jié)AD交O于點(diǎn)E，連結(jié)BE.求證：(1)BEDE；(2)DACE.證明(1)CDAC，DDAC，又DACEBC，DEBC，BEDE.(2)DDAC，ACB2DAC2D，又DACEBC，ACB2EBC，ABAC，ACBABC，ABC2EBC.ABEEBC，DABE，又ABEACE，DACE.5(2012·河北鄭口中學(xué)模擬)如圖，已知直線AB過圓心O，交O于A、B兩點(diǎn)，直線AF交O于F(不與B重合)，直線l與O相切于C，交AB于E，且與AF垂直，垂足為G，連結(jié)AC.求證：(1)BACCAG；(2)AC2AE·AF.證明(1)連結(jié)BC，GC是O的切線，CBAACG，故在RtACG和RtABC中，GACBAC.(2)由(1)可知EACCAF，連結(jié)CF，又因?yàn)镚E與O相切于C，所以GCFCAGEACECB，所以AFC90°GCF90°ECBACE.所以AFCACE，所以.所以AC2AE·AF.6如圖AB是O的直徑，D為O上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，若DADC，求證：AB2BC.解析連結(jié)OD、BD.因?yàn)锳B是圓O的直徑，所以ADB90°，AB2OB，因?yàn)镈