1、線性代數(shù)與線性規(guī)劃基礎(chǔ)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)矩陣實(shí)驗(yàn)?zāi)康恼莆站仃嚨妮斎敕椒? 掌握利用Mathematica (4.0以上版本) 對(duì)矩陣進(jìn)行轉(zhuǎn)置、加、減、數(shù)乘、相乘、乘方等運(yùn)算, 并能求矩陣的逆矩陣和計(jì)算方陣的行列式.基本命令在Mathematica中, 向量和矩陣是以表的形式給出的.1. 表在形式上是用花括號(hào)括起來的若干表達(dá)式, 表達(dá)式之間用逗號(hào)隔開.如輸入2,4,8,16x,x+1,y,Sqrt2則輸入了兩個(gè)向量.2. 表的生成函數(shù)(1) 最簡(jiǎn)單的數(shù)值表生成函數(shù)Range, 其命令格式如下:Range正整數(shù)n生成表1,2,3,4,n;Rangem, n生成表m,n;Rangem, n, dx生成表m,n

2、, 步長(zhǎng)為dx.(2) 通用表的生成函數(shù)Table. 例如,輸入命令Tablen3,n,1,20,2則輸出 1,27,125,343,729,1331,2197,3375,4913,6859輸入Tablex*y,x,3,y,3則輸出 1,2,3,2,4,6,3,6,93. 表作為向量和矩陣一層表在線性代數(shù)中表示向量, 二層表表示矩陣. 例如,矩陣可以用數(shù)表2,3,4,5表示.輸入A=2,3,4,5則輸出 2,3,4,5命令MatrixFormA把矩陣A顯示成通常的矩陣形式. 例如, 輸入命令:MatrixFormA則輸出 但要注意, 一般地, MatrixFormA代表的矩陣A不能參與運(yùn)算.輸

3、入B=1,3,5,7輸出為1,3,5,7輸入MatrixFormB輸出為雖然從這個(gè)形式看向量的矩陣形式是列向量, 但實(shí)質(zhì)上Mathematica不區(qū)分行向量與列向量. 或者說在運(yùn)算時(shí)按照需要, Mathematica自動(dòng)地把向量當(dāng)作行向量或列向量.下面是一個(gè)生成抽象矩陣的例子.輸入Tableai,j,i,4,j,3MatrixForm%則輸出注:這個(gè)矩陣也可以用命令A(yù)rray生成,如輸入Arraya,4,3/MatrixForm則輸出與上一命令相同.4. 命令I(lǐng)dentityMatrixn生成n階單位矩陣.例如,輸入IdentityMatrix5則輸出一個(gè)5階單位矩陣(輸出略).5. 命令Di

4、agonalMatrix生成n階對(duì)角矩陣.例如,輸入DiagonalMatrixb1,b2,b3則輸出 b1,0,0,0,b2,0,0,0,b3它是一個(gè)以b1, b2, b3為主對(duì)角線元素的3階對(duì)角矩陣.6. 矩陣的線性運(yùn)算:A+B表示矩陣A與B的加法;k*A表示數(shù)k與矩陣A的乘法; A.B或DotA,B表示矩陣A與矩陣B的乘法.7. 求矩陣A的轉(zhuǎn)置的命令:TransposeA.8. 求方陣A的n次冪的命令:MatrixPowerA,n.9. 求方陣A的逆的命令:InverseA.10.求向量a與b的內(nèi)積的命令:Dota,b.實(shí)驗(yàn)1 求方陣的行列式例1 計(jì)算=輸入ClearA;A=4,-3,5

5、,2;DetA23例2、計(jì)算行列式ClearA;A=3,0,0,-5,-4,1,0,2,6,5,7,0,-3,4,-2,-1;DetA466例3、計(jì)算行列式ClearA,a1,2,a2,4,a3,1,a4,3;A=0,a1,2,0,0,0,0,0,a2,4,a3,1,0,0,0,0,0,a4,3,0;DetA/SimplifyClearA,a,b,c,d;A=0,a,0,0,0,0,0,b,a,0,0,0,0,0,d,0;DetA/Simplify-abcd例2計(jì)算行列式.162例4 計(jì)算ClearA;A=3,1,1,1,1,3,1,1,1,1,3,1,1,1,1,3;DetA48例5 計(jì)算行

6、列式 ClearA;A=1,2,3,4,1,0,1,2,3,-1,-1,0,1,2,0,-5;DetA-24例6 計(jì)算行列式 ClearA;A=5,3,-1,2,0,1,7,2,5,2,0,-2,3,1,0,0,-4,-1,4,0,0,2,3,5,0;DetA -1080例1.10 求行列式 輸入ClearA;A=3,1,-1,2,-5,1,3,-4,2,0,1,-1,1,-5,3,-3;DetA輸出為40例1.11 求輸入ClearA,a,b,c,d;A=a2+1/a2,a,1/a,1,b2+1/b2,b,1/b,1,c2+1/c2,c,1/c,1,d2+1/d2,d,1/d,1;DetA/

7、Simplify則輸出實(shí)驗(yàn)2 矩陣A的轉(zhuǎn)置函數(shù)TransposeA例2.1 求矩陣的轉(zhuǎn)置.輸入ma=1,3,5,1,7,4,6,1,2,2,3,4;Transposema/MatrixForm輸出為如果輸入Transpose1,2,3輸出中提示命令有錯(cuò)誤. 由此可見, 向量不區(qū)分行向量或列向量.實(shí)驗(yàn)3 矩陣線性運(yùn)算例3.1 設(shè)求輸入A=3,4,5,4,2,6;B=4,2,7,1,9,2;A+B/MatrixForm4B-2A/MatrixForm 輸出為如果矩陣A的行數(shù)等于矩陣B的列數(shù), 則可進(jìn)行求AB的運(yùn)算. 系統(tǒng)中乘法運(yùn)算符為“.”, 即用A.B求A與B的乘積, 也可以用命令DotA,B實(shí)

8、現(xiàn). 對(duì)方陣A, 可用MatrixPowerA,n求其n次冪.例3.2 設(shè)求矩陣ma與mb的乘積.輸入Clearma,mb;ma=3,4,5,2,4,2,6,3;mb=4,2,7,1,9,2,0,3,5,8,4,1;ma.mb/MatrixForm輸出為實(shí)驗(yàn)4 矩陣的乘法運(yùn)算例4.1 設(shè)求AB與并求輸入ClearA,B;A=4,2,7,1,9,2,0,3,5;B=1,0,1;A.B輸出為11,3,5這是列向量B右乘矩陣A的結(jié)果. 如果輸入B.A輸出為4,5,12這是行向量B左乘矩陣A的結(jié)果這里不需要先求B的轉(zhuǎn)置. 求方陣A的三次方, 輸入MatrixPowerA,3/MatrixForm輸出為

9、例4.2 設(shè)求及輸入 A=-1,1,1,1,-1,1,1,2,3MatrixFormAB=3,2,1,0,4,1,-1,2,-4MatrixFormB3A.B-2A/MatrixFormTransposeA.B/MatrixForm則輸出及的運(yùn)算結(jié)果分別為實(shí)驗(yàn)5 求方陣的逆例5.1 設(shè)求輸入Clearmama=2,1,3,2,5,2,3,3,0,1,4,6,3,2,1,5;Inversema/MatrixForm則輸出注: 如果輸入Inversema/MatrixForm則得不到所要的結(jié)果, 即求矩陣的逆時(shí)必須輸入矩陣的數(shù)表形式例5.2 求矩陣的逆矩陣.解 A=7,12,8,24,5,34,6

10、,-8,32,4,30,24,-26,9,27,0MatrixFormAInverseA/MatrixForm例5.3 設(shè)求輸入ClearA,B;A=3,0,4,4,2,1,3,3,1,5,3,4,1,2,1,5;B=0,3,2,7,1,3,1,3,3,1,2,2;Inversema.B/MatrixForm輸出為對(duì)于線性方程組如果A是可逆矩陣, X,b是列向量, 則其解向量為例5.4 解方程組輸入ClearA,b;A=3,2,1,1,-1,3,2,4,-4;b=7,6,-2;InverseA.b輸出為1,1,2實(shí)驗(yàn)6 綜合運(yùn)算例6.1設(shè)矩陣 求輸入 A=3,7,2,6,-4,7,9,4,2,

11、0,11,5,-6,9,3,2,7,-8,3,7,5,7,9,0,-6MatrixFormADetATrAMatrixPowerA,3/MatrixForm則輸出分別為115923實(shí)驗(yàn)習(xí)題1.設(shè)求及2.設(shè)求一般地 (k是正整數(shù)).3.求的逆.4.設(shè)且求5.利用逆矩陣解線性方程組實(shí)驗(yàn)8 矩陣的秩實(shí)驗(yàn)?zāi)康?學(xué)習(xí)利用Mathematica求矩陣的秩,作矩陣的初等行變換; 求向量組的秩與極大無關(guān)組.基本命令1. 求矩陣M的所有可能的k階子式組成的矩陣的命令:MinorsM,k.2. 把矩陣A化作行最簡(jiǎn)形的命令:RowReduceA.3. 把數(shù)表1,數(shù)表2, ,合并成一個(gè)數(shù)表的命令:Joinlist1,

12、list2,. 例如輸入Join1,0,-1,3,2,1,1,5,4,6則輸出 1,0,-1,3,2,1,1,5,4,6例8.1 設(shè) 求矩陣M的秩.輸入ClearM;M=3,2,-1,-3,-2,2,-1,3,1,-3,7,0,5,-1,-8;MinorsM,2則輸出-7,11,9,-5,5,-1,-8,8,9,11,-14,22,18,-10,10,-2,-16,16,18,22,7,-11,-9,5,-5,1,8,-8,-9,-11可見矩陣M有不為0的二階子式. 再輸入MinorsM,3則輸出0,0,0,0,0,0,0,0,0,0可見矩陣M的三階子式都為0. 所以例8.2 已知矩陣的秩等于

13、2, 求常數(shù)t的值.左上角的二階子式不等于0. 三階子式應(yīng)該都等于0. 輸入ClearM;M=3,2,-1,-3,2,-1,3,1,7,0,t,-1;MinorsM,3輸出為35-7t,45-9t,-5+t當(dāng)時(shí), 所有的三階子式都等于0. 此時(shí)矩陣的秩等于2.例8.3 矩陣化為最簡(jiǎn)行階梯形矩陣。A=1,2,3,2,2,1,3,4,3MatrixFormARowReduceA/MatrixForm則輸出例8.4 求矩陣的行最簡(jiǎn)形及其秩.輸入 A=6,1,1,7,4,0,4,1,1,2,-9,0,-1,3,-16,-1,2,-4,22,3MatrixFormARowReduceA/MatrixFo

14、rm則輸出矩陣A的行最簡(jiǎn)形根據(jù)矩陣的行最簡(jiǎn)形,便得矩陣的秩為3.命令RowfReduceA把矩陣A化作行最簡(jiǎn)形. 用初等行變換可以求矩陣的秩與矩陣的逆.例8.5 設(shè)求矩陣A的秩.輸入ClearA;A=2,-3,8,2,2,12,-2,12,1,3,1,4;RowReduceA/MatrixForm輸出為因此A的秩為2. 例8.6設(shè)求.A=1,0,2,0,1,-1,2,-1,-1MatrixFormATransposeJoinTransposeA,IdentityMatrix3/MatrixFormRowReduce%/MatrixFormInverseA/MatrixForm輸出結(jié)果例8.7用

15、初等變換法求矩陣的逆矩陣.輸入 A=1,2,3,2,2,1,3,4,3MatrixFormATransposeJoinTransposeA,IdentityMatrix3/MatrixFormRowReduce%/MatrixFormInverseA/MatrixForm則輸出矩陣A的逆矩陣為矩陣的秩與它的行向量組, 以及列向量組的秩相等, 因此可以用命令RowReduce求向量組的秩.實(shí)驗(yàn)習(xí)題1.求矩陣的秩.2.求t, 使得矩陣的秩等于2. 線性方程組實(shí)驗(yàn)9 求解線性方程組實(shí)驗(yàn)?zāi)康?熟悉求解線性方程組的常用命令,能利用Mathematica命令各類求線性方程組的解. 理解計(jì)算機(jī)求解的實(shí)用意義

16、.基本命令1、在Mathematica系統(tǒng)內(nèi),方程中的等號(hào)用符號(hào)“=”表示.2、命令NullSpace,給出齊次方程組的解空間的一個(gè)基.3、命令LinearSolve,給出非齊次線性方程組的一個(gè)特解.4、解一般方程或方程組的命令Solve見Mathematica入門. 最基本的求解方程的命令為 Solveeqns, vars它表示對(duì)系數(shù)按常規(guī)約定求出方程(組)的全部解,其中eqns表示方程(組),vars表示所求未知變量求解齊次線性方程組例9.1 求解線性方程組輸入ClearA;A=1,1,-2,-1,3,-2,-1,2,0,5,7,3,2,-3,-5,-1;NullSpaceA則輸出-2,1

17、,-2,3. 注:如果輸出為空集 ,則表明解空間的基是一個(gè)空集,該方程組只有零解.例9.2 求解線性方程組輸入ClearA;A=1,1,2,-1,3,-2,-3,2,0,5,7,3,2,-3,-5,-1;NullspaceA輸出為 因此解空間的基是一個(gè)空集,說明該線性方程組只有零解.例9.3 求線性方程組 的一個(gè)解.輸入ClearA,b;A=1,1,-2,-1,3,-2,-1,2,0,5,7,3,2,-3,-5,-1;b=4,2,-2,4LinearSolveA,b輸出為1,1,-1,0注: 命令LinearSolve只給出線性方程組的一個(gè)解.例9.4 求線性方程組 的一個(gè)解.輸入ClearA

18、,b;A=1,1,2,-1,3,-2,-1,2,0,5,7,3,2,-3,-5,-1;b=4,2,2,4LinearSolveA,b輸出為L(zhǎng)inearsolve:nosol:Linear equation encountered which has no solution.說明該方程組無解.例95求出通過平面上三點(diǎn)(0,7),(1,6)和(2,9)的二次多項(xiàng)式并畫出其圖形.根據(jù)題設(shè)條件有 輸入Clearx;A=0,0,1,1,1,1,4,2,1y=7,6,9p=LinearSolveA,yCleara,b,c,r,s,t;a,b,c.r,s,tfx_=p.x2,x,1;Plotfx,x,0,2

19、,GridLines->Automatic,PlotRange->All;則輸出的值為 2,-3,7并畫出二次多項(xiàng)式的圖形(略).非齊次線性方程組的通解用命令Solve求非齊次線性方程組的通解.例9.6 求出通過平面上三點(diǎn)(0,0),(1,1),(-1,3)以及滿足的4次多項(xiàng)式解 設(shè)則有輸入Cleara,b,c,d,e;qx_=a*x4+b*x3+c*x2+d*x+e;eqs=q0= =0,q1= =1,q-1= =3,q-1= =20,q1= =9;A,y=LinearEquationsToMatriceseqs,a,b,c,d;p=LinearSolveA,y;fx_=p.x4

20、,x3,x2,x,1;Plotfx,x,-1,1,GridLines->Automatic,PlotRange->All;則輸出所求多項(xiàng)式用命令solve求非齊次線性方程組的通解.例9.9解方程組 輸入 Solvex-y+2z+w=1,2x-y+z+2w=3,x-z+w=2,3x-y+3w=5,x,y,z,w輸出為x2-w+z,y1+3z即,.于是,非齊次線性方程組的特解為(2,1,0,0). 例9.10解方程組解法1 用命令Solve輸入 Solvex-2y+3z-4w=4, y-z+w=-3,x+3y+w=1,-7y+3z+3w=-3,x,y,z,w輸出為x-8,y3, z6,

21、 w0即有唯一解,，.解法2 這個(gè)線性方程組中方程的個(gè)數(shù)等于未知數(shù)的個(gè)數(shù),而且有唯一解 ,此解可以表示為.其中是線性方程組的系數(shù)矩陣,而是右邊常數(shù)向量. 于是, 可以用逆陣計(jì)算唯一解. 輸入ClearA,b,x;A=1,-2,3,-4,0,1,-1,1,1,3,0,1,0,-7,3,1;b=4,-3,1,-3; x=InverseA.b輸出為-8,3,6,0解法3 還可以用克拉默法計(jì)算這個(gè)線性方程組的唯一解.為計(jì)算各行列式,輸入未知數(shù)的系數(shù)向量,即系數(shù)矩陣的列向量.輸入Cleara,b,c,d,e;a=1,0,1,0;b=-2,1,3,-7; c=3,-1,0,3;d=-4,1,1,1;e=4

22、,-3,1,-3;Dete,b,c,d/ Deta,b,c,dDeta,e,c,d/ Deta,b,c,dDeta,b,e,d/ Deta,b,c,dDeta,b,c,e/ Deta,b,c,d輸出為-8360例9.10 當(dāng)為何值時(shí),方程組無解、有唯一解、有無窮多解?當(dāng)方程組有解時(shí),求通解.先計(jì)算系數(shù)行列式,并求,使行列式等于0.輸入Cleara;Deta,1,1,1,a,1,1,1,a;Solve%=0,a則輸出a-2,a1,a1當(dāng),時(shí),方程組有唯一解.輸入Solvea*x+y+z=1,x+a*y+z=1,x+y+a*z=1,x,y,z則輸出x y z當(dāng)=-2時(shí),輸入Solve-2x+y+z

23、=1,x-2y+z=1,x+y-2z=1,x,y,z則輸出 說明方程組無解.當(dāng)=1時(shí),輸入Solvex+y+z=1,x+y+z=1,x+y+z=1,x,y,z則輸出x1-y-z說明有無窮多個(gè)解.非齊次線性方程組的特解為(1,0,0),對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為為(-1,1,0)與(-1,0,1).例9.11 求非齊次線性方程組 的通解.解法1 輸入A=2,1,-1,1,3,-2,1,-3,1,4,-3,5;b=1,4,-2;particular=LinearSolveA,bnullspacebasis=NullSpaceAgeneralsolution=t*nullspacebasis1

24、+k*nullspacebasis2+Flattenparticulargeneralsolution/MatrixForm解法2 輸入B=2,1,-1,1,1,3,-2,1,-3,4,1,4,-3,5,-2RowReduceB/MatrixForm根據(jù)增廣矩陣的行最簡(jiǎn)形, 易知方程組有無窮多解. 其通解為 (k,t為任意常數(shù))實(shí)驗(yàn)習(xí)題1.解方程組2.解方程組3. 解方程組4.解方程組5.用三種方法求方程組的唯一解.6.當(dāng)為何值時(shí),方程組有唯一解、無解、有無窮多解?對(duì)后者求通解.實(shí)驗(yàn)10 投入產(chǎn)出模型(綜合實(shí)驗(yàn))實(shí)驗(yàn)?zāi)康?利用線性代數(shù)中向量和矩陣的運(yùn)算, 線性方程組的求解等知識(shí),建立在經(jīng)濟(jì)分析

25、中有重要應(yīng)用的投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型. 掌握線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析方面的應(yīng)用. 應(yīng)用舉例假設(shè)某經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)只分為五個(gè)物質(zhì)生產(chǎn)部門:農(nóng)業(yè)、輕工業(yè)、重工業(yè)、運(yùn)輸業(yè)和建筑業(yè), 五個(gè)部門間某年生產(chǎn)分配關(guān)系的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可列成下表1. 在該表的第一象限中,每一個(gè)部門都以生產(chǎn)者和消費(fèi)者的雙重身份出現(xiàn). 從每一行看,該部門作為生產(chǎn)部門以自己的產(chǎn)品分配給各部門;從每一列看,該部門又作為消耗部門在生產(chǎn)過程中消耗各部門的產(chǎn)品. 行與列的交叉點(diǎn)是部門之間的流量,這個(gè)量也是以雙重身份出現(xiàn),它是行部門分配給列部門的產(chǎn)品量,也是列部門消耗行部門的產(chǎn)品量.表1 投入產(chǎn)出平衡表(單位: 億元) 產(chǎn)出投入物質(zhì)生產(chǎn)部門最終產(chǎn)品產(chǎn)品(X)農(nóng)業(yè)輕工業(yè)

26、重工業(yè)運(yùn)輸業(yè)建筑業(yè)合計(jì)積累消費(fèi)合計(jì)(Y)12345物質(zhì)生產(chǎn)部門農(nóng)業(yè)輕工業(yè)重工業(yè)運(yùn)輸業(yè)建筑業(yè)123456008132445117800450454757125013627102252013050250305160125625751101740842436345055012013594528511551650215298465120177022871043750127535103129540612001825合 計(jì)116718503522411995794526404485712515070折舊(D)7015830015451733物質(zhì)消耗合計(jì)(C)12372008382256510468678凈

27、產(chǎn)品勞動(dòng)報(bào)酬(V)社會(huì)純收(M)184742640072192865627036567710241222270總產(chǎn)品(X)3510312954061200182515070注: 最終產(chǎn)品舍去了凈出口.在第二象限中,反映了各部門用于最終產(chǎn)品的部分. 從每一行來看,反映了該部門最終產(chǎn)品的分配情況;從每一列看,反映了用于消費(fèi)、積累等方面的最終產(chǎn)品分別由各部門提供的數(shù)量情況.在第三象限中,反映了總產(chǎn)品中新創(chuàng)造的價(jià)值情況,從每一行來看,反映了各部門新創(chuàng)造價(jià)值的構(gòu)成情況;從每一列看,反映了該部門新創(chuàng)造的價(jià)值情況.采用與第三章第七節(jié)完全相同的記號(hào),可得到關(guān)于表1的產(chǎn)品平衡方程組 (1)其中,A為直接消耗系數(shù)

28、矩陣,根據(jù)直接消耗系數(shù)的定義,易求出表1所對(duì)應(yīng)的直接消耗系數(shù)矩陣:利用Mathematica軟件(以下計(jì)算過程均用此軟件實(shí)現(xiàn),不再重述),可計(jì)算出為方便分析,將上述逆矩陣列成表2.表2 部門農(nóng)業(yè)1輕工業(yè)2重工業(yè)3運(yùn)輸業(yè)4建筑業(yè)5農(nóng)業(yè)1輕工業(yè)2重工業(yè)3運(yùn)輸業(yè)4建筑業(yè)51.241750.04921560.3025730.0350220.06377610.4026511.201660.4951450.05944450.06721490.152540.00065522.166530.1008050.09529640.08741440.07520550.5292591.054470.07391050.1

29、322480.1220050.8594870.08842031.11036下面我們來分析上表中各列諸元素的經(jīng)濟(jì)意義. 以第2列為例,假設(shè)輕工業(yè)部門提供的最終產(chǎn)品為一個(gè)單位, 其余部門提供的最終產(chǎn)品均為零, 即最終產(chǎn)品的列向量為于是,輕工業(yè)部門的單位最終產(chǎn)品對(duì)5個(gè)部門的直接消耗列向量為通過中間產(chǎn)品向量產(chǎn)生的間接消耗為, , 于是,輕工業(yè)部門的單位最終產(chǎn)品對(duì)五個(gè)部門總產(chǎn)品的需求量為其中向量為列昂惕夫逆矩陣的第2列, 該列5個(gè)元素分別是部門2生產(chǎn)一個(gè)單位最終產(chǎn)品對(duì)部門1、2、3、4、5總產(chǎn)品的需求量, 即總產(chǎn)品定額. 同理, 可以解釋列昂節(jié)夫逆矩陣中第1、3、4、5列分別是部門1、3、4、5生產(chǎn)一個(gè)

30、單位最終產(chǎn)品對(duì)部門1、2、3、4、5的總產(chǎn)品定額.對(duì)應(yīng)于附表1的完全消耗系數(shù)矩陣最終產(chǎn)品是外生變量, 即最終產(chǎn)品是由經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)以外的因素決定的, 而內(nèi)生變量是由經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)內(nèi)的因素決定的. 現(xiàn)在假定政府部門根據(jù)社會(huì)發(fā)展和人民生活的需要對(duì)表1的最終產(chǎn)品作了修改, 最終產(chǎn)品的增加量分別為農(nóng)業(yè)2%, 輕工業(yè)7%, 重工業(yè)5%, 運(yùn)輸業(yè)5%, 建筑業(yè)4%, 寫成最終產(chǎn)品增量的列向量為則產(chǎn)品的增加量可由式(8)近似計(jì)算到第5項(xiàng), 得其中,為各部門生產(chǎn)直接消耗各部門產(chǎn)品數(shù)量;而后面各項(xiàng)的和為各部門生產(chǎn)的全部間接消耗的和.實(shí)驗(yàn)報(bào)告下表給出的是某城市某年度的各部門之間產(chǎn)品消耗量和外部需求量(均以產(chǎn)品價(jià)值計(jì)算, 單位

31、: 萬(wàn)元), 表中每一行的數(shù)字是某一個(gè)部門提供給各部門和外部的產(chǎn)品價(jià)值.農(nóng)業(yè)輕工業(yè)重工業(yè)建筑業(yè)運(yùn)輸業(yè)商業(yè)外部需求農(nóng)業(yè)45.0162.05.29.00.810.1151.9輕工業(yè)27.0162.06.46.00.660.0338.0重工業(yè)30.830.052.025.015.014.043.2建筑業(yè)0.00.60.20.24.820.054.2運(yùn)輸業(yè)1.65.73.92.41.22.133.1商業(yè)16.032.35.54.212.66.1243.3(1) 試列出投入產(chǎn)出簡(jiǎn)表, 并求出直接消耗矩陣;(2) 根據(jù)預(yù)測(cè), 從這一年度開始的五年內(nèi), 農(nóng)業(yè)的外部需求每年會(huì)下降1%, 輕工業(yè)和商業(yè)的外部需求

32、每年會(huì)遞增6%, 而其它部門的外部需求每年會(huì)遞增3%, 試由此預(yù)測(cè)這五年內(nèi)該城市和各部門的總產(chǎn)值的平均年增長(zhǎng)率;(3) 編制第五年度的計(jì)劃投入產(chǎn)出表.實(shí)驗(yàn)11 交通流模型(綜合實(shí)驗(yàn))*實(shí)驗(yàn)?zāi)康?利用線性代數(shù)中向量和矩陣的運(yùn)算, 線性方程組的求解等知識(shí),建立交通流模型. 掌握線性代數(shù)在交通規(guī)劃方面的應(yīng)用.應(yīng)用舉例假設(shè)某城市部分單行街道的交通流量(每小時(shí)通過的車輛數(shù))如圖5.1所示. 圖5.1試建立數(shù)學(xué)模型確定該交通網(wǎng)絡(luò)未知部分的具體流量.假定上述問題滿足下列兩個(gè)基本假設(shè)(1)全部流入網(wǎng)絡(luò)的流量等于全部流出網(wǎng)絡(luò)的流量;(2)全部流入一個(gè)節(jié)點(diǎn)的流量等于流出此節(jié)點(diǎn)的流量.于是, 根據(jù)圖5.1及上述基本兩個(gè)假設(shè), 可建立該問題的線性方程組即若將上述矩陣方程記為,則問題就轉(zhuǎn)化為求的全部解. 下面我們利用Mathmatica軟件來求解1、輸入矩陣A,并利用RowReduceA命令求得A的秩為8. 輸入RowReduceA/MatrixFormO