1、2023新高考數學第一輪專題練習3.2二次函數與冪函數應用創新題組1.(2022屆北師大實驗中學10月月考,10)已知M=|f()=0,N=|g()=0,若存在M,N,使|-|n,則稱函數f(x)與g(x)互為“n度零點函數”.若f(x)=32-x-1與g(x)=x2-aex互為“1度零點函數”,則實數a的取值范圍為()A.1e2,4eB.1e,4e2C.4e2,2eD.1e3,2e2答案B由題意可知f(2)=0,且f(x)在R上單調遞減,所以函數f(x)只有一個零點x=2.設函數g(x)的零點為x=x0,則|2-x0|1,得1x01e,所以a的取值范圍為1e,4e2,故選B.疑難突破 首先根

2、據題意,求得函數f(x)的零點,利用條件得到函數g(x)=x2-aex在區間(1,3)上存在零點,進一步得a=x2ex,令h(x)=x2ex,x(1,3),利用導數研究函數h(x)的值域,從而求得結果.2.(2022屆北京十一學校10月月考,9)設函數f(x)的定義域為D,如果對任意x1D,都存在唯一的x2D,使得f(x1)+f(x2)=m(m為常數)成立,那么稱函數f(x)在D上具有性質m.現有函數:f(x)=3x;f(x)=3x;f(x)=log3x;f(x)=tan x.其中,在定義域上具有性質m的函數的個數是()A.1B.2C.3D.4答案B函數f(x)=3x在R上單調遞增,值域為R,

3、故對任意的x1R,存在x2R,使得3x1+3x2=m,此時x2=m-3x13,x2唯一存在;函數f(x)=3x在R上單調遞增,值域為(0,+),當m=1,x1=1時,不存在x2R,使得3x1+3x2=m;函數f(x)=log3x在(0,+)上單調遞增,值域為R,故對任意的x1(0,+),存在x2(0,+),使得log3x1+log3x2=m,此時x2=3mx1,x2唯一存在;函數f(x)=tan x的定義域為x|x2+k,kZ,值域為R,因為f(x)是周期函數,所以對任意的x1x|x2+k,kZ,都有無數個x2x|x2+k,kZ,使得f(x1)+f(x2)=m(m為常數)成立.故是具有性質m的

4、函數.故選B.3.(2022屆北京四中10月月考,10)對于函數y=f(x),若存在x0,使得f(x0)=-f(-x0),則稱點(x0, f(x0)與點(-x0, f(-x0)是函數f(x)的一對“隱對稱點”.若函數f(x)=x2+2x,x0,mx+2,x0的圖象存在“隱對稱點”,則實數m的取值范圍是()A.2-22,0)B.(-,2-22C.(-,2+22D.(0,2+22答案B由“隱對稱點”的定義可知, f(x)=x2+2x,x0,mx+2,x0的圖象上存在關于原點對稱的點,設函數g(x)的圖象與函數y=x2+2x,x0,則-x0),故原問題等價于關于x的方程mx+2=-x2+2x有正根,

5、故m=-x-2x+2,而-x-2x+2=-x+2x+2-2x2x+2=2-22,當且僅當x=2時,取得等號,所以m2-22,故實數m的取值范圍是(-,2-22,故選B.4.(2022屆北京景山學校遠洋分校10月月考,15)對于函數y=f(x),若在其定義域內存在x0,使得x0f(x0)=1成立,則稱函數f(x)具有性質P.(1)下列函數中具有性質P的有.f(x)=-2x+22;f(x)=sin x(x0,2);f(x)=x+1x(x(0,+);f(x)=ln(x+1).(2)若函數f(x)=aln x具有性質P,則實數a的取值范圍是.答案(1)(2)a0或a-e解析(1)由題意得,當x0時,

6、f(x)=1x有解,則函數f(x)具有性質P. 令-2x+22=1x,即-2x2+22x-1=0,=8-8=0,方程有兩個相等的非零實根,故f(x)=-2x+22具有性質P;函數f(x)=sin x(x0,2)與y=1x的圖象有交點,故sin x=1x有解,故f(x)=sin x(x0,2)具有性質P;令x+1x=1x,此方程無解,故f(x)=x+1x(x(0,+)不具有性質P;函數f(x)=ln(x+1)與y=1x的圖象在(-1,+)上有交點,所以ln(x+1)=1x有解,所以f(x)=ln(x+1)具有性質P.綜上所述,具有性質P的函數有.(2)若函數f(x)=aln x(x0)具有性質P,則顯然a0,令aln x=1x,則方程xln x=1a有解,令g(x)=xln x,則g(x)=ln x+1,令g(x)=0,解得x=1e,當0x1e時,g(