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文檔簡介
1、絕密啟用前湖北省黃岡中學(xué)理科實(shí)驗(yàn)班預(yù)錄考試數(shù)學(xué)試卷一選擇題(共11小題)1.記號(hào)x表示不超過x的最大整數(shù),設(shè)n是自然數(shù),且則( )AI0 BI0 CI=0 D當(dāng)n取不同的值時(shí),以上三種情況都可能出現(xiàn)2.對(duì)于數(shù)x,符號(hào)x表示不大于x的最大整數(shù)若=3有正整數(shù)解,則正數(shù)a的取值范圍是() A0a2或2a3 B0a5或6a7 C1a2或3a5 D0a2或3a53.6個(gè)相同的球,放入四個(gè)不同的盒子里,每個(gè)盒子都不空的放法有()A4種 B6種 C10種D12種4.有甲、乙、丙三位同學(xué)每人拿一只桶同時(shí)到一個(gè)公用的水龍頭去灌水,灌水所需的時(shí)間分別為1.5分鐘、0.5分鐘和1分鐘,若只能逐個(gè)地灌水,未輪到的同學(xué)
2、需等待,灌完的同學(xué)立即離開,那么這三位同學(xué)花費(fèi)的時(shí)間(包括等待時(shí)間)的總和最少是()A3分鐘B5分鐘C5.5分鐘D7分鐘5.已知實(shí)數(shù)x滿足x2+x=4,則x的值是()A2B1C1或2D2或16如圖,在等邊ABC中,D為AC邊上的一點(diǎn),連接BD,M為BD上一點(diǎn),且AMD=60°,AM交BC于E當(dāng)M為BD中點(diǎn)時(shí),的值為()ABCD7如圖,等腰梯形ABCD中,ADBC,DBC=45°,翻折梯形ABCD,使點(diǎn)B重合于點(diǎn)D,折痕分別交邊AB、BC于點(diǎn)E、F若AD=2,BC=6,則ADB的面積等于() A2 B4 C6 D88如圖,正方形ABCD中,E為CD的中點(diǎn),EFAE,交BC于點(diǎn)
3、F,則1與2的大小關(guān)系為() A12B12C1=2D無法確定9已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()AB3CD610方程x2+2x+1=的正數(shù)根的個(gè)數(shù)為()A0B1C2D311如圖,已知AOM=60°,在射線OM上有點(diǎn)B,使得AB與OB的長度都是整數(shù),由此稱B是“完美點(diǎn)”,若OA=8,則圖中完美點(diǎn)B的個(gè)數(shù)為()A1B2C3D4二填空題(共4小題)12已知x為實(shí)數(shù),且,則x2+x的值為 13滿足方程|x+2|+|x3|=5的x的取值范圍是 14多項(xiàng)式6x311x2+x+4可分解為 15設(shè)整數(shù)a使得關(guān)于x的一元二次方程5x25ax+26a143=0的兩個(gè)根都是整數(shù),則a的值
4、是 三解答題16如圖,在ABC中,C=90°,AB=10cm,AC:BC=4:3,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s,同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BCA方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),速度為2cm/s,當(dāng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(秒)(1)設(shè)PBQ的面積為y(cm2),當(dāng)PBQ存在時(shí),求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;(2)x為何值時(shí),PBQ的面積最大?并求出最大值;(3)當(dāng)點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段PQ上是否存在一個(gè)點(diǎn)T,使得在某個(gè)時(shí)刻ACT、ABT、BCT的面積均相等(無需計(jì)算,說明理由即可)17閱讀下面材料:小偉遇到這樣一個(gè)問題
5、:如圖1,在ABC(其中BAC是一個(gè)可以變化的角)中,AB=2,AC=4,以BC為邊在BC的下方作等邊PBC,求AP的最大值小偉是這樣思考的:利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合他的方法是以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心將ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到ABC,連接AA,當(dāng)點(diǎn)A落在AC上時(shí),此題可解(如圖2)請(qǐng)你回答:AP的最大值是 參考小偉同學(xué)思考問題的方法,解決下列問題:如圖3,等腰RtABC邊AB=4,P為ABC內(nèi)部一點(diǎn),則AP+BP+CP的最小值是 (結(jié)果可以不化簡)18某水庫大壩的橫截面是如圖所示的四邊形BACD,期中ABCD瞭望臺(tái)PC正前方水面上有兩艘漁船M、N,觀察員在瞭望臺(tái)頂端P處觀測(cè)漁
6、船M的俯角=31°,觀測(cè)漁船N在俯角=45°,已知NM所在直線與PC所在直線垂直,垂足為點(diǎn)E,PE長為30米(1)求兩漁船M,N之間的距離(結(jié)果精確到1米);(2)已知壩高24米,壩長100米,背水坡AD的坡度i=1:0.25為提高大壩防洪能力,某施工隊(duì)在大壩的背水坡填筑土石方加固,加固后壩定加寬3米,背水坡FH的坡度為i=1:1.5,施工12天后,為盡快完成加固任務(wù),施工隊(duì)增加了機(jī)械設(shè)備,工作效率提高到原來的1.5倍,結(jié)果比原計(jì)劃提前20天完成加固任務(wù),施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天填筑土石方多少立方米?(參考數(shù)據(jù):tan31°0.60,sin31°0.52)1
7、9已知關(guān)于x的方程,(1)若兩根x1,x2滿足x10x2,求m的范圍;(2)若,求m的值20.當(dāng)m,n是正實(shí)數(shù),且滿足m+n=mn時(shí),就稱點(diǎn)P(m,)為“完美點(diǎn)”,已知點(diǎn)A(0,5)與點(diǎn)M都在直線y=x+b上,點(diǎn)B,C是“完美點(diǎn)”,且點(diǎn)B在線段AM上,若MC=,AM=4,求MBC的面積21.設(shè)p,q都是實(shí)數(shù),且pq我們規(guī)定:滿足不等式pxq的實(shí)數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間,表示為p,q對(duì)于一個(gè)函數(shù),如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足:當(dāng)pxq時(shí),有pyq,我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間p,q上的“閉函數(shù)”(1)反比例函數(shù)y=是閉區(qū)間1,2014上的“閉函數(shù)”嗎?請(qǐng)判斷并說明理由;(2)若一次函數(shù)y=kx
8、+b(k0)是閉區(qū)間m,n上的“閉函數(shù)”,求此函數(shù)的解析式;(3)若實(shí)數(shù)c,d滿足cd,且d2,當(dāng)二次函數(shù)y=x22x是閉區(qū)間c,d上的“閉函數(shù)”時(shí),求c,d的值22.我國是水資源比較貧乏的國家之一,各地采用了價(jià)格調(diào)控等手段來達(dá)到節(jié)約用水的目的,某市用水收費(fèi)的方法是:水費(fèi)=基本費(fèi)+超額費(fèi)+定額損耗費(fèi)若每月用水量不超過最低限量a立方米時(shí),只付基本費(fèi)8元和每月的定額損耗費(fèi)c元;若用水量超過a立方米時(shí),除了付同上的基本費(fèi)和定額損耗費(fèi)外,超過部分每立方米付b元的超額費(fèi)已知每戶每月的定額費(fèi)不超過5元(1)當(dāng)月用水量為x立方米時(shí),支付費(fèi)用為y元,寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)該市一家庭今年一季度的用水量
9、和支付費(fèi)用見下表,根據(jù)表中數(shù)據(jù)求a、b、c月份用水量(m3)水費(fèi)(元)199215193223323.某市將建一個(gè)制藥廠,但該廠投產(chǎn)后預(yù)計(jì)每天要排放大約80噸工業(yè)廢氣,這將造成極大的環(huán)境污染為了保護(hù)環(huán)境,市政府決定支持該廠貸款引進(jìn)廢氣處理設(shè)備來減少廢氣的排放:該設(shè)備可以將廢氣轉(zhuǎn)化為某種化工產(chǎn)品和符合排放要求的氣體經(jīng)測(cè)算,制藥廠每天利用設(shè)備處理廢氣的綜合成本y(元)與廢氣處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為:y=,且每處理1噸工業(yè)廢氣可得價(jià)值為80元的某種化工產(chǎn)品并將之利潤全部用來補(bǔ)貼廢氣處理(1)若該制藥廠每天廢氣處理量計(jì)劃定為20噸時(shí),那么工廠需要每天投入的廢氣處理資金為多少元?(2)
10、若該制藥廠每天廢氣處理量計(jì)劃定為x噸,且工廠不用投入廢氣處理資金就能完成計(jì)劃的處理量,求x的取值范圍;(3)若該制藥廠每天廢氣處理量計(jì)劃定為x(40x80)噸,且市政府決定為處理每噸廢氣至少補(bǔ)貼制藥廠a元以確保該廠完成計(jì)劃的處理量總是不用投入廢氣處理資金,求a的值24.如圖,菱形ABCD的邊長為6且DAB=60°,以點(diǎn)A為原點(diǎn)、邊AB所在的直線為x軸且頂點(diǎn)D在第一象限建立平面直角坐標(biāo)系動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿折線DCB向終點(diǎn)B以2單位/每秒的速度運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿x軸負(fù)半軸以1單位/秒的速度運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,直線PQ交邊AD于點(diǎn)E(1)求出經(jīng)過A、D、
11、C三點(diǎn)的拋物線解析式;(2)是否存在時(shí)刻t使得PQDB,若存在請(qǐng)求出t值,若不存在,請(qǐng)說明理由;(3)設(shè)AE長為y,試求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;(4)若F、G為DC邊上兩點(diǎn),且點(diǎn)DF=FG=1,試在對(duì)角線DB上找一點(diǎn)M、拋物線ADC對(duì)稱軸上找一點(diǎn)N,使得四邊形FMNG周長最小并求出周長最小值參考答案與試題解析一選擇題1.等式成立,I=(n+1)2+n(n+1)2=n0,故選A2.解:=3有正整數(shù)解,34,即63x+a8,6a3x8a,x,x是正整數(shù),a為正數(shù),x,即x可取1、2;當(dāng)x取1時(shí),63x+a8,63xa83x,3a5;當(dāng)x取2時(shí),63x+a8,63xa83x,0a2;綜上可得a的范圍
12、是:0a2或3a5故選D3.解:6個(gè)相同的球,放入四個(gè)不同的盒子里,若有三個(gè)盒子里放了1個(gè),一個(gè)盒子里放了3個(gè),這種情況下的方法有4種;若有兩個(gè)盒子里放了2個(gè),兩個(gè)盒子里放了1個(gè),這種情況下:設(shè)四個(gè)盒子編號(hào)為,可能放了兩個(gè)小球的盒子的情況為:,所以有6種情況;6個(gè)相同的球,放入四個(gè)不同的盒子里,每個(gè)盒子都不空的放法有:4+6=10故選C4. 這道題可以采用逆推法,我們可以先分析最后一位會(huì)用多長時(shí)間,很顯然不管是誰最后灌水都得用3分鐘,所以只需考慮前兩個(gè)接水的,怎樣能夠更加節(jié)省時(shí)間,顯然乙第一個(gè)灌水會(huì)最省時(shí),因?yàn)橹恍?.5分鐘接著是丙,丙灌水的時(shí)間加上等乙的時(shí)間,也就是1.5分鐘,最后是甲所以只
13、有按乙,丙,甲安排灌水才最省時(shí)【解答】解:按乙,丙,甲安排灌水最省時(shí),這三位同學(xué)花費(fèi)的時(shí)間(包括等待時(shí)間)的總和最少是0.5+(0.5+1)+(0.5+1+1.5)=5分鐘故選B【點(diǎn)評(píng)】考查了應(yīng)用類問題,運(yùn)用了逆推法,按照灌水所需的時(shí)間由少到多的順序安排灌水花費(fèi)的時(shí)間的總和最少5已知實(shí)數(shù)x滿足x2+x=4,則x的值是()A2B1C1或2D2或1【分析】利用完全平方公式可把原式變?yōu)椋▁)2+x2=0,用十字相乘法可得x的值【解答】解:x2+2+x2=0(x)2+(x)2=0解得x=2或1故選D【點(diǎn)評(píng)】本題的關(guān)鍵是把x看成一個(gè)整體來計(jì)算,即換元法思想6如圖,在等邊ABC中,D為AC邊上的一點(diǎn),連接
14、BD,M為BD上一點(diǎn),且AMD=60°,AM交BC于E當(dāng)M為BD中點(diǎn)時(shí),的值為()ABCD【分析】作DKBC,交AE于K首先證明BE=DK=CD,CE=AD,設(shè)BE=CD=DK=a,AD=EC=b,由DKEC,可得=,推出=,即a2+abb2=0,可得()2+()1=0,求出即可解決問題【解答】解:作DKBC,交AE于KABC是等邊三角形,AB=CB=AC,ABC=C=60°,AMD=60°=ABM+BAM,ABM+CBD=60°,BAE=CBD,在ABE和BCD中,ABEBCD,BE=CD,CE=AD,BM=DM,DMK=BME,KDM=EBM,MBE
15、MDK,BE=DK=CD,設(shè)BE=CD=DK=a,AD=EC=b,DKEC,=,=,a2+abb2=0,()2+()1=0,=或(舍棄),=,故選B【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、一元二次方程等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,學(xué)會(huì)用方程的思想思考問題,本題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想,屬于中考選擇題中的壓軸題7如圖,等腰梯形ABCD中,ADBC,DBC=45°,翻折梯形ABCD,使點(diǎn)B重合于點(diǎn)D,折痕分別交邊AB、BC于點(diǎn)E、F若AD=2,BC=6,則ADB的面積等于()A2B4C6D8【分析】作AHBC,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BE=DE,
16、BDE=DBE=45°,則DEB=90°,再根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得到BH=CE,可計(jì)算出CE=2,DE=BE=4,然后根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算【解答】解:作AHBC,如圖,翻折梯形ABCD,使點(diǎn)B重合于點(diǎn)D,折痕分別交邊AB、BC于點(diǎn)E、F,BE=DE,BDE=DBE=45°,DEB=90°,DEBC,梯形ABCD為等腰梯形,BH=CE,而AD=HE,AD=2,BC=6,CE=(62)=2,DE=BE=4,ADB的面積=×2×4=4故選B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì):折疊前后兩圖象全等,即對(duì)應(yīng)線段相等,對(duì)應(yīng)角相等也考查了等腰梯形的性質(zhì)
17、8如圖,正方形ABCD中,E為CD的中點(diǎn),EFAE,交BC于點(diǎn)F,則1與2的大小關(guān)系為()A12B12C1=2D無法確定【分析】易證ADEECF,求得CF的長,可得根據(jù)勾股定理即可求得AE、EF的長,即可判定ADEAEF,即可解題【解答】解:AED+CEF=90°,DAE+ADE=90°,DAE=CEF,ADE=ECF=90°,ADEECF,且相似比為2,AE=2EF,AD=2DE,又ADE=AEF,ADEAEF,1=2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定,相似三角形對(duì)應(yīng)邊比值相等的性質(zhì),相似三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì),本題中求證ADEAEF是解題的關(guān)鍵9已知某幾何體的
18、三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()AB3CD6【分析】通過三視圖判斷幾何體的特征,利用三視圖的數(shù)據(jù),求出幾何體的體積即可【解答】解:由三視圖可知幾何體是圓柱底面半徑為1高為6的圓柱,被截的一部分,如圖所求幾何體的體積為:××12×6=3故選B【點(diǎn)評(píng)】本題考查三視圖與幾何體的關(guān)系,正確判斷幾何體的特征是解題的關(guān)鍵,考查計(jì)算能力10方程x2+2x+1=的正數(shù)根的個(gè)數(shù)為()A0B1C2D3【分析】求方程x2+2x+1=的解,可以理解為:二次函數(shù)y=x2+2x+1與反比例函數(shù)y=的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)【解答】解:二次函數(shù)y=x2+2x+1=(x+1)2的圖象過點(diǎn)(0,1)
19、,且在第一、二象限內(nèi),反比例函數(shù)y=的圖象在第一、三象限,這兩個(gè)函數(shù)只在第一象限有一個(gè)交點(diǎn)即方程x2+2x+1=的正數(shù)根的個(gè)數(shù)為1故選B【點(diǎn)評(píng)】本題利用了二次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)圖象來確定方程的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)11如圖,已知AOM=60°,在射線OM上有點(diǎn)B,使得AB與OB的長度都是整數(shù),由此稱B是“完美點(diǎn)”,若OA=8,則圖中完美點(diǎn)B的個(gè)數(shù)為()A1B2C3D4【分析】首先過點(diǎn)B作BCOA,交OA于點(diǎn)C,連接AB,可能有兩種情況,垂足在OA上或者垂足在OA延長線上,然后設(shè)OB=y,AB=x,由勾股定理即可求得:y2(y)2=x2(8y)2或x2(y8)2=y2(y)2,整理可得x2(y
20、4)2=48,然后將原方程轉(zhuǎn)為 X2Y2=48,先求(X+Y)(XY)=48的正整數(shù)解,繼而可求得答案【解答】解,過點(diǎn)B作BCOA,交OA于點(diǎn)C,連接AB,可能有兩種情況,垂足在OA上或者垂足在OA延長線上設(shè)OB=y,AB=x,AOM=60°,OC=OBcos60°=y,AC=OAOC=8y或AC=OCOA=y8,BC2=OB2OC2,BC2=AB2AC2,y2(y)2=x2(8y)2或x2(y8)2=y2(y)2,x2(y4)2=48,x與y是正整數(shù),且y必為正整數(shù),x4為大于等于4的整數(shù),將原方程轉(zhuǎn)為 X2Y2=48,先求(X+Y)(XY)=48的正整數(shù)解,(X+Y)和
21、(XY)同奇同偶,(X+Y)和(XY)同為偶數(shù);X2Y2=48可能有幾組正整數(shù)解:,解得:,x的可能值有3個(gè):x=7,x=8或x=13,當(dāng)x=7時(shí),y4=±1,y=3或y=5;當(dāng)x=8時(shí),y4=±4,y=8或y=0(舍去);當(dāng)x=13時(shí),y4=±11,y=15或y=7(舍去);共有4組解:或或或故選D【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理的應(yīng)用以及整數(shù)的綜合應(yīng)用問題此題難度較大,注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用二填空題(共4小題)12已知x為實(shí)數(shù),且,則x2+x的值為1【分析】本題用換元法解分式方程,由于x2+x是一個(gè)整體,可設(shè)x2+x=y,可將方程轉(zhuǎn)化為簡
22、單的分式方程求y,將y代換,再判斷結(jié)果能使x為實(shí)數(shù)【解答】解:設(shè)x2+x=y,則原方程變?yōu)閥=2,方程兩邊都乘y得:3y2=2y,整理得:y2+2y3=0,(y1)(y+3)=0,y=1或y=3當(dāng)x2+x=1時(shí),即x2+x1=0,=12+4×1=50,x存在當(dāng)x2+x=3時(shí),即x2+x+3=0,=124×3=110,x不存在x2+x=1【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)分式方程比較復(fù)雜時(shí),通常采用換元法使分式方程簡化需注意換元后得到的根也必須驗(yàn)根13滿足方程|x+2|+|x3|=5的x的取值范圍是2x3【分析】分別討論x3,2x3,x2,根據(jù)x的范圍去掉絕對(duì)值,解出x,綜合三種情況可得出x的最終范
23、圍【解答】解:從三種情況考慮:第一種:當(dāng)x3時(shí),原方程就可化簡為:x+2+x3=5,解得:x=3;第二種:當(dāng)2x3時(shí),原方程就可化簡為:x+2x+3=5,恒成立;第三種:當(dāng)x2時(shí),原方程就可化簡為:x2+3x=5,解得:x=2;所以x的取值范圍是:2x3【點(diǎn)評(píng)】解一元一次方程,注意最后的解可以聯(lián)合起來,難度很大14多項(xiàng)式6x311x2+x+4可分解為(x1)(3x4)(2x+1)【分析】將11x2分為6x2和5x2兩部分,原式可化為6x36x25x2+x+4,6x36x2可提公因式,分為一組,5x2+x+4可用十字相乘法分解,分為一組【解答】解:6x311x2+x+4,=6x36x25x2+x
24、+4,=6x2(x1)(5x2x4),=6x2(x1)(x1)(5x+4),=(x1)(6x25x4),=(x1)(3x4)(2x+1)【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用分組分解法進(jìn)行因式分解,要考慮分組后還能進(jìn)行下一步分解,把11x2分成6x2和5x2兩部分是解題的關(guān)鍵,也是難點(diǎn)15設(shè)整數(shù)a使得關(guān)于x的一元二次方程5x25ax+26a143=0的兩個(gè)根都是整數(shù),則a的值是18【分析】首先將方程組5x25ax+26a143=0左右乘5得25x225ax+(130a262)39=0,再分解因式根據(jù)39為兩個(gè)整數(shù)的乘積,令兩個(gè)因式分別等于39分解的整因數(shù)討論求值驗(yàn)證即可得到結(jié)果【解答】解:5x25ax+26a1
25、43=025x225ax+(130a262)39=0,即(5x26)(5x5a+26)=39,x,a都是整數(shù),故(5x26)、(5x5a+26)都分別為整數(shù),而只存在39=1×39或39×1或3×13或13×3或四種情況,當(dāng)5x26=1、5x5a+26=39聯(lián)立解得a=2.8不符合,當(dāng)5x26=39、5x5a+26=1聯(lián)立解得a=18,當(dāng)5x26=3、5x5a+26=13聯(lián)立解得a=8.4不符合,當(dāng)5x26=13、5x5a+26=3聯(lián)立解得a=12.4不符合,當(dāng)a=18時(shí),方程為5x290x+325=0兩根為13、5故答案為:18【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解
26、的應(yīng)用、一元二次方程的整數(shù)根與有理根解決本題的關(guān)鍵是巧妙利用39僅能分解為整數(shù)只存在39=1*39或39*1或3*13*13*3或四種情況,因而討論量,并不大三解答題(共4小題)16如圖,在ABC中,C=90°,AB=10cm,AC:BC=4:3,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s,同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BCA方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),速度為2cm/s,當(dāng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(秒)(1)設(shè)PBQ的面積為y(cm2),當(dāng)PBQ存在時(shí),求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;(2)x為何值時(shí),PBQ的面積最大?并求出最大值;(
27、3)當(dāng)點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段PQ上是否存在一個(gè)點(diǎn)T,使得在某個(gè)時(shí)刻ACT、ABT、BCT的面積均相等(無需計(jì)算,說明理由即可)【分析】(1)由在RtABC中,C=90°,AB=10cm,AC:BC=4:3,設(shè)AC=4y,BC=3y,由勾股定理即可求得AC、BC的長;分別從當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)與當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)去分析,首先過點(diǎn)Q作AB的垂線,利用相似三角形的性質(zhì)即可求得PBQ的底與高,則可求得y與x的函數(shù)關(guān)系式;(2)由二次函數(shù)最值的求法得到兩種情況下的PBQ的面積最大值,進(jìn)行比較即可得到答案;(3)根據(jù)三角形的面積公式得到符合條件的點(diǎn)應(yīng)該是:到三邊的距離之比為12:15:20【
28、解答】解:(1)設(shè)AC=4x,BC=3x,在RtABC中,AC2+BC2=AB2,即:(4x)2+(3x)2=102,解得:x=2,AC=8cm,BC=6cm;分兩種情況:如圖1,當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),過點(diǎn)Q作QHAB于HAP=x,BP=10x,BQ=2x,QHBACB,=,QH=x,y=BPQH=(10x)x=x2+8x(0x3),如圖2,當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí),過點(diǎn)Q作QHAB于H,AP=x,BP=10x,AQ=142x,AQHABC,=,即:=,解得:QH=(142x),y=PBQH=(10x)(142x)=x2x+42(3x7);(2)當(dāng)0x3時(shí),y=(x5)2+20該拋物線的開口方
29、向向下,對(duì)稱軸是x=5,當(dāng)x=3時(shí),y取最大值,y最大=當(dāng)3x7時(shí),y=x2x+42=(x)2+(3x7);該拋物線的開口方向向上,對(duì)稱軸是x=,當(dāng)x=3時(shí),y取最大值,但是x=3不符合題意綜上所述,PBQ的面積的最大值是(3)存在理由如下:設(shè)點(diǎn)T到AB、AC、BC的距離分別是a、b、cAB=10cm,AC=8cm,BC=6cm,ABa=ACc=BCc,即5a=4b=3c,故a:b:c=12:15:20當(dāng)滿足條件的點(diǎn)T到AB、AC、BC的距離之比為12:15:20時(shí),ACT、ABT、BCT的面積均相等【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,以及最短距離問題此題綜合性很強(qiáng),難度較大,
30、解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用17閱讀下面材料:小偉遇到這樣一個(gè)問題:如圖1,在ABC(其中BAC是一個(gè)可以變化的角)中,AB=2,AC=4,以BC為邊在BC的下方作等邊PBC,求AP的最大值小偉是這樣思考的:利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合他的方法是以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心將ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到ABC,連接AA,當(dāng)點(diǎn)A落在AC上時(shí),此題可解(如圖2)請(qǐng)你回答:AP的最大值是6參考小偉同學(xué)思考問題的方法,解決下列問題:如圖3,等腰RtABC邊AB=4,P為ABC內(nèi)部一點(diǎn),則AP+BP+CP的最小值是(或不化簡為)(結(jié)果可以不化簡)【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知AA=AB
31、=BA=2,AP=AC,所以在AAC中,利用三角形三邊關(guān)系來求AC即AP的長度;(2)以B為中心,將APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到A'P'B根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推知PA+PB+PC=P'A+P'B+PC當(dāng)A'、P'、P、C四點(diǎn)共線時(shí),(P'A+P'B+PC)最短,即線段A'C最短然后通過作輔助線構(gòu)造直角三角形ADC,在該直角三角形內(nèi)利用勾股定理來求線段AC的長度【解答】解:(1)如圖2,ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到ABC,ABA=60°,AB=AB,AP=ACABA是等邊三角形,AA=AB=BA=2,在A
32、AC中,ACAA+AC,即AP6,則當(dāng)點(diǎn)AA、C三點(diǎn)共線時(shí),AC=AA+AC,即AP=6,即AP的最大值是:6;故答案是:6(2)如圖3,RtABC是等腰三角形,AB=BC以B為中心,將APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到A'P'B則A'B=AB=BC=4,PA=PA,PB=PB,PA+PB+PC=PA+P'B+PC當(dāng)A'、P'、P、C四點(diǎn)共線時(shí),(P'A+P'B+PC)最短,即線段A'C最短,A'C=PA+PB+PC,A'C長度即為所求過A'作A'DCB延長線于DA'BA=60
33、176;(由旋轉(zhuǎn)可知),1=30°A'B=4,A'D=2,BD=2,CD=4+2在RtA'DC中A'C=2+2;AP+BP+CP的最小值是:2+2(或不化簡為)故答案是:2+2(或不化簡為)【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及等邊三角形的判定與性質(zhì)注意:旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等18某水庫大壩的橫截面是如圖所示的四邊形BACD,期中ABCD瞭望臺(tái)PC正前方水面上有兩艘漁船M、N,觀察員在瞭望臺(tái)頂端P處觀測(cè)漁船M的俯角=31°,觀測(cè)漁船N在俯角=45°,已知NM所在直線與PC所在直線垂直,垂足為點(diǎn)E,PE長為
34、30米(1)求兩漁船M,N之間的距離(結(jié)果精確到1米);(2)已知壩高24米,壩長100米,背水坡AD的坡度i=1:0.25為提高大壩防洪能力,某施工隊(duì)在大壩的背水坡填筑土石方加固,加固后壩定加寬3米,背水坡FH的坡度為i=1:1.5,施工12天后,為盡快完成加固任務(wù),施工隊(duì)增加了機(jī)械設(shè)備,工作效率提高到原來的1.5倍,結(jié)果比原計(jì)劃提前20天完成加固任務(wù),施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天填筑土石方多少立方米?(參考數(shù)據(jù):tan31°0.60,sin31°0.52)【分析】(1)根據(jù)已知求出EN,根據(jù)正切的概念求出EM,求差得到答案;(2)根據(jù)坡度和銳角三角函數(shù)的概念求出截面積和土石方數(shù)
35、,根據(jù)題意列出分式方程,解方程得到答案【解答】解:(1)在RtPEN中,PNE=45°,EN=PE=30米,在RtPEM中,PME=31°,tanPME=,ME=50(米),MN=EMEN=20米,答:兩漁船M,N之間的距離約為20米;(2)過點(diǎn)F作FKAD交AH于點(diǎn)K,過點(diǎn)F作FLAH交直線AH于點(diǎn)L,則四邊形DFKA為平行四邊形,F(xiàn)KA=DAB,DF=AK=3,由題意得,tanFKA=tanDAB=4,tanH=,在RtFLH中,LH=36,在RtFLK中,KL=6,HK=30,AH=33,梯形DAHF的面積為:×DL×(DF+AH)=432,所以需
36、填土石方為432×100=43200,設(shè)原計(jì)劃平均每天填x立方米,由題意得,12x+(1220)×1.5x=43200,解得,x=600,經(jīng)檢驗(yàn)x=600是方程的解答:原計(jì)劃平均每天填筑土石方600立方米【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形和分式方程的應(yīng)用,掌握銳角三角函數(shù)的概念和解直角三角形的一般步驟、根據(jù)題意正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵,注意分式方程解出未知數(shù)后要驗(yàn)根19已知關(guān)于x的方程,(1)若兩根x1,x2滿足x10x2,求m的范圍;(2)若,求m的值【分析】(1)由關(guān)于x的方程4x2+mx+m4=0 有兩根,可知此一元二次方程的判別式0,即可得不等式,又由x10x2,
37、可得x1x20,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,可得不等式 =m10,解此不等式組即可求得答案;(2)由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可得 4x12+mx1+m4=0,x1+x2=,x1x2=m1,然后將6x12+mx1+m+2x228=0變形,可得4x12+mx1+m4+2(x1+x2)22x1x2=4,則可得方程 ()22m1=2,解此方程即可求得答案【解答】解:(1)關(guān)于x的方程4x2+mx+m4=0 有兩根,=m24×4×(m4)=m28m+64=(m4)2+480,兩根x1,x2滿足x10x2,x1x2=m10,m8,(2)x1、x2是方程的根,4x12+mx1+m4=0,x1
38、+x2=,x1x2=m1,6x12+mx1+m+2x228=0,4x12+mx1+m4+2(x12+x22)4=04x12+mx1+m4+2(x1+x2)22x1x2=4,(x1+x2)22x1x2=2,即 ()22m1=2,化簡得:m24m=0,解得:m=0 或m=4,m的值為0或4【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)此題難度較大,解題的關(guān)鍵是注意利用根與系數(shù)的關(guān)系將原方程變形求解,注意方程思想的應(yīng)用20.【解答】解:m+n=mn且m,n是正實(shí)數(shù),+1=m,即=m1,P(m,m1),即“完美點(diǎn)”B在直線y=x1上,點(diǎn)A(0,5)在直線y=x+b上,b=5,直線AM:y=
39、x+5,“完美點(diǎn)”B在直線AM上,由解得,B(3,2),一、三象限的角平分線y=x垂直于二、四象限的角平分線y=x,而直線y=x1與直線y=x平行,直線y=x+5與直線y=x平行,直線AM與直線y=x1垂直,點(diǎn)B是直線y=x1與直線AM的交點(diǎn),垂足是點(diǎn)B,點(diǎn)C是“完美點(diǎn)”,點(diǎn)C在直線y=x1上,MBC是直角三角形,B(3,2),A(0,5),AB=3,AM=4,BM=,又CM=,BC=1,SMBC=BMBC=【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì),直角三角形的判定,勾股定理的應(yīng)用以及三角形面積的計(jì)算等,判斷直線垂直,借助正比例函數(shù)是本題的關(guān)鍵21.解:(1)反比例函數(shù)y=是閉區(qū)間1,2014上的“閉
40、函數(shù)”,理由如下:反比例函數(shù)y=在第一象限,y隨x的增大而減小,當(dāng)x=1時(shí),y=2014;當(dāng)x=2014時(shí),y=1,所以,當(dāng)1x2014時(shí),有1y2014,符合閉函數(shù)的定義,故反比例函數(shù)y=是閉區(qū)間1,2014上的“閉函數(shù)”;(2)分兩種情況:k0或k0當(dāng)k0時(shí),一次函數(shù)y=kx+b(k0)的圖象是y隨x的增大而增大,故根據(jù)“閉函數(shù)”的定義知,解得此函數(shù)的解析式是y=x;當(dāng)k0時(shí),一次函數(shù)y=kx+b(k0)的圖象是y隨x的增大而減小,故根據(jù)“閉函數(shù)”的定義知,解得此函數(shù)的解析式是y=x+m+n;(3)y=x22x=(x24x+4)2=(x2)22,該二次函數(shù)的圖象開口方向向上,最小值是2,且
41、當(dāng)x2時(shí),y隨x的增大而減小;當(dāng)x2時(shí),y隨x的增大而增大當(dāng)c2d時(shí),此時(shí)二次函數(shù)y=x22x的最小值是2=c,根據(jù)“閉函數(shù)”的定義知,d=c22c或d=d22d;)當(dāng)d=c22c時(shí),由于d=×(2)22×(2)=62,符合題意;)當(dāng)d=d22d時(shí),解得d=0或6,由于d2,所以d=6;當(dāng)c2時(shí),此二次函數(shù)y隨x的增大而增大,則根據(jù)“閉函數(shù)”的定義知,解得,cd,不合題意,舍去綜上所述,c,d的值分別為2,6【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性和增減性,一次函數(shù)圖象的性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)解題的關(guān)鍵是弄清楚“閉函數(shù)”的定義解題時(shí),也要注意“分類討論”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)
42、用22.【解答】解:月用水量為x立方米,支付費(fèi)用為y元,則有:y=;(2)由表知第二、第三月份的水費(fèi)均大于13元,故用水量15m3,22m3均大于最低限量am3,于是就有 ,解得b=2,從而2a=c+19,再考慮一月份的用水量是否超過最低限量am3,不妨設(shè)9a,將x=9代入xa的關(guān)系式,得9=8+2(9a)+c,即2a=c+17,這與2a=c+19矛盾9a從而可知一月份的付款方式應(yīng)選0xa的關(guān)系式,因此就有8+c=9,解得c=1故a=10,b=2,c=123.【解答】解:(1)由題意可知,當(dāng)廢棄處理量x滿足0x40時(shí),每天利用設(shè)備處理廢氣的綜合成本y=40x+1200,當(dāng)該制藥廠每天廢氣處理量計(jì)劃為20噸,即x=20時(shí),每天利用設(shè)備處理廢氣的綜合成本為y=40×20+1200=2000元,又轉(zhuǎn)化的某種化工產(chǎn)品可得利潤為80×20=1600元,工廠每天需要
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