1、高中數學教學設計大賽獲獎作品匯編（上 部）目 錄1、集合與函數概念實習作業2、指數函數的圖象及其性質3、對數的概念4、對數函數及其性質（1）5、對數函數及其性質（2）6、函數圖象及其應用7、方程的根與函數的零點8、用二分法求方程的近似解9、用二分法求方程的近似解10、直線與平面平行的判定11、循環結構 12、任意角的三角函數（1）13、任意角的三角函數（2）14、函數的圖象15、向量的加法及其幾何意義16、平面向量數量積的物理背景及其含義（1）17、平面向量數量積的物理背景及其含義（2）18、正弦定理（1）19、正弦定理（2）20、正弦定理（3）21、余弦定理22、等差數列23、等差數列的前n

2、項和24、等比數列的前n項和25、簡單的線性規劃問題26、拋物線及其標準方程27、圓錐曲線定義的運用前 言為了更好地貫徹落實和科課程標準有關要求，促進廣大教師學習現代教學理論，進一步激發廣大教師課堂教學的創新意識，切實轉變教學觀念，積極探索新課程理念下的教與學，有效解決教學實踐中存在的問題，促進課堂教學質量的全面提高，在2007年由福建省普通教育教學研究室組織，舉辦了一次教學設計大賽活動。這次活動數學學科高中組共收到有49篇教學設計文章。獲獎文章推薦評審專家組本著公平、公正的原則，經過認真的評審，全部作品均評出了相應的獎項；專家組還為獲得一、二等獎的作品撰寫了點評。本稿收錄的作品全部是參加此次

3、福建省教學設計競賽獲獎作者的文章。按照征文的規則，我們對入選作品的格式作了一些修飾，并經過適當的整合，以饗讀者。在此還需要說明的是，為了方便閱讀，獲獎文章的排序原則，并非按照獲獎名次的前后順序，而是按照高中數學新課程必修15的內容順序，進行編排的。部分體現大綱教材內容的文章則排在后面。不管你獲得的是哪個級別的獎項,你們都可以有成就感,因為那是你們用心、用汗澆灌出的果實,它記錄了你們奉獻于數學教育事業的心路歷程.書中每一篇的教學設計都耐人尋味,都能帶給我們許多遐想和啟迪.你們是優秀的,在你們未來悠遠的職業里程中,只要努力,將有更多的輝煌在等待著大家。謝謝你們!編者 2008-3-23 于福州1、

4、集合與函數概念實習作業一、教學內容分析普通高中課程標準實驗教科書·數學（1）（人教A版）第44頁。-實習作業。本節課程體現數學文化的特色，學生通過了解函數的發展歷史進一步感受數學的魅力。學生在自己動手收集、整理資料信息的過程中，對函數的概念有更深刻的理解；感受新的學習方式帶給他們的學習數學的樂趣。二、學生學習情況分析該內容在普通高中課程標準實驗教科書·數學（1）（人教A版）第44頁。學生第一次完成實習作業，積極性高，有熱情和新鮮感，但缺乏經驗，所以需要教師精心設計，做好準備工作，充分體現教師的“導演”角色。特別在分組時注意學生的合理搭配（成績的好壞、家庭有無電腦、男女生比例

5、、口頭表達能力等），選題時，各組之間盡量不要重復，盡量多地選不同的題目，可以讓所有的學生在學習共享的過程中受到更多的數學文化的熏陶。三、設計思想標準強調數學文化的重要作用，體現數學的文化的價值。數學教育不僅應該幫助學生學習和掌握數學知識和技能，還應該有助于學生了解數學的價值。讓學生逐步了解數學的思想方法、理性精神，體會數學家的創新精神，以及數學文明的深刻內涵。四、教學目標1了解函數概念的形成、發展的歷史以及在這個過程中起重大作用的歷史事件和人物；2體驗合作學習的方式，通過合作學習品嘗分享獲得知識的快樂；3在合作形式的小組學習活動中培養學生的領導意識、社會實踐技能和民主價值觀。五、教學重點和難點

6、重點：了解函數在數學中的核心地位，以及在生活里的廣泛應用；難點：培養學生合作交流的能力以及收集和處理信息的能力。六、教學過程設計【課堂準備】1分組：46人為一個實習小組，確定一人為組長。教師需要做好協調工作，確保每位學生都參加。2選題：根據個人興趣初步確定實習作業的題目。教師應該到各組中去了解選題情況，盡量多地選擇不同的題目。參考題目：（1）函數產生的社會背景；（2）函數概念發展的歷史過程；（3）函數符號的故事；（4）數學家（如：開普勒、伽利略、笛卡兒、牛頓、萊布尼茲、貝努利、歐拉、柯西、狄里克雷、羅巴契夫斯基等）與函數；（5）也可自擬題目3分配任務：根據個人情況和優勢，經小組共同商議，由組長

7、確定每人的具體任務。4搜集資料：針對所選題目，通過各種方式（相關書籍-函數在你身邊、世界函數通史、世界著名科學家傳記等；相關網頁-WWW、200605/43459.html等）搜集素材，包括文字、圖片、數據以及音像資料等，并記錄相關資料，寫出實習報告。實習報告 年 月 日題目組長及參加人員教師審核意見及等級正文備注（指出參考文獻或相關網頁）5投影儀、多媒體；6把各組的實習報告，貼在班級的學習欄內，讓學生學習交流。【教學過程】1出示課題：交流、分享實習報告2交流、分享：（由數學科代表主持。小組推薦中心發言人；以下記錄均為發言概述）（1）學生1：函數小史數學史表明，重要的數學概念的產生和發展，對數

8、學發展起著不可估量的作用。有些重要的數學概念對數學分支的產生起著奠定性的作用。我們剛學過的函數就是這樣的重要概念。在笛卡爾引入變量以后，變量和函數等概念日益滲透到科學技術的各個領域。最早提出函數（function）概念的，是17世紀德國數學家萊布尼茨。最初萊布尼茨用“函數”一詞表示冪。1755年，瑞士數學家歐拉把給出了不同的函數定義。中文數學書上使用的“函數”一詞是轉譯詞。是我國清代數學家李善蘭在翻譯代數學（1895年）一書時，把“function”譯成“函數”的。我們可以預計到，關于函數的爭論、研究、發展、拓廣將不會完結，也正是這些影響著數學及其相鄰學科的發展。（2）教師帶頭鼓掌并簡單評價（

9、3）學生2： 函數概念的縱向發展 ：該同學從早期函數概念幾何觀念下的函數到十八世紀函數概念代數觀念下的函數講述了函數概念的發展。其中包括18世紀中葉著名的數學家歐拉對函數概念發展的貢獻。接著又講述了十九世紀函數概念對應關系下的函數。以及現代函數概念集合論下的函數。函數概念的定義經過三百多年的錘煉、變革，形成了函數的現代定義形式。（4）教師帶頭鼓掌并簡單評價（5）學生3：我國數學家李國平與函數學生3描述了數學家中國科學院數學物理學部委員李國平（19101996），的身世和他的成長歷程。李國平1933年畢業于中山大學數學天文系。后歷任中國科學院數學計算技術研究所所長，中國科學院武漢數學物理研究所所

10、長，中國數學會理事，中國科學院學部委員等職務。學生還通俗地講述了李國平先生在微分方程復變函數論領域的卓越貢獻。（6）教師帶頭鼓掌并簡單評價（7）學生4：函數概念對數學發展的影響該學生從歷史上重要數學概念對數學發展的作用是不可估量的事實出發，講述了函數概念對數學發展的深刻影響，可以說是貫穿古今、曠日持久、作用非凡，回顧函數概念的歷史發展，看一看函數概念不斷被精煉、深化、豐富的歷史過程，是一件十分有益的事情，它不僅有助于我們提高對函數概念來龍去脈認識的清晰度，而且更能幫助我們領悟數學概念對數學發展，數學學習的巨大作用 函數概念來源于代數學中不定方程的研究由于羅馬時代的丟番圖對不定方程已有相當研究，

11、所以函數概念至少在那時已經萌芽該學生說道，早在函數概念尚未明確提出以前，數學家已經接觸并研究了不少具體的函數，比如對數函數、三角函數、雙曲函數等等1673年前后笛卡兒在他的解析幾何中，已經注意到了一個變量對于另一個變量的依賴關系，但由于當時尚未意識到需要提煉一般的函數概念，因此直到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候，數學家還沒有明確函數的一般意義 從以上函數概念發展的全過程中，我們體會到，聯系實際、聯系大量數學素材，研究、發掘、拓廣數學概念的內涵是何等重要（8）教師帶頭鼓掌并簡單評價（9）學生5：函數概念的歷史演變過程該學生說，數學的抽象完全舍棄了事物的質的內容，而僅僅保留了它們的量的

12、屬性，即數學抽象的目的只是數量關系和空間形式這就決定了數學與其它自然科學的區別，也決定了數學的特殊性如果在兩個集合元素之間存在有確定的對應關系，就稱為是一個映射上述函數概念的歷史演變過程，就是一系列弱抽象的過程學生展示了下表：早期函數概念代 數 函 數函數是這樣一個量，它是通過其它一些量的代數運算得到的近代函數概念映 射 函 數設M與N是兩個集合，f是個法則，若對于m中每一個元素x，由f總有N中唯一確定元素y與之對應，則f是定義在M上的一個函數在認識自然、改造自然的過程中不斷遇到：在數量上描述一些現象的幾個不同的量是緊密地互相聯系的，一個量完全決定于其它量的值，即通過其它量值的一些代數運算18

13、世紀函數概念解 析 函 數函數是指由一個變量與一些常量通過任何方式形成的解析表達式19世紀函數概念變 量 函 數對于給定區間上的每一個x值，y總有唯一確定的值與之對應，則稱y是x的函數（10）教師帶頭鼓掌并簡單評價3課堂小結：4實習作業的評定：實習作業評價參考意見級別標準很好1小組配合默契（有計劃、任務分配合理、每人積極認真）2報告材料豐富、可靠、線索清晰3擁有自己的獨立見解好1小組配合良好2報告材料豐富、可靠、線索較清晰3有一定的獨立見解一般1小組配合一般2報告材料一般、線索基本清晰3有一定的分析較差1小組配合欠佳2報告材料貧乏、線索不夠清晰七、教學反思實習作業是新課程的一個亮點。是培養學生

14、的團隊精神，體驗合作學習的方式的重要途徑。但事實上，實習作業很容易被教師所忽視，所以想通過該教學設計引起教師們的重視。在高一剛開始的時候，如何做好第一次實習作業，是很關鍵的。就我們學校條件和學生情況，完全可以做好實習作業的，事實證明學生做得很好。可以通過這次實習作業，讓學生體驗合作學習的方式，通過合作學習品嘗分享獲得知識的快樂。再者，通過對數學家的了解，感受數學家的精神，增加學好數學的信心，為今后的學習打下好的基礎。福鼎市第一中學 曹齊平點 評該教學設計具有一定的創新性，在教師的引導下，以學生合作學習的模式，探討函數概念的形成、發展的歷史以及在這個過程中起重大作用的歷史事件和人物。通過學生的自

15、主學習、探究活動，學生經歷收集信息，整理資料，并從中提取有用信息的過程，讓學生體驗數學知識發現和創造的歷程，對于提高學生的數學表達和交流的能力具有一定意義。但該設計中教師的主導地位體現得不夠，教師對學生的評價不夠具體（只有鼓掌）。2、指數函數的圖象及其性質一、 教學內容分析本節課是普通高中課程標準實驗教科書·數學（1）（人教A版）第二章第一節第二課（）指數函數及其性質。根據我所任教的學生的實際情況，我將指數函數及其性質劃分為兩節課（探究圖象及其性質，指數函數及其性質的應用），這是第一節課“探究圖象及其性質”。 指數函數是重要的基本初等函數之一，作為常見函數，它不僅是今后學習對數函數和

16、冪函數的基礎，同時在生活及生產實際中有著廣泛的應用，所以指數函數應重點研究。二、 學生學習況情分析指數函數是在學生系統學習了函數概念，基本掌握了函數的性質的基礎上進行研究的，是學生對函數概念及性質的第一次應用。教材在之前的學習中給出了兩個實際例子（GDP的增長問題和炭14的衰減問題），已經讓學生感受到指數函數的實際背景，但這兩個例子背景對于學生來說有些陌生。本節課先設計一個看似簡單的問題，通過超出想象的結果來激發學生學習新知的興趣和欲望。三、設計思想 1.函數及其圖象在高中數學中占有很重要的位置。如何突破這個即重要又抽象的內容，其實質就是將抽象的符號語言與直觀的圖象語言有機的結合起來，通過具有

17、一定思考價值的問題，激發學生的求知欲望持久的好奇心。我們知道，函數的表示法有三種：列表法、圖象法、解析法，以往的函數的學習大多只關注到圖象的作用，這其實只是借助了圖象的直觀性，只是從一個角度看函數，是片面的。本節課，力圖讓學生從不同的角度去研究函數，對函數進行一個全方位的研究，并通過對比總結得到研究的方法，讓學生去體會這種的研究方法,以便能將其遷移到其他函數的研究中去。2.結合參加我校組織的兩個課題對話反思選擇和新課程實施中同伴合作和師生互動研究的研究，在本課的教學中我努力實踐以下兩點：.在課堂活動中通過同伴合作、自主探究培養學生積極主動、勇于探索的學習方式。.在教學過程中努力做到生生對話、師

18、生對話，并且在對話之后重視體會、總結、反思，力圖在培養和發展學生數學素養的同時讓學生掌握一些學習、研究數學的方法。3.通過課堂教學活動向學生滲透數學思想方法。四、教學目標根據任教班級學生的實際情況，本節課我確定的教學目標是：理解指數函數的概念，能畫出具體指數函數的圖象；在理解指數函數概念、性質的基礎上，能應用所學知識解決簡單的數學問題；在教學過程中通過類比，回顧歸納從圖象和解析式這兩種不同角度研究函數性質的數學方法，加深對指數函數的認識，讓學生在數學活動中感受數學思想方法之美、體會數學思想方法之重要；同時通過本節課的學習，使學生獲得研究函數的規律和方法；培養學生主動學習、合作交流的意識。五、教

19、學重點與難點教學重點：指數函數的概念、圖象和性質。教學難點：對底數的分類，如何由圖象、解析式歸納指數函數的性質。六、教學過程：（一）創設情景、提出問題(約3分鐘)師：如果讓1號同學準備2粒米，2號同學準備4粒米，3號同學準備6粒米，4號同學準備8粒米，5號同學準備10粒米，按這樣的規律，51號同學該準備多少米？學生回答后教師公布事先估算的數據：51號同學該準備102粒米，大約5克重。師：如果改成讓1號同學準備2粒米，2號同學準備4粒米，3號同學準備8粒米，4號同學準備16粒米，5號同學準備32粒米，按這樣的規律，51號同學該準備多少米？【學情預設：學生可能說很多或能算出具體數目】師：大家能否估

20、計一下，51號同學該準備的米有多重？教師公布事先估算的數據：51號同學所需準備的大米約重1.2億噸。師：1.2億噸是一個什么概念？根據2007年9月13日美國農業部發布的最新數據顯示，20072008年度我國大米產量預計為1.27億噸。這就是說51號同學所需準備的大米相當于20072008年度我國全年的大米產量！【設計意圖：用一個看似簡單的實例，為引出指數函數的概念做準備；同時通過與一次函數的對比讓學生感受指數函數的爆炸增長，激發學生學習新知的興趣和欲望。】在以上兩個問題中，每位同學所需準備的米粒數用表示，每位同學的座號數用表示，與之間的關系分別是什么？學生很容易得出y=2x（）和（）【學情預

21、設：學生可能會漏掉的取值范圍，教師要引導學生思考具體問題中的范圍。】（二）師生互動、探究新知1指數函數的定義師：其實，在本章開頭的問題2中，也有一個與類似的關系式（）讓學生思考討論以下問題（問題逐個給出）：（約3分鐘）（）和（）這兩個解析式有什么共同特征？它們能否構成函數？是我們學過的哪個函數？如果不是，你能否根據該函數的特征給它起個恰當的名字？【設計意圖：引導學生從具體問題、實際問題中抽象出數學模型。學生對比已經學過一次函數、反比例函數、二次函數，發現，是一個新的函數模型，再讓學生給這個新的函數命名，由此激發學生的學習興趣。】引導學生觀察，兩個函數中，底數是常數，指數是自變量。師：如果可以用

22、字母代替其中的底數，那么上述兩式就可以表示成的形式。自變量在指數位置，所以我們把它稱作指數函數。讓學生討論并給出指數函數的定義。（約6分鐘）對于底數的分類，可將問題分解為：若會有什么問題？（如，則在實數范圍內相應的函數值不存在）若 會有什么問題？（對于 ，都無意義）若 又會怎么樣？（無論 取何值,它總是1,對它沒有研究的必要.）師：為了避免上述各種情況的發生,所以規定 且 .在這里要注意生生之間、師生之間的對話。【學情預設： 若學生從教科書中已經看到指數函數的定義，教師可以問，為什么要求；為什么不行？若學生只給出，教師可以引導學生通過類比一次函數（）、反比例函數（）、二次函數（）中的限制條件，

23、 思考指數函數中底數的限制條件。】 【設計意圖 ：對指數函數中底數限制條件的討論可以引導學生研究一個函數應注意它的實際意義和研究價值；討論出，也為下面研究性質時對底數的分類做準備。】接下來教師可以問學生是否明確了指數函數的定義，能否寫出一兩個指數函數？教師也在黑板上寫出一些解析式讓學生判斷，如，。【學情預設：學生可能只是關注指數是否是變量，而不考慮其它的。】【設計意圖 ：加深學生對指數函數定義和呈現形式的理解。】2指數函數性質提出兩個問題（約3分鐘）目前研究函數一般可以包括哪些方面；【設計意圖：讓學生在研究指數函數時有明確的目標：函數三個要素（對應法則、定義域、值域、）和函數的基本性質（單調性

24、、奇偶性）。】研究函數（比如今天的指數函數）可以怎么研究？用什么方法、從什么角度研究？可以從圖象和解析式這兩個不同的角度進行研究；可以從具體的函數入手（即底數取一些數值）；當然也可以用列表法研究函數，只是今天我們所學的函數用列表法不易得出此函數的性質，可見具體問題要選擇適當的方法來研究才能事半功倍！還可以借助一些數學思想方法來思考。【設計意圖：讓學生知道圖象法不是研究函數的唯一方法，由此引導學生可以從圖象和解析式(包括列表)不同的角度對函數進行研究；對學生進行數學思想方法（從一般到特殊再到一般、數形結合、分類討論）的有機滲透。】分組活動，合作學習（約8分鐘）師：好，下面我們就從圖象和解析式這兩

25、個不同的角度對指數函數進行研究。讓學生分為兩大組，一組從解析式的角度入手（不畫圖）研究指數函數，一組借助電腦通過幾何畫板的操作從圖象的角度入手研究指數函數；每一大組再分為若干合作小組（建議4人一小組）；每組都將研究所得到的結論或成果寫出來以便交流。【學情預設：考慮到各組的水平可能有所不同，教師應巡視，對個別組可做適當的指導。】【設計意圖：通過自主探索、合作學習不僅讓學生充當學習的主人更可加深對所得到結論的理解。】交流、總結（約1012分鐘）師：下面我們開一個成果展示會!教師在巡視過程中應關注各組的研究情況，此時可選一些有代表性的小組上臺展示研究成果，并對比從兩個角度入手研究的結果。教師可根據上

26、課的實際情況對學生發現、得出的結論進行適當的點評或要求學生分析。這里除了研究定義域、值域、單調性、奇偶性外，再引導學生注意是否還有其它性質？師：各組在研究過程中除了定義域、值域、單調性、奇偶性外是否還得到一些有價值的副產品呢？（如過定點（0，1），與的圖象關于y軸對稱）【學情預設： 首先選一從解析式的角度研究的小組上臺匯報；對于從圖象的角度研究的，可先選沒對底數進行分類的小組上臺匯報；問其它小組有沒不同的看法，上臺補充，讓學生對底數進行分類，引導學生思考哪個量決定著指數函數的單調性，以什么為分界，教師可以馬上通過電腦操作看函數圖象的變化。】【設計意圖： 函數的表示法有三種：列表法、圖象法、解析

27、法，通過這個活動，讓學生知道研究一個具體的函數可以也應該從多個角度入手，從圖象角度研究只是能直觀的看出函數的一些性質，而具體的性質還是要通過對解析式的論證；特別是定義域、值域更是可以直接從解析式中得到的。 讓學生上臺匯報研究成果，讓學生有種成就感，同時還可訓練其對數學問題的分析和表達能力，培養其數學素養；對指數函數的底數進行分類是本課的一個難點，讓學生在討論中自己解決分類問題使該難點的突破顯得自然。】師：從圖象入手我們很容易看出函數的單調性、奇偶性、以及過定點（0，1），但定義域、值域卻不可確定；從解析式（結合列表）可以很容易得出函數的定義域、值域，但對底數的分類卻很難想到。教師通過幾何畫板中

28、改變參數的值，追蹤的圖象，在變化過程中，讓全體學生進一步觀察指數函數的變化規律。 師生共同總結指數函數的圖象和性質，教師可以邊總結邊板書。圖 象0<a<1a>1定義域 R值 域 性質過定點（0，1）非奇非偶在R上是減函數在R上是增函數（三）鞏固訓練、提升總結（約8分鐘）1例：已知指數函數的圖象經過點，求的值。解：因為的圖象經過點，所以即，解得，于是。所以。【設計意圖：通過本題加深學生對指數函數的理解。】師：根據本題，你能說出確定一個指數函數需要什么條件嗎？師：從方程思想來看，求指數函數就是確定底數，因此只要一個條件，即布列一個方程就可以了。【設計意圖：讓學生明確底數是確定指數

29、函數的要素，同時向學生滲透方程的思想。】2練習：在同一平面直角坐標系中畫出和的大致圖象，并說出這兩個函數的性質； 求下列函數的定義域：，。3師：通過本節課的學習，你對指數函數有什么認識？你有什么收獲？【學情預設：學生可能只是把指數函數的性質總結一下，教師要引導學生談談對函數研究的學習，即怎么研究一個函數。】【設計意圖：讓學生再一次復習對函數的研究方法（可以從也應該從多個角度進行），讓學生體會本課的研究方法,以便能將其遷移到其他函數的研究中去。總結本節課中所用到的數學思想方法。強調各種研究數學的方法之間有區別又有聯系，相互作用，才能融會貫通。】4作業：課本59頁習題21A組第5題。七、教學反思1

30、本節課改變了以往常見的函數研究方法，讓學生從不同的角度去研究函數，對函數進行一個全方位的研究，不僅僅是通過對比總結得到指數函數的性質，更重要的是讓學生體會到對函數的研究方法,以便能將其遷移到其他函數的研究中去，教師可以真正做到“授之以漁”而非“授之以魚”。2教學中借助信息技術可以彌補傳統教學在直觀感、立體感和動態感方面的不足，可以很容易的化解教學難點、突破教學重點、提高課堂效率，本課使用幾何畫板可以動態地演示出指數函數的底數的動態過程，讓學生直觀觀察底數對指數函數單調性的影響。3在教學過程中不斷向學生滲透數學思想方法，讓學生在活動中感受數學思想方法之美、體會數學思想方法之重要，部分學生還能自覺

31、得運用這些數學思想方法去分析、思考問題。福州十一中 胡鵬程點評：本節是指數函數及其性質概念課，胡老師在教學設計中，讓人印象深刻的是以學生為主體，注重學法指導，重視新舊知識的契合，關注知識的類比，學習方法的遷移。胡老師能夠抓住學生的好奇心，將娛樂“計算米粒”與數學有機地結合在一起，提高了學生學習本節知識的興趣。在觀察“準備米粒”得到和章開頭（）函數關系式后，巧妙而不失時機地引導學生從具體問題中抽象出數學模型，發現指數在變化，這與以前所學函數（一次函數、二次函數、反比例函數）都不一樣，把變化的量用表示，不變的量用a表示；通過讓學生給函數命名，舉幾個指數函數例子這個小環節，增強學生對指數函數本質的理

32、解，激發學習興趣，概念的得到可謂“潤物細無聲”。接著，胡老師在設計中還注重對學生探索能力的培養，讓學生類比一次函數（）、反比例函數（）、二次函數（）中的限制條件，給出指數函數的定義及底數的取值范圍。在研究指數函數的性質時，胡老師能夠緊扣第一章的函數知識，讓學生在研究指數函數時有明確的目標：函數三個要素（對應法則、定義域、值域、）和函數的基本性質（單調性、奇偶性）。通過提問的方法，讓學生明白研究函數可以從圖象和解析式這兩個不同的角度進行出發，將學生的注意力引向本節的第二個知識點圖象及其性質。設計中將學生進行分組，通過學生的自主探究、合作學習，側重對解析式、作圖象探索。學生的上臺報告，老師借助幾何

33、畫板的直觀圖形，以形助數，以數定形，數形結合的數學方法，收到了較好的研究效果。3、對數的概念一、教學內容分析本節課是新課標高中數學A版必修中第二章對數函數內容的第一課時，也就是對數函數的入門。對數函數對于學生來說是一個全新的函數模型，學習起來比較困難。而對數函數又是本章的重要內容，在高考中占有一定的分量，它是在指數函數的基礎上，對函數類型的拓廣，同時在解決一些日常生活問題及科研中起十分重要的作用。通過本節課的學習，可以讓學生理解對數的概念，從而進一步深化對對數模型的認識與理解，為學習對數函數作好準備。同時，通過對數概念的學習，對培養學生對立統一，相互聯系、相互轉化的思想，培養學生的邏輯思維能力

34、都具有重要的意義。二、學生學習情況分析現階段大部分學生學習的自主性較差，主動性不夠，學習有依賴性，且學習的信心不足，對數學存在或多或少的恐懼感。通過對指數與指數冪的運算的學習，學生已多次體會了對立統一、相互聯系、相互轉化的思想，并且探究能力、邏輯思維能力得到了一定的鍛煉。因此，學生已具備了探索發現研究對數定義的認識基礎，故應通過指導，教會學生獨立思考、大膽探索和靈活運用類比、轉化、歸納等數學思想的學習方法。三、設計思想學生是教學的主體,本節課要給學生提供各種參與機會。為了調動學生學習的積極性，使學生化被動為主動。本節課我利用多媒體輔助教學,教學中我引導學生從實例出發，從中認識對數的模型，體會引

35、入對數的必要性。在教學重難點上，我步步設問、啟發學生的思維,通過課堂練習、探究活動,學生討論的方式來加深理解,很好地突破難點和提高教學效率。讓學生在教師的引導下，充分地動手、動口、動腦，掌握學習的主動權。四、教學目標1、理解對數的概念,了解對數與指數的關系；掌握對數式與指數式的互化；理解對數的性質，掌握以上知識并形成技能。2、通過事例使學生認識對數的模型，體會引入對數的必要性；通過師生觀察分析得出對數的概念及對數式與指數式的互化。3、通過學生分組探究進行活動，掌握對數的重要性質。通過做練習，使學生感受到理論與實踐的統一。4、培養學生的類比、分析、歸納能力，嚴謹的思維品質以及在學習過程中培養學生

36、探究的意識。五、教學重點與難點重點 ：（1）對數的概念；（2）對數式與指數式的相互轉化。難點 ：（1）對數概念的理解；（2）對數性質的理解。六、教學過程設計教學環節教學程序及設計設計意圖創設情境引入新 課引例（3分鐘）1、一尺之棰，日取其半，萬世不竭。（1）取5次，還有多長？（2）取多少次，還有0.125尺?分析:(1)為同學們熟悉的指數函數的模型,易得(2)可設取x次,則有 抽象出: 2、2002年我國GPD為a億元，如果每年平均增長8%，那么經過多少年GPD是2002年的2倍？分析:設經過x年,則有抽象出: 讓學生根據題意，設未知數，列出方程。這兩個例子都出現指數是未知數x的情況，讓學生思

37、考如何表示x，激發其對對數的興趣，培養學生的探究意識。生活及科研中還有很多這樣的例子，因此引入對數是必要的。 講授新課講授新課講授新課一、對數的概念（3分鐘）一般地，如果a(a>0且a1)的b次冪等于N, 就是 =N 那么數 b叫做 a為底 N的對數,記作，a叫做對數的底數,N叫做真數。注意：底數的限制:a>0且a1對數的書寫格式正確理解對數定義中底數的限制，為以后對數函數定義域的確定作準備。同時注意對數的書寫，避免因書寫不規范而產生的錯誤。二、對數式與指數式的互化：（5分鐘）冪底數 a 對數底數指數 b 對數冪 N 真數思考：為什么對數的定義中要求底數a>0且a1？ 是否是

38、所有的實數都有對數呢？負數和零沒有對數讓學生了解對數與指數的關系，明確對數式與指數式形式的區別，a、b和N位置的不同，及它們的含義。互化體現了等價轉化這個重要的數學思想。三、兩個重要對數（2分鐘）常用對數：以10為底的對數,簡記為: lgN 自然對數：以無理數e=2.71828為底的對數的對數簡記為: lnN . (在科學技術中,常常使用以e為底的對數)注意：兩個重要對數的書寫這兩個重要對數一定要掌握，為以后的解題以及換底公式做準備。課堂練習（7分鐘）1 將下列指數式寫成對數式：（1） （2） （3） （4）2 將下列對數式寫成指數式：（1） （2） （3）3 求下列各式的值：（1） （2）本

39、練習讓學生獨立閱讀課本P69例1和例2后思考完成，從而熟悉對數式與指數式的相互轉化，加深對對數的概念的理解。并要求學生指出對數式與指數式互化時應注意哪些問題。培養學生嚴謹的思維品質。四、對數的性質（12分鐘）探究活動1講授新課求下列各式的值：（1） 0 （2） 0 （3） 0 （4） 0 思考：你發現了什么？“1”的對數等于零，即 類比： 探究活動由學生獨立完成后，通過思考，然后分小組進行討論，最后得出結論。通過練習與討論的方式,讓學生自己得出結論,從而更能好地理解和掌握對數的性質。培養學生類比、分析、歸納的能力。最后，將學生歸納的結論進行小結，從而得到對數的基本性質。 探究活動2求下列各式的

40、值：（1） 1 （2） 1 （3） 1 （4） 1 思考：你發現了什么？底數的對數等于“1”，即 類比： 探究活動3求下列各式的值：（1） 3 （2） 0.6 （3） 89 思考:你發現了什么?對數恒等式:探究活動4求下列各式的值:(1) 4 (2) 5 講授新課(3) 8 思考:你發現了什么?對數恒等式:負數和零沒有對數小 “1”的對數等于零，即底數的對數等于“1”，即結 對數恒等式:對數恒等式:將學生歸納的結論進行小結，從而得到對數的基本性質。鞏固練習（10分鐘）1、課本P70 練習 2、提高訓練(1)已知x滿足等式，求值（2）求值：鞏固指數式與對數式的互化，鞏固對數的基本性質及其應用。歸

41、納小結強化思想（3分鐘）1、 引入對數的必要性-對數的概念一般地，如果a(a>0且a1)的b次冪等于N,就是 =N，那么數b叫做以a為底，N的對數。記作 2 、指數與對數的關系3、對數的基本性質負數和零沒有對數 對數恒等式: 總結是一堂課內容的概括，有利于學生系統地掌握所學內容。同時，將本節內容納入已有的知識系統中，發揮承上啟下的作用。為下一課時對數的運算打下扎實的基礎。 作業布置一、課本P82 習題2.2 A組 第1、2題二、已知，求的值三、求下列各式的值： 作業是學生信息的反饋，教師可以在作業中發現學生在學習中存在的問題，彌補教學中的不足。板書設計§ 對數的概念引例1引例2

42、一、對數的定義二、對數式與指數式的互化練習三、對數的基本性質四、小結五、作業布置七、教學反思本教學設計先由引例出發，創設情境，激發學生對對數的興趣；在講授新課部分，通過結合多媒體教學以及一系列的課堂探究活動，加深學生對對數的認識；最后通過課堂練習來鞏固學生對對數的掌握。古田一中 林寧寧點評：對數概念是高中數學課程的重要內容。本文目標的制訂具體、適宜，且明確地體現在每一教學環節中，教學思路設計符合教學內容實際和學生實際，層次脈絡較清晰。強調對數的概念的理解，對數式與指數式的相互轉化，對書寫規格等做了要求，有利于學生作業的規范化，培養學生嚴謹的思維品質。高中新課程在教學方面所倡導的新的教學理念，對

43、于促進課堂教學中學生學習方式的變革起到了巨大作用。然而，這些理念在指導我們重建課堂教學時也表現出限定的有效性。只有對此有客觀和充分的認識，我們才不至于生搬硬套，適得其反，從一個極端走向另一個極端。教無定法，重在得法，只要能激發學生的學習興趣，提高學生的學習積極性，有助于學生思維能力的培養，有利于所學知識的掌握和運用，達到課堂教學的效果，都應該是好的教學方法。4、對數函數及其性質（1）一、 教材分析本小節選自普通高中課程標準數學教科書-數學必修（一）（人教版）第二章基本初等函數（1）對數函數及其性質（第一課時），主要內容是學習對數函數的定義、圖象、性質及初步應用。對數函數是繼指數函數之后的又一個

44、重要初等函數，無論從知識或思想方法的角度對數函數與指數函數都有許多類似之處。與指數函數相比，對數函數所涉及的知識更豐富、方法更靈活，能力要求也更高。學習對數函數是對指數函數知識和方法的鞏固、深化和提高，也為解決函數綜合問題及其在實際上的應用奠定良好的基礎。雖然這個內容十分熟悉，但新教材做了一定的改動，如何設計能夠符合新課標理念，是人們十分關注的，正因如此，本人選擇這課題立求某些方面有所突破。二、 學生學習情況分析剛從初中升入高一的學生，仍保留著初中生許多學習特點，能力發展正處于形象思維向抽象思維轉折階段，但更注重形象思維。由于函數概念十分抽象，又以對數運算為基礎，同時，初中函數教學要求降低，初

45、中生運算能力有所下降，這雙重問題增加了對數函數教學的難度。教師必須認識到這一點，教學中要控制要求 的拔高，關注學習過程。三、設計理念本節課以建構主義基本理論為指導，以新課標基本理念為依據進行設計的，針對學生的學習背景，對數函數的教學首先要挖掘其知識背景貼近學生實際，其次，激發學生的學習熱情，把學習的主動權交給學生，為他們提供自主探究、合作交流的機會，確實改變學生的學習方式。四、教學目標1通過具體實例，直觀了解對數函數模型所刻畫的數量關系，初步理解對數函數的概念，體會對數函數是一類重要的函數模型；2能借助計算器或計算機畫出具體對數函數的圖象，探索并了解對數函數的單調性與特殊點；3通過比較、對照的

46、方法，引導學生結合圖象類比指數函數，探索研究對數函數的性質，培養學生運用函數的觀點解決實際問題。五、教學重點與難點重點是掌握對數函數的圖象和性質，難點是底數對對數函數值變化的影響六、教學過程設計 教學流程：背景材料 引出課題 函數圖象 函數性質 問題解決歸納小結（一）熟悉背景、引入課題1讓學生看材料：材料1（幻燈）：馬王堆女尸千年不腐之謎：一九七二年，馬王堆考古發現震驚世界，專家發掘西漢辛追遺尸時，形體完整，全身潤澤，皮膚仍有彈性，關節還可以活動，骨質比現在六十歲的正常人還好，是世界上發現的首例歷史悠久的濕尸。大家知道，世界發現的不腐之尸都是在干燥的環境風干而成，譬如沙漠環境，這類干尸雖然肌膚

47、未腐，是因為干燥不利細菌繁殖，但關節和一般人死后一樣，是僵硬的，而馬王堆辛追夫人卻是在濕潤的環境中保存二千多年，而且關節可以活動。人們最關注有兩個問題，第一：怎么鑒定尸體的年份？第二：是什么環境使尸體未腐？其中第一個問題與數學有關。 圖 41（如圖 41在長沙馬王堆“沉睡”近2200年的古長沙國丞相夫人辛追，日前奇跡般地“復活”了）那么，考古學家是怎么計算出古長沙國丞相夫人辛追“沉睡”近2200年？上面已經知道考古學家是通過提取尸體的殘留物碳14的殘留量p，利用估算尸體出土的年代，不難發現：對每一個碳14的含量的取值，通過這個對應關系，生物死亡年數t都有唯一的值與之對應，從而t是P的函數；如圖

48、42材料2（幻燈）：某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個 ，如果要求這種細胞經過多少次分裂，大約可以得到細胞1萬個，10萬個 ，不難發現：分裂次數y就是要得到的細胞個數x的函數,即；圖 421.引導學生觀察這些函數的特征：含有對數符號，底數是常數，真數是變量，從而得出對數函數的定義：函數，且叫做對數函數，其中是自變量，函數的定義域是（0，+）注意： 對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別如： ， 都不是對數函數 對數函數對底數的限制：，且3根據對數函數定義填空；例1 （1）函數 y=logax2的定義域是_ (其中a>0,a1) (2) 函數y=loga(4-x

49、) 的定義域是_ (其中a>0,a1) 說明：本例主要考察對數函數定義中底數和定義域的限制，加深對概念的理解，所以把教材中的解答題改為填空題，節省時間，點到為止，以避免挖深、拓展、引入復合函數的概念。 設計意圖：新課標強調“考慮到多數高中生的認知特點，為了有助于他們對函數概念本質的理解，不妨從學生自己的生活經歷和實際問題入手”。因此，新課引入不是按舊教材從反函數出發，而是選擇從兩個材料引出對數函數的概念，讓學生熟悉它的知識背景，初步感受對數函數是刻畫現實世界的又一重要數學模型。這樣處理，對數函數顯得不抽象，學生容易接受，降低了新課教學的起點（二）嘗試畫圖、形成感知 1確定探究問題教師：當

50、我們知道對數函數的定義之后，緊接著需要探討什么問題？學生1：對數函數的圖象和性質教師：你能類比前面研究指數函數的思路，提出研究對數函數圖象和性質的方法嗎？學生2：先畫圖象，再根據圖象得出性質教師：畫對數函數的圖象是否象指數函數那樣也需要分類？學生3：按和分類討論教師：觀察圖象主要看哪幾個特征？學生4：從圖象的形狀、位置、升降、定點等角度去識圖教師：在明確了探究方向后，下面，按以下步驟共同探究對數函數的圖象：步驟一：（1）用描點法在同一坐標系中畫出下列對數函數的圖象（2）用描點法在同一坐標系中畫出下列對數函數的圖象步驟二：觀察對數函數、與、的圖象特征 ，看看它們有那些異同點。步驟三：利用計算器或

51、計算機，選取底數，且的若干個不同的值，在同一平面直角坐標系中作出相應對數函數的圖象。觀察圖象，它們有哪些共同特征？步驟四：規納出能體現對數函數的代表性圖象步驟五：作指數函數與對數函數圖象的比較2學生探究成果 （1）如圖 43、44較為熟練地用描點法畫出下列對數函數 、 、的圖象圖43圖44（2）如圖45學生選取底數=1/4、1/5、1/6、1/10、4、5、6、10，并推薦幾位代表上臺演示幾何畫板，得到相應對數函數的圖象。由于學生自己動手，加上幾何畫板的強大作圖功能，學生非常清楚地看到了底數是如何影響函數，且圖象的變化。圖45（3）有了這種畫圖感知的過程以及學習指數函數的經驗，學生很明確y =

52、 loga x （a>1）、y = loga x (0<a<1) 的圖象代表對數函數的兩種情形。（圖46）圖46y = loga x （a>1） y = loga x (0<a<1)（4）學生相互補充，自主發現了圖象的下列特征：圖象都在y軸右側，向y軸正負方向無限延伸；都過（1、0）點；當a>1時，圖象沿x軸正向逐步上升；當0<a<1時，圖象沿x軸正向逐步下降；圖象關于原點和y軸不對稱，并且能從圖象的形狀、位置、升降、定點等角度指出指數函數與對數函數的圖象區別；如圖47圖473拓展探究：（1）對數函數 與 、 與 的圖象有怎樣的對稱關系？（2）對數函數y = loga x （a>1），當a值增大，圖象的上升“程度”怎樣？說明：這是學生探究中容易忽略的地方，通過補充學生對對數函數圖象感性認識就比較全面。設計意圖：舊教材是通過對稱變換直接從指數函數的圖象得到對數函數圖象，這樣處理學生雖然會接受了這個事實，但對圖象的感覺是膚淺的；這樣處理也存