1、高手支招3綜合探究1.含有參數(shù)形式的復(fù)數(shù)何時表示實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù).此類問題是涉及到復(fù)數(shù)的分類及各自概念,在理解的基礎(chǔ)上注意它們的聯(lián)系與區(qū)別,以此作為判斷它們?yōu)閷崝?shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的條件.復(fù)數(shù)z=a+bi當(dāng)且僅當(dāng)b0時為虛數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)b=0時為實數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)a=0,b0為純虛數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)a=0,b=0時為0.下面以3m+9+(m2+5m+6)i,m為何值時表示實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)為例說明.(1)若表示實數(shù)則:m2+5m+6=0(即虛部必須為零);(2)若表示虛數(shù)則:m2+5m+60(即虛部不能為零);(3)若表示純虛數(shù)則:3m+9=0且m2+5m+60(即實部必須為零,虛部不能為零).2.兩個復(fù)數(shù)

2、相等的充要條件及應(yīng)用時應(yīng)特別注意的問題.因為復(fù)數(shù)可以用向量來表示,所以可以結(jié)合向量相等來理解.在向量坐標(biāo)表示中,兩個向量相等則對應(yīng)坐標(biāo)要相等.兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是實部與虛部分別相等.在兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件中,注意前提條件是a、b、c、dR,即當(dāng)a、b、c、dR時,a+bi=c+di但忽略條件后,則不能成立,因此解決復(fù)數(shù)相等問題,一定要把復(fù)數(shù)的實部與虛部分離出來.再利用復(fù)數(shù)相等的充要條件,化復(fù)數(shù)問題為實數(shù)問題.3.復(fù)系數(shù)一元二次方程根的問題與實系數(shù)一元二次方程根的問題.利用復(fù)數(shù)相等可解決復(fù)系數(shù)方程根的問題,如果復(fù)系數(shù)方程有實根,我們將其中的未知數(shù)視為等式中的一個實數(shù),將方程變形化簡為a+b

3、i=0(a,bR)的形式,然后利用復(fù)數(shù)相等即可解決相關(guān)問題.這里要特別注意,方程有實根務(wù)必注意不能用判別式0來處理方程的根的問題,否則出錯. 如果復(fù)系數(shù)一元二次方程無實根,則同樣不能用<0來處理.此時,方程有復(fù)數(shù)根,可設(shè)方程的根為z=m+ni(m,nR),然后,化簡方程,使方程變形化簡為a+bi=0(a,bR)的形式,然后利用復(fù)數(shù)相等即可解決相關(guān)問題.另外,當(dāng)實系數(shù)一元二次方程無實根時,方程的判別式<0,此時雖無實根,但有虛數(shù)根,如實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,cR)無實根,則其有兩個虛根,分別為:x=. 當(dāng)然,也可以設(shè)方程的根為z=m+ni(m,nR),然后,化

4、簡方程,使方程變形化簡為s+ti=0(s,tR)的形式,然后利用復(fù)數(shù)相等即可解決相關(guān)問題.高手支招4典例精析【例1】 如果用C、R和I分別表示復(fù)數(shù)集、實數(shù)集和純虛數(shù)集,其中C為全集,那么有（ ）A.CRI B.RI C.RCI D.RI思路分析:復(fù)數(shù)系的構(gòu)成是復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR)由此不難判斷正確答案為D項.答案:D【例2】 若z1=sin2+icos,z2=cos+isin,當(dāng)z1=z2時的值為（ ）A.k B.2k+C.2k± D.2k+(以上kZ)思路分析:由已知z1=z2,利用復(fù)數(shù)相等的充要條件,然后解三角方程即得.z1=z2,=2k+（kZ）.故選D項.答案:D【例3

5、】 m為何實數(shù)時,復(fù)數(shù)z=+(m2+3m-10)i(1)是實數(shù);(2)是虛數(shù);(3)是純虛數(shù).思路分析:利用復(fù)數(shù)分類,是實數(shù),只要令復(fù)數(shù)z的虛部為零即可;是虛數(shù),只要令復(fù)數(shù)z的虛部不為零即可;是純虛數(shù),只要令復(fù)數(shù)z的實部為零,虛部不為零即可.解:(1)令m2+3m-10=0,得m=2或m=-5.分母m2-250,m-5.m=2;(2)令m2+3m-100,又分母m2-250,得m2,且m-5,且m5;(3)令m2+3m-100,得m=.【例4】 當(dāng)實數(shù)m為何值時,復(fù)數(shù)(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在復(fù)平面中的對應(yīng)點(diǎn)(1)位于第四象限;(2)位于x軸的負(fù)半軸上:思路分析:復(fù)數(shù)a+b

6、i(a,bR)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)：對于(1)應(yīng)滿足對于(2)應(yīng)滿足解:(1)由已知-7<m<3.(2)由已知解之得:m=4.【例5】 已知aR,問復(fù)數(shù)z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i所對應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限？復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是什么？思路分析:根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面上點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系知,復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限,與復(fù)數(shù)z的實部和虛部的符號有關(guān).所以本題的關(guān)鍵是判斷a2-2a+4與-(a2-2a+2)的符號.而求復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)的軌跡問題,首先把z表示成z=x+yi的形式,然后尋求x,y之間的關(guān)系,但要注意參數(shù)限定的條件.解:a2-2a+4=(a-1)2+33,-(a2-2a+2)=-(a

7、-1)2-1-1.由此可知,z的實部為正數(shù),z的虛部為負(fù)數(shù).復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點(diǎn)在第四象限.設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi(x,yR),則消去a2-2a得y=-x+2(x3),復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是一條射線,其方程為y=-x+2(x3).【例6】 用復(fù)數(shù)表示下圖各題的陰影部分.思路分析:本題關(guān)鍵在于要設(shè)出復(fù)數(shù)z=x+yi(x,yC),并利用其坐標(biāo)在復(fù)平面內(nèi)的范圍寫出用復(fù)數(shù)表示平面區(qū)域中陰影部分的圖形.解:設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi(x,yR),則有:(1)z|z=x+yi,1<x<3;(2)z|z=x+yi,x3,y1;(3)z|z=x+yi,1|z|2,x0,y0;(4)z|z=x+yi,|y|x,x0.【

8、例7】 設(shè)z1=-i,z2=-i,zC.若全集I=z|z|z1|,zC,A=z|z|z2|,zC,那么中所有z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)的集合是什么圖形？思路分析:解決復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的幾何圖形問題,要熟練掌握兩點(diǎn):復(fù)數(shù)z=x+yi(x,yR)在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)Z(x,y);|z|的幾何含義為z在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)Z與原點(diǎn)的距離.本題關(guān)鍵是求出|z|的取值范圍,就可確定z在復(fù)平面上的圖形.解:由已知:|z1|=3,|z2|=1,I=z|z|3,zC,A=z|z|1,zC,=z|1<|z|3,zC,中的z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)Z的集合應(yīng)是與原點(diǎn)距離大于1而不大于3的所有點(diǎn).中的所有z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)的集

9、合是以原點(diǎn)為圓心,以1和3為半徑的圓所夾的圓環(huán),但不包括小圓的邊界(如圖).【例8】 設(shè)zC,滿足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？(1)|z|=2;(2)2<|z|<3.解:(1)因為|z|=2,即|=2,如果設(shè)z=x+yi(x,yR）,所以滿足|z|=2的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)為圓心,以2為半徑的圓.(2)不等式2<|z|<3可化為不等式組滿足不等式|z|>2的點(diǎn)的集合是圓|z|=2外部所有的點(diǎn)組成的集合,滿足不等式|z|<3的點(diǎn)的集合是圓|z|=3內(nèi)部所有的點(diǎn)組成的集合,這兩個集合的交集就是上述不等式組的解所對應(yīng)點(diǎn)的集合.因此,滿足條件2<|z|<

10、;3的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)為圓心,分別以2和3為半徑的兩個圓所夾的圓環(huán),但不包括圓環(huán)的邊界.如下圖所示.高手支招5思考發(fā)現(xiàn)1.對于復(fù)數(shù)用非標(biāo)準(zhǔn)形式給出,應(yīng)先化成標(biāo)準(zhǔn)形式a+bi的形式,使復(fù)數(shù)問題實數(shù)化,這是解復(fù)數(shù)問題的基本思想,也是化歸思想的重要表現(xiàn).2.對于復(fù)數(shù)分類問題的求解,主要包含四類:是實數(shù),是虛數(shù),是純虛數(shù),是零.是實數(shù)就必須使復(fù)數(shù)的虛部為零;是虛數(shù)就必須使復(fù)數(shù)的虛部不為零;是純虛數(shù)就必須使復(fù)數(shù)的虛部不為零,同時要使復(fù)數(shù)的實部為零;是零就必須使復(fù)數(shù)的實部和虛部均為零.3.對于涉及到利用復(fù)數(shù)相等的問題,求解時關(guān)鍵是要抓住兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件,從而將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題的主要方法.此外,要明確由一個復(fù)數(shù)等式可得到兩個實數(shù)等式這一性質(zhì),并在解題中會運(yùn)用它.4.在設(shè)復(fù)數(shù)的過程中常設(shè)為z=a+bi(a,bR);在有關(guān)的解決軌跡問題中常設(shè)z=x+yi從而與解析幾何聯(lián)系起來;當(dāng)復(fù)數(shù)的模為1時也可以設(shè)為z=cos+isin用三角函數(shù)解決相關(guān)最值等.5.復(fù)數(shù)