1、word可編輯新課程高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的案例一-再談根本不等式的創(chuàng)新表示法石河子第一中學(xué)朱友忠案例：根本不等式的創(chuàng)新表示法 北師版·必修5 【不等式習(xí)題課】§3·4 P95 B組第1題略有改動 題目：在O上半圓中AC=a,CB=b,(ab),CDAB,EOAB,連接OD，作CFOD如下圖：請用a,b分別表示線段CE,OE,CD,DF的長度，指出它們之間的大小關(guān)系，并證明；ABCODEF一、歸納課本中的表示法解：AC=a,CB=b, OC=,CG=OE=在RtEOC中，有CE2=OC2+OE2=()2+()2=OE=OD=(同圓的半徑相等)，CD=在RtODC中，有

2、CD2=DF·OD; DF=整理：CE=，OE=, CD=, DF=通過圖中的Rr的斜邊與直角邊的關(guān)系，顯然可以得出：CEOECDDF成立；即：， 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取“=成立。主要是建立集合圖形證明。 北師版·選修2-2 (P12習(xí)題1-2中第1題中)再次出現(xiàn)“的證明。二、創(chuàng)新課本中的表示法上課時(shí)提問：“在全面所學(xué)的知識中與那個(gè)式子類同？學(xué)生甲說：在學(xué)習(xí)等差數(shù)列中，與等差中項(xiàng)的公式類同；學(xué)生乙說：在學(xué)習(xí)求A、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)公式類同；學(xué)生丙說：在學(xué)習(xí)函數(shù)知識時(shí),當(dāng)某個(gè)函數(shù)的圖象滿足f(x+a)=f(b-x)時(shí)，那么函數(shù)圖象的對稱軸x0=的表達(dá)式類同；學(xué)生丁說：在初中學(xué)習(xí)平

3、面幾何時(shí)，與梯形的中位線式子類同。通過幾分鐘的提問與啟發(fā)，老師與學(xué)生，學(xué)生與學(xué)生之間進(jìn)行了互動和回憶；同學(xué)們竟然能回想起這么多的類同，說明“這個(gè)式子在數(shù)學(xué)知識里也是非常重要的一個(gè)表達(dá)式；而且在大學(xué)的數(shù)學(xué)課本中還有與上述類同式子的應(yīng)用。ABCDEFab圖(1)同學(xué)們，今天我們就學(xué)生丁同學(xué)所說，利用梯形中四條線段的長度來表示：“ ，“，“是成立的；那么它們分別代表哪四條線段呢？ABCDGHab圖(2)設(shè)梯形的下底AB= b，上底CD= a，如圖(1),于是就有：(1).梯形的“中位線EF=,顯然成立；證明很簡單略 在初中的平面幾何中已經(jīng)證明。(2).在梯形中，作GHAB與兩腰相交于G、H；如圖(2

4、), 使得梯形ABHG與梯形GHCD相似，那么,即GH=顯然成立；稱GH為“相似線(3).在梯形中，過梯形兩對角線的交點(diǎn)O作PQAB與兩腰相交于P、Q；如圖(3),設(shè)PO=x,OQ=y,DO=m,OB=n,于是有DPODAB,ABCDPQabO圖(3)那么，即，x=BOQBDC,有，即，y=由，可得，PQ=x+y=+= 即PQ=圖(4)ABCDMNabh1h2KS在梯形中，ODCOBA,有,即將代入中消去得: PQ=,稱PQ為“調(diào)和線(4). 在梯形中，作MNAB與兩腰相交于M、N；如圖(4), 使得梯形圖(5)ABCDEFabPPQGHMNABNM與梯形MNCD的面積相等，設(shè)MN=x, 那么

5、有，在梯形中，CKNNSB,有,即由，可得=，即MN=x=; 稱MN為“面積線歸納上述梯形的四條線段如圖(5)可知，顯然有：MNEFGHPQ即：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取“=成立。此時(shí)的梯形就成為一個(gè)平行四邊形。三、構(gòu)建函數(shù)單調(diào)性表示法例如：函數(shù)f(x)=，可以證明該函在實(shí)數(shù)R上是增加的；于是就有：f(1)=，f(0)=，f(-)=，f(-1)=f(1)f(0)f(-)f(-1) 即， 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取“=成立。其實(shí)，不等式的證明方法有很多，譬如：代數(shù)證法比擬法，綜合法，分析法眾所周知，就不必說明了； 北師版·必修5 課本上的幾何證法還有好多，閱讀資料中，談到2002年在召開的24屆國

6、際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，會標(biāo)是根據(jù)我國古代數(shù)學(xué)家爽的弦圖設(shè)計(jì)的，會標(biāo)圖案中就蘊(yùn)含著的存在，值得參考與借鑒。實(shí)在是太完美了，真是令人叫絕；在此我斷定此不等式的表示方法僅次于勾股定理的證明方法；這個(gè)根本不等式也可以說是一只生金蛋雞，如何構(gòu)造幾何圖形、如何構(gòu)造函數(shù)，都有待于們繼續(xù)研究，發(fā)現(xiàn)其它的一些表示方法，挑戰(zhàn)這樣的工作可以啟發(fā)人的思維能力，有著非常重要的意義。新課程高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的案例二-對誘導(dǎo)公式中“-的理解與應(yīng)用石河子第一中學(xué)朱友忠案例：“-的理解 北師版·必修4 P16 §4·3【三角函數(shù) 誘導(dǎo)公式 的新授課】誘導(dǎo)公式這節(jié)容中出現(xiàn)了角“-的誘導(dǎo)公式，那么怎樣理

7、解這個(gè)角“-呢？剛開始我接觸角“-總有些別扭，是因?yàn)樵谂f教材中用習(xí)慣了形如角“kZ的三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，在前面的舊教材中出現(xiàn)過，也沒有直接把它納入公式的籌中；在新教材中解題時(shí)，常碰到形如： sin(-)=sin-(-)=-sin(-)=-sin;cos(-)=cos-(-)=cos(-)=-cos;tan(-)=tan-(-)=-tan(-)=tan;+-HxHyO等等都象上述那樣至少要通過兩次誘導(dǎo)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化而得到；我就在想，既然 北師版·必修4 教材中直接把它納入到公式的疇中，說明它是可以直接到位的。在備課時(shí)，借助單位圓，如下圖我就仔細(xì)研究起來，在單位圓中分別作出角、角+、角-通過

8、觀察它們之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)角+與角-的終邊相同，即(+)-(-)=2;這就說明這兩個(gè)角的三角函數(shù)值是相等的。即誘導(dǎo)公式如下：sin(±)=-sin; cos(±)=-cos; tan(±)=tan把角看作“銳角，那么角+與角-的終邊都落在第三象限；還可以理解：角-加上2也就得到角+或加上2k,kZ的結(jié)果了。真是大快人心的事情。“-的應(yīng)用角-加上2或加上2k,kZ的應(yīng)用對正弦、余弦等三角函數(shù)的化簡或求值比擬快如 北師版·必修4 P17·例2 求以下各角的三角函數(shù)值中的兩道題是：第(1)題：sin(-)=sin(-+2)=sin= (而課本上的解答用

9、了4步)；第(3)題：cos(-)=cos(-+6)=cos=-(而課本上的解答用了4步)；P19·例3 第(2)題：sin(-)加上10即可化簡；(而課本上的解答用了5步)；練習(xí)：判斷以下各式函數(shù)值的符號,P20·A組中的第2題備選的題如：sin(-)加上4即可化簡；cos(-)加上6即可化簡；cos(-)加上4即可化簡；P20·練習(xí)2中的第(3)題:sin(+)=, 求sin(-3+)的值；只要在所求的式子的角度中加上4即可求得結(jié)果。P20·練習(xí)2中的第(4)題:化簡1+sin(-2)sin(+)-2cos2(+);在sin(-2) 的角度中加上2即

10、可化簡。P20·A組題中的第8題化簡2小題：= 略角-加上或加上k,kZ的應(yīng)用對正切、余切等三角函數(shù)的化簡或求值比擬快P39練習(xí)中第4題不求值比擬兩個(gè)正切函數(shù)值的大小：1tan1380與tan1430解：前、后兩個(gè)式子分別減去1800都可以起到簡化的作用；2tan(-)與tan(-)解：前面的式子加上4、后面的式子加上3就可以起到簡化的作用；P40 A組第10題求值：只要在前面的式子加上6、后面的式子加上7就可以起到簡化的作用；練習(xí)：求以下各式函數(shù)值P40 A組備選題tan2400 減去1800tan(-15740) 加上9·1800 tan6750+tan7650+tan

11、(-6900)+tan10800小結(jié)：通過上述的實(shí)例對教材的研究和書本上的練習(xí)題的證實(shí)，很快化到最簡，確實(shí)起到事半功倍之效；也就是說，對于絕對值較大角的正、余弦函數(shù)值一般加上2k(kZ)；對于絕對值較大角的正、余切函數(shù)值一般加上k(kZ)；上述事實(shí)只是我個(gè)人的看法，如果們還有更好的見解也能展示出來與大家共同分享，是一件非常好得事，我也感到非常欣慰；新教材的研究需要大家共同探究、共同切磋，才能真正落實(shí)三維目標(biāo)在授課中得到表達(dá)。新課程高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的案例三-對一道例題的分析理解與拓展石河子第一中學(xué)朱友忠案例：一道例題的分析理解與拓展 北師版·必修4 P117 §3·

12、;2 【二倍角的三角函數(shù)新授課】 教材中的例4 題目：要把半徑為R的半圓形的木料截成長方形如圖1所示，應(yīng)怎樣截取，OADBC圖1才能使長方形面積最大？分析：要求最值必需建立函數(shù)必需先確定自變量；問題：面積的變化是由哪個(gè)長度發(fā)生變化而變化的呢？方案一、因?yàn)锳點(diǎn)在運(yùn)動，說明OA的長度也在發(fā)生變化，此時(shí)可設(shè)OA=x，連接OB=R，那么AB=，所以面積S=2x0<x<R解得：S=2x=2=2也可以用均值定理解決當(dāng)x2=,即x=時(shí)，所以面積Smax=R2;方案二、因?yàn)锽點(diǎn)在運(yùn)動，說明BOA的大小在發(fā)生變化而變化. ，此時(shí)可設(shè)BOA=，OB=R,那么AB=Rsin,OA=Rcos,所以面積S=

13、2OA·AB=2 Rcos·Rsin=R2sin2;當(dāng)sin2=1,即=450時(shí)，所以面積Smax=R2;小結(jié)反思：1、代數(shù)法：以線段長為自變量，建立函數(shù)關(guān)系式，用代數(shù)方法求函數(shù)最值。2、三角法：選擇角度為自變量，建立函數(shù)關(guān)系式，用三角知識求函數(shù)最值；適用于與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的問題。拓展一、 北師版·必修4 P127 B組第5題、題目：把一段半徑為R的圓木如圖2所示，鋸成橫截面為矩形的木料，試問怎樣鋸法才能使截面的面積最大？ABCD·O圖2E分析一、代數(shù)法：設(shè)AB=x，x(0,2R),那么BC=；分析二、三角法：設(shè)CAB=,(0,900),那么AB=2Rcos,

14、BC=2Rsin分析三、幾何法：作DEAC,那么S=AC·DE=2R·DE; 要使DE最大，即AB=BC時(shí)，面積Smax=2R2ADBC圖4圖5OABCDEF圖3拓展二、一段半徑為R,圓心角為900的扇形木料如圖3所示，鋸成橫截面為矩形的木料，試問怎樣據(jù)法才能使截面的面積最大？假設(shè)按如圖4的鋸法：方法1、代數(shù)法：略方法2、三角法：略方法3、幾何法：利用對稱性復(fù)原成圓木料。求得Smax=假設(shè)按如圖5的鋸法：設(shè)AOB=,(0,450)采用三角法解：設(shè)AOB=,(0,450),那么BE=Rsin(450-),OE= Rcos(450-),由圖5可知，OF=BE=AF,所以AB=F

15、E=OE-OF=Rcos(450-)-sin(450-)面積S=2BE·AB=2R2sin(450-)cos(450-)-sin(450-)=R2sin(900-2)-1+cos(900-2)=R2sin(2+450)-1當(dāng)=時(shí)，面積Smax=(-1)R2比擬如圖4的鋸法與如圖5的鋸法，顯然>(-1)R2所以要采用如圖4的鋸法面積最大。圖61200圖7ABCDOABCD圖8FE拓展三、一段半徑為R,圓心角為1200的扇形木料如圖6所示，鋸成橫截面為矩形的木料，試問怎樣鋸法才能使截面的面積最大？假設(shè)按如圖7的據(jù)法：方法1、代數(shù)法：略方法2、三角法：略方法3、幾何法：利用幾何特性復(fù)

16、原成圓木料。求得Smax=假設(shè)按如圖8的鋸法：設(shè)AOB=,(0,600)采用三角法解：設(shè)AOB=,(0,600),那么BE=Rsin(600-),OE= Rcos(600-),由圖8可知，OF=FA=BE=Rsin(600-),所以AB=FE=OE-OF=Rcos(600-)-sin(600-) =Rcos(600-)- sin(600-) =Rsin面積S=2BE·AB=R2sin(600-)sin=R2cossin-sin2 =R2sin2-=R2sin(2+300)-當(dāng)2+300=900時(shí)，即=300，面積Smax=R2比擬如圖7的鋸法與如圖8的鋸法，顯然R2>所以要采用

17、如圖8的據(jù)法面積最大。由上述推理計(jì)算過程，讓我大膽猜想對半徑R的扇形圖，當(dāng)扇形角在001800的圍，兩種截得的矩形面積以下圖表成立：兩種裁剪方法對照表：第一種裁剪法最大面積S1比擬S1與S2的大小最大面積S2第二種裁剪法S1=S1>S2S2=300S1=S1>S2S2=300600S1=R2S1>S2S2=(2-)R2600S1=S1>S2S2=(-1)R2S1=S1>S2S2=某個(gè)角(001800S1=S1=S2S2=某個(gè)角(001800S1=S1<S2S2=1200S1=S1<S2S2=R212001500S1=S1<S2S2=1500S1=

18、S1<S2S2=S1=S1=S2S2=拓展四、將如圖3的木料鋸成如圖9的形狀，怎樣鋸才能使DEAOBC圖9四邊形OABC的面積最大？解：設(shè)AOB=，(00，900)，那么BD=Rsin,BE=Rcos,所以SOABC=SOAB+SOCB=R·Rsin+R·Rcos =R2(sin+cos)=R2sin(+450)當(dāng)+450=900，即=450時(shí)，SOABC有最大值為R2通過教材中的一道例題的理解與拓展，對三角知識加深了理解和應(yīng)用，正是新課標(biāo)的要求，使學(xué)生掌握根本知識與技能，體會學(xué)習(xí)的過程，同時(shí)領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想方法，不僅增強(qiáng)了學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，而且樹立了學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有

19、了良好的情感態(tài)度和價(jià)值觀。新課程高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的案例四-幾種特殊的抽象函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)探究石河子第一中學(xué)朱友忠案例：幾種特殊的抽象函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的求法由于新課程標(biāo)準(zhǔn)對 導(dǎo)數(shù) 這一章容概念的理解加大了力度，在一些課外參考書中也很少提到抽象函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的求法；本文主要通過導(dǎo)數(shù)的定義研究抽象函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的求法；進(jìn)一步幫助同學(xué)們加深理解導(dǎo)數(shù)定義。下面以4種常見類型的抽象函數(shù)為例：一、形如f(x+y)=f(x)+f(y)類型例1、函數(shù)y=f(x)在定義域D是可導(dǎo)函數(shù)，滿足f(x+y)=f(x)+f(y),且f(0)=2,求當(dāng)x=a時(shí)，f(a)的導(dǎo)數(shù).解：令x=0代入f(x+y)=f

20、(x)+f(y)中，得f(0)=0由導(dǎo)數(shù)的定義，f(a)=f(0)=2所以，f(a)=f(0)=2練習(xí)：函數(shù)y=f(x)在定義域D是可導(dǎo)函數(shù)，滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,且f(0)=0,求當(dāng)x=e時(shí)，f(e)的導(dǎo)數(shù).(答：2e)二、形如f(x+y)=f(x)·f(y)類型例2、函數(shù)y=f(x)在定義域D是可導(dǎo)函數(shù)，滿足f(x+y)=f(x)·f(y),且f(0)=1,f(1)=e,求當(dāng)x=2時(shí)，f(2)的導(dǎo)數(shù).解：令x=0,代入f(x+y)=f(x)·f(y)中，得f(0)=1；再令x=y=1代入f(x+y)=f(x)·f(y)中，得f(2)=e2由導(dǎo)數(shù)的定義，f(2)=f(2)=f(2)= f(2)·f(0)=e2所以，f(2)= e2練習(xí)：函數(shù)y=f(x)在定義域D是可導(dǎo)函數(shù)，滿足f(x+y)=f(x)·f(y)-xy,且f(x)>0, f(1)=2f(0)=1,求當(dāng)x=2時(shí)，f(2)的導(dǎo)數(shù).(答：4)三、形如f(x·y)=f(x)+f(y)類型例3、函數(shù)y=f(x)在定義域D是可導(dǎo)函數(shù)，滿足f(x·