1、浙江省2014屆理科數學復習試題選編28：空間角和空間距離一、選擇題 （浙江省海寧市2013屆高三2月期初測試數學（理）試題）在平行四邊形中,點是線 段上任一點(不包含點),沿直線將翻折成,使在平面上的射影落在直線上,則的最小值是（）ABC2D【答案】A （浙江省六校聯盟2013屆高三回頭聯考理科數學試題）棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1在空間直角坐標系中移動,但保持點（）AB分別在X軸、y軸上移動,則點C1到原點O的最遠距離為（）ABC5D4【答案】D （溫州市2013年高三第一次適應性測試理科數學試題）正方體中,與平面所成角的余弦值為（）ABCD【答案】D （浙江省紹興一中201

2、3屆高三下學期回頭考理科數學試卷）已知正方體的棱長為1,是對角線上的兩點,動點在正方體表面上且滿足,則動點的軌跡長度的最大值為（）A3BCD6 【答案】B （浙江省“六市六校”聯盟2013屆高三下學期第一次聯考數學（理）試題）如圖所示,在正方體中,為上一點,且,是側面上的動點,且平面,則與平面所成角的正切值構成的集合是（）AB CD1C（第10題圖）【答案】C （浙江省稽陽聯誼學校2013屆高三4月聯考數學(理)試題（word版） ）已知四面體中,為棱的中點,則過點與側面和底面所在平面都成的平面共有(注:若二面角的大小為,則平面與平面所成的角也為)（）A個B個C個D無數個【答案】B 提示:設平

3、面ABC的法向量為,平面BCD的法向量為,因為二面角 的平面角的余弦值為,即平面角大約為,所以過點P與法向量都成的向量有4 個,所以過點P與側面ABC和底面BCD所在平面都成的平面共有4個. （浙江省溫州中學2013屆高三第三次模擬考試數學（理）試題）已知正四面體中,為的中點,則過點與側面和底面所在平面都成的平面共有 (注:若二面角的大小為,則平面與平面所成的角也為)（）A2個B4個C6個D無數個非選擇題部分(共100分)【答案】B （【解析】浙江省鎮海中學2013屆高三5月模擬數學（理）試題）如圖是等腰直角三角形,其中,且,現將折起,使得二面角為直角,則下列敘述正確的是; 平面的法向量與平面

4、的法向量垂直;異面直線BC與AD所成的角為;直線DC與平面ABC所成的角為（）ABCD【答案】【答案】B 解析:易證,則,到此很容易證明正確,錯誤,而與所成的角余弦值為. （浙江省五校2013屆高三上學期第一次聯考數學（理）試題）一質點受到平面上的三個力(單位:牛頓)的作用而處于平衡狀態.已知 成 角,且的大小分別為1和2,則有（）A成角B成角C成角D成角 【答案】（）A（2013年普通高等學校招生統一考試浙江數學（理）試題（純WORD版）在空間中,過點作平面的垂線,垂足為,記.設是兩個不同的平面,對空間任意一點,恒有,則（）A平面與平面垂直B平面與平面所成的(銳)二面角為 C平面與平面平行D

5、平面與平面所成的(銳)二面角為 【答案】A （浙江省寧波市2013屆高三第一學期期末考試理科數學試卷）正方體ABCD-A1B1C1D1中BC1與截面BB1D1D所成的角是（）ABCD【答案】A 二、填空題（浙江省永康市2013年高考適應性考試數學理試題 ）如圖,斜邊長為4的直角, 且在平面上,在平面的同側,為的中點.若在平面上的射影是以為直角頂點的三角形,則到平面的距離的取值范圍是_.【答案】 （浙江省溫州八校2013屆高三9月期初聯考數學（理）試題）在二面角中,且已知 , , 則二面角的余弦值為_【答案】 （浙江省寧波一中2013屆高三12月月考數學（理）試題）正四面體SABC中,E為SA的

6、中點,F為的中心,則直線EF與平面ABC所成的角的正切值是_.【答案】 （浙江省2013年高考模擬沖刺（提優）測試二數學（理）試題）在三棱錐S-ABC中,ABC為正三角形,且A在面SBC上的射影H是SBC的垂心,又二面角H-AB-C為300,則_;【答案】 （浙江省杭州四中2013屆高三第九次教學質檢數學（理）試題）如圖,在正方形ABCD中,E,F分別為線段AD,BC上的點,ABE=20°,CDF=30°.將ABE繞直線BE、CDF繞直線CD各自獨立旋轉一周,則在所有旋轉過程中,直線AB與直線DF所成角的最大值為_.ABCDEF【答案】70° （浙江省杭州高中20

7、13屆高三第六次月考數學（理）試題）和是兩個腰長均為 1 的等腰直角三角形,當二面角為時,點和之間的距離等于 _.(請寫出所有可能的值) 【答案】 三、解答題（浙江省杭州二中2013屆高三6月適應性考試數學（理）試題）等邊三角形的邊長為,點、分別是邊、上的點,且滿足(如圖1).將沿折起到的位置,使二面角成直二面角,連結、 (如圖2).()求證:平面;()在線段上是否存在點,使直線與平面所成的角為?若存在,求出的長,若不存在,請說明理由.BCED圖2圖1ABCDE【答案】證明:(1)因為等邊的邊長為3,且,所以,. 在中,由余弦定理得. 因為,所以.折疊后有. 因為二面角是直二面角,所以平面平面

8、. 又平面平面,平面,所以平面. (2)解法1:假設在線段上存在點,使直線與平面所成的角為.如圖,作于點,連結、. BCEDHP 由(1)有平面,而平面,所以.又,所以平面. 所以是直線與平面所成的角. 設,則,.在中,所以. 在中,. 由,得.解得,滿足,符合題意. 所以在線段上存在點,使直線與平面所成的角為,此時. 解法2:由(1)的證明,可知,平面. 以為坐標原點,以射線、分別為軸、軸、軸的正半軸,建立空間直角坐標系如圖 BCEDHxyzP 設,則,. 所以,. 所以.因為平面,所以平面的一個法向量為.因為直線與平面所成的角為,所以 , 解得. 即,滿足,符合題意. 所以在線段上存在點,

9、使直線與平面所成的角為,此時. （浙江省考試院2013屆高三上學期測試數學（理）試題）如圖,平面ABCD平面ADEF,其中ABCD為矩形,ADEF為梯形, AFDE,AFFE,AF=AD=2 DE=2.() 求異面直線EF與BC所成角的大小;() 若二面角A-BF-D的平面角的余弦值為,求AB的長.AEFDBC(第20題圖)【答案】本題主要考查空間點、線、面位置關系,異面直線所成角、二面角等基礎知識,空間向量的應用,同時考查空間想象能力和運算求解能力.滿分15分. () 延長AD,FE交于Q.因為ABCD是矩形,所以 BCAD, 所以AQF是異面直線EF與BC所成的角. 在梯形ADEF中,因為

10、DEAF,AFFE,AF=2,DE=1得 AQF=30° AEFDBC(第20題圖)HGQ () 方法一: 設AB=x.取AF的中點G.由題意得 DGAF. 因為平面ABCD平面ADEF,ABAD,所以 AB平面ADEF, 所以 ABDG. 所以 DG平面ABF. 過G作GHBF,垂足為H,連結DH,則DHBF, 所以DHG為二面角A-BF-D的平面角. 在直角AGD中,AD=2,AG=1,得 DG=. 在直角BAF中,由=sinAFB=,得 =, 所以 GH=. 在直角DGH中,DG=,GH=,得 DH=. 因為cosDHG=,得 x=, 所以 AB=. 方法二:設AB=x. 以F

11、為原點,AF,FQ所在的直線分別為x軸,y軸建立空間直角坐標系Fxyz.則 F(0,0,0),A(-2,0,0),E(,0,0),D(-1,0),B(-2,0,x), 所以 =(1,-,0),=(2,0,-x). 因為EF平面ABF,所以平面ABF的法向量可取=(0,1,0). 設=(x1,y1,z1)為平面BFD的法向量,則 AEFDBC(第20題圖)xzy 所以,可取=(,1,). 因為cos<,>=,得 x=, 所以 AB=. （浙江省溫州市十校聯合體2013屆高三上學期期末聯考理科數學試卷）如圖,AC 是圓 O 的直徑,點 B 在圓 O 上,BAC=30°,BMA

12、C交 AC 于點 M,EA平面ABC,FC/EA,AC=4,EA=3,FC=1.(I)證明:EMBF;(II)求平面 BEF 與平面ABC 所成銳二面角的余弦值.EAFCMBO（第20題圖）【答案】解:(1). 如圖,以為坐標原點,垂直于、所在的直線為軸建立空間直角坐標系.由已知條件得, . 由, 得, xyzABCFMO·(2)由(1)知. 設平面的法向量為, 由 得, 令得, 由已知平面,所以取面的法向量為, 設平面與平面所成的銳二面角為, 則,平面與平面所成的銳二面角的余弦值為 （浙江省名校新高考研究聯盟2013屆高三第一次聯考數學（理）試題）如圖,為圓的直徑,點、在圓上,矩形

13、所在的平面與圓所在的平面互相垂直.已知,.()求證:平面平面; ()求直線與平面所成角的大小;()當的長為何值時,平面與平面所成的銳二面角的大小為?【答案】 (I)證明:平面平面, 平面平面=, 平面. 平面, 又為圓的直徑, 平面 平面,平面平面. (II)根據()的證明,有平面, 為在平面內的射影, 因此,為直線與平面所成的角 6分 ,四邊形為等腰梯形, 過點作,交于. ,則. 在中,根據射影定理,得 ,. 直線與平面所成角的大小為 ()設中點為,以為坐標原點,、方向分別為軸、軸、 軸方向建立空間直角坐標系(如圖).設,則點的坐標為則 ,又 設平面的法向量為,則,. 即 令,解得 由(I)

14、可知平面,取平面的一個法向量為,依題意 與的夾角為 ,即, 解得 因此,當的長為時,平面與平面所成的銳二面角的大小為. （浙江省湖州市2013年高三第二次教學質量檢測數學(理)試題(word版) ）如圖,一個正和一個平行四邊形在同一個平面內,其中,的中點分別為. 現沿直線將翻折成,使二面角為,設中點為.() (i)求證:平面平面;(ii)求異面直線與所成角的正切值;()求二面角的余弦值.第20題 【答案】解法一:() (i)證明:連. 因為為平行四邊形,分別為中點, 所以為平行四邊形,所以 又分別為的中點,所以 平面,平面,所以平面,平面,而平面,所以平面平面 第20題 (ii)因為,所以或其

15、補角即為異面直線與所成的角 因為為正三角形,為中點,所以,從而平面,而,所以平面,因為平面,所以 由條件易得,又為二面角的平面角,所以,所以, 所以 () 由()的(ii)知平面,即,所以即為二面角的平面角 第20題 解法二:() (i)同解法一; (ii) 因為為正三角形,為中點,所以,從而為二面角的平面角且平面,而平面,所以平面平面. 作平面于,則在直線上,又由二面角的平面角為,故在線段的延長線上. 由得 以為原點,為軸建立空間直角坐標系,如圖,則由上述及已知條件得各點坐標為,所以, 所以異面直線與所成角的余弦值為, 從而其正切值為 () 由()的(ii)知,設平面的法向量為,則由,得 令

16、,得 又平面的一個法向量為,而二面角為銳二面角,所以二面角的余弦為 （浙江省一級重點中學（六校）2013屆高三第一次聯考數學（理）試題）如圖:在直三棱柱中,. ()若異面直線與所成的角為,求棱柱的高;()設是的中點,與平面所成的角為,當棱柱的高變化時,求的最大值.【答案】解法1:()由三棱柱是直三棱柱可知,即為高, 如圖1,因為,所以是異面直線與所成的角或其補角, 連接,因為,所以. 在Rt中,由,可得 又異面直線與所成的角為,所以,即為正三角形. 于是. 在Rt中,由,得,即棱柱的高為 ()設,如圖1,過點在平面內作于F,則 由平面,平面,得. 而,所以平面. 故就是與平面所成的角,即 在中

17、,由,得, 在中,由,得, 在中, 令, ()因為異面直線與所成的角,所以, 即,得,解得 ()由是的中點,得,于是. 設平面的法向量為,于是由,可得 即 可取, 于是. 而 令, 因為,當且僅當,即時,等號成立. 所以, 故當時,的最大值 （浙江省新夢想新教育新陣地聯誼學校2013屆高三回頭考聯考數學（理）試題 ）如圖,在四棱錐中,底面, , ,是的中點.()證明:;()證明:平面;()求二面角的正切值.【答案】解法一: ()證明:在四棱錐中,因底面,平面, 故. ,平面. 而平面, ()證明:由,可得. 是的中點,. 由()知,且,所以平面. 而平面,. 底面在底面內的射影是,. 又,綜上

18、得平面 ()過點作,垂足為,連結.則()知,平面,在平面內的射影是,則. 因此是二面角的平面角. 由已知,得.設, 可得 . 在中, 則. 在中,. 所以二面角的正切值為 解法二: ()證明:以AB、AD、AP為x、y,z軸建立空間直角坐標系,設AB=a. ()證明: ()設平面PDC的法向量為 則 又平面APD的法向量是 ,所以二面角的正切值是 （浙江省寧波市十校2013屆高三下學期能力測試聯考數學（理）試題）如圖,中,兩點分別在線段.現將沿折成直二面角.(1)求證:當時,;(2)當時,二面角的大小能否等于?若能,求出的值;若不能,請說明理由.ABCDE ABCDE【答案】 （浙江省溫州中學

19、2013屆高三第三次模擬考試數學（理）試題）如圖,在三棱錐中, (I)求證:平面平面(II)若動點在底面三角形上,二面角的余弦值為,求的最小值. 【答案】 解:(1)取AC中點O,因為AP=BP,所以OPOC 由已知易得三角形ABC為直角三角形,OA=OB=OC,POAPOBPOC,OPOB OP平面ABC, OP在平面PAC中,平面平面 ( ) (2) 以O為坐標原點,OB、OC、OP分別為 x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系. 由題意平面PAC的法向量, 設平面PAM的法向量為 由 , 取 BM的最小值為垂直距離. ( ) （【解析】浙江省鎮海中學2013屆高三5月模擬數學（理）試題）

20、如圖,在梯形中,平面 平面,四邊形是矩形,點在線段上.(1)求證:平面;(2)求二面角的余弦值.【答案】 證明:(1)在梯形ABCD中, 四邊形ABCD是等腰梯形, 且 , 又平面平面ABCD,交線為AC,平面ACFE. (2)方法一;(幾何法)取EF中點G,EB中點H,連結DG、GH、DH, 容易證得DE=DF, 平面ACFE, 又, 又, 是二面角BEFD的平面角. 在BDE中 , 又在DGH中, 由余弦定理得即二面角BEFD的平面角余弦值為 方法二;(向量法)以C為坐標原點,建立如圖所示的直角坐標系: , 所以, 分別設平面BEF與平面DEF的法向量為 , 所以,令,則 又,顯然,令 所

21、以, ,設二面角的平面角為為銳角 所以 （2013屆浙江省高考壓軸卷數學理試題）如圖,在斜三棱柱中,側面底面,側棱與底面成60°的角,.底面是邊長為2的正三角形,其重心為點, 是線段上一點,且.(1)求證:/側面;(2)求平面與底面所成銳二面角的正切值;(3)在直線上是否存在點T,使得?若存在,指出點T的位置;若不存在,說明理由.第20題圖【答案】【解析】解法1:(1)延長B1E交BC于點F,FEB,BE=EC1,BF=B1C1=BC, 從而點F為BC的中點. G為ABC的重心,A、G、F三點共線.且, 又GE側面AA1B1B,GE/側面AA1B1B. (2)在側面AA1B1B內,過

22、B1作B1HAB,垂足為H,側面AA1B1B底面ABC, B1H底面ABC.又側棱AA1與底面ABC成60°的角,AA1=2,B1BH=60°,BH=1,B1H= 在底面ABC內,過H作HTAF,垂足為T,連B1T,由三垂線定理有B1TAF, 又平面B1CE與底面ABC的交線為AF,B1TH為所求二面角的平面角. AH=AB+BH=3,HAT=30°,HT=AH.在RtB1HT中, 從而平面B1GE與底面ABC成銳二面角的正切值為. (3)(2)問中的T點即為所求,T在AG的延長線上,距離A點處. 解法2:(1)側面AA1B1B底面ABC,側棱AA1與底面ABC成

23、60°的角,A1AB=60°, 又AA1=AB=2,取AB的中點O,則AO底面ABC. 以O為原點建立空間直角坐標系O如圖, 則,. G為ABC的重心,., . 又GE側面AA1B1B,GE/側面AA1B1B. (2)設平面B1GE的法向量為,則由得 可取 又底面ABC的一個法向量為 設平面B1GE與底面ABC所成銳二面角的大小為,則. 由于為銳角,所以,進而. 故平面B1GE與底面ABC成銳二面角的正切值為. (3),設, , 由,解得 所以存在T在AG延長線上,. （浙江省2013年高考模擬沖刺（提優）測試二數學（理）試題）如圖:在多面體EF-ABCD中,四邊形ABCD

24、是平行四邊形,EAD為正三角形,且平面EAD平面ABCD,EFAB, AB=2EF=2AD=4,.()求多面體EF-ABCD的體積;()求直線BD與平面BCF所成角的大小.【答案】 （浙江省溫嶺中學2013屆高三高考提優沖刺考試（五）數學（理）試題）如圖,在長方形中,為的中點,現將沿折起,使平面平面, 連,.()求證:平面;()求二面角的余弦值.EADCBABCED（第20題）【答案】 所以所求二面角的余弦值為 解法二(坐標法) ABCEDOyF 如圖,取的中點,則面.作,則. 以O為原點,OA、OF、OD為軸建立空間坐標系 則,. 所以,. 設面的法向量為,則 ,取 設面的法向量為,則,取

25、,所以所求二面角的余弦值為 （浙江省嘉興市第一中學2013屆高三一模數學（理）試題）如圖,直角梯形ABCD中,AB/CD, = 90° , BC = CD = ,AD = BD:EC丄底面ABCD, FD丄底面ABCD 且有EC=FD=2.(I )求證:AD丄BF :(II )若線段EC上一點M在平面BDF上的射影恰好是BF的中點N,試求二面角 B-MF-C的余弦值.【答案】解:()證明:,且, 且; 又由,可知 ,是等腰三角形,且, ,即; 底面ABCD于D,平面ABCD, 平面DBF.又平面DBF,可得 ()解:如圖,以點C為原點,直線CD、CB、CE方向為x、y、z軸建系. B

26、20題解答 可得, 又 N恰好為BF的中點, 設,. 又,可得. 故M為線段CE的中點 設平面BMF的一個法向量為, 且, ,由可得, 取得 又平面MFC的一個法向量為, . 故所求二面角B-MF-C的余弦值為 （浙江省稽陽聯誼學校2013屆高三4月聯考數學(理)試題（word版） ）如圖,在矩形中, 為邊上一點,以直線為折線將點折起至點并保持為銳角,連接取中點,若有平面(I)求線段的長;(II)當時(i)求證:平面平面;(ii)求平面與平面所成角的余弦值.【答案】解:(I)取的中點,連接, ,四點共面 平面 為平行四邊形 (II)(i)證明:異面直線所成的角為, ,取CE中點O, 且, 同理

27、 所以 (ii)將該幾何體補形成如圖所示的長方體,以點B為坐標原點建立空間直角坐標系, 取平面PCE的一個法向量 設平面PAD法向量為, , 由得,取,得 平面PEC與平面MAB1所成角的余弦值為 （浙江省嘉興市2013屆高三上學期基礎測試數學（理）試題）如圖,是棱長為1的正方體,四棱錐中,平面,. ()求證:平面平面;()求直線與平面所成角的正切值.【答案】取的中點,連結,. （第20題） ,平面, , , , 四邊形為平行四邊形, 又平面,平面, 平面 在正方體中, 平面, ,平面平面 (II)方法1 以直線為的如圖所示空間直角坐標系,令,則, (0,1,0)是平面的一個法向量 設直線與平

28、面所成角為 , 直線與平面所成角的正切值為 方法2: ,直線與平面所成角等于直線與平面所成角. 正方體中,顯然平面, 就是直線與平面所成角 在中, 直線與平面所成角的正切值為. （浙江省杭州高中2013屆高三第六次月考數學（理）試題）如圖,已知長方形中,為的中點. 將沿折起,使得平面平面.(1)求證: (2)點是線段上的一動點,當二面角大小為時,試確定點的位置.A 【答案】取AM的中點O,AB的中點B,則兩兩垂直,以O為原點建立空間直角坐標系,如圖.根據已知條件,得 , k*s*5 (1)由于,則,故. (2)設存在滿足條件的點E,并設, 則 則點E的坐標為.(其中)易得平面ADM的法向量可以

29、取,設平面AME的法向量為,則, 則 則,取 *由于二面角大小為,則 ,由于,故解得.故當E位于線段DB間,且時,二面角大小為 （浙江省杭州四中2013屆高三第九次教學質檢數學（理）試題）如圖,已知ABCD是邊長為1的正方形,AF平面ABCD,CEAF,.()證明:BDEF;()若AF=1,且直線BE與平面ACE所成角的正弦值為,求的值.（第20題圖）FEDCBA【答案】本題滿分14分. ()方法1:連結BD、AC,交點為O.ABCD是正方形 BDAC AF平面ABCD AFBD BD平面ACEF BDEF 方法2:如圖建立空間直角坐標系A-xyz, yDzxFO（第20題圖）ECBA , 設

30、,那么, 則 BDEF ()方法1:連結OE,由()方法1知,BD平面ACEF, 所以BEO即為直線BE與平面ACE所成的角 AF平面ABCD,CEAF ,CE平面ABCD,CEBC, BC =1,AF=1,則CE=,BE=,BO=, RtBEO中, , 因為,解得 方法2:,由()法1知,BD平面ACEF, 故是平面ACE的法向量 記直線BE與面ACE所成角為, 則, ;因為,解得 （浙江省樂清市普通高中2013屆高三上學期期末教學質量檢測數學（理）試題）如圖,底角為的等腰梯形垂直于矩形,.(1)求證:平面平面;(2)當長為2時,求二面角的余弦值的大小.【答案】(1)證明:平面平面,且 平面

31、 平面 在梯形中, 又 由得平面 平面平面 (2)解:分別取的中點,兩兩連接, 易證就是所求二面角的一個平面角 計算得,又 （浙江省六校聯盟2013屆高三回頭聯考理科數學試題）如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD, ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點.()證明:CD AE;()證明:PD平面ABE;()求二面角A-PD-C的正切值.【答案】 （浙江省溫州市2013屆高三第三次適應性測試數學(理)試題（word版） ）已知四棱錐, 底面,與交于點,又() 求證:平面;()求二面角的余弦值.【答案】 （浙江省重點中學協作體2013屆高三摸底測試

32、數學（理）試題）如圖,斜三棱柱,已知側面與底面ABC垂直且BCA=90°,=2,若二面角為30°, ()證明及求與平面所成角的正切值; ()在平面內找一點P,使三棱錐為正三棱錐,并求P到平面距離ABC111ACB【答案】本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系等基礎知識,考查空間想象能力、推理論證能力及運算求解能力,考查化歸與轉化思想、數形結合思想、函數與方程思想及應用意識. 滿分14分. 解:()面面,因為面面=, 所以面 取中點,連接,在中, 是正三角形,又面且面, ,即即為二面角的平面角為30°, 面,在 中, 又面,即與面所成的線面角,

33、在中, ()在上取點,使,則因為是的中線, 是的重心,在中,過作/交于, 面,/ 面,即點在平面上的射影是的中心,該點即為所求, 且, （浙江省溫州八校2013屆高三9月期初聯考數學（理）試題）如圖,四棱錐的底面為矩形,且,()平面與平面是否垂直?并說明理由; ()求直線與平面所成角的正弦值. 【答案】(I)平面平面; 證明:由題意得且 又,則 則平面, 故平面平面 ()解法1:以點A為坐標原點,AB所在的直線為y軸建立空間直角坐標系如右圖示 則, 可得, 平面ABCD的單位法向量為, 設直線PC與平面ABCD所成角為,則 則,即直線PC與平面ABCD所成角的正弦值 解法2:由(I)知平面,面

34、 平面ABCD平面PAB, 在平面PAB內,過點P作PEAB,垂足為E,則PE平面ABCD,連結EC, 則PCE為直線PC與平面ABCD所成的角, 在RtPEA中,PAE=60°,PA=1, 又 在RtPEC中 （2013年普通高等學校招生統一考試浙江數學（理）試題（純WORD版）如圖,在四面體中,平面,.是的中點, 是的中點,點在線段上,且.(1)證明:平面;(2)若二面角的大小為,求的大小.ABCDPQM（第20題圖）【答案】解:證明()方法一:如圖6,取的中點,且是中點,所以.因為是中點,所以;又因為()且,所以,所以面面,且面,所以面; 方法二:如圖7所示,取中點,且是中點,

35、所以;取的三等分點,使,且,所以,所以,且,所以面; ()如圖8所示,由已知得到面面,過作于,所以,過作于,連接,所以就是的二面角;由已知得到,設,所以 , 在中,所以在中, ,所以在中 ; （浙江省諸暨中學2013屆高三上學期期中考試數學（理）試題）如圖,已知四棱錐中,平面,底面是直角梯形,是線段上一點,平面. ()求證:平面()若,求直線與平面所成角的正弦值.【答案】 （浙江省溫州十校聯合體2013屆高三期中考試數學（理）試題）(本小題滿分14分)如圖1,在RtABC中,C=90°,D,E分別是AC,AB上的中點,將ADE沿DE折起到A1DE的位置,作A1FCD,垂足為F,如圖2

36、. (1)求證:DE平面A1CB;(2)求證:A1FBE;(3)若A=45°,AC=2,在線段CD上是否存在點F,使得二面角A1-BE-F為45°.若存在,則指出點F的位置,若不存在,請說明理由.【答案】 （浙江省永康市2013年高考適應性考試數學理試題 ）如圖,在三棱錐中,直線平面,且,又點,分別是線段,的中點,且點是線段上的動點.()證明:直線平面;()若=8,且二面角的平面角的余弦值為,試求的長度.【答案】()連結QM,因為點,分別是線段,的中點 所以QMPA 且MNAC,從而QM平面PAC 且MN平面PAC 又因為MNQM=M,所以平面QMN平面PAC 而QK平面Q

37、MN 所以QK平面PAC ()方法1:過M作MHAK于H,連QH,則QHM即為二面角的平面 角,設,且則,又,且 ,所以, 解得,所以的長度為 方法2:以B為原點,以BC、BA所在直線為x軸y軸建空間直角坐標系, 則A(0,8,0),M(0,4,0),N(4,0,0),P(0,8,8),Q(0,4,4) , 設K(a,b,0),則a+b=4, =(0,-4,4), 記,則 取則, 則, 又平面AKM的一個法向量,設二面角的平面角為 則|cos|=,解得, 所以所以的長度為 （浙江省“六市六校”聯盟2013屆高三下學期第一次聯考數學（理）試題）如圖,邊長為4的正方形ABCD所在平面與正PAD所在

38、平面互相垂直,M、Q分別為PC、AD的中點.(1)求證:PA平面MBD;(2)求二面角P-BD-A的余弦值; (3)試問:在線段AB上是否存在一點N,使得平面PCN平面PQB,若存在,試指出點N的位置,并證明你的結論;若不存在,請說明理由.（第20題圖）【答案】(1)證明:連接AC交BD于點O,連接MO由正方形ABCD知O為AC的中點, M為PC的中點,MOPA, MO平面MBD,PA平面MBD, PA平面MBD;···············&

39、#183;·····5分 (2)取OD中點G,連接QG、PG,則QGAC, 又由四邊形ABCD是正方形得ACBD, QGBD,又平面ABCD平面PAD, PAD為正三角形,Q為AD中點, PQ平面ABCD,而BD平面ABCD, PQBD,BD平面PQG, BDPG PGQ即為二面角P-BD-A的平面角,···8分 由題意可得,QG=,PQ=,PG=,cosPGQ=;············

40、3;··10分 (3)存在點N,當N為AB中點時,平面PQBPNC,···························12分 四邊形ABCD是正方形,Q為AD的中點,BQNC, 由(2)知, PQ平面ABCD,NC平面ABCD,PQNC, 又BQPQ=Q,NC平面PQB, NC平面PNC, 平面PNC平面

41、PQB·······························14分 (向量法略) （浙江省五校聯盟2013屆高三下學期第一次聯考數學（理）試題）在四棱錐中,/,平面,. ()設平面平面,求證:/;()求證:平面;()設點為線段上一點,且直線與平面所成角的正弦值為,求的值.【答案】(1), 又面, (2)以點為坐標原點,為軸,軸,軸建立空間直角坐標系. 則 即 ,即,又 (3)由(2)得,是面的一個法向量, 設,則, 則 （浙江省嘉興市2013屆高三第二次模擬考試理科數學試卷）如圖,在中,點在上,交于,交于.沿將翻折成,使平面平面;沿將翻折成,使平面平面.()求證:平