1、2012屆仲元競賽班高三試題（五）理科數(shù)學第卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，滿分40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1已知集合，則 （ ）（A）（B） （C）（D）2若函數(shù)的定義域為R, 則“函數(shù)為奇函數(shù)”是“函數(shù)奇函數(shù)”的（ ）A充分非必要條件 B必要非充分條件xABPyO(第3題)C充要條件 D既非充分又非必要條件3函數(shù)的部分圖象如右圖所示，設是圖象的最高點，是圖象與軸的交點，則（ ） （A） （B） （ C） （D）4如右圖，設為互相垂直的單位向量，則向量可表示為（ ）A B C D5已知數(shù)列滿足， ，類比課本中推導等比數(shù)列前項和公式的方法 ，可求得（ ）

2、A B C D6已知函數(shù)滿足：定義域為R；，有；當時，則方程在區(qū)間內(nèi)的解個數(shù)是（ ） A20B12C11D107已知拋物線與雙曲線有相同的焦點F，點A是兩曲線的一個交點，且軸，若為雙曲線過一、三象限的一條漸近線，則的傾斜角所在的區(qū)間可能是（ ）A B C D8.下圖表示了一個由區(qū)間（0，1）到實數(shù)集R的映射過程：區(qū)間（0，1）中的實數(shù)m對應數(shù)軸上的點M，如圖1；將線段AB圍成一個圓，使兩端點A、B恰好重合，如圖2；再將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在y軸上，點A的坐標為（0，1），如圖3，圖3中直線AM與x軸交于點N（n,0），則 m的象就是n，記作 下列說法中正確的是( ) ； 是奇函

3、數(shù)； 在定義域上單調(diào)遞增； 的圖象關于點對稱AB CD第卷二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分將答案填在答題卷相應位置上）9若，且，則 10. 位于數(shù)軸原點的一只電子兔沿著數(shù)軸按下列規(guī)則移動：電子兔每次移動一個單位，移動的方向向左或向右，并且向左移動的概率為，向右移動的概率為，則電子兔移動五次后位于點的概率是 11已知函數(shù)，則= 12設有算法如右圖：如果輸入A=144, B=39,則輸出的結(jié)果是 . 13當n為正整數(shù)時，定義函數(shù)N (n)表示n的最大奇因數(shù)如N (3) = 3，N (10) = 5，記則（1） （2） （二）選做題（1415題，考生只能從中選做一題，兩題都選的只計算

4、14題的得分）14坐標系與參數(shù)方程選做題：已知曲線的極坐標方程是，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）設直線與軸的交點是，是曲線上一動點，則的最大值為 15幾何證明選講選做題：如圖，圓的直徑，為圓周上一點，過作圓的切線，過作直線的垂線，為垂足，與圓交于點，則線段的長為 三、解答題（本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟）16（本小題滿分13分）高三六校聯(lián)考數(shù)學第I卷中共有8道選擇題，每道選擇題有4個選項，其中只有一個是正確的；評分標準規(guī)定：“每題只選一項，答對得5分，不答或答錯得0分。”某考生每道題都給出一個答案，已確定有5道題的答案是正確的，而其余選擇題中，有1道題可判斷出兩

5、個選項是錯誤的，有一道可以判斷出一個選項是錯誤的，還有一道因不了解題意只能亂猜，試求出該考生：（1）得40分的概率 （2）得多少分的可能性最大？（3）所得分數(shù)的數(shù)學期望17（本小題滿分13分）如圖，實線部分的月牙形公園是由圓上的一段優(yōu)弧和圓上的一段劣弧圍成，圓和圓的半徑都是，點在圓上，現(xiàn)要在公園內(nèi)建一塊頂點都在圓上的多邊形活動場地（1）如圖甲，要建的活動場地為，求場地的最大面積；（2）如圖乙，要建的活動場地為等腰梯形，求場地的最大面積（第17題甲）DACBQPNMRSMNPQT（第17題乙）18（本小題滿分13分）如圖，已知正三棱柱的底面邊長是，是側(cè)棱的中點，直線與側(cè)面所成的角為 （）求此正三

6、棱柱的側(cè)棱長；（） 求二面角的余弦值；（）求點到平面的距離19. （本小題滿分14分）已知拋物線：和點，若拋物線上存在不同兩點、滿足（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，拋物線上是否存在異于、的點，使得經(jīng)過、三點的圓和拋物線在點處有相同的切線，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由20（本小題滿分13分）設數(shù)列是有窮等差數(shù)列，給出下面數(shù)表： 第1行 第2行 第行上表共有行，其中第1行的個數(shù)為，從第二行起，每行中的每一個數(shù)都等于它肩上兩數(shù)之和.記表中各行的數(shù)的平均數(shù)（按自上而下的順序）分別為（1）求證：數(shù)列成等比數(shù)列；（2）若，求和.21（本小題滿分14分）已知函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷，定義：，

7、其中，表示函數(shù)在上的最小值，表示函數(shù)在上的最大值若存在最小正整數(shù)，使得對任意的成立，則稱函數(shù)為上的“階收縮函數(shù)”（1）已知函數(shù)，試寫出，的表達式，并判斷是否為上的“階收縮函數(shù)”，如果是，請求對應的的值；如果不是，請說明理由；（2）已知，函數(shù)是上的2階收縮函數(shù)，求的取值范圍.高三試題（五）參考答案 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。題目12345678選項BCAABCDD二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共30分。9. 0.2 10 11. -2 12. 3 13. 86 ; 14. 15. 4 三、解答題：本大題共5題，前3小題14分，后2小題15分，共72分16、【解析

8、】（1）某考生要得得60分，必須全部8題做對，其余3題中，有一道做對的概率為，有一道題目做對的概率為，有一道做對的概率為，所以所得40分的概率為 4分（2）依題意，該考生得分的范圍為得25分做對了5題，其余3題都做錯了，所以概率為得30分是做對5題，其余3題只做對1題，所以概率為得35分是做對5題，其余3題做對2題，所以概率為得40分是做對8題，所以概率為所以得30分的可能性最大 10分（3）由（2）得的分布列為： 25 30 3540 P 所以 13分17、解：（1）如右圖，過S作SHRT于H，SRST= 2分由題意，RST在月牙形公園里，RT與圓Q只能相切或相離； 4分RT左邊的部分是一個

9、大小不超過半圓的弓形，則有RT4，SH2，當且僅當RT切圓Q于P時（如下左圖），上面兩個不等式中等號同時成立 此時，場地面積的最大值為SRST=4 6分（2）同(1)的分析，要使得場地面積最大，AD左邊的部分是一個大小不超過半圓的弓形，AD必須切圓Q于P，再設BPA=，則有8分令，則 9分若，又時，時，10分函數(shù)在處取到極大值也是最大值，故時，場地面積取得最大值為 12分18.（解：（）設正三棱柱的側(cè)棱長為取中點，連是正三角形，又底面?zhèn)让妫医痪€為側(cè)面連，則直線與側(cè)面所成的角為 在中，解得 此正三棱柱的側(cè)棱長為 注：也可用向量法求側(cè)棱長（）解法1：過作于，連，側(cè)面為二面角的平面角 在中，又，

10、又在中， 故二面角的大小為 解法2：（向量法，見后）（）解法1：由（）可知，平面,平面平面，且交線為，過作于，則平面 在中， 為中點，點到平面的距離為 解法2：（思路）取中點，連和，由，易得平面平面，且交線為過點作于，則的長為點到平面的距離解法3：（思路）等體積變換:由可求解法4：（向量法，見后）題（）、（）的向量解法：（）解法2：如圖，建立空間直角坐標系則設為平面的法向量由 得取 6分又平面的一個法向量 7分 結(jié)合圖形可知，二面角的大小為 （）解法4：由（）解法2， 點到平面的距離 19. 解法1：（1）不妨設A，B，且， ww，4分（），即，即的取值范圍為6分（2）當時，由（1）求得.的坐

11、標分別為. 假設拋物線上存在點（且），8分使得經(jīng)過.三點的圓和拋物線在點處有相同的切線設經(jīng)過.三點的圓的方程為， 則 整理得 9分函數(shù)的導數(shù)為，拋物線在點處的切線的斜率為，經(jīng)過.三點的圓在點處的切線 斜率為10分，直線的斜率存在圓心的坐標為， ，即 12分，由.消去，得 即，故滿足題設的點存在，其坐標為14分解法2：（1）設，兩點的坐標為，且。，可得為的中點，即2分顯然直線與軸不垂直，設直線的方程為，即，3分將代入中，得4分 故的取值范圍為 6分（2）當時，由（1）求得，的坐標分別為 假設拋物線上存在點（且），使得經(jīng)過.三點的圓和拋物線在點處有相同的切線 設圓的圓心坐標為， 即 8分解得 10

12、分拋物線在點處切線的斜率為，而，且該切線與垂直， 即12分將，代入上式，得 即 www.且，故滿足題設的點存在，其坐標為 14分20. 【解析】（1）由題設易知，設表中的第行的數(shù)為，顯然成等差數(shù)列，則它的第行的數(shù)是也成等差數(shù)列，它們的平均數(shù)分別是，于是.故數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列. 7分（2）由（1）知，故當時，于是 9分設，則得，化簡得，故.13分21、【解析】（1）由題意可得， 2分于是若是為上的“階收縮函數(shù)”，則在上恒成立，且成立.令,，則，所以在單調(diào)遞減，,，即，于是在恒成立;又成立故存在最小的正整數(shù)，使是為上的“階收縮函數(shù)” 6分（2）,令得或.令，解得或3. 函數(shù),的變化情況如下：020004 8分）時，