1、第1節(jié)直線方程與兩條直線的位置關(guān)系對應(yīng)學(xué)生書自學(xué)聽講P165課標(biāo)要求考向分析1.在平面直角坐標(biāo)系中,結(jié)合具體圖形,探索確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念,通過用代數(shù)方法刻畫直線斜率,掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計算公式.3.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.4.根據(jù)確定直線位置的幾何要素,探索并掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式).5.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).6.探索并掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式,會求兩條平行直線間的距離.1.直線的斜率、直線的方程、兩條直線的位置關(guān)系及距離公式是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容,一般不單獨(dú)命題,而是與圓、圓錐曲

2、線及導(dǎo)數(shù)的幾何意義、線性規(guī)劃等相關(guān)知識綜合考查. 2.確定兩條直線的位置關(guān)系,已知兩條直線的位置關(guān)系求參數(shù),求直線的交點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離,對稱問題,過定點(diǎn)的直線系問題一、直線的傾斜角與斜率1.直線的傾斜角(1)定義:當(dāng)直線l與x軸相交時,我們?nèi)軸作為基準(zhǔn),x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫作直線l的傾斜角.當(dāng)直線l與x軸平行或重合時,規(guī)定它的傾斜角為0°. (2)傾斜角的范圍為0°,180°). 2.直線的斜率(1)定義:一條直線的傾斜角2的正切值叫作這條直線的斜率,常用小寫字母k表示,即k=tan .傾斜角為90°的直線斜率不

3、存在. (2)范圍:全體實數(shù)R.(3)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式:經(jīng)過P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)兩點(diǎn)的直線的斜率公式為k= y2-y1x2-x1. 二、直線方程的五種形式名稱條件方程適用范圍點(diǎn)斜式斜率k與點(diǎn)(x1,y1)y-y1=k(x-x1)不含直線x=x1斜截式斜率k與直線在y軸上的截距by=kx+b不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式兩點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)y-y1y2-y1=x-x1x2-x1不含直線x=x1(x1=x2)和直線y=y1(y1=y2)截距式直線在x軸,y軸上的截距分別為a,bxa+yb=1不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一

4、般式Ax+By+C=0(A2+B20)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用三、兩條直線平行與垂直的判定1.兩條直線平行(1)對于兩條不重合的直線l1,l2,其斜率分別為k1,k2,則有l(wèi)1l2k1=k2.特別地,當(dāng)直線l1,l2的斜率都不存在時,亦有l(wèi)1l2.(2)對于直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.l1l2A1B2=A2B1且A1C2A2C1(或B1C2B2C1).2.兩條直線垂直(1)若兩條直線l1,l2的斜率存在,且分別為k1,k2,則l1l2k1·k2=-1.當(dāng)一條直線斜率為零,另一條直線斜率不存在時,兩條直線垂直. (2)對于直線l1:

5、A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1l2A1A2+B1B2=0. 3.一般地,與直線Ax+By+C=0平行的直線方程可設(shè)為Ax+By+m=0;與之垂直的直線方程可設(shè)為Bx-Ay+n=0.四、兩條直線相交直線l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)坐標(biāo)與方程組A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0的解一一對應(yīng).相交方程組有唯一解,交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解;平行方程組無解;重合方程組有無數(shù)組解.五、三種距離公式1.點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)間的距離|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2.2.點(diǎn)P(x0,y0)

6、到直線l:Ax+By+C=0的距離d=|Ax0+By0+C|A2+B2.3.兩條平行直線l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0(C1C2)間的距離d=|C1-C2|A2+B2.一、過點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線方程1.若x1=x2,且y1y2,則直線垂直于x軸,方程為x=x1;2.若x1x2,且y1=y2,則直線垂直于y軸,方程為y=y1;3.若x1=x2=0,且y1y2,則直線即為y軸,方程為x=0;4.若x1x2,且y1=y2=0,則直線即為x軸,方程為y=0.二、線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)P1,P2的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),且線段P1P2的

7、中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),則x=x1+x22,y=y1+y22,此公式為線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式.【概念辨析】判斷下列結(jié)論的正誤.(對的打“”,錯的打“×”)(1)根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置.()(2)若兩直線的方程組成的方程組有解,則兩直線相交.()(3)點(diǎn)P(x0,y0)到直線y=kx+b的距離為kx0+b1+k2.()(4)兩平行線間的距離是一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的距離,也可以看作是兩條直線上各取一點(diǎn)的最短距離.()(5)若點(diǎn)A,B關(guān)于直線l:y=kx+b(k0)對稱,則直線AB的斜率等于-1k,且線段AB的中點(diǎn)在直線l上.()答案(1)(2)×

8、(3)×(4)(5)解析(1)正確.直線的傾斜角僅反映直線相對于x軸的傾斜程度,不能確定直線的位置.(2)錯誤.當(dāng)方程組有唯一解時兩條直線相交,若方程組有無窮多個解,則兩條直線重合.(3)錯誤.應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式時必須將直線方程化為一般式,即點(diǎn)P到直線的距離為|kx0-y0+b|1+k2.(4)正確.兩平行線間的距離是夾在兩平行線間的公垂線段的長,即兩條直線上各取一點(diǎn)的最短距離.(5)正確.根據(jù)對稱性可知直線AB與直線l垂直且直線l平分線段AB,所以直線AB的斜率等于-1k,且線段AB的中點(diǎn)在直線l上.【基礎(chǔ)自測】1.(四川省綿陽市2020屆高三期末)直線y=-3x+1的傾斜角為

9、().A.30° B.60°C.120°D.150°答案C解析因為直線y=-3x+1的斜率為k=tan =-3,所以=120°.故選C.2.(江西省撫州市七校2020屆聯(lián)考)過點(diǎn)(2,1)且與直線3x-2y=0垂直的直線方程為().A.2x-3y-1=0B.2x+3y-7=0C.3x-2y-4=0D.3x+2y-8=0答案B解析設(shè)所求的直線方程為2x+3y+m=0,把點(diǎn)(2,1)的坐標(biāo)代入可得4+3+m=0,解得m=-7,可得所求的直線方程為2x+3y-7=0.故選B.3.若點(diǎn)P在直線3x+y-5=0上,且P到直線x-y-1=0的距離為2,則點(diǎn)

10、P的坐標(biāo)為().A.(1,2)B.(2,1)C.(1,2)或(2,-1)D.(2,1)或(-1,2)答案C解析設(shè)P(x,5-3x),則點(diǎn)P到直線x-y-1=0的距離d=x-(5-3x)-112+(-1)2=2,化簡得|4x-6|=2,即4x-6=±2,解得x=1或x=2,故P(1,2)或(2,-1).4.(2020屆廣州模擬)直線x-2y+1=0關(guān)于直線x=1的對稱直線的方程是().A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0 C.2x+y-3=0D.x+2y-3=0答案D解析在所求直線上任取一點(diǎn)P(x,y),其關(guān)于直線x=1的對稱點(diǎn)P'(2-x,y)在直線x-2y+1=0上,故

11、2-x-2y+1=0,即x+2y-3=0.故選D.【易錯檢測】5.(陜西省寶雞市2020屆高三模擬)若直線x+(1+m)y-2=0與直線mx+2y+4=0平行,則m的值是().A.1B.-2C.1或-2D.-32答案A解析當(dāng)m=-1時,兩直線分別為x-2=0和x-2y-4=0,此時兩直線相交,不合題意.當(dāng)m-1時,兩直線的斜率都存在,由直線平行可得-11+m=-m2,21+m-2,解得m=1.綜上,m=1.故選A.6.過點(diǎn)(-2,3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為. 答案x+y-1=0或3x+2y=0解析當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時,在兩坐標(biāo)軸上的截距均為0,符合題意,此時直線方程為3x+

12、2y=0.當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時,設(shè)直線的方程為x+y+c=0,將點(diǎn)(-2,3)代入得c=-1,此時直線的方程為x+y-1=0.綜上,符合題意的直線方程為x+y-1=0或3x+2y=0.對應(yīng)學(xué)生書自學(xué)聽講P166直線的傾斜角與斜率 (1)(重慶市2020屆高三模擬)直線x+ysin -1=0(R)的傾斜角的取值范圍是. (2)直線l過點(diǎn)P(1,0),且與以A(2,1),B(0,3)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn),則直線l斜率的取值范圍為. 分析(1)分別討論sin =0和sin 0的情況,求得直線的斜率,由正弦函數(shù)的值域,可得k的取值范圍,結(jié)合正切函數(shù)的圖象,得傾斜角的取值范圍.(2)畫

13、出圖形,數(shù)形結(jié)合得出斜率的取值范圍.答案(1)4,34(2)(-,-31,+)解析(1)若sin =0,則直線方程為x=1,直線的斜率不存在,傾斜角為2;若sin 0,則直線的斜率k=-1sin,由-1sin <0或0<sin 1,可得k1或k-1,由k=tan 為不等于2的傾斜角,可得4<2或2<34.綜上,傾斜角的取值范圍是4,34.(2)如圖,因為kAP=1-02-1=1,kBP=3-00-1=-3,所以直線l斜率的取值范圍為(-,-31,+).若將題(2)中P(1,0)改為P(-1,0),其他條件不變,求直線l斜率的取值范圍.解析P(-1,0),A(2,1),B

14、(0,3),kAP=1-02-(-1)=13,kBP=3-00-(-1)=3.由圖可知,直線l斜率的取值范圍為13,3.若將題(2)中點(diǎn)B的坐標(biāo)改為(2,-1),其他條件不變,求直線l傾斜角的取值范圍.解析P(1,0),A(2,1),B(2,-1),kPA=1,kPB=-1,直線PA,PB的傾斜角分別為4,34.結(jié)合圖象可知,直線l傾斜角的取值范圍是0,434,.1.求直線的傾斜角的取值范圍的一般步驟:(1)求出斜率k=tan 的取值范圍;(2)利用三角函數(shù)的單調(diào)性,借助圖象,確定傾斜角的取值范圍,求傾斜角時要注意斜率是否存在.2.斜率的求法:(1)定義法:若已知直線的傾斜角或的某種三角函數(shù)值

15、,一般根據(jù)k=tan 求斜率.(2)公式法:若已知直線上兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),一般根據(jù)斜率公式k=y2-y1x2-x1(x1x2)求斜率.【針對訓(xùn)練1】1.(2020屆年河南安陽模擬)若平面內(nèi)三點(diǎn)A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共線,則a=().A.1±2或0B.2-52或0C.2±52D.2+52或0答案A解析由題意知kAB=kAC,即a2+a2-1=a3+a3-1,即a(a2-2a-1)=0,解得a=0或a=1±2.2.(2020屆河北石家莊質(zhì)檢)直線x+(a2+1)y+1=0的傾斜角的取值范圍是().A.0,4B.34,C.0

16、,42,D.4,234,答案B解析由直線方程可得該直線的斜率為-1a2+1,又-1-1a2+1<0,所以直線的傾斜角的取值范圍是34,.直線的方程(1)(黑龍江省伊春市2020屆月考)已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(-2,5),且斜率為-34,則直線l的方程為().A.3x+4y-14=0B.3x-4y+14=0C.4x+3y-14=0D.4x-3y+14=0(2)(湖北省黃岡市2020屆高三調(diào)研)過點(diǎn)A(1,2)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,則該直線的方程為().A.y-x=1B.y+x=3C.2x-y=0或x+y=3D.2x-y=0或-x+y=1(3)(2020屆甘肅蘭州模擬)已知直線l過點(diǎn)P(

17、1,3),且與x軸的正半軸、y軸的正半軸所圍成的三角形的面積等于6,則直線l的方程是().A.3x+y-6=0B.x+3y-10=0C.3x-y=0D.x-3y+8=0分析(1)代入直線方程的點(diǎn)斜式,化簡整理即可.(2)當(dāng)直線過原點(diǎn)時,直線方程為y=2x,當(dāng)直線不過原點(diǎn)時,設(shè)直線的方程為x+y=k,把點(diǎn)(1,2)的坐標(biāo)代入直線的方程可得k值,即得所求的直線方程.(3)由題意,將直線l的方程設(shè)為截距式,根據(jù)題設(shè)條件求出直線在x軸、y軸的截距.答案(1)A(2)C(3)A解析(1)直線l經(jīng)過點(diǎn)P(-2,5),且斜率為-34,則y-5=-34(x+2),即3x+4y-14=0.故選A.(2)當(dāng)直線過

18、原點(diǎn)時,直線方程為y=2x,即2x-y=0.當(dāng)直線不過原點(diǎn)時,設(shè)直線的方程為x+y=k,把點(diǎn)(1,2)的坐標(biāo)代入直線的方程可得k=3,故直線方程是x+y-3=0.綜上,所求的直線方程為2x-y=0或x+y-3=0.故選C.(3)設(shè)直線l的方程為xa+yb=1(a>0,b>0).由題意得1a+3b=1,12ab=6,解得a=2,b=6.故直線l的方程為x2+y6=1,即3x+y-6=0.故選A.在求直線方程時,應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式,并注意各種形式的適用條件.若采用截距式,應(yīng)注意分類討論,判斷截距是否為零;若采用點(diǎn)斜式,應(yīng)先考慮斜率不存在的情況. 【針對訓(xùn)練2】1.傾斜角為12

19、0°,在x軸上的截距為-1的直線方程是().A.3x-y+1=0B.3x-y-3=0C.3x+y-3=0D.3x+y+3=0答案D解析由于直線的傾斜角為120°,故斜率k=-3.又直線過點(diǎn)(-1,0),所以直線方程為y=-3(x+1),即3x+y+3=0.故選D.2.已知ABC的三個頂點(diǎn)分別為A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求:(1)BC邊所在直線的方程;(2)BC邊上中線AD所在直線的方程; (3)BC邊的垂直平分線DE的方程.解析(1)因為直線BC經(jīng)過B(2,1)和C(-2,3)兩點(diǎn),所以BC的方程為y-13-1=x-2-2-2,即x+2y-4=0.(2)

20、設(shè)BC邊的中點(diǎn)D(x,y),則x=2-22=0,y=1+32=2.BC邊上的中線AD過A(-3,0),D(0,2)兩點(diǎn),所在直線方程為x-3+y2=1,即2x-3y+6=0.(3)由(1)知,直線BC的斜率k1=-12,則直線BC的垂直平分線DE的斜率k2=2.故所求直線方程為y-2=2(x-0),即2x-y+2=0.3.(江西南昌2020屆月考)已知直線l:kx-y+1+2k=0(kR).(1)證明:直線l過定點(diǎn).(2)若直線l不經(jīng)過第四象限,求k的取值范圍.解析(1)直線l的方程可化為y=k(x+2)+1,故無論k取何值,直線l總過定點(diǎn)(-2,1).(2)直線l的方程為y=kx+2k+1,

21、則直線l在y軸上的截距為2k+1,要使直線l不經(jīng)過第四象限,則k0,1+2k0,解得k0,故k的取值范圍是0,+).兩條直線的位置關(guān)系(1)(2020屆重慶模擬)已知直線l1:mx+(m-3)y+1=0,直線l2:(m+1)x+my-1=0,若l1l2則m=().A.0或1B.1C.-32D.0或-32(2)(安徽省淮南市2020屆模擬)設(shè)R,則“=-3”是“直線2x+(-1)y=1與直線6x+(1-)y=4平行”的().A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件分析(1)根據(jù)直線垂直的充要條件,列出等式求解,即可得出結(jié)果.(2)當(dāng)=-3時,兩條直線是平行的,但是

22、若兩直線平行,則=-3或=1,從而可得兩者之間的關(guān)系.答案(1)A(2)A解析(1)因為直線l1:mx+(m-3)y+1=0與直線l2:(m+1)x+my-1=0垂直,所以m(m+1)+m(m-3)=0,即m(m-1)=0,解得m=0或m=1.故選A.(2)當(dāng)=-3時,兩條直線的方程分別為6x+4y+1=0和3x+2y-2=0,此時兩條直線平行;若兩條直線平行,則2(1-)=6(-1),解得=-3或=1.經(jīng)檢驗,兩者均符合.綜上,“=-3”是“直線2x+(-1)y=1與直線6x+(1-)y=4平行” 的充分不必要條件.(1)當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時,不僅要考慮到斜率存在的一般情況,也要考慮到

23、斜率不存在的特殊情況.同時還要注意x,y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件.(2)在判斷兩直線平行、垂直時,常直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論:“直線A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0平行”的充要條件是“A1B2=A2B1且A1C2A2C1”,“兩直線垂直”的充要條件是“A1A2+B1B2=0”.【針對訓(xùn)練3】1.(四川省2020屆模擬)已知直線l1:ax+y+2=0,直線l2:x+y=0,若l1l2,則a=. 答案-1解析l1l2,1×a+1×1=0,解得a=-1.2.已知過點(diǎn)A(-2,m)和點(diǎn)B(m,4)的直線為l1,直線2x+y-1=0為l

24、2,直線x+ny+1=0為l3.若l1l2,l2l3,則m+n的值為().A.-10B.-2C.0D.8答案A解析l1l2,4-mm+2=-2(m-2),解得m=-8(經(jīng)檢驗,l1與l2不重合).l2l3,2×1+1×n=0,解得n=-2,m+n=-10.兩直線的交點(diǎn)與距離問題(1)經(jīng)過兩直線l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交點(diǎn)P,且與直線l3:3x-4y+5=0垂直的直線l的方程為.  (2)(江蘇省揚(yáng)州市2020屆高三檢測)若直線l1:x-2y+4=0與l2:mx-4y+3=0平行,則兩平行直線l1,l2間的距離為. (3)(遼寧省葫蘆

25、島市2020屆高三模擬)當(dāng)點(diǎn)P(3,2)到直線mx-y+1-2m=0的距離最大時,m的值為().A.3B.0C.-1D.1分析(1)聯(lián)立直線l1和l2的方程求得兩直線的交點(diǎn),由直線l與直線l3垂直可得直線l的斜率,代入點(diǎn)斜式可求得直線l的方程.(2)利用兩條直線平行的性質(zhì)求得m的值,再利用兩條平行直線間的距離公式,求得結(jié)果.(3)求得直線所過的定點(diǎn)Q,當(dāng)PQ和直線垂直時,距離取得最大值,根據(jù)斜率乘積等于-1列方程,由此求得m的值.答案(1)4x+3y-6=0(2)52(3)C解析(1)由方程組x-2y+4=0,x+y-2=0得x=0,y=2,即P(0,2).因為ll3,所以直線l的斜率k=-4

26、3,所以直線l的方程為y-2=-43x,即4x+3y-6=0.(2)若直線l1:x-2y+4=0與l2:mx-4y+3=0平行,則有m1=-4-234,求得m=2,兩直線即 l1:2x-4y+8=0與l2:2x-4y+3=0,則兩平行直線l1,l2間的距離為 |8-3|22+(-4)2=52.(3)直線mx-y+1-2m=0可化為y=m(x-2)+1,故直線過定點(diǎn)Q(2,1),當(dāng)PQ和直線垂直時,距離取得最大值,故m·kPQ=m·2-13-2=m·1=-1,得m=-1.故選C.1.求兩直線的交點(diǎn),即解由兩直線方程聯(lián)立組成的方程組,得到的方程組的解,即交點(diǎn)的坐標(biāo).2

27、.求過兩直線交點(diǎn)的直線方程,先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo),再結(jié)合其他條件寫出直線方程.也可借助直線系方程,利用待定系數(shù)法求出直線方程,這樣能簡化解題過程.3.兩種距離的求解:(1)點(diǎn)到直線的距離,可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式來求,但要注意此時直線方程必須為一般式.(2)兩平行線間的距離的求法:利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離.利用兩平行線間的距離公式(利用公式前需把兩平行線方程中x,y的系數(shù)化為相同的形式).【針對訓(xùn)練4】1.(2020屆安慶模擬)若直線l1:x+3y+m=0(m>0)與直線l2:2x+6y-3=0的距離為10,則m=().A

28、.7B.172C.14D.17答案B解析直線l1:x+3y+m=0(m>0),即2x+6y+2m=0,因為它與直線l2:2x+6y-3=0的距離為10,所以|2m+3|4+36=10,求得m=172.故選B.2.(2020屆常德月考)已知點(diǎn)M是直線x+3y=2上的一個動點(diǎn),且P(3,-1),則|PM|的最小值為().A.12B.1C.2D.3答案B解析|PM|的最小值即為點(diǎn)P(3,-1)到直線x+3y=2的距離,又|3-3-2|1+3=1,故|PM|的最小值為1.故選B.3.(2020屆山西臨汾模擬)設(shè)直線l1:x-2y+1=0與直線l2:mx+y+3=0的交點(diǎn)為A,P,Q分別為l1,l

29、2上的點(diǎn),M為PQ的中點(diǎn).若|AM|=12|PQ|,則m的值為().A.2B.-2C.3D.-3答案A解析在APQ中,M為PQ的中點(diǎn),且|AM|=12|PQ|,APQ為直角三角形,且PAQ=90°,l1l2,1×m+(-2)×1=0,解得m=2.故選A.對稱問題已知直線l:2x-3y+1=0,點(diǎn)A(-1,-2).求:(1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A'的坐標(biāo);(2)直線m:3x-2y-6=0關(guān)于直線l的對稱直線m'的方程;(3)直線l關(guān)于點(diǎn)A對稱的直線l'的方程.解析(1)設(shè)A'(x,y),則y+2x+1·23=-1,2

30、15;x-12-3×y-22+1=0,解得x=-3313,y=413,即A'-3313,413.(2)在直線m上取一點(diǎn),如M(2,0),則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)必在m'上.設(shè)對稱點(diǎn)為M'(a,b),則2×a+22-3×b+02+1=0,b-0a-2×23=-1,解得a=613,b=3013,即M'613,3013.設(shè)m與l的交點(diǎn)為N,則由2x-3y+1=0,3x-2y-6=0,得N(4,3).又m'經(jīng)過點(diǎn)N(4,3),由兩點(diǎn)式得直線m'的方程為9x-46y+102=0.(3)(法一)在l:2x-3y

31、+1=0上任取兩點(diǎn),如P(1,1),N(4,3),則P,N關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)P',N'均在直線l'上.易知P'(-3,-5),N'(-6,-7),由兩點(diǎn)式可得l'的方程為2x-3y-9=0.(法二)設(shè)Q(x,y)為l'上任意一點(diǎn),則Q(x,y)關(guān)于點(diǎn)A(-1,-2)的對稱點(diǎn)為Q'(-2-x,-4-y),點(diǎn)Q'在直線l上,2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,即2x-3y-9=0.(河北省保定市2020屆高三模擬)設(shè)P為直線l:x+y-4=0上的動點(diǎn),點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),則|PA|+|PB|的最小值為().A.2

32、10B.26C.25D.10分析設(shè)點(diǎn)B(2,0)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為B1(a,b),由對稱性列方程組求得B1(4,2),利用對稱性可得|PA|+|PB|=|PA|+|PB1|,結(jié)合圖象知,當(dāng)A,P,B1三點(diǎn)共線時,|PA|+|PB|最小.答案A解析依據(jù)題意作出圖象如下:設(shè)點(diǎn)B(2,0)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為B1(a,b),則它們的中點(diǎn)坐標(biāo)為a+22,b2,由對稱性可得b-0a-2×(-1)=-1,a+22+b2-4=0,解得a=4,b=2,所以B1(4,2).因為|PA|+|PB|=|PA|+|PB1|,所以當(dāng)A,P,B1三點(diǎn)共線時,|PA|+|PB|最小,此時最小值為|AB1|=(4

33、+2)2+(2-0)2=210.故選A.常見對稱問題的求解方法:(1)中心對稱:點(diǎn)P(x,y)關(guān)于Q(a,b)的對稱點(diǎn)P'(x',y')滿足x'=2a-x,y'=2b-y.直線關(guān)于點(diǎn)的對稱問題可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱問題來解決.(2)軸對稱:點(diǎn)E(a,b)關(guān)于直線Ax+By+C=0(AB0)的對稱點(diǎn)為E'(m,n),則有n-bm-a×-AB=-1,A·a+m2+B·b+n2+C=0.直線關(guān)于直線的對稱問題可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題來解決.【針對訓(xùn)練5】1.(廣東省廣州市2020屆高三測試)已知點(diǎn)A與點(diǎn)B(1,2)關(guān)于

34、直線x+y+3=0對稱,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為().A.(3,4)B.(4,5)C.(-4,-3)D.(-5,-4)答案D解析設(shè)A(x,y),則x+12+y+22+3=0,y-2x-1·(-1)=-1,解得x=-5,y=-4.故選D.2.(2020屆襄陽月考)已知直線y=2x是ABC中C的平分線所在的直線,若點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是(-4,2),(3,1),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為().A.(-2,4)B.(-2,-4)C.(2,4)D.(2,-4)答案C解析設(shè)A(-4,2)關(guān)于直線y=2x的對稱點(diǎn)為(x1,y1),則y1-2x1+4×2=-1,y1+22=2×-4+x12,解得x1=

35、4,y1=-2,即對稱點(diǎn)為(4,-2).所以直線BC所在的方程為y-1=-2-14-3(x-3),即3x+y-10=0.聯(lián)立3x+y-10=0,y=2x,解得x=2,y=4,可得C(2,4).數(shù)學(xué)抽象妙用直線系求直線方程數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段,借助運(yùn)算方法,可以使問題得到有效的解決,更可以促進(jìn)學(xué)生思維方法的形成.在研究直線方程的過程中,兩直線平行、垂直與相交,其系數(shù)間存在著某些關(guān)系,若據(jù)此規(guī)律,根據(jù)已知直線方程,妙設(shè)待求直線方程,能夠使得問題的求解大大簡化.求與直線3x+4y+1=0平行且過點(diǎn)(1,2)的直線l的方程.解析依題意,設(shè)所求直線方程為3x+4y+C1=0(C11),因為直

36、線過點(diǎn)(1,2),所以3×1+4×2+C1=0,解得C1=-11.因此,所求直線方程為3x+4y-11=0.求經(jīng)過點(diǎn)A(2,1),且與直線2x+y-10=0垂直的直線l的方程.解析因為所求直線與直線2x+y-10=0垂直,所以設(shè)該直線方程為x-2y+C1=0,又直線過點(diǎn)(2,1),所以有2-2×1+C1=0,解得C1=0,所以所求直線方程為x-2y=0.求經(jīng)過直線l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交點(diǎn),且垂直于直線l3:3x-5y+6=0的直線l的方程.解析將直線l1,l2的方程聯(lián)立,得3x+2y-1=0,5x+2y+1=0,解得x=-1,y=2

37、,即直線l1,l2的交點(diǎn)為(-1,2).由題意得直線l3的斜率為35,又直線ll3,所以直線l的斜率為-53,則直線l的方程是y-2=-53(x+1),即5x+3y-1=0.【突破訓(xùn)練】1.過點(diǎn)M(-3,2),且與直線x+2y-9=0平行的直線方程是().A.2x-y+8=0B.x-2y+7=0C.x+2y+4=0D.x+2y-1=0答案D解析由題意,設(shè)所求直線方程為x+2y+c=0,將M(-3,2)代入,解得c=-1,所以所求直線方程為x+2y-1=0.故選D.2.已知ABC的頂點(diǎn)A(5,1),AB邊上的中線CM所在直線的方程為2x-y-5=0,AC邊上的高BH所在直線的方程為x-2y-5=

38、0,求直線BC的方程.解析依題意知kAC=-2,A(5,1),所以直線AC的方程為2x+y-11=0,聯(lián)立直線AC和直線CM的方程,得2x+y-11=0,2x-y-5=0,所以C(4,3).設(shè)B(x0,y0),AB的中點(diǎn)M為x0+52,y0+12,代入2x-y-5=0,得2x0-y0-1=0,所以2x0-y0-1=0,x0-2y0-5=0,所以B(-1,-3),所以kBC=65,所以直線BC的方程為y-3=65(x-4),即6x-5y-9=0.對應(yīng)高效訓(xùn)練P77基礎(chǔ)打磨1.(2020屆陜西師大附中月考)若AB>0,且BC<0,則直線Ax+By+C=0不經(jīng)過的象限是().A.第一象限

39、B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案C解析直線Ax+By+C=0的斜率k=-AB<0,在y軸上的截距為-CB>0,所以直線不經(jīng)過第三象限.2.(貴州省凱里市2020屆高三模擬)已知直線l1:3x+4y+5=0,l2:6x+8y-15=0,則兩條直線之間的距離為().A.4B.2C.52D.5答案C解析因為l2:3x+4y-152=0,所以d=5+15232+42=52.故選C.3.(2020屆天津九校聯(lián)考)“m=2”是“直線l1:mx+4y-6=0與直線l2:x+my-3=0平行”的().A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案D解析若直線l

40、1:mx+4y-6=0與直線l2:x+my-3=0平行,則m2=4,m=±2.當(dāng)m=2時,直線l1:2x+4y-6=0與直線l2:x+2y-3=0重合,舍去.所以“直線l1:mx+4y-6=0與直線l2:x+my-3=0平行”等價于“m=-2”.所以“m=2”是“直線l1:mx+4y-6=0與直線l2:x+my-3=0平行”的既不充分也不必要條件.故選D.4.(本題為多項選擇題)下列說法正確的是().A.直線x-y-2=0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2B.點(diǎn)(0,2)關(guān)于直線y=x+1的對稱點(diǎn)為(1,1)C.過(x1,y1),(x2,y2)兩點(diǎn)的直線方程為y-y1y2-y1=x-x

41、1x2-x1D.經(jīng)過點(diǎn)(1,1)且在x軸和y軸上的截距相等的直線方程為x+y-2=0答案AB解析A項中,直線在坐標(biāo)軸上的截距分別為2,-2,所以圍成三角形的面積是2,所以A正確;B項中,點(diǎn)0+12,2+12在直線y=x+1上,且(0,2),(1,1)連線的斜率為-1,所以B正確;C選項需要滿足條件y2y1且x2x1,故C錯誤;D選項錯誤,還有一條截距都為0的直線y=x.5.(本題為多項選擇題)若直線過點(diǎn)A(1,2),且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等,則直線l的方程可能為().A.x-y+1=0B.x+y-3=0C.2x-y=0D.x-y-1=0答案ABC解析當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時,斜率為k=2-01-

42、0=2,所求的直線方程為y=2x,即2x-y=0;當(dāng)直線不過原點(diǎn)時,設(shè)所求的直線方程為x±y=k,把點(diǎn)A(1,2)的坐標(biāo)代入可得1-2=k或1+2=k,解得k=-1或k=3,故所求的直線方程為x-y+1=0或x+y-3=0.綜上所述,所求的直線方程為2x-y=0或x-y+1=0或x+y-3=0.故選ABC.6.(2020屆平頂山統(tǒng)考)已知點(diǎn)A(1,-2),B(m,2),若線段AB的垂直平分線的方程是x+2y-2=0,則實數(shù)m的值為().A.-2B.-7C.3D.1答案C解析因為A(1,-2)和B(m,2)的中點(diǎn)1+m2,0在直線x+2y-2=0上,所以1+m2+2×0-2=

43、0,所以m=3.7.(吉林省長春市2020屆模擬)設(shè) ABC的一個頂點(diǎn)是A(-3,1),B,C的角平分線方程分別為x=0,y=x,則直線BC的方程為().A.y=2x+5B.y=2x-5C.y=3x+5D.y=12x+52答案B解析B,C的角平分線分別是直線x=0,y=x,AB與BC關(guān)于直線x=0對稱,AC與BC關(guān)于直線y=x對稱.A(-3, 1)關(guān)于直線x=0的對稱點(diǎn)A'(3,1)在直線BC上,點(diǎn)A關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)A(1,-3)也在直線BC上.由兩點(diǎn)式得所求直線BC的方程為y=2x-5.故選B.8.(2020屆西安模擬)設(shè)mR,過定點(diǎn)A的動直線x+my=0和過定點(diǎn)B的動直線mx

44、-y-m+3=0交于點(diǎn)P(x,y)(點(diǎn)P與點(diǎn)A,B不重合),則PAB面積的最大值是().A.25 B.5C.52 D.5答案C解析由題意可知動直線x+my=0過定點(diǎn)A(0,0).動直線mx-y-m+3=0m(x-1)+3-y=0,因此直線過定點(diǎn)B(1,3).當(dāng)m=0時,兩條直線分別為x=0,y=3,交點(diǎn)P(0,3),SPAB=12×1×3=32.當(dāng)m0時,兩條直線的斜率分別為-1m,m,而-1m·m=-1,因此兩條直線相互垂直.當(dāng)|PA|=|PB|時,PAB的面積取得最大值.由2|PA|=|AB|=12+32=10,解得|PA|=5.所以SPAB=12|PA|2=

45、52.綜上,PAB面積的最大值是52.能力拔高9.(2020屆合肥調(diào)研)設(shè)l1為曲線f(x)=ex+x(e為自然對數(shù)的底數(shù))的切線,直線l2的方程為2x-y+3=0,且l1l2,則直線l1與l2的距離為. 答案255解析由f(x)=ex+x,得f'(x)=ex+1,設(shè)l1與曲線f(x)=ex+x相切的切點(diǎn)為(x1,y1),直線l2的方程為2x-y+3=0,且l1l2,ex1+1=2,解得x1=0,y1=1,則直線l1與l2的距離即為切點(diǎn)到l2的距離,即|2×0-1+3|22+(-1)2=255.10.(2020屆信陽調(diào)研)已知直線m:2x-y-3=0與直線n:x+y

46、-3=0的交點(diǎn)為P.(1)若直線l過點(diǎn)P,且點(diǎn)A(1,3)和點(diǎn)B(3,2)到直線l的距離相等,求直線l的方程;(2)若直線l1過點(diǎn)P且與x軸和y軸的正半軸分別交于C,D兩點(diǎn),CDO的面積為4,求直線l1的方程.解析(1)由2x-y-3=0,x+y-3=0,得x=2,y=1,即交點(diǎn)P(2,1).由直線l與A,B的距離相等可知,lAB或l過AB的中點(diǎn).由lAB得kl=kAB=2-33-1=-12,所以直線l的方程為y-1=-12(x-2),即x+2y-4=0.由l過AB的中點(diǎn)得l的方程為x=2.綜上可得,直線l的方程為x+2y-4=0或x=2.(2)由題可知直線l1的橫、縱截距a,b存在,且a&g

47、t;0,b>0,則l1:xa+yb=1.又直線l1過點(diǎn)(2,1),CDO的面積為4,所以2a+1b=1,12ab=4,解得a=4,b=2,故直線l1的方程為x4+y2=1,即x+2y-4=0.思維拓展11.(2020屆杭州質(zhì)檢)已知m,n,a,bR,且滿足3m+4n=6,3a+4b=1,則(m-a)2+(n-b)2的最小值為().A.3 B.2C.1D.12答案C解析(m,n)為直線3x+4y=6上的動點(diǎn),(a,b)為直線3x+4y=1上的動點(diǎn),(m-a)2+(n-b)2的最小值可理解為兩動點(diǎn)間距離的最小值,顯然最小值是兩平行線間的距離,所以d=|6-1|9+16=1.故選C.12.(安

48、徽省淮南市2020屆高三模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn)P(x,y),定義OP=|x|+|y|,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),對于下列結(jié)論:(1)符合OP=2的點(diǎn)P的軌跡圍成的圖形面積為8;(2)設(shè)點(diǎn)P是直線3x+2y-2=0上任意一點(diǎn),則OPmin=1;(3)設(shè)點(diǎn)P是直線y=kx+1(kR)上任意一點(diǎn),則“使得OP最小的點(diǎn)P有無數(shù)個”的充要條件是“k=1”;(4)設(shè)點(diǎn)P是圓x2+y2=2上任意一點(diǎn),則OPmax=2.其中正確結(jié)論的序號為().A.(1)(2)(3)B.(1)(3)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)(4)答案D解析(1)由OP=2,根據(jù)新定義得|x|+|y|=2,畫出圖象如圖所示.

49、可得點(diǎn)P的軌跡圍成的圖形是邊長為22的正方形,面積等于8,故(1)正確.(2)P(x,y)為直線3x+2y-2=0上任一點(diǎn),可得y=1-32x,可得|x|+|y|=|x|+1-32x,當(dāng)x0時,OP=1-1+32x1;當(dāng)0<x<23時,OP=1+1-32x1,23;當(dāng)x23時,可得OP=-1+1+32x23.綜上可得OP的最小值為1,故(2)正確.(3)|x|+|y|x+y|=|(k+1)x+1|,當(dāng)k=-1時,|x|+|y|1|=1,滿足題意;而|x|+|y|x-y|=|(1-k)x-1|,當(dāng)k=1時,|x|+|y|-1|=1,滿足題意.“使得OP最小的點(diǎn)P有無數(shù)個”的充要條件是

50、“k=±1”,故(3)錯誤.(4)點(diǎn)P是圓x2+y2=2上任意一點(diǎn),則可設(shè)x=2cos ,y=2sin ,0,2),OP=|x|+|y|=2(cos +sin )=2sin+4,0,2,OPmax=2,故(4)正確.則正確的結(jié)論有(1)(2)(4).故選D.第2節(jié)圓的方程對應(yīng)學(xué)生書自學(xué)聽講P170課標(biāo)要求考向分析回顧確定圓的幾何要素,在平面直角坐標(biāo)系中,探索并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程求圓的方程,利用圓的性質(zhì)求解最值一、圓的定義、方程定義平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合(軌跡)標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)圓心:(a,b),半徑:r一般方程x2+y2+D

51、x+Ey+F=0,即x+D22+y+E22=D2+E2-4F4(D2+E2-4F>0)圓心:-D2,-E2,半徑:12D2+E2-4F二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)M(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關(guān)系:1.若點(diǎn)M(x0,y0)在圓外,則(x0-a)2+(y0-b)2>r2; 2.若點(diǎn)M(x0,y0)在圓上,則(x0-a)2+(y0-b)2=r2; 3.若點(diǎn)M(x0,y0)在圓內(nèi),則(x0-a)2+(y0-b)2<r2. 已知A(x1,y1),B(x2,y2),則以AB為直徑的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-

52、y2)=0. 【概念辨析】判斷下列結(jié)論的正誤.(對的打“”,錯的打“×”)(1)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(tR)表示圓心為(a,b),半徑為t的圓.()(2)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓心為-a2,-a,半徑為12-3a2-4a+4的圓.()(3)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是A=C0,B=0,A(D2+E2-4AF)>0.()(4)若點(diǎn)M(x0,y0)在圓x2+y2 +Dx+Ey+F=0外,則x02+y02 +Dx0 +Ey0+F>0.()答案(1)×(2)×(3)(4

53、)解析(1)錯誤.當(dāng)t0時,方程表示圓心為(-a,-b),半徑為|t|的圓.(2)錯誤.當(dāng)a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,即-2<a<23時,方程才表示圓.(3)正確.當(dāng)A=C0,B=0,A(D2+E2-4AF)>0時,方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓,反之也成立.(4)正確.因為點(diǎn)M(x0,y0)在圓外,所以x0+D22+y0+E22>D2+E2-4F4,即x02+y02+Dx0+Ey0+F>0.【基礎(chǔ)自測】1.(2020屆山西省太原市高三模擬)若圓x2+y2+2x-2y+F=0的半徑為1,則F=. 答案1解析圓的

54、半徑為D2+E2-4F4=4+4-4F4=1,解得F=1.2.(陜西省榆林市2020屆模擬)已知圓C的圓心在y軸上,且過點(diǎn)A(4,4),B(-4,0),則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是. 答案x2+(y-2)2=20解析A(4,4),B(-4,0)的中點(diǎn)為(0,2),圓C的圓心在y軸上,C(0,2).設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-2)2=r2,將A(4,4)代入得r2=20,故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-2)2=20.3.若點(diǎn)(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內(nèi)部,則實數(shù)a的取值范圍是().A.-1<a<1B.0<a<1C.a>1或a<-1D.a=&

55、#177;1答案A解析因為點(diǎn)(1,1)在圓的內(nèi)部,所以(1-a)2+(1+a)2<4,所以-1<a<1.4.(山東省濱州市2020屆模擬)已知點(diǎn)O(0,0),A(0,2),M是圓(x-3)2+(y+1)2=4上的動點(diǎn),則OAM面積的最小值為().A.1B.2C.3D.4答案A解析如圖所示,由幾何圖形易知,當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,-1)時,OAM的面積取最小值,最小值為12×2×1=1.【易錯檢測】5.(2020屆合肥高三質(zhì)檢)以A(-2,1),B(1,5)為半徑兩端點(diǎn)的圓的方程是().A.(x+2)2+(y-1)2=25B.(x-1)2+(y-5)2=25C.

56、(x+2)2+(y-1)2=25或(x-1)2+(y-5)2=25D.(x+2)2+(y-1)2=5或(x-1)2+(y-5)2=5答案C解析根據(jù)條件知,所求圓的圓心為A(-2,1)或B(1,5),半徑為A,B兩點(diǎn)間的距離,根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得到|AB|=(-2-1)2+(1-5)2=5.根據(jù)圓心和半徑得到圓的方程為(x+2)2+(y-1)2=25或(x-1)2+(y-5)2=25.6.(2020屆甘肅蘭州模擬)已知點(diǎn)A是直角三角形ABC的直角頂點(diǎn),且A(2a,2),B(-4,a),C(2a+2,2),則ABC外接圓的方程是().A.x2+(y-3)2=5B.x2+(y+3)2=5C.(x-3)2+y2=5 D.(x+3)2+y2=5答案D解析由題意,得2a=-4,a=-2,ABC外接圓的半徑為|BC|