1、初等數學最值問題的常用解法 隴東學院數學系 06級本科（2）班 王建龍 指導老師：陳克斌【摘要】最值問題在初等數學中占有重要地位，它分布在代數、三角、幾何學科之中，內容豐富，題型千變萬化，解法也靈活多變，具有較強的的靈活性和技巧性。就最值問題的常用方法和一般技能進行系統的總結，從而提高學生綜合接替的能力，同時培養學生思維的敏捷性和深刻性?！娟P鍵字】最大值 最小值 函數單調性法一、引言最值問題是在生產和日常生活中常會遇到的一類特殊的數學問題，它涉及到初等數學知識的各個方面，解決這類問題往往需要綜合運用各種技巧，靈活選擇的解題途徑和方法。對學生考查的角度來看，求最值問題是一個綜合能力的考查；從內容

2、來看它涉及到：不等式的性質、參數方程、函數的單調性等等；從方法上來說，它涉及到：代數式的變形與變換、數形結合、不等式法、換元法、導數法、分類討論、內容與方法上的轉換等；從能力角度來說，它要求學生有一定的分析能力、解決問題的能力。二、主要內容下面對求最值問題的常用方法進行總結并舉例說明，利用各類型的典型例題，分析求最值問題的解題思路，以揭示其中的特征和規律。(一) 配方法 二次函數（為常數且 ）其性質中有若當時，有最小值。利用配方法將二次函數的一般式化為頂點式，利用二次函數的有關性質解決問題。它主要用于二次函數或可化為二次函數的函數。在解題過程中要特別注意自變量的取值范圍。 例1、的三個內角為，

3、求當為何值時，取得最大值，并求出最大值。 解：由，得 所以有 當，即時，取得最大值. 評注：此類題解法關鍵在于配方法，將二次函數一般是化為頂點式，同時要考慮定點的橫坐標的值是否落在定義域內，否則考慮函數的單調性。（二）函數的單調性法一次函數的增減性一次函數的自變量的取值范圍是全體實數，圖像時一條直線，因而沒有最值；但當時，則一次函數的圖像時一條線段，根據一次函數的增減性，就有最值。 （2）先判定函數在給定區間上的單調性，然后依據單調性求函數的最值，一般適用于抽象函數。 例2、如圖，在中，. 現將分別以、所在的直線圍軸旋轉一周，設三個旋轉體的體積為。 (1)試用、表示; (2)當為定值時，并令時

4、，將表示的函數，寫出函數的定義域，并求這個函數的最大值； （3）當在內變化時，求的最大值。 解：（1）設的、邊上的高分別為、， 則， ， （2） ，即 為所求函數， 又并且僅當時取等號，由正弦定理 所求函數的定義域為 函數關于遞增 （當時）（3）在內變化時，函數關于遞減當時， 評注：這個代數、三角、立體幾何三結合的綜合題，應本著步步為營的原則，把它化為若干小題后各個擊破。求極值列出函數關系式是關鍵，對參數的認識是個難點，利用的單調性求極值是技巧。 （三）換元法 利用換元法解數學題的關鍵在于選擇適當的輔助元，引進適當的代換，不僅比較容易找到解題思路。而且常使問題簡單化，用換元法時，要特別注意中間

5、變量的取值范圍。例3、 設、滿足，當、各取什么值時，達到最大值，并求出最大值。解：設，則，代入已知等式得：，當，即或時，即、時，取得最大值評注：本題通過換元變形為含正弦函數的解析式，再利用正弦函數的值域來求最大值。 （四）判別式法 它是利用根的判別式的意義，通過變形得到系數是與常數的關于的一元二次方程后，得出系數的取值范圍。主要適用于可化為關于的二次方程的函數，當的范圍是時，僅考慮即可，當的取值范圍非時，還需要結合圖像求最值。例4、 求函數的最值。 解法1：函數的定義域為 ，當且僅當時等號成立，所以當時， 另一方面，原式可化為 即 由，所以 但，所以 即函數的最小值為，最大值為 評注：這是無理

6、函數的最值問題，采用了平方方法，通過求最值，自變量的范圍制約著最小值的求得。另外考慮到根號式子的特點，用換元法來解可有如下更簡單的解法。解法2：設則所以當，當時，（五）不等式法掌握和靈活運用，這一類型的基本不等式，在求一些函數最值問題時通常十分便捷，在解題時務必注意考慮利用不等式求最值的三個條件限制：、；等號當且僅當，時成立；、必須是一定值。例5、 若，且，求的最小值解：由，則當且僅當，即時取等號故當時，取得最小值9評注：表面上看本題不能使用基本不等式，但只要稍留心便能從兩個分母中發現“名堂”，一個分母是，另一個分母是，兩數之積正好為“1”，于是巧乘得“1”便可利用基本不等式。其實，即便不是“

7、1”也可類似處理，只是式子前面要多乘一個系數。三、結束語前面通過實例，分析了解決最值問題的多種常用方法，雖然是分開敘說的，但它們并非是單獨無聯系的。在解決問題時，應該在掌握各種方法的基礎上，要會比較各種對某具體問題的優劣務于會通，注意它們的通性通法，理解解題的實質，掌握探求解題途徑的最佳方法。最后，希望通過本文的總結，能對學生們解決最值問題的能力有一點幫助。 參考文獻：【1】 薛金星，高中數學解題方法與技巧（M）,北京： 北京教育出版社，1998.【2】 黃戈，解極值與最值問題的方法與技巧(M), 廣西： 廣西教育出版社.【3】 余汶，函數的最大最小值(J), 浙江： 浙江人民出版社.【4】 高安民，初等極值(J), 陜西： 陜西科學技術出版社.【5】 劉海霞，求三角函數最值的常用方法(J), 高中數理化,2006,(03).【6】 羅建宇，三角函數最值的求法(J),數理天地(高中版),2008，(06). 【7】 龍新輝，化歸思想方法與中學數學教學（D），華中師范大學，2006. 【8】 谷成文，處理函數最值的常用方法（J），數學學習與研究(教研版),2008. 【9】 王曉東，求函數最值的常用方法（J），內江科技，2008，(01). 【10】 陳