1、精品文檔文檔-高中新課標理科數學(必修+選修)所有知識點總精品文檔-結引言1. 課程內容：必修課程由5個模塊組成：必修 1：集合、函數概念與根本初等函數指、對、冪函數必修 2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。必修 3：算法初步、統計、概率。必修 4：根本初等函數三角函數、平面向量、三角恒等變換。必修 5：解三角形、數列、不等式。以上是每一個高中學生所必須學習的。上述內容覆蓋了高中階段傳統的數學根底知識和根本技能的主要局部，其中包括集合、函數、數列、不等式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打好根底的同時，進一步強調了這些知識的發生、開展過程和實際應用，而不在技巧與難度上

2、做過高的要求。此外，根底內容還增加了向量、算法、概率、統計等內容。選修課程有4個系列：系列 1：由 2 個模塊組成。選修 11：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導數及其應用。選修 12：統計案例、推理與證明、數系的擴大與復數、框圖系列 2：由 3 個模塊組成。選修 21：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何。選修 22：導數及其應用，推理與證明、數系的擴大與復數選修 23：計數原理、隨機變量及其分布列，統計案例。系列 3：由 6 個專題組成。選修 31：數學史選講。選修 32：信息平安與密碼。選修 33：球面上的幾何。選修 34：對稱與群。選修 35：歐拉公式與閉曲面分類。選修 36

3、：三等分角與數域擴大。系列 4：由 10 個專題組成。第-2-頁共102頁-選修 41：幾何證明選講。選修 42：矩陣與變換。選修 43：數列與差分。選修 44：坐標系與參數方程。選修 45：不等式選講。選修 46：初等數論初步。選修 47：優選法與試驗設計初步。選修 48：統籌法與圖論初步。選修 49：風險與決策。選修 410：開關電路與布爾代數。2重難點及考點：重點：函數，數列，三角函數，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導數難點：函數、圓錐曲線高考相關考點：集合與簡易邏輯 : 集合的概念與運算、簡易邏輯、充要條件函數：映射與函數、函數解析式與定義域、值域與最值、反函數、三大性質、函數圖象、指

4、數與指數函數、對數與對數函數、函數的應用數列：數列的有關概念、等差數列、等比數列、數列求和、數列的應用三角函數：有關概念、同角關系與誘導公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡、證明、三角函數的圖象與性質、三角函數的應用平面向量：有關概念與初等運算、坐標運算、數量積及其應用不等式：概念與性質、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對值不等式、不等式的應用直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關系、線性規劃、圓、直線與圓的位置關系圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關系、軌跡問題、圓錐曲線的應用直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間向

5、量排列、組合和概率：排列、組合應用題、二項式定理及其應用概率與統計：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態分布導數：導數的概念、求導、導數的應用復數：復數的概念與運算高中數學必修 1 知識點第一章集合與函數概念 1.1 集合【 1.1.1 】集合的含義與表示第 -3-頁共102頁- 1集合的概念集合中的元素具有確定性、互異性和無序性. 2常用數集及其記法N 表示自然數集，N或N表示正整數集，Z 表示整數集，Q 表示有理數集，R 表示實數集. 3集合與元素間的關系對象 a 與集合 M 的關系是aM ，或者 aM ，兩者必居其一.（ 4集合的表示法自然語言法：用文字表達的形式來描述集合 .列舉法：把

6、集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合.描述法： x | x具有的性質 ，其中x 為集合的代表元素.圖示法：用數軸或韋恩圖來表示集合. 5集合的分類含有有限個元素的集合叫做有限集. 含有無限個元素的集合叫做無限集空集. 不含有任何元素的集合叫做( ).【 1.1.2】集合間的根本關系 6子集、真子集、集合相等名稱記號AB或子集BA)AB真子集或B A集合AB相等意義性質示意圖(1)AAA 中的任一元素都(2)AA(B)BA屬于 B(3)假設 AB 且 BC，那么AC(4)假設 AB 且 BA，那么AB或1A A為非空子集A B，且B中至少有一元素不屬于B 且 BBA(2)假設AC，那么

7、A CAA 中的任一元素都(1)AB屬于 B ， B 中的任A(B)(2)BA一元素都屬于A 7集合A 有n(n1) 個元素，那么它有2n個子集，它有2n1 個真子集，它有2n1 個非空子集，它有2n2非空真子集.【 1.1.3】集合的根本運算 8交集、并集、補集名稱記號意義性質示意圖1AAA x | xA, 且交集并集AB2Ax3ABABBBA x | x1AAAA, 或AB2AAx3ABABBBAABBA第-4-頁共102頁- x | x U , 且 x A痧U(A B) (UA)1A(eU A)(?UB)補集e U A痧(A B)(U A)(?UB) 2A(e A)UUU【補充知識】含絕

8、對值的不等式與一元二次不等式的解法 1含絕對值的不等式的解法不等式解集| x |a(a0) x | axa| x |a(a0)x | xa 或 xa把 axb 看成一個整體，化成 | x |a ，| axb |c,| axb |c(c0)| x |a(a0) 型不等式來求解（ 2一元二次不等式的解法判別式b24ac000二次函數yax2bxc(a0)的圖象O一元二次方程xbb24ac21,22abax bx c 0(a0)x1x22a無實根其中 x1 x 2 )的根ax2bxc0(a0) x | xx1或xx2 x | xb R的解集2aax2bxc0(a0)xx2 x | x1的解集 1.2

9、 函數及其表示【 1.2.1 】函數的概念 1函數的概念設 A 、 B 是兩個非空的數集，如果按照某種對應法那么f ，對于集合A 中任何一個數x ，在集合B 中都有唯一確定的數f ( x) 和它對應，那么這樣的對應包括集合A ， B 以及 A 到 B 的對應法那么f 叫做集合A 到B 的一個函數，記作f : AB 函數的三要素: 定義域、值域和對應法那么只有定義域一樣，且對應法那么也一樣的兩個函數才是同一函數第-5-頁共102頁- 2區間的概念及表示法設 a,b 是兩個實數，且ab ，滿足 axb 的實數x 的集合叫做閉區間，記做 a,b ；滿足 axb 的實數 x 的集合叫做開區間，記做(a

10、,b) ；滿足 axb ，或 axb 的實數x 的集合叫做半開半閉區間，分別記做a b,)，(a, b；滿足xa,x, ax ,b 的 x 實 b 數x的集合分別記做 a ,) a, (,) b, (, b注意：對于集合 x | axb 與區間 ( a,b) ，前者a可以大于或等于b ，而后者必須a b （ 3求函數的定義域時，一般遵循以下原那么： f ( x) 是整式時，定義域是全體實數 f ( x) 是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數 f ( x) 是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1

11、 ytan x 中， xk(kZ ) 2零負指數冪的底數不能為零假設 f ( x) 是由有限個根本初等函數的四那么運算而合成的函數時，那么其定義域一般是各根本初等函數的定義域的交集對于求復合函數定義域問題，一般步驟是：假設f ( x) 的定義域為 a, b ，其復合函數f g( x) 的定義域應由不等式ag( x)b 解出對于含字母參數的函數，求其定義域，根據問題具體情況需對字母參數進展分類討論由實際問題確定的函數，其定義域除使函數有意義外，還要符合問題的實際意義 4求函數的值域或最值求函數最值的常用方法和求函數值域的方法根本上是一樣的事實上，如果在函數的值域中存在一個最小大數，這個數就是函數

12、的最小大值因此求函數的最值與值域，其實質是一樣的，只是提問的角度不同求函數值域與最值的常用方法：觀察法：對于比擬簡單的函數，我們可以通過觀察直接得到值域或最值配方法：將函數解析式化成含有自變量的平方式與常數的和，然后根據變量的取值范圍確定函數的值域或最值判別式法：假設函數yf ( x) 可以化成一個系數含有y 的關于x 的二次方程a( y) x 2b( y) x c( y)0 ，那么在 a( y)0 時，由于x, y 為實數，故必須有b2 ( y) 4a( y) c( y) 0 ，從而確定函數的值域或最值不等式法：利用根本不等式確定函數的值域或最值換元法：通過變量代換到達化繁為簡、化難為易的目

13、的，三角代換可將代數函數的最值問題轉化為三角函數的最值問題反函數法：利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系確定函數的值域或最值第-6-頁共102頁-數形結合法：利用函數圖象或幾何方法確定函數的值域或最值函數的單調性法【 1.2.2 】函數的表示法（ 5函數的表示方法表示函數的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種解析法：就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系 6映射的概念設 A 、 B 是兩個集合，如果按照某種對應法那么f ，對于集合A 中任何一個元素，在集合B 中都有唯一的元素和它對應，那

14、么這樣的對應包括集合A ， B 以及 A 到 B 的對應法那么f 叫做集合A 到 B 的映射，記作 f : AB 給定一個集合素 a 的象，元素（ 1函數的單調性定義及判定方法函數的性質A 到集合B 的映射，且aA,bB 如果元素a 和元素a 叫做元素b 的原象 1.3 函數的根本性質【 1.3.1 】單調性與最大小值定義圖象b 對應，那么我們把元素b 叫做元判定方法函數的如果對于屬于定義域 I 內某個區間上的任意兩個自變量的值x1、x2 , 當 x1<x2時，都有f(x 1 )<f(x2)，那么就說f(x)在這個區間上是增函數yy=f(X)2f(x )f(x 1 )o12xxx（

15、 1利用定義（ 2利用函數的單調性3利用函數圖象在某個區間圖象上升為增4利用復合函數單調性如果對于屬于定義域I 內某個區間上的任意兩個yy=f(X)自變量的值x1、x2，當 x1<f(x 1)x2時，都有f(x 1)>f(xf(x 2 )2 )，1利用定義2利用函數的單調性3利用函數圖象在某個區間圖那么就說 f(x)在這個區ox 1x 2x間上是減函數在公共定義域內，兩個增函數的和是增函數，兩個減函數的和是減函數，減函數減去一個增函數為減函數象下降為減4利用復合函數增函數減去一個減函數為增函數，對于復合函數yf g (x) ，令 ug ( x) ，假設 yf (u) 為增，ug(

16、x) 為增，那么yf g( x) 為增；假設yf (u) 為減， ug( x) 為減，那么 yf g ( x) 為增；假設 yf (u) 為增， ug( x) 為減，那么yf g( x) 為減；假設yf (u) 為減， ug( x) 為增，那么yf g (x) 為減第-7-頁共102頁- 2打“函數f ( x) xa (a 0) 的圖象與性質xf ( x) 分別在 (,a 、 a ,)上為增函數，分別在a,0) 、 (0,a 上為減函數y 3最大小值定義一般地，設函數yf ( x) 的定義域為I ，如果存在實數M滿足： 1對于任意的xI ，都有f ( x)M ；ox 2 存在x0I ，使得f

17、( x 0 )M 那么，我們稱M 是函數 f (x) 的最大值，記作fmax ( x)M 一般地，設函數yf ( x) 的定義域為I ，如果存在實數m 滿足：1對于任意的xI ，都有 f ( x)m ； 2存在x0I ，使得f ( x0)m 那么，我們稱m 是函數f (x) 的最小值，記作fmax ( x) m 【 1.3.2】奇偶性 4函數的奇偶性定義及判定方法函數的定義圖象判定方法性質如果對于函數f(x) 定義1利用定義要域內任意一個x ，都有先判斷定義域是否f( x)= f(x),那么函數關于原點對稱f(x) 叫做奇函數2利用圖象圖象關于原點對稱函數的奇偶性如果對于函數f(x) 定義1利

18、用定義要域內任意一個x ，都有先判斷定義域是否f( x)= f(x) , 那么函數關于原點對稱2利用圖象圖f(x) 叫做偶函數象關于 y 軸對稱假設函數f (x) 為奇函數，且在x0 處有定義，那么f (0)0 奇函數在y 軸兩側相對稱的區間增減性一樣，偶函數在y 軸兩側相對稱的區間增減性相反在公共定義域內，兩個偶函數或奇函數的和或差仍是偶函數或奇函數，兩個偶函數或奇函數的積或商是偶函數，一個偶函數與一個奇函數的積或商是奇函數補充知識函數的圖象 1作圖利用描點法作圖：確定函數的定義域；化解函數解析式；討論函數的性質奇偶性、單調性；畫出函數的圖象-利用根本函數圖象的變換作圖：第-8-頁共102頁

19、-要準確記憶一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、冪函數、三角函數等各種根本初等函數的圖象平移變換yf ( x)伸縮變換y f ( x)yf ( x)左移個單位上移個單位h 0,hy f ( x h) y f ( x)k 0,ky f (x) kh 0,右移 | h|個單位k 0,下移 | k|個單位伸0 1,縮 y f ( x)1,縮0 A 1,伸 y Af ( x)A 1,對稱變換軸軸yxyf ( x)f (x)yf (x)yf (x)yy原點直線y x1f ( x)f ( x)yf (x)yf (x)yyf ( x)去掉y軸左邊圖象y f (| x |)yf ( x)保存y

20、軸右邊圖象，并作其關y軸對稱圖象 2識圖于保存x軸上方圖象y| f ( x) |將x軸下方圖象翻折上去對于給定函數的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數的定義域、值域、單調性、奇偶性，注意圖象與函數解析式中參數的關系 3用圖函數圖象形象地顯示了函數的性質，為研究數量關系問題提供了“形的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結果的重要工具要重視數形結合解題的思想方法第二章根本初等函數( ) 2.1 指數函數【 2.1.1】指數與指數冪的運算 1根式的概念如果n,1xa aR x R n，且 nN，那么x叫做a的n次方根當n 是奇數時，a 的 n 次方根用符號n a 表

21、示；當n 是偶數時，正數a 的正的 n 次方根用符號n a 表示，負的n 次方根用符號n a表示；0的 n 次方根是0；負數 a 沒有 n 次方根式子n a 叫做根式，這里n 叫做根指數， a 叫做被開方數當n 為奇數時，a 為任意實數；當n 為偶數時， a 0 ( n a )na ；當n為奇數時，n an a ；當 n 為偶數時，a(a0)根式的性質：n an| a |a(a0) 2分數指數冪的概念正數的正分數指數冪的意義是：正數的負分數指數冪的意義是：aam0,n1)nnm (a am nN且 0 的正分數指數冪等于0m1m1 mn) nn (0, m, nN , 且n 1)0的負分數指數

22、冪() (aaa-沒有意義注意口訣：底數取倒數，指數取相反數第-9-頁共102頁- 3分數指數冪的運算性質 ara sar s(a0,r , s R) ( ar)sars(a0,r , s R) () rrr(0,0,)aba babrR【 2.1.2】指數函數及其性質 4指數函數函數名稱指數函數定義函數 ya x (a 0 且a 1)叫做指數函數a10a1yya xya xy圖象y 1y 1(0,1)(0,1)OxOx定義域R值域(0, )過定點圖象過定點(0,1) ，即當x0 時， y1 奇偶性非奇非偶單調性在 R 上是增函數在R上是減函數ax1 ( x 0)a x1 (x 0)函數值的a

23、x1 ( x0)a x1 ( x0)變化情況axa x1 ( x0)1 ( x0)a 變化對圖象的影響在第一象限內，a 越大圖象越高；在第二象限內，a 越大圖象越低 2.2 對數函數【 2.2.1 】對數與對數運算 1對數的定義假設 axN (a 0,且 a1) ，那么 x 叫做以 a 為底N的對數，記作 xlog a N ，其中 a 叫做底數，N叫做真數負數和零沒有對數對數式與指數式的互化：x log a NaxN (a 0, a1, N0) 2幾個重要的對數恒等式log a 10 ， log a a1，logaabb 3常用對數與自然對數第 -10- 頁共102頁-常用對數：lg N，即l

24、og10N；自然對數：ln N ，即 log e N 其中 e2.71828, 4對數的運算性質如果a0, a1, M0, N0 ，那么M加法：log a Mloga Nlog a (MN )減法： log a Mlog a Nlog aN數乘： nloga Mlog a MnR) alogN(naNnM(b log ab Mnlog a0,n R)換底公式：log a Nlog b N(b0, 且 b 1)blog b a【 2.2.2】對數函數及其性質（ 5對數函數函數名稱對數函數定義函數 yloga x(a0 且a1) 叫做對數函數a10a 1x1x1yy log a xyy log a

25、 x圖象(1,0)O(1,0)xOx定義域(0, )值域R過定點圖象過定點(1,0) ，即當 x1 時， y0 奇偶性非奇非偶單調性在 (0,) 上是增函數在 (0,) 上是減函數log a x0(x1)log a x0 (x1)函數值的log a x0(x1)log a x0 (x1)變化情況log a x0(0x 1)log a x0 (0x 1)a 變化對圖象的影響在第一象限內，a 越大圖象越靠低；在第四象限內，a 越大圖象越靠高(6) 反函數的概念設函數yf ( x) 的定義域為A ，值域為C，從式子yf ( x) 中解出x ，得式子x( y) 如果對于y 在C 中的任何一個值，通過式

26、子x( y) ，x在A中都有唯一確定的值和它對應，那么式子x( y) 表示x是y第-11-頁共102頁-的函數，函數x( y) 叫做函數yf (x) 的反函數，記作xf 1 ( y) ，習慣上改寫成yf 1( x) 7反函數的求法確定反函數的定義域，即原函數的值域；從原函數式yf ( x) 中反解出xf 1 ( y) ；將 xf1 ( y)改寫成yf1 (x)，并注明反函數的定義域 8反函數的性質原函數yf (x) 與反函數yf 1( x) 的圖象關于直線yx 對稱函數yf (x) 的定義域、值域分別是其反函數yf 1 (x) 的值域、定義域假設 P(a,b) 在原函數yf ( x) 的圖象上

27、，那么P' (b, a) 在反函數yf 1( x) 的圖象上一般地，函數yf ( x) 要有反函數那么它必須為單調函數 2.3 冪函數 1冪函數的定義一般地，函數yx叫做冪函數，其中x 為自變量，是常數 2 冪函數的圖象第 -12-頁共102頁- 3冪函數的性質 圖象分布：冪函數圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象冪函數是偶函數時，圖象分布在第一、二象限 (圖象關于y 軸對稱)；是奇函數時，圖象分布在第一、三象限(圖象關于原點對稱)；是非奇非偶函數時，圖象只分布在第一象限過定點：所有的冪函數在(0,) 都有定義，并且圖象都通過點(1,1) 單調性：如果0 ，那么冪函數的圖象過原點

28、，并且在0,) 上為增函數如果0(0,) 上為減函數，在第一象限內，圖象無限接近x 軸與 y 軸q奇偶性：當為奇數時，冪函數為奇函數，當為偶數時，冪函數為偶函數當，那么冪函數的圖象在其中p, q 互質，ppqq和 qZ ，假設p為奇數q為奇數時，那么yx p是奇函數，假設p為奇數q為偶數時，那么yx p是偶函數，假設p為q偶數 q 為奇數時，那么yx p是非奇非偶函數圖象特征：冪函數yx , x (0,) ，當1 時，假設 0x1，其圖象在直線yx 下方，假設x1 ，其圖象在直線yx 上方，當1 時，假設 0x 1 ，其圖象在直線yx 上方，假設x 1 ，其圖象在直線yx 下方補充知識二次函數

29、 1二次函數解析式的三種形式一般式：f ( x)ax2bxc(a0) 頂點式：f ( x)a( xh) 2k (a0) 兩根式：f ( x)a( xx1)( xx2 )( a0) 2求二次函數解析式的方法三個點坐標時，宜用一般式拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大小值有關時，常使用頂點式假設拋物線與x 軸有兩個交點，且橫線坐標時，選用兩根式求f (x) 更方便 3二次函數圖象的性質f ( x)ax 2b二次函數bx c(a 0) 的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為x, 頂點坐標是2a( b , 4ac b 2) 2a4a第 -13-頁共102頁-b當 a0 時，拋物線開口向上，函數在( ,上遞

30、減，在b,) 上遞增，當 xb 時，2a2a2afmin ( x)4ac b 2；當 a 0時，拋物線開口向下，函數在( ,b 上遞增，在 b ,) 上遞減，當 xb4a2a2a2a4acb2時， fmax ( x)4a二次函數f ( x) ax2bx c(a 0)當b24ac0 時，圖象與x 軸有兩個交點M1 (x1 ,0),M 2 (x 2,0),|M 1M 2 | | x 1x2 | |a| 4一元二次方程ax2bxc0(a0) 根的分布一元二次方程根的分布是二次函數中的重要內容，這局部知識在初中代數中雖有所涉及，但尚不夠系統和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數關系定理韋達定理的運用，下面結合二次函數圖象的性質，系統地來分析一元二次方程實根的分布設一元二次方程ax 2bxc 0(a0)方面來分析此類問題：開口方向：a的兩實根為 x1, x 2，且 x1x2令f (x)ax2bx c ，從以下四個對稱軸位置：b判別式：端點函數值符號x2a1 2 k x xyybf (k )0a0x2aOkOk x1xxx1x22xxbf (k )0a 02a x1 x2 kyyba 0f