1、概率考試內容：隨機事件的概率.等可能性事件的概率. 互斥事件有一個發(fā)生的概率. 相互獨立事件同時發(fā) 生的概率.獨立重復試驗.考試要求：(1) 了解隨機事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機事件概率的意義.(2) 了解等可能性事件的概率的意義，會用排列組合的基本公式計算一些等可能性事件的概率。(3) 了解互斥事件、相互獨立事件的意義，會用互斥事件的概率加法公式與相互獨立事件 的概率乘法公式計算一些事件的概率.(4) 會計算事件在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率.§ 11 概率知識要點1 .概率：隨機事件 A的概率是頻率的穩(wěn)定值，反之，頻率是概率的近似值2 .等可能事件的概率：如果一次試驗中可

2、能出現的結果有年n個，且所有結果出現的可能性都相等，那么，每一個基本事件的概率都是1,如果某個事件 A包含的Z果有 m個，那n么事件A的概率P(A) m. n3 .互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件叫互斥事件.如果事件 A、B互斥，那么事件A+B發(fā)生(即A、B中有一個發(fā)生)的概率，等于事件A、B分別發(fā)生的概率和，即P(A+B尸P(A)+P(B),推廣：P(A1 A2 A。)P(A。P(A2) P(An).對立事件：兩個事件必有一個發(fā)生的互斥事件叫對立事件.例如：從152張撲克牌中任 取一張抽到“紅桃”與抽到“黑桃”互為互斥事件，因為其中一個不可能同時發(fā)生，但又不 能保證其中一個必然發(fā)生，故不是

3、對立事件.而抽到“紅色牌”與抽到黑色牌“互為對立事件，因為其中一個必發(fā)生.注意：i.對立事件的概率和等于 1 : P(A) P(A) P(A A) 1.ii.互為對立的兩個事件一定互斥，但互斥不一定是對立事件相互獨立事件：事件 A(或B)是否發(fā)生對事件 B(或A)發(fā)生的概率沒有影響.這樣的兩個事 件叫做相互獨立事件.如果兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(A - B)=P(A) - P(B).由此，當兩個事件同時發(fā)生的概率P (AB)等于這兩個事件發(fā)生概率之和，這時我們也可稱這兩個事件為獨立事件.例如：從一副撲克牌(52張)中任抽一張設A: “抽到老K” ； B:

4、 “抽到紅牌”則 A應與B互為獨立事件看上去A與B有關系 很有可能不是獨立事件，但P(A) , P(B) 26 -, P(A) P(B)工.又事件AB表示“既52 1352226抽到老 K對抽到紅牌”即“抽到紅桃老K或方塊老 K”有P(A B) 工，因此有5226P(A) P(B) P(A B).推廣：若事件 A1,A2, ,An 相互獨立，則 P(A1 A2 An) P(A1) P(A2) P(An).注意：i. 一般地，如果事件 A與B相互獨立，那么 A與B,K與B, A與B也都相互獨立ii. 必然事件與任何事件都是相互獨立的.iii. 獨立事件是對任意多個事件來講，而互斥事件是對同一實驗

5、來講的多個事件，且這多個事件不能同時發(fā)生，故這些事件相互之間必然影響，因此互斥事件一定不是獨立事件.獨立重復試驗：若n次重復試驗中，每次試驗結果的概率都不依賴于其他各次試驗的結果， 則稱這n次試驗是獨立的.如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率為P,那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率：Pn(k)c：pk(i p)nk.4.對任何兩個事件都有 P(A B) P(A) P(B) P(A B)第十二章-概率與統計考試內容：抽樣方法.總體分布的估計.總體期望值和方差的估計.考試要求：(1) 了解隨機抽樣了解分層抽樣的意義，會用它們對簡單實際問題進行抽樣.(2)會用樣本頻率分布估計總體分布.(

6、3)會用樣本估計總體期望值和方差.§ 12 概率與統計知識要點一、隨機變量.1 .隨機試驗的結構應該是不確定的.試驗如果滿足下述條件:試驗可以在相同的情形下重復進行；試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；每次試驗總是恰好出現這些結果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現哪一個結果.它就被稱為一個隨機試驗.2 .離散型隨機變量：如果對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨 機變量叫做離散型隨機變量 .若E是一個隨機變量，a, b是常數.則 a b也是一個隨機變量.一般地，若E是隨機變量，f (x)是連續(xù)函數或單調函數，則f ()也是隨機變量.也需是說

7、，隨機變量的某些函數也是隨機變量.設離散型隨機變量E可能取的值為：xi,x2, ,xi,E取每一個值xi(i 1,2,)的概率P( xi) p則表稱為隨機變量E的概率分布，簡稱E分布列.XiX2xiPpip2pi有性質 P1 0,i 1,2,； P1 P2Pi1.注意：若隨機變量可以取某一區(qū)間內的一切值，這樣的變量叫做連續(xù)型隨機變量.例如:0,5即 可以取05之間的一切數，包括整數、小數、無理數.3 .二項分布：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是巳那么在n次獨立重復試驗中這 個事件恰好發(fā)生k次的概率是：P" k) C：pkqnk其中k 0,1, ,n,q 1 p于是得到隨機變量E的概

8、率分布如下：我們稱這樣的隨機變量E服從二項分布，記作(n p),其中 n, p 為參數，并記 Cnpkqn k b(k; n p).二項分布的判斷與應用.二項分布，實際是對 n次獨立重復試驗.關鍵是看某一事件是否是進行n次獨立重復，且每次試驗只有兩種結果，如果不滿足此兩條件，隨機變量就不服從二項分布當隨機變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時又只有兩種試驗結果，此時可以把它看作獨立重復試驗，利用二項分布求其分布列4 .幾何分布：“ k”表示在第k次獨立重復試驗時，事件第一次發(fā)生，如果把 k次試驗時事件A發(fā)生記為Ak ,事A不發(fā)生記為Ak,P(Ak) q ,那么P(

9、E k) P(AiAl A7> k).根據相互獨立事件的概率乘法分式：P(W k) P(A1)P(A2) P(Ak 1)P(Ak) qk 1p (k 1,2,3,)于是得到隨機變量E的概率分布列123kPqqp2q pk 1q p我們稱E服從幾何分布，并記 g(k, p) qk1p,其中q 1 p. k 1,2,35 .超幾何分布：一批產品共有 N件，其中有 M (Mk N)件次品，今抽取 n(1 n N)件， 則其中的次品數E是一離散型隨機變量，分布列為k件，從N-M件正品k n kP(H k) 3 (0 k M,0 n k N M).分子是從M件次品中取 CN中取n-k件的取法數，如

10、果規(guī)定 mV r時Cm 0,則k的范圍可以寫為k=0, 1,，n.超幾何分布的另一種形式：一批產品由a件次品、b件正品組成，今抽取n件(1wnwa+b),k n k則次品數E的分布列為 P(£ k) Ca C b k 0,1, ,n. Ca b超幾何分布與二項分布的關系.設一批產品由a件次品、b件正品組成，不放回抽取n件時，其中次品數E服從超幾何分布 . 若放回式抽取，則其中次品數的分布列可如下求得：把 a b個產品編號，則抽取 n次共有(a b)n個可能結果，等可能：(刀k)含C：akbn k個結果，故k k n kP" k) Cna bnCk()k(1 )nk,k 0,

11、1,2, ,n，即 B(n-a-).我們先為 k 個次(a b) a b a ba b品選定位置，共Cn種選法；然后每個次品位置有a種選法，每個正品位置有b種選法可以證明：當產品總數很大而抽取個數不多時，P(E k) P" k),因此二項分布可作為超幾何分布的近似，無放回抽樣可近似看作放回抽樣二、數學期望與方差.1.期望的含義：一般地，若離散型隨機變量E的概率分布為XiX 2XiPPiP2Pi則稱EXiPi X2p2Xnpn 為E的數學期望或平均數、均值.數學期望又簡稱期望.數學期望反映了離散型隨機變量取值的平均水平2.隨機變量a b的數學期望：E E(a b) aE b當a 0時，

12、E(b) b ,即常數的數學期望就是這個常數本身.當a 1時，E( b) E b,即隨機變量E與常數之和的期望等于E的期望與這個常數 的和.當b 0時，E(a ) aE ，即常數與隨機變量乘積的期望等于這個常數與隨機變量期望的 乘積.單點分布:兩點分布:q = 1 )E c 1 c其分布列為： P( 1) c .E 0 q 1 p p ,其分布列為：(p +01Pqp01pqpE E ,D() D DE ) E( ) E(E )(因為 E 為一常數)x軸上方，E落在任一區(qū)間a,b)內1.2.正態(tài)分布與正態(tài)曲線：如果隨機變量E的概率密度為：二項分布：e k n!pk qn k np其分布列為B(

13、n, p). ( P為發(fā)生 的概率)k!(n k)!1 幾何分布：E 其分布列為q(k,p). (P為發(fā)生 的概率)p3 .方差、標準差的定義：當已知隨機變量E的分布列為P( xk) pk(k 1,2,)時，則稱D(X1 E )2p1 (X2 E )2p2(Xn E )2pn 為 E 的方差.顯然 D 0 ,故 4D . 為 E 的 根方差或標準差.隨機變量E的方差與標準差都反映了隨機變量E取值的穩(wěn)定與波動，集中 與離散的程度.D越小，穩(wěn)定性越高，波動越小 . * 4 .方差的性質.隨機變量 a b的方差D( ) D(a b) a2D . (a、b均為常數) 單點分布：D 0其分布列為P( 1

14、) p兩點分布：D pq其分布列為：(p + q = 1)二項分布：D npq幾何分布：D 3p5 .期望與方差的關系.如果E和E者B存在，則E( ) E E設E和 是互相獨立的兩個隨機變量，則 E()期望與方差的轉化：D E 2 (E )2E(E E 0.三、正態(tài)分布.(基本不列入考試范圍)1.密度曲線與密度函數：對于連續(xù)型隨機變量E,位于 的概率等于它與x軸.直線x a與直線x b所圍成的曲邊林形的面積(如圖陰影部分)的曲線叫E的密度曲線，以其作為 圖像的函數f (x)叫做E的密度函數，由于“ x ( 是必然事件，故密度曲線與 x軸所夾部分面積等于(x R,為常數，且 0),稱E服從參數為

15、 ，的正態(tài)分布，用 N( , 2)表示.f(x)的表達式可簡記為 N( , 2),它的密度曲線簡稱為正態(tài)曲線正態(tài)分布的期望與方差：若N( , 2),則E的期望與方差分別為:,D正態(tài)曲線的性質 曲線在x軸上方，與x軸不相交.曲線關于直線x對稱.當x時曲線處于最高點，當 x向左、向右遠離時，曲線不斷地降低，呈現出“中間高、 兩邊低”的鐘形曲線.當x< 時，曲線上升；當x> 時，曲線下降，并且當曲線向左、向右兩邊無限延伸時, 以x軸為漸近線，向x軸無限的靠近.當 一定時，曲線的形狀由確定， 越大，曲線越“矮胖”.表示總體的分布越分散;越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中3.標準正態(tài)分布：如果隨機變量E的概率函數為1(x)e (服從標準正態(tài)分布.即的計算則是P(a b)注意：當標準正態(tài)分布的N(0,1)有(x) P( x),(b)(a).(x)的X取。時，有 (x)(x) 1( x)求出，而 P (a< 個 b)0.5當(x)的X取大于0的數時，有Ste =0.5 Sa=0.5+S(x) 05比如(05一) 0.0793 0.5則05必然小于0,如圖.正態(tài)分布與標準正態(tài)分布間的關系：若N( , 2)則E的分布函數通常用 F(x)表示，且有 P(E x) F(x)(-一).(T4.“ 3 ”原則.假設檢驗是