1、精選優質文檔-傾情為你奉上一、二次函數 真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1在平面直角坐標系中，我們定義直線y=ax-a為拋物線y=ax2+bx+c（a、b、c為常數，a0）的“衍生直線”；有一個頂點在拋物線上，另有一個頂點在y軸上的三角形為其“衍生三角形”已知拋物線與其“衍生直線”交于A、B兩點（點A在點B的左側），與x軸負半軸交于點C（1）填空：該拋物線的“衍生直線”的解析式為 ，點A的坐標為 ，點B的坐標為 ；（2）如圖，點M為線段CB上一動點，將ACM以AM所在直線為對稱軸翻折，點C的對稱點為N，若AMN為該拋物線的“衍生三角形”，求點N的坐標；（3）當點E在拋物線的對稱軸上運動時，在

2、該拋物線的“衍生直線”上，是否存在點F，使得以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點E、F的坐標；若不存在，請說明理由【答案】（1）；（-2，）；（1,0）；（2）N點的坐標為（0，），（0，）；（3）E（-1，-）、F（0，）或E（-1，），F（-4，）【解析】【分析】（1）由拋物線的“衍生直線”知道二次函數解析式的a即可；（2）過A作ADy軸于點D，則可知AN=AC，結合A點坐標，則可求出ON的長，可求出N點的坐標；（3）分別討論當AC為平行四邊形的邊時，當AC為平行四邊形的對角線時，求出滿足條件的E、F坐標即可【詳解】（1），a=，則拋物線的“衍生直線”的解析式

3、為；聯立兩解析式求交點，解得或，A（-2，），B（1,0）；（2）如圖1，過A作ADy軸于點D，在中，令y=0可求得x= -3或x=1，C（-3,0），且A（-2，），AC=由翻折的性質可知AN=AC=，AMN為該拋物線的“衍生三角形”，N在y軸上，且AD=2，在RtAND中，由勾股定理可得DN=，OD=，ON=或ON=，N點的坐標為（0，），（0，）；（3）當AC為平行四邊形的邊時，如圖2 ，過F作對稱軸的垂線FH，過A作AKx軸于點K，則有ACEF且AC=EF， ACK= EFH，在 ACK和 EFH中 ACK EFH，FH=CK=1，HE=AK=，拋物線的對稱軸為x=-1， F點的橫坐標

4、為0或-2，點F在直線AB上，當F點的橫坐標為0時，則F（0，），此時點E在直線AB下方，E到y軸的距離為EH-OF=-=，即E的縱坐標為-， E（-1，-）；當F點的橫坐標為-2時，則F與A重合，不合題意，舍去；當AC為平行四邊形的對角線時， C（-3,0），且A（-2，），線段AC的中點坐標為（-2.5， ），設E（-1，t），F（x，y），則x-1=2×（-2.5），y+t=，x= -4，y=-t，-t=-×（-4）+，解得t=，E（-1，），F（-4，）；綜上可知存在滿足條件的點F，此時E（-1，-）、（0，）或E（-1，），F（-4，）【點睛】本題是對二次函數的綜

5、合知識考查，熟練掌握二次函數，幾何圖形及輔助線方法是解決本題的關鍵，屬于壓軸題2已知如圖，拋物線y=x2+bx+c過點A（3，0），B（1，0），交y軸于點C，點P是該拋物線上一動點，點P從C點沿拋物線向A點運動（點P不與點A重合），過點P作PDy軸交直線AC于點D（1）求拋物線的解析式；（2）求點P在運動的過程中線段PD長度的最大值；（3）APD能否構成直角三角形？若能請直接寫出點P坐標，若不能請說明理由；（4）在拋物線對稱軸上是否存在點M使|MAMC|最大？若存在請求出點M的坐標，若不存在請說明理由【答案】（1）y=x24x+3；（2）；（3）點P（1，0）或（2，1）；（4）M（2，3）

6、【解析】試題分析：（1）把點A、B的坐標代入拋物線解析式，解方程組得到b、c的值，即可得解；（2）求出點C的坐標，再利用待定系數法求出直線AC的解析式，再根據拋物線解析式設出點P的坐標，然后表示出PD的長度，再根據二次函數的最值問題解答；（3）APD是直角時，點P與點B重合，求出拋物線頂點坐標，然后判斷出點P為在拋物線頂點時，PAD是直角，分別寫出點P的坐標即可；（4）根據拋物線的對稱性可知MA=MB，再根據三角形的任意兩邊之差小于第三邊可知點M為直線CB與對稱軸交點時，|MAMC|最大，然后利用待定系數法求出直線BC的解析式，再求解即可試題解析：解：（1）拋物線y=x2+bx+c過點A（3，

7、0），B（1，0），解得，拋物線解析式為y=x24x+3；（2）令x=0，則y=3，點C（0，3），則直線AC的解析式為y=x+3，設點P（x，x24x+3）PDy軸，點D（x，x+3），PD=（x+3）（x24x+3）=x2+3x=（x）2+a=10，當x=時，線段PD的長度有最大值；（3）APD是直角時，點P與點B重合，此時，點P（1，0），y=x24x+3=（x2）21，拋物線的頂點坐標為（2，1）A（3，0），點P為在拋物線頂點時，PAD=45°+45°=90°，此時，點P（2，1）綜上所述：點P（1，0）或（2，1）時，APD能構成直角三角形；（4）由拋

8、物線的對稱性，對稱軸垂直平分AB，MA=MB，由三角形的三邊關系，|MAMC|BC，當M、B、C三點共線時，|MAMC|最大，為BC的長度，設直線BC的解析式為y=kx+b（k0），則，解得：，直線BC的解析式為y=3x+3拋物線y=x24x+3的對稱軸為直線x=2，當x=2時，y=3×2+3=3，點M（2，3），即，拋物線對稱軸上存在點M（2，3），使|MAMC|最大點睛：本題是二次函數綜合題，主要利用了待定系數法求二次函數解析式，二次函數的最值問題，二次函數的對稱性以及頂點坐標的求解，（2）整理出PD的表達式是解題的關鍵，（3）關鍵在于利用點的坐標特征作出判斷，（4）根據拋物線的

9、對稱性和三角形的三邊關系判斷出點M的位置是解題的關鍵3如圖，直線l：y3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，拋物線yax22ax+a+4（a0）經過點B，交x軸正半軸于點C（1）求該拋物線的函數表達式；（2）已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內，連接AM、BM，設點M的橫坐標為m，ABM的面積為S，求S與m的函數表達式，并求出S的最大值及此時動點M的坐標；（3）將點A繞原點旋轉得點A，連接CA、BA，在旋轉過程中，一動點M從點B出發，沿線段BA以每秒3個單位的速度運動到A，再沿線段AC以每秒1個單位長度的速度運動到C后停止，求點M在整個運動過程中用時最少是多少？【答案】（1）

10、yx2+2x+3；（2）S與m的函數表達式是S，S的最大值是，此時動點M的坐標是（，）；（3）點M在整個運動過程中用時最少是秒【解析】【分析】（1）首先求出B點的坐標，根據B點的坐標即可計算出二次函數的a值，進而即可計算出二次函數的解析式;（2）計算出C點的坐標，設出M點的坐標，再根據ABM的面積為SS四邊形OAMBSAOBSBOM+SOAMSAOB，化簡成二次函數，再根據二次函數求解最大值即可.（3）首先證明OHAOAB，再結合AH+ACHC即可計算出t的最小值.【詳解】（1）將x0代入y3x+3，得y3，點B的坐標為（0，3），拋物線yax22ax+a+4（a0）經過點B，3a+4，得a1

11、，拋物線的解析式為：yx2+2x+3；（2）將y0代入yx2+2x+3，得x11，x23，點C的坐標為（3，0），點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內，點M的橫坐標為m，0m3，點M的坐標為（m，m2+2m+3），將y0代入y3x+3，得x1，點A的坐標（1，0），ABM的面積為S，SS四邊形OAMBSAOBSBOM+SOAMSAOB，化簡，得S，當m時，S取得最大值，此時S，此時點M的坐標為（，），即S與m的函數表達式是S，S的最大值是，此時動點M的坐標是（，）；（3）如右圖所示，取點H的坐標為（0，），連接HA、OA，HOAAOB，OHAOAB，即，AH+ACHC，t，即點M在整

12、個運動過程中用時最少是秒【點睛】本題主要考查拋物線的性質，關鍵在于設元，還有就是（3）中利用代替法計算t的取值范圍，難度系數較大，是中考的壓軸題.4如圖，直線y-x-3與x軸，y軸分別交于點A，C，經過點A，C的拋物線yax2+bx3與x軸的另一個交點為點B(2，0)，點D是拋物線上一點，過點D作DEx軸于點E，連接AD，DC設點D的橫坐標為m(1)求拋物線的解析式；(2)當點D在第三象限，設DAC的面積為S，求S與m的函數關系式，并求出S的最大值及此時點D的坐標；(3)連接BC，若EADOBC，請直接寫出此時點D的坐標【答案】(1)yx2+x3；(2)SADC=(m+3)2+；ADC的面積最

13、大值為；此時D(3，)；(3)滿足條件的點D坐標為(4，3)或(8，21).【解析】【分析】（1）求出A坐標，再用待定系數法求解析式；（2）設DE與AC的交點為點F.設點D的坐標為：(m，m2+m3)，則點F的坐標為：(m，m3)，根據SADCSADF+SDFC求出解析式，再求最值；（3）當點D與點C關于對稱軸對稱時，D(4，3)，根據對稱性此時EADABC作點D(4，3)關于x軸的對稱點D(4，3)，直線AD的解析式為yx+9，解方程組求出函數圖像交點坐標.【詳解】解：(1)在yx3中，當y0時，x6，即點A的坐標為：(6，0)，將A(6，0)，B(2，0)代入yax2+bx3得：，解得：，

14、拋物線的解析式為：yx2+x3；(2)設點D的坐標為：(m，m2+m3)，則點F的坐標為：(m，m3)，設DE與AC的交點為點F.DFm3(m2+m3)m2m，SADCSADF+SDFCDFAE+DFOEDFOA×(m2m)×6m2m(m+3)2+，a0，拋物線開口向下，當m3時，SADC存在最大值，又當m3時，m2+m3，存在點D(3，)，使得ADC的面積最大，最大值為；(3)當點D與點C關于對稱軸對稱時，D(4，3)，根據對稱性此時EADABC作點D(4，3)關于x軸的對稱點D(4，3)，直線AD的解析式為yx+9，由，解得或，此時直線AD與拋物線交于D(8，21)，滿

15、足條件，綜上所述，滿足條件的點D坐標為(4，3)或(8，21) 【點睛】本題屬于二次函數綜合題，考查了待定系數法，一次函數的應用，二次函數的性質等知識，解題的關鍵是學會構建二次函數解決最值問題，學會構建一次函數解決實際問題，屬于中考壓軸題.5如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸，軸分別交于點A、B，拋物線經過點A和點B，與x軸的另一個交點為C，動點D從點A出發，以每秒1個單位長度的速度向O點運動，同時動點E從點B出發，以每秒2個單位長度的速度向A點運動，設運動的時間為t秒，0t5.（1）求拋物線的解析式；（2）當t為何值時，以A、D、E為頂點的三角形與AOB相似；（3）當ADE為等腰三角形時，求

16、t的值；（4）拋物線上是否存在一點F，使得以A、B、D、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出F點的坐標；若不存在，說明理由.【答案】（1）拋物線的解析式為；（2）t的值為或； （3）t的值為或或； （4）符合條件的點F存在，共有兩個（4，8），-8）.【解析】（1）由B、C兩點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線的解析式；（2）利用ADEAOB和AEDAOB即可求出t的值；（3）過E作EHx軸于點H，過D作DMAB于點M即可求出t的值；（4）分當AD為邊時，當AD為對角線時符合條件的點F的坐標.解：(1)A（6,0），B（0,8），依題意知，解得，.(2) A（6,0），B（0,8），

17、OA=6，OB=8，AB=10，AD=t，AE=10-2t，當ADEAOB時，；當AEDAOB時，；綜上所述，t的值為或.(3) 當AD=AE時，t=10-2t，；當AE=DE時，過E作EHx軸于點H，則AD=2AH，由AEHABO得，AH=，；當AD=DE時，過D作DMAB于點M，則AE=2AM，由AMDAOB得，AM=，；綜上所述，t的值為或或.(4) 當AD為邊時，則BFx軸，求得x=4，F（4，8）；當AD為對角線時，則，解得，x0，.綜上所述，符合條件的點F存在，共有兩個（4，8），-8）.“點睛”本題考查二次函數綜合題、相似三角形等知識，解題的關鍵是學會待定系數法確定函數解析式，學

18、會分類討論，用方程的思想解決問題，屬于中考壓軸題6如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經過點A（0，3)、B（1，0），其對稱軸為直線l：x=2，過點A作ACx軸交拋物線于點C，AOB的平分線交線段AC于點E，點P是拋物線上的一個動點，設其橫坐標為m.（1）求拋物線的解析式； （2）若動點P在直線OE下方的拋物線上，連結PE、PO，當m為何值時，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值； （3）如圖，F是拋物線的對稱軸l上的一點，在拋物線上是否存在點P使POF成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）y=x2-4x+

19、3.（2）當m=時，四邊形AOPE面積最大，最大值為.（3）P點的坐標為 ：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）. 【解析】分析：（1）利用對稱性可得點D的坐標，利用交點式可得拋物線的解析式；（2）設P（m，m2-4m+3），根據OE的解析式表示點G的坐標，表示PG的長，根據面積和可得四邊形AOPE的面積，利用配方法可得其最大值；（3）存在四種情況：如圖3，作輔助線，構建全等三角形，證明OMPPNF，根據OM=PN列方程可得點P的坐標；同理可得其他圖形中點P的坐標詳解：（1）如圖1，設拋物線與x軸的另一個交點為D，由對稱性得：D（3，0），設拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x-3

20、），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，拋物線的解析式；y=x2-4x+3；（2）如圖2，設P（m，m2-4m+3），OE平分AOB，AOB=90°，AOE=45°，AOE是等腰直角三角形，AE=OA=3，E（3，3），易得OE的解析式為：y=x，過P作PGy軸，交OE于點G，G（m，m），PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，S四邊形AOPE=SAOE+SPOE，=×3×3+PGAE，=+×3×（-m2+5m-3），=-m2+m，=（m-）2+，-0，當m=時，S有最大值是；（3）如圖3，過P作MNy軸，交y軸于M，交

21、l于N，OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，易得OMPPNF，OM=PN，P（m，m2-4m+3），則-m2+4m-3=2-m，解得：m=或，P的坐標為（，）或（，）；如圖4，過P作MNx軸于N，過F作FMMN于M，同理得ONPPMF，PN=FM，則-m2+4m-3=m-2，解得：x=或；P的坐標為（，）或（，）；綜上所述，點P的坐標是：（，）或（，）或（，）或（，）點睛：本題屬于二次函數綜合題，主要考查了二次函數的綜合應用，相似三角形的判定與性質以及解一元二次方程的方法，解第（2）問時需要運用配方法，解第（3）問時需要運用分類討論思想和方程的思想解決問題7綜合與探究如圖，拋物線經過點A(-

22、2,0)，B(4,0)兩點，與軸交于點C，點D是拋物線上一個動點，設點D的橫坐標為.連接AC，BC，DB，DC(1)求拋物線的函數表達式；(2)BCD的面積等于AOC的面積的時，求的值；(3)在(2)的條件下，若點M是軸上的一個動點，點N是拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點M,使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)3；(3).【解析】【分析】(1)利用待定系數法進行求解即可；(2)作直線DE軸于點E，交BC于點G，作CFDE，垂足為F，先求出SOAC=6，再根據SBCD=SAOC，得到SBCD =，然后求

23、出BC的解析式為，則可得點G的坐標為，由此可得，再根據SBCD=SCDG+SBDG=，可得關于m的方程，解方程即可求得答案；(3)存在，如下圖所示，以BD為邊或者以BD為對角線進行平行四邊形的構圖，以BD為邊時，有3種情況，由點D的坐標可得點N點縱坐標為±，然后分點N的縱坐標為和點N的縱坐標為兩種情況分別求解；以BD為對角線時，有1種情況，此時N1點與N2點重合，根據平行四邊形的對邊平行且相等可求得BM1=N1D=4，繼而求得OM1= 8，由此即可求得答案.【詳解】(1)拋物線經過點A(-2,0)，B(4,0)，解得，拋物線的函數表達式為；(2)作直線DE軸于點E，交BC于點G，作C

24、FDE，垂足為F，點A的坐標為(-2,0)，OA=2，由，得，點C的坐標為(0,6)，OC=6，SOAC=，SBCD=SAOC，SBCD =，設直線BC的函數表達式為，由B，C兩點的坐標得，解得，直線BC的函數表達式為，點G的坐標為，點B的坐標為(4,0)，OB=4，SBCD=SCDG+SBDG=，SBCD =，解得(舍)，的值為3；(3)存在，如下圖所示，以BD為邊或者以BD為對角線進行平行四邊形的構圖，以BD為邊時，有3種情況，D點坐標為，點N點縱坐標為±，當點N的縱坐標為時，如點N2，此時，解得：(舍)，；當點N的縱坐標為時，如點N3，N4，此時，解得：，；以BD為對角線時，有

25、1種情況，此時N1點與N2點重合，D(3，)，N1D=4，BM1=N1D=4，OM1=OB+BM1=8，M1(8，0)，綜上，點M的坐標為：.【點睛】本題考查的是二次函數的綜合題，涉及了待定系數法、三角形的面積、解一元二次方程、平行四邊形的性質等知識，運用了數形結合思想、分類討論思想等數學思想，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵.8在直角坐標系中，我們不妨將橫坐標，縱坐標均為整數的點稱之為“中國結”。（1）求函數y=x+2的圖像上所有“中國結”的坐標；（2）求函數y=（k0，k為常數）的圖像上有且只有兩個“中國結”，試求出常數k的值與相應“中國結”的坐標；（3）若二次函數y=（k為常數）的

26、圖像與x軸相交得到兩個不同的“中國結”，試問該函數的圖像與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有多少個“中國結”？【答案】（1）（0,2）；（2）當k=1時，對應“中國結”為（1,1）（1，1）；當k=1時，對應“中國結”為（1，1），（1,1）；（3）6個.【解析】試題分析：（1）因為x是整數，x0時，x是一個無理數，所以x0時，x+2不是整數，所以x=0，y=2，據此求出函數y=x+2的圖象上所有“中國結”的坐標即可（2）首先判斷出當k=1時，函數y=（k0，k為常數）的圖象上有且只有兩個“中國結”：（1，1）、（1、1）；然后判斷出當k1時，函數y=（k0，k為常數）的圖象上最少有

27、4個“中國結”，據此求出常數k的值與相應“中國結”的坐標即可（3）首先令（k23k+2）x2+（2k24k+1）x+k2k=0，則（k1）x+k（k2）x+（k1）=0，求出x1、x2的值是多少；然后根據x1、x2的值是整數，求出k的值是多少；最后根據橫坐標，縱坐標均為整數的點稱之為“中國結”，判斷出該函數的圖象與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有多少個“中國結”即可試題解析：（1）x是整數，x0時，x是一個無理數，x0時，x+2不是整數，x=0，y=2，即函數y=x+2的圖象上“中國結”的坐標是（0，2）（2）當k=1時，函數y=（k0，k為常數）的圖象上有且只有兩個“中國結”：（

28、1，1）、（1、1）；當k=1時，函數y=（k0，k為常數）的圖象上有且只有兩個“中國結”：（1，1）、（1，1）當k±1時，函數y=（k0，k為常數）的圖象上最少有4個“中國結”：（1，k）、（1，k）、（k，1）、（k，1），這與函數y=（k0，k為常數）的圖象上有且只有兩個“中國結”矛盾，綜上可得，k=1時，函數y=（k0，k為常數）的圖象上有且只有兩個“中國結”：（1，1）、（1、1）；k=1時，函數y=（k0，k為常數）的圖象上有且只有兩個“中國結”：（1，1）、（1、1）（3）令（k23k+2）x2+（2k24k+1）x+k2k=0，則（k1）x+k（k2）x+（k1）=

29、0，整理，可得x1x2+2x2+1=0，x2（x1+2）=1，x1、x2都是整數，或或當時，k=；當時，k=k1，無解；綜上，可得k=，x1=3，x2=1，y=（k23k+2）x2+（2k24k+1）x+k2k=()23×+2x2+2×（）24×+1x+（）2=x2x+當x=2時，y=x2x+=×（2）2×（2）+=當x=1時，y=x2x+=×（1）2×（1）+=1當x=0時，y=，另外，該函數的圖象與x軸所圍成的平面圖形中x軸上的“中國結”有3個：（2，0）、（1、0）、（0，0）綜上，可得若二次函數y=（k23k+2）x

30、2+（2k24k+1）x+k2k（k為常數）的圖象與x軸相交得到兩個不同的“中國結”，該函數的圖象與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有6個“中國結”：（3，0）、（2，0）、（1，0）（1，1）、（0，0）、（1，0）考點：反比例函數綜合題9如圖，在平面直角坐標系中，二次函數交軸于點、，交軸于點，在軸上有一點，連接. （1）求二次函數的表達式；（2）若點為拋物線在軸負半軸上方的一個動點，求面積的最大值；（3）拋物線對稱軸上是否存在點，使為等腰三角形，若存在，請直接寫出所有點的坐標，若不存在請說明理由.【答案】（1）二次函數的解析式為；（2）當時，的面積取得最大值；（3）點的坐標為，.

31、【解析】分析：（1）把已知點坐標代入函數解析式，得出方程組求解即可； （2）根據函數解析式設出點D坐標，過點D作DGx軸，交AE于點F，表示ADE的面積，運用二次函數分析最值即可； （3）設出點P坐標，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三種情況討論分析即可詳解：（1）二次函數y=ax2+bx+c經過點A（4，0）、B（2，0），C（0，6），解得：，所以二次函數的解析式為：y=；（2）由A（4，0），E（0，2），可求AE所在直線解析式為y=，過點D作DNx軸，交AE于點F，交x軸于點G，過點E作EHDF，垂足為H，如圖， 設D（m，），則點F（m，），DF=（）=，SADE=SADF+SE

32、DF=×DF×AG+DF×EH =×DF×AG+×DF×EH =×4×DF =2×（） =，當m=時，ADE的面積取得最大值為 （3）y=的對稱軸為x=1，設P（1，n），又E（0，2），A（4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三種情況討論：當PA=PE時，=，解得：n=1，此時P（1，1）； 當PA=AE時，=，解得：n=，此時點P坐標為（1，）； 當PE=AE時，=，解得：n=2，此時點P坐標為：（1，2） 綜上所述：P點的坐標為：（1，1），（1，），（1，2）點睛：本題主要考查二次函數的綜合問題，會求拋物線解析式，會運用二次函數分析三角形面積的最大值，會分類討論解決等腰三角形的頂點的存在問題時解決此題的關鍵10如圖，矩形OABC的兩邊在坐標軸上，點A的坐標為（10，0），拋物線y=ax2+bx+4過點B，C兩點，且與x軸的一個交點為D（2，0），點P是線段CB上的動點，設CP=t（0t10）（1）請直接寫出