1、一、數學規劃模型1 問題的提出某企業將鋁加工成A,B兩種鋁型材，每5噸鋁原料就能在甲設備上用12小時加工成3噸A型材，每噸A獲利2400元，或者在乙設備上用8小時加工成4噸B型材，每噸B獲利1600元?，F在加工廠每天最多能得到250噸鋁原料，每天工人的總工作時間不能超過為480小時，并且甲種設備每天至多能加工100噸A，乙設備的加工能力沒有限制。 （1）請為該企業制定一個生產計劃，使每天獲利最大。 （2）若用1000元可買到1噸鋁原料，是否應該做這項投資？若投資，每天最多購買多少噸鋁原料？ （3）如果可以聘用臨時工人以增加勞動時間，付給工人的工資最多是每小時幾元？ （4）如果每噸A型材的獲利增

2、加到3000元，應否改變生產計劃？2 問題分析與假設2.1問題分析我們為該企業制定的生產計劃要使得每天獲利最大，也就是也就是要確定分別用多少噸鋁原料分配給甲、乙設備使得總利潤最大，因此分配給甲、乙設備鋁材料的噸數就是我們這次線性規劃的決策變量，由此就確定了獲利的目標函數。同時目標函數又要滿足一些約束條件，如每天最多能得到250噸鋁原料、每天工人的總工作時間不能超過為480小時、甲種設備每天至多能加工100噸A，由此可以建立求解利潤最大化的數學模型。對于問題2,3上，僅僅改變相關參數，就可以的到最優解所得到最大值的變化，也就是所謂的影子價格，通過與影子價格比較，制定相應的策略。對于問題4可以從兩

3、個角度進行分析，一種直接改變參數，觀察最優解是否變化，另外一種是對其進行靈敏度分析，觀察其系數是否落在取值范圍內。2.2問題假設1假設加工A,B型材的鋁原料數是滿足鋁原料供應的非負實數；2. 假設是在完全市場經濟的情形下，進行問題分析的3假設A，B 型材每噸的獲利是與產量，所用時間是相互獨立的，即兩兩之間是沒有關系的。這三條假設是進行線性規劃，影子價格分析的基礎3 模型建立在模型建立之前，我們先給出如下記號：分配給甲設備個5噸鋁材料：分配給乙設備個5噸鋁材料：每天的生產獲利現在我們建立數學模型各給甲、乙分配5噸原材料的情況下，原材料的生產能力、消耗時間、獲利之間的關系如下表：甲設備消耗5噸鋁材

4、料/甲設備消耗5噸鋁材料/所用時間128產量3噸A產品4噸B產品獲利32400=720041600=6400由于5噸產品給甲設備生產，能夠得到3噸A產品，能夠獲利7200元，并且5噸產品給乙設備生產，能夠得到4噸B產品，能夠獲利6400元，則建立目標函數并且由于1）加工廠每天最多能得到250噸鋁原料，2）每天工人的總工作時間不能超過為480小時，并且3）甲種設備每天至多能加工100噸A，乙設備的加工能力沒有限制，同時應滿足非負約束，則其應滿足約束條件：4 模型求解4.1問題1求解根據建立的模型，我們可以知道，我們利用Matlab來進行求解，將問題極小化以便處理，即，則當時的最優解時，也就是的最

5、有解，進而將問題轉化為： 解得那么此時最優解是，即分配給甲100噸，分配給乙150噸，此時獲得最大利潤萬元。4.2問題的進一步求解42.1若用1000元可買到1噸鋁原料，即加工廠每天最多能得到251噸鋁原料，則可以原問題轉化為此時最優解并且，則，利潤相比增加了960 1000。那么此時說明不應該做這項投資。其實這960元就是鋁材料的影子價格，在完全市場經濟的條件下，由于該資源的價格高于影子價格，則此時企業應當賣掉該資源，而不是擴大生產。同樣對于問題3，當工時增加1小時，企業能夠獲得多獲得大的利益，同樣這也是工人工資的影子價格，和上述方法類似計算得到工人的影子價格是200元，即付給工人的工資最多

6、不能超過200元，否則還不如不要這個工人所帶來的收益更大。對于問題4，當A產品的獲利變為每噸為3000元時，改變相關參數，與上述3個問題類似，我么可以得到最優解仍是，并且我們求得元。所以不需要改變生產計劃。接下來進行參數的靈敏度分析，使用LINGO11軟件進行靈敏度分析較好，所以在這使用了這個軟件進行分析，軟件運行截圖如下：Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X

7、1 7200.000 2400.0000 800.0000 X2 6400.000 800.0000 1600.0000Righthand Side Ranges Row Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease STUFF 250.0000 50.00000 33.33333 TIME 480.0000 53.33333 80.00000CAPACITY 100.0000 INFINITY 40.00000得到的取值范圍，得到的取值范圍，在這樣的取值范圍內，最優解不改變。顯然問題4求解的9000就落在取值范圍，從這角度也驗證了此時最優解

8、不改變。鋁原料最多可增加50噸，勞動時間最多可增加53.3h，在這些取值范圍內，進行影子價格的討論才是有意義的。5 模型評價該模型是在在完全市場經濟的情形下，假設A，B 型材每噸的獲利是與產量，所用時間相互獨立的情況下，建立線性規劃模型，前者是影子價格分析的前提，后者是線性的模型。對于問題1,2,3，筆者都是利用matlab分析的，matlab進行求最優解和影子價格的求解還是很方便的，但是不適合對于參數的敏感性的分析，這里筆者采用了lingo軟件，得到內容豐富的輸出，雖然輸出的內容很多，這里筆者僅僅使用了一部分筆者關心的數據，事實上lingo是解決線性規劃問題很好的軟件，這對于未來解決實際問題

9、也是十分有用的。6 模型推廣與優化該模型是個簡單的線性規劃問題，運用了單純形法、對偶問題、影子價格等問題，事實上該模型不僅適應與生產計劃的制定，同時也可以應用于市場銷售、庫存管理、運輸問題等領域，此外還有合理下料、配料問題、物料管理等方面，分析方法、建模方法都是類似的。由于該模型僅僅適應線性規劃，實際上，我們還可以引進正負偏差量等，將線性規劃變為目標規劃，這就能夠適應更多的情形，而這些引進都是當市場條件改變的時候才發生改變。7 程序附錄一8 參考文獻1運籌學 甘應愛、田豐等 清華大學出版社 背景 20052數學建模案例分析 白其崢 海洋出版社 2000年 北京3數學實驗初步 肖海軍 科學出版社

10、 2007 北京二、魚的捕撈問題1問題提出作為魚塘的管理者來說，在相同的初始魚苗量的情況下，養殖費基本是固定的，但是經濟效益會隨著捕撈策略的改變而改變，那么采取何種捕撈策略，就會使得在固定的投入下，產生更大的效益呢？捕撈問題就是在這樣的背景下產生的。1.1在魚塘中投放尾魚苗，隨著時間的增長，尾數將減少而每尾的重量將增加。設尾數的(相對)減少率為常數;由于喂養引起的每尾魚重量的增加率與魚的表面積成正比，由于消耗引起的每尾魚重量的減少率與質量本身成正比。分別建立尾數和每尾魚重的微分方程，并求解。1.2用控制網眼的辦法不捕小魚，到時刻T才開始捕撈，捕撈能力用尾數的相對減少量表示，記作E，即單位時間捕

11、獲量是E。問如何選擇T和E，使從T開始的捕獲量最大。2問題的分析與假設2.1分析魚的捕撈策略會受到很多因素的影響，如氣候、水溫、天敵、中間斗爭等因素都在影響捕撈策略的制定，但是這些因素都不是主要的，主要因素還是捕撈能力及捕撈時機這兩個。我們在建模的過程中，沒有必要考慮所有的因素，只要抓住主要的、關鍵的因素做出合理的假設，我們這個模型就是在抓住主要因素，忽略次要因素的基礎上建立起來的。對于問題1.1，在不考慮捕撈的情況下，魚的尾數的(相對)減少率為常數，初始尾魚苗，那么可以依據此條件建立起微分方程，通過求解可以得到魚的尾數關于的函數表達式。由于喂養引起的每尾魚重量的增加率與魚的表面積成正比，并且

12、消耗引起的每尾魚重量的減少率與質量本身成正比，這樣我們就可以建立魚重量的變化率和質量以及表面積的關系，同時我們又知道質量與表面積也存在一定的關系，這是由于質量與體積成正比（我們在這里假設魚的密度是一個常數），并且我們在假設魚是橢球體的情況下，魚的體積與表面積存在某種固定關系，通過這些關系，我們可以建立魚質量的變化率和魚質量間的函數關系，通過取極限，我們就可以得到關于魚重的微分方程。通過求解我們就可以的到魚的重量與的關系。對于問題1.2，在有捕撈也有自然死亡的情況下，尾數的相對減少量不僅與魚的自然死亡有關，還與捕撈能力有關，我們先假設捕撈能力為一常數，從而可以建立起微分方程，求得通過求解可以得到

13、魚的尾數關于的函數表達式。同時對于捕撈量，要使得從T開始的捕獲量最大，那么就要達到最大值，那么如何求得T，將是后面建模將要解決的問題。2.2假設在建立模型之前，我們要進行合理的假設：2.2.1 假設魚的尾數是關于的連續可微函數2.2.2 假設魚的重量是關于的連續可微函數2.2.3 假設魚的密度是一個常數2.2.4 假設魚是橢球體的，三個方向上的半徑分別是在不考慮捕撈的情況下，魚的尾數的(相對)減少率為常數喂養引起的每尾魚重量的增加率與魚的表面積成正比,比例為消耗引起的每尾魚重量的減少率與質量本身成正比，比例為魚的尾數的減少僅自然死亡和捕撈有關，排除其他因素，如天敵、氣候、環境污染、種內斗爭等因

14、素3模型的建立3.1在模型建立之前，我們先在這里給出相應的記號： 魚的尾數 魚的質量 魚的尾數的(相對)減少率為常數 魚的初始質量 喂養引起的每尾魚重量的增加率與魚的表面積成正比的比例系數 消耗引起的每尾魚重量的減少率與質量本身成正比的比例系數魚是橢球體的，三個方向上的半徑分別是 魚的密度是一個常數 魚的體積 魚的表面積 總的捕撈量 捕撈能力 捕撈時機3.2無捕撈情況下，建立尾數的微分方程模型在魚塘中投放尾魚苗，魚的尾數的(相對)減少率為常數為則 并且兩邊令有 很容易解得該方程的解為該模型符合魚尾數是逐漸減少情形3.3 建立魚重與的時間關系首先我們知道由于喂養引起的每尾魚重量的增加率與魚的表面

15、積成正比，比例系數為。由于消耗引起的每尾魚重量的減少率與質量本身成正比，比例系數為，則兩邊同時令，得到 , 現在我們來建立由于由于目前對于橢球表面積并沒有確定的公式，在相差不大的情況下，這里僅給出一個近似公式則則，我們再令得到，3.4 建立捕撈量與捕撈時機之間的關系首先由于有捕撈的情況下，魚的尾數之間的微分方程關系就需要考慮捕撈量，并且由于單位時間捕獲量是E，則建立微分方程有： （）并且由于時刻后才有捕撈，則很容易求得該微分方程的解為 （）又對于捕撈量，要使得從T開始的捕獲量最大，那么就要達到最大值則通過代入有捕撈量時的，并代入質量，就可以得到的具體表達式。4模型的求解4.1求解無捕撈情況下，

16、建立尾數的微分方程在無捕撈的情形下，之前已經求得，現在我們要對這個參數進行合理的討論，通過Matlab作圖進行分析在不同的參數下尾數關于的大致走勢，這里應用這4個進行分析，做出圖形。（程序附錄2）顯然根據實際情況，是一個接近與0較小的數，否則養殖者將無法盈利，當大于1的情況在現實生活中也有可能出現，比如出現大規模的病害，或者天敵的入侵，這都是我們所不需要討論的極端情況，我們只是針對一般情況作出討論，所以是一個較小的數。4.2求解魚重與的微分方程由之前建立好的微分方程，有 該方程利用變量分離的辦法，很容易求出其解，筆者在這里利用Matlab來進行求解。（程序見附錄2）程序求解為(b + 1/ex

17、p(c*(C3 + t)/3)3/c3，代入初值化簡可以得到如下：,由于隨著的增大而增大，關于是遞減函數，則要求是遞增函數，則要求，這也是說明滿足該式是魚的固有屬性。4.3求解捕撈量與捕撈時機由于捕撈量其中，有捕撈的情況下，并且則由于是實際問題存在，并且與無關，僅與有關我們不妨設其值為，為一常數則我們利用這個積分公式可以將轉變為一個關于，的函數，里面將不含積分，由于沒有具體數據，這里給出具體的函數也是沒有多大意義的，但是很容易通過計算是知道這個函數的具體的表達式的，我們不妨設其為則這就是關于，的二元函數，通過對二元函數求極值的方法，我們就可以確定最佳的,使得達到最大，我們剛開始是假設為一常數，

18、那是為了更方便的建立方程，后來我們可以看到實際上是一個獨立的參數，建立起了關于，的函數，由于問題的規模已經超出了筆者的能力，這里僅僅是提出一個思路，具體的求解有待未來知識儲備加深后進行進一步的突破。5模型評價該模型將魚的體積簡化成為一個橢球體，以此為基礎建立起了和之間的關系，這是該模型的出發點，并且假設魚的質量是分布均勻的，并想從網上找到魚的密度等相關參數，發現沒有前人對其具體測量過，這需要我們在對具體養殖的時候要測出該魚種類的密度等參數，將余簡化為橢球體方便我們建立起微分方程，事實上這樣的假設也是十分合理的。但是我們這個模型并沒有給出合適的捕撈時機和捕撈能力，一方面是由于條件的限制，相關參數，具體數據缺乏，另一方面也是筆者能力有限，雖知道無窮積分的存在性，但是卻無法通過已學知識給出具體的表達式，這也是本次建模不足的地方，未來將在這個地方予以突破。6 模型的推廣與改進該模型雖然是建立對魚的捕撈的基礎上的，但是由于水產品生長機理相似性，我們可以將其推廣到蝦，黃鱔等捕撈問題上，比如當蝦時，我們可以將蝦簡化為一個長方體，將黃鱔假定為一個圓柱體等等。并且我們這次建模僅僅考慮捕撈，而沒有考慮養殖，繁殖等因素，若引入這兩種因素，就會使得問題的規模變得更復雜，需要利