1、學習必備歡迎下載第一章解三角形一 . 正弦定理：1. 正弦定理：在一個三角形中， 各邊和它所對角的正弦的比相等， 并且都等于外接圓的直徑，即abcR （其中R 是三角形外接圓的半徑）sin Asin Bsin C22. 變形： 1）ab cabcsinsin Csinsinsinsin C2）化邊為角： a : b : csin A: sin B : sin C ；asin A ;bsin B ;asin A ;bsin Bcsin Ccsin C3）化邊為角：a 2R sin A,b 2R sin B,c2R sin C4）化角為邊：sin Aa ;sin Bb ; sin Aa ;sin

2、Bbsin Cc sin Cc5）化角為邊：sin Aasin Bbc,sin C2R2R2R3. 利用正弦定理可以解決下列兩類三角形的問題：已知兩個角及任意邊，求其他兩邊和另一角；例：已知角 B,C,a ，解法：由oA,由正弦定理asin Absin BA+B+C=180， 求角b;c;sin Bsin Ca sin A ; 求出 b 與 c c sin C已知兩邊和其中邊的對角，求其他兩個角及另一邊。例：已知邊 a,b,A,解法：由正弦定理 asin Ao 求出角 C，再使用正bsin B求出角 B, 由 A+B+C=180弦定理 asin A 求出 c 邊csin C4. ABC中，已知

3、銳角 A，邊 b，則 a b sin A 時， B 無解； a b sin A 或 a b 時， B有一個解； bsin A a b 時， B 有兩個解。bb sin AA如：已知 A60 , a2,b23 , 求 B ( 有一個解 )已知 A60 , b2,a23 , 求 B ( 有兩個解 )注意：由正弦定理求角時，注意解的個數。學習必備歡迎下載二 . 三角形面積1.S ABC1 ab sin C1 bcsin A1 ac sin B2222.S ABC1 (abc)r , 其中 r 是三角形內切圓半徑 .21 (a b c) ,3.S ABCp( pa)( p b)( pc) , 其中 p

4、abc ,R 為外接圓半徑24.S ABC4R5.S ABC2R 2 sin A sin B sin C ,R 為外接圓半徑三 . 余弦定理1. 余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的 2 倍，即a 2b2c22bc cos Ab2a 2c22ac cos Bc 2a2b22ab cosCb2c2a 22. 變形： cos A2bca 2c 2b 2cos B2aca 2b 2c2cosC2ab注意整體代入，如： a 2c2b2ac cosB13利用余弦定理判斷三角形形狀：2設 a 、 b 、 c 是C 的角、 C 的對邊，則：若，所以為銳角若 c

5、2b2a2A為直角若，所以為鈍角，則是鈍角三角形學習必備歡迎下載4. 利用余弦定理可以解決下列兩類三角形的問題：1）已知三邊，求三個角2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角四、應用題1. 已知兩角和一邊（如 A、B、C），由 A+B+C = 求 C，由正弦定理求 a、b2. 已知兩邊和夾角（如 a、b、c），應用余弦定理求 c 邊；再應用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用 A+B+C = ，求另一角3. 已知兩邊和其中一邊的對角（如 a、b、A），應用正弦定理求 B，由 A+B+C= 求 C，再由正弦定理或余弦定理求 c 邊，要注意解可能有多種情況4. 已知三邊 a、 b、 c，應用

6、余弦定理求 A、B，再由 A+B+C = ，求角 C5. 方向角一般是指以觀測者的位置為中心， 將正北或正南方向作為起始方向旋轉到目標的方向線所成的角（一般指銳角） ，通常表達成 . 正北或正南，北偏東××度，北偏西××度，南偏東××度，南偏西××度 .6. 俯角和仰角的概念：在視線與水平線所成的角中 , 視線在水平線上方的角叫仰角 , 視線在水平線下方的角叫俯角.視線鉛仰角直線水平線俯角視線五、三角形中常見的結論1）三角形三角關系： A+B+C=180°； C=180° (A+B)；2）三角形

7、三邊關系：兩邊之和大于第三邊：，；兩邊之差小于第三邊：，；3）在同一個三角形中大邊對大角：ABabsin Asin B4) 三角形內的誘導公式：sin( AB)sin C , cos( AB)cosC , tan(AB)tan C ,學習必備歡迎下載A BCsin(C )cos(C )tan()222tan2CC22cos()sin( )2225) 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin( ± ) sin cos ±cos sin .(2)cos(±) cos cos ?sin sin .tan ±tan (3)tan(±).1?tan tan 6) 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2 2sin cos .(2)cos 2 cos2 sin 2 2cos2 112sin 2 .(3) sin 21 cos2 ; cos21 cos2222tan(4)