1、第2課時(shí)用空間向量解決立體幾何中的垂直問題學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能用向量法判斷一些簡(jiǎn)單線線、線面、面面垂直關(guān)系.2.掌握用向量方法證明有關(guān)空間線面垂直關(guān)系的方法步驟.問題導(dǎo)學(xué)預(yù)勻新知夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)一向量法判斷線線垂直設(shè)直線l的方向向量為a=(ai,a2,a3),直線m的方向向量為b=(bi,b2,b3),則l±m?ab=0?abi+a2b2+a3b3=0.知識(shí)點(diǎn)二向量法判斷線面垂直設(shè)直線l的方向向量a=(ai,bi,Ci),平面”的法向量產(chǎn)(a2,b2,C2),則U?a/皿a=kkCR).知識(shí)點(diǎn)三向量法判斷面面垂直思考平面”，3的法向量分別為四=(xi,yi,Zi),=(X2,V2,Z2),

2、用向量坐標(biāo)法表示兩平面a,3垂直的關(guān)系式是什么？答案XiX2+yiy2+ZiZ2=0.梳理若平面a的法向量為尸(ai,bi,Ci),平面3的法向量為v=(a2,b2,C2),則a±3?(1_1_v?v=0?a_ia2+bjb2+5c2=0.思考辨析判斷正誤-(i)平面a的法向量是唯一的，即一個(gè)平面不可能存在兩個(gè)不同的法向量.(X)(2)兩直線的方向向量垂直，則兩條直線垂直.(，)(3)直線的方向向量與平面的法向量的方向相同或相反時(shí)，直線與平面垂直.(，)(4)兩個(gè)平面的法向量平行，則這兩個(gè)平面平行；兩個(gè)平面的法向量垂直，則這兩個(gè)平面垂直")信迪思維探究重點(diǎn)題型探究類型一線線

3、垂直問題例i已知正三棱柱ABCAiBiCi的各棱長(zhǎng)都為i,M是底面上BC邊的中點(diǎn)，N是側(cè)棱CCi上的點(diǎn)，且CN=4cCi.求證：ABiMN.考點(diǎn)向量法求解直線與直線的位置關(guān)系題點(diǎn)方向向量與線線垂直證明設(shè)AB中點(diǎn)為O,作OOi/AAi.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，OOi所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.4餡B。，。)，C(0,當(dāng),0),N",當(dāng)'4)B1&0,1).M為BC中點(diǎn)， .MN =.MABi=(1,0,1),-消71-1-.MNAB1=-4+0+4".-.MN±AB1,ABJMN.反思與感悟證明

4、兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標(biāo)系一寫出點(diǎn)的坐標(biāo)一求直線的方向向量一證明向量垂直一得到兩直線垂直.跟蹤訓(xùn)練1如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,求證:ACXBC1.考點(diǎn)向量法求解直線與直線的位置關(guān)系題點(diǎn) 方向向量與線線垂直證明二.直三棱柱 ABC A1B1C1底面三邊長(zhǎng) AC=3, BC=4, AB=5,.AC, BC, C1C兩兩垂直.如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA, CB, Cg所在直線分別為x軸，y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.則 C(0,0,0), A(3,0,0), C1(0,0,4), B(0,4,0),->_ _ _-&g

5、t;一- AC = (3,0,0), BC1=(0, 4,4),。-f - AC BC1 = 0.AC -L BC 1.類型二證明線面垂直例2如圖所示，正三棱柱 ABCAiBiCi的所有棱長(zhǎng)都為 2, D為CCi的中點(diǎn).求證：ABi,平面AiBD.考點(diǎn)向量法求解直線與平面的位置關(guān)系題點(diǎn)向量法解決線面垂直證明如圖所示，取BC的中點(diǎn)O,連接AO.因?yàn)锳BC為正三角形，所以AOXBC.因?yàn)樵谡庵鵄BCAiBiCi中，平面ABC，平面BCCBi,且平面ABCn平面BCCiBi=BC,AO?平面ABC,所以AO,平面BCCiBi.取B1C1的中點(diǎn)Oi,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OOi,OA所在直線分別為

6、x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則B(1,0,0),D(1,1,0),Ai(0,2,m),A(0,0,V3),Bi(1,2,0).所以ABi=(1,2,回BAi=(-1,2,小),BD=(-2,1,0).因?yàn)锳BiBAi=1X(T)+2X2+(W*V3=0.ABiBD=1X(-2)+2X1+(-a/3)X0=0.->.->->.->1一所以AB1，BA1，ABJBD,即AB1，BA1,AB1，BD.又因?yàn)锽AnBD=B,所以ABi,平面ABD.反思與感悟用坐標(biāo)法證明線面垂直的方法及步驟方法一：(i)建立空間直角坐標(biāo)系.(2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示.(3

7、)找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標(biāo)表示它們的方向向量.(4)分別計(jì)算兩組向量的數(shù)量積，得到數(shù)量積為0.方法二：(i)建立空間直角坐標(biāo)系.(2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示.求出平面的法向量.(4)判斷直線的方向向量與平面的法向量平行.跟蹤訓(xùn)練2如圖，在長(zhǎng)方體ABCDAiBiCiDi中，AB=AD=1,AA1=2,點(diǎn)P為DDi的中點(diǎn).求證：直線PB平面PAC.考點(diǎn)向量法求解直線與平面的位置關(guān)系題點(diǎn)向量法解決線面垂直證明 如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC, DA, DDi所在直線分別為x軸,y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系 Dxyz,C(1,0,0), A(0,1,0), P(0,0,1), Bi(1,1,

8、2),PC=(1,0, -1), pa=(0,1, - 1),- - -7PB1=(1,1,1), BQ=(0, -1, - 2),- 7,一 iB1A= (-1,0) 2).- PB1 PC= (1,1,1) (1,0, 1)=0,一一一->-> 一所以PBPC,即PB1±PC.一> ->一 一又PB1 ¥=(1,1,1) (。,1, 1)=0,所以 Pb11PA,即 PB1XPA.又FAnPC=P,所以PB/平面Pac.類型三 證明面面垂直問題例3三棱錐被平行于底面 ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為 A1B1C1, / BAC=90&#

9、176;, A1A，平面 ABC, A1A = V3, AB=AC = 2A1C1=2, D為BC的中點(diǎn).證明：平面 AAD,平面BCC1B1.考點(diǎn)向量法求解平面與平面的位置關(guān)系題點(diǎn)向量法解決面面垂直證明 方法一 如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB, AC, AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則 A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0), A1(0,0, V3), C1(0,1, V3).D為BC的中點(diǎn)，D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1,0),，一->一一 r一一一AD = (1,1,0), AA1=(0,0,出)，BC= (-2,2,0),.Ad bC=1x(

10、2)+1x2 + 0x0=0,A Al B C= 0X(2)+0X2+0X0=0,一 ,- 7 . ADXBC, AAJBC, BCXAD, BCXAA1.又 AiAAAD=A,，BC，平面 AiAD.又 BC?平面 BCCiBi,，平面 AiAD,平面 BCCiBi.萬法二同萬法一建系后，得 AAi=(0,0,小),AD = (i,i,0), BC=(-2,2,0), CCi=(0, - i, 回 設(shè)平面 AiAD的法向量為 ni=(xi, yi, z1)， 平面BCCiBi的法向量為 血=僅2, y2, Z2).ni AAi=0,由5得n i AD = 0,(#zi = 0, lxi +

11、y = 0,令 y1 = i,則 xi = i, 4 = 0, ni=(i, - i,0).n 2 BC = 0,n2 CC i= 0,2x2+2y2= 0, 丫2+版=0,令y2=i,則x2=i,Z2=乎,-nin2=ii+0=0,.ni_l_n2,，平面AiAD，平面BCCiBi.反思與感悟證明面面垂直的兩種方法(i)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明.(2)向量法：證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直.跟蹤訓(xùn)練3在正方體ABCDAiBiCiDi中，E,F分別是BB，CD的中點(diǎn).(i)求證：平面AED，平面AiFDi；(2)在直線AE上求一點(diǎn)M,使得AiM，平面AED.考

12、點(diǎn)向量法求解平面與平面的位置關(guān)系題點(diǎn)向量法解決面面垂直證明以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA,DC,DDi所在直線為x軸，y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則D(0,0,0),A(2,0,0),E(2,2,i),F(0,i,0),Ai(2,0,2),Di(0,0,2),->->->DA=DiAi=(2,0,0),DE=(2,2,1),DiF=(0,1,-2).設(shè)平面AED的一個(gè)法向量為ni=(xi,yi,zi).n i DA=(xi由5*I n i DE = xiyi, zi)(2, 0,yi, zi)(2, 2,0尸0,i尸0,2xi=0,2xi+

13、2y+zi=0.令yi=i,得ni=(0,i,2).同理，平面AiFDi的一個(gè)法向量為n2=(0,2,i).nin2=(0,i,2)(0,2,i)=0,.nn2,平面AED,平面AiFDi.(2)解由于點(diǎn)M在直線AE上，因此可設(shè)AM=2AE=X0,2,i)=(0,2X,九則M(2,2%機(jī).AiM=(0,2%入一2).一要使AiM，平面AED,只需AiM/%,口02入卜24刀/日、2即7=一了，解得壯-.i25故當(dāng)AM=|ae時(shí)，AiM,平面AED.檢測(cè)評(píng)價(jià)達(dá)標(biāo)過美達(dá)標(biāo)檢測(cè)i.下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為()若n1，n2分別是平面a,3的法向量，則ni/n2?a/3;若ni,n2分別是平面“3的

14、法向量，則“上僅nin2=0；若n是平面a的法向量，a是直線l的方向向量，若l與平面a平行，則na=0;若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面不垂直.A.iB.2C.3D.4考點(diǎn)向量法求解平面與平面的位置關(guān)系題點(diǎn)向量法解決面面垂直答案C解析中平面%3可能平行，也可能重合，結(jié)合平面法向量的概念，可知正確.2.已知兩直線的方向向量為a,b,則下列選項(xiàng)中能使兩直線垂直的為()A. a=(1,0,0),b=(3,0,0)B. a=(0,1,0),b=(1,0,1)C. a=(0,1,1),b=(0,1,1)D. a=(1,0,0),b=(-1,0,0)考點(diǎn)向量法求解直線與直線的位置關(guān)系題點(diǎn)向量法解決線

15、線垂直答案B解析因?yàn)閍=(0,1,0),b=(1,0,1),所以ab=0x1+1x0+0X1=0,所以a±b,故選B.3.若直線l的方向向量為a=(1,0,2),平面”的法向量為科=(2,0,4),則()A.l/aB.l±aC.l?aD.l與a斜交考點(diǎn)向量法求解直線與平面的位置關(guān)系題點(diǎn)向量法解決線面垂直答案B解析.all由U84 .平面a的一個(gè)法向量為m=(1,2,0),平面3的一個(gè)法向量為n=(2,1,0),則平面a與平面3的位置關(guān)系是()A.平行B.相交但不垂直C.垂直D,不能確定考點(diǎn)向量法求解平面與平面的位置關(guān)系題點(diǎn)向量法解決面面垂直答案C解析.(1,2,0)(2,1

16、,0)=0,，兩法向量垂直，從而兩平面垂直.5 .在三棱錐SABC中，/SAB=/SAC=/ACB=90°,AC=2,BC=V13,SB=V29,則異面直線SC與BC是否垂直.(填“是”或“否”)考點(diǎn)向量法求解直線與直線的位置關(guān)系題點(diǎn)向量法解決線線垂直答案是解析如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AS所在直線分別為y軸，z軸建5k立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則由AC=2,BC=V13,SB=恒,4屈'得 B(0, 取,0), S(0,0, 273),因?yàn)镾CCB=0,所以SC±BC.r規(guī)律與方法空間垂直關(guān)系的解決策略幾何法向量法線線垂直(1)證明兩直線所成的角為90°

17、;.(2)若直線與平面垂直，則此直線與平囿內(nèi)所后直線垂直兩直線的方向向量互相垂直線面垂直對(duì)于直線1,m,n和平囿a(1)若l,m,1±n,m?a,n?a,m與n相交，則l，a(2)若l/m,m±a,則l，a(1)證明直線的方向向量分別與平面內(nèi)兩條相交直線的方向向重垂直.(2)證明直線的方向向量與平囿的法向量是平行向量卸回垂直對(duì)于直線l,m和平囿a,3(1)若l,a,l?3,則a±0(2)若l,a,m±&l,m,則a±3，若干卸a與3相交所成的二面角為直角，則a±3證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直課時(shí)對(duì)點(diǎn)練注重雙基強(qiáng)化落實(shí)一、選擇題

18、1.設(shè)直線li,12的方向向量分別為a=(2,2,1),b=(3,2,m),若l/b,則m等于()A.2B.2C.6D.10考點(diǎn)向量法求解直線與直線的位置關(guān)系題點(diǎn)方向向量與線線垂直答案D解析因?yàn)閍±b,故ab=0,即一2X3+2X(2)+m=0,解得m=10.2.若平面“，3的法向量分別為a=(1,2,4),b=(x,1,2),并且氏則x的值為()1 1A.10B.10C.2D.2考點(diǎn)向量法求解平面與平面的位置關(guān)系題點(diǎn)向量法解決面面垂直答案B解析因?yàn)?amp;所以它們的法向量也互相垂直，所以ab=(-1,2,4)(x,1,2)=0,解得x=-10.3.已知點(diǎn)A(0,1,0),B(-1

19、,0,1),C(2,1,1),P(x,0,z),若PAL平面ABC,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A.(1,0,-2)B.(1,0,2)C.(-1,0,2)D.(2,0,1)考點(diǎn)向量法求解直線與平面的位置關(guān)系題點(diǎn)向量法解決線面垂直答案C解析由題意知AB=(-1,1,1),AC=(2,0,1),AP=(x,1,z),又PAL平面ABC,所以有AbaP=(1,1,1)(x,1,z)=0,得一x+1-z=0.ACAP=(2,0,1)(x,1,z)=0,得2x+z=0,聯(lián)立得x=1,z=2,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(一1,0,2).4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若E為A1C1的中點(diǎn)，則直線CE垂直于()A.AC

20、B.BDC.A1DD.A1A考點(diǎn)向量法求解直線與直線的位置關(guān)系題點(diǎn)方向向量與線線垂直答案B解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1.則C(0,1,0),B(1,1,0),A(1,0,0),D(0,0,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),F111E22'1J-Ce=-2,1>AC=(-1,1,0),-7-7-7BD=(-1,1,0),A1D=(1,0,1),A1A=(0,0,-1),(CEBD=(-1)x2+(1)X卜21+0X1=0,CEXBD.5.已知平面a內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)A(2,1,2),a的一個(gè)

21、法向量為n=(3,1,2),則下列點(diǎn)P中，在平面a內(nèi)的是()A.(1,1,1)B”，3,- EF = -BD1, AQEF=0, AC EF = 0,；C.R，-3,2)D.RT3，-m考點(diǎn)直線的方向向量與平面的法向量題點(diǎn)法向量求解線面垂直答案B解析要判斷點(diǎn)P是否在平面a內(nèi)，只需判斷向量PA與平面a的法向量n是否垂直，即PAn是否為0,因此，要對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn).對(duì)于選項(xiàng)A,甌=(1,0,1),則PAn=(1,0,1)(3,1,2)=5W0,故排除A；對(duì)于選項(xiàng)B,RA=口，4,21,則PPAn=1,4,2:(3,1,2)=0,故B正確；同理可排除C,D.故選B.6.在正方體ABCD A1B1C

22、1D1 中,E,F分別在AD,AC上，且A1E=-2A1D,AF=1AC,33則()A. EF至多與AD,AC中的一個(gè)垂直B. EFXA1D,EFXACC. EF與BD1相交D. EF與BD1異面考點(diǎn)直線的方向向量與平面的法向量題點(diǎn)求直線的方向向量答案B解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則Ai(1,0,1),D(0,0,0),1c1A(1,0,0),C(0,1,0),E3,0,3小21八噸，3，0%BCM,。)，Di(0,0,1),/-1D=(-1,0,1),AC=(-1,1,0),l'111-EF=

23、C，3，3/，BD1=(1,1,1),從而EF/BD1,EF±AiD,EFXAC,故選B.7.兩平面%3的法向量分別為1=(3,一1,z),v=(2,y,1),若a_L就則y+z的值是()A.-3B.6C.6D.-12考點(diǎn)向量法求解平面與平面的位置關(guān)系題點(diǎn)向量法求解面面垂直答案B解析a_L氏v=0,即-6+y+z=0,即y+z=6.二、填空題8 .如圖所示，在三棱錐A-BCD中，DA,DB,DC兩兩垂直，且七DB=DC,E為BC的中點(diǎn)，則AEBC=.考點(diǎn)向量法求解直線與直線的位置關(guān)系題點(diǎn)方向向量與線線垂直B一£答案0故aE bc =解析因?yàn)锽E=EC,故AE=DlDA=2(

24、dB+DC)dA,在三棱錐A-BCD中，DA,DB,DC兩兩垂直，且DB=DC,+DCj-9 .已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果AB=(2,1,4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,1).對(duì)于結(jié)論：APLAB;APLAD;AP是平面ABCD的法向量.其中正確的是.(填序號(hào))考點(diǎn)向量法求解直線與直線的位置關(guān)系題點(diǎn)向量法解決線線垂直答案解析APaB=(1,2,1)(2,1,-4)=1X2+2X(1)+(1)X(4)=0,APXAB,即正確.APAD=(-1,2,-1)(4,2,0)=1X4+2X2+(1)X0=0.APXAD,即正確.又.ABAAD=A,.APL平面ABC

25、D,即AP是平面ABCD的一個(gè)法向量，正確.10.在ABC中，A(1,-2,-1),B(0,3,1),C(2,-2,1).若向量n與平面ABC垂直,且|n|=&T,則n的坐標(biāo)為.考點(diǎn)向量法求解線面垂直問題題點(diǎn)向量法求解線面垂直答案(一2,4,1)或(2,4,-1)解析據(jù)題意，得Ab=(-1,1,2),AC=(1,0,2).設(shè)n=(x,y,z),=n與平面ABC垂直，nAB=0,xy+2z=0,.5即、nAC=0,x+2z=0,|n|=J21,x2+y2+z2=炳解得y=4或y=-4.當(dāng)y=4時(shí)，x=2,z=1;當(dāng)y=4時(shí)，x=2,z=1.三、解答題曰y=4z， 可得ly=- 2x.11

26、.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PAL平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,ZDAB=ZABC=90°,E是CD的中點(diǎn).證明：CD，平面PAE.考點(diǎn)向量法求解直線與平面的位置關(guān)系題點(diǎn)向量法解決線面垂直證明如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè)PA=h,則A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).所以CD=(4,2,0),AE=(2,4,0),AP=(0,0,h).因?yàn)镃DAl=8+8+0=0,CDAp=0,所以CD±AE,CDXAP,而AP,A

27、E是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線,所以CD,平面PAE.12 .如圖，在四錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PAL底面ABCD,PA=AB=1,AD=J3,點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng).求證：無論點(diǎn)E在BC邊的何處，都有PEXAF.考點(diǎn)向量法求解直線與直線的位置關(guān)系題點(diǎn)方向向量與線線垂直證明以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD,AB,AP所在直線分別為x軸，y軸,z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則P（0,0,1）,B（0,1,0）,F（0,J,1D（00,0）,設(shè)BE=x（0WxW淄），則E(x,1,0),PEAF=(x,1,1)(0,1,1f=0,所以xC0,木時(shí)都有PEXAF,即無論點(diǎn)E在BC邊的何處，都有PEXAF.13 .如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，ABXAC,PAL平面ABCD,且FA=AB,點(diǎn)E是PD的中點(diǎn).求證：（1）ASPB;（2）PB/平面AEC.考點(diǎn)向量法求解直線與直線的位置關(guān)系題點(diǎn)方向向量與線線垂直證明（1）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC,AB,AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,設(shè)AC=a,PA=b.則有A(0,0,0),B(0,b,0),C(a,0,0),P(0,0