1、第二十章 曲線積分§1 第一型曲線積分習(xí)題1計(jì)算下列第一型曲線積分（1），其中L是以O(shè)（0，0），A（1，0），B（0，1）為頂點(diǎn)的三角形； (2) ,其中L是以原點(diǎn)為中心，R為半徑的右半圓周；解 右半圓周的參數(shù)方程為則（3），其中L為橢圓在第一象限中的部分；解 因則（4），其中L是為單位圓周；解 圓的參數(shù)方程則（5），其中L為螺旋線的一段；解 （6），其中L是曲線的一段；解 （7），其中L是與相交的圓周解 L為圓，其參數(shù)方程為則2 求曲線的質(zhì)量，設(shè)其線密度為解 曲線質(zhì)量3 求擺線的重心，設(shè)其質(zhì)量分布是均勻的解 重心坐標(biāo)設(shè)為，則故重心坐標(biāo)為§2 第二型曲線積分1 計(jì)算第二型

2、曲線積分（1），其中L為本節(jié)例二中的三種情況；解沿拋物線，從O到B的一段，則沿直線段OB：，則沿封閉曲線OABO：則故（2），其中L為擺線，沿增加方向的一段解（3），其中L為圓周，依逆時(shí)針?lè)较颍唤?由圓的參數(shù)方程則（4），其中L為與軸所圍的閉曲線，依順時(shí)針?lè)较?；?(5) 其中L為從到的直線段解 直線L的參數(shù)方程： 則2設(shè)質(zhì)點(diǎn)受力作用，力的反方向指向原點(diǎn)，大小與質(zhì)點(diǎn)離原點(diǎn)的距離成正比，若質(zhì)點(diǎn)由沿橢圓移動(dòng)到，求力所作的功。解 橢圓的參數(shù)方程則3設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受力作用，力的方向指向原點(diǎn)，大小與質(zhì)點(diǎn)到平面的距離成反比。若質(zhì)點(diǎn)沿直線從到，求力所做的功。解 。因?yàn)榱Φ姆较蛑赶蛟c(diǎn)，故其方向余弦為其中力的三個(gè)分

3、力為總練習(xí)題二十章 總練習(xí)題1. 計(jì)算下列曲線積分：(1) , 其中是由和所圍的閉曲線; 解如圖20-8所示, 閉曲線分有三段,因此.(i) , 從到, 則 . (ii) , 從到, 則. (iii) , 從到, 則 .所以. (2) , 其中為雙紐線; 解如圖20-9, 則由和兩部分組成; ; 則(3) , 其中為圓錐螺線, , , ;解(4) , 為以為半徑, 圓心在原點(diǎn)的右半圓周最上面一點(diǎn)到最下面一點(diǎn); 解的參數(shù)方程為: 從到. 則. (5) , 是拋物線, 從到的一段; 解. 則. (6) , 是維維安尼曲線, , 若從軸正向看去, 是沿逆時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行的. 解如圖20-11所示的參數(shù)方

4、程為則. 2. 設(shè)為連續(xù)函數(shù), 試就如下曲線: (1) : 連接, 的直線段; (2) : 連接, , 三點(diǎn)的三角形(逆時(shí)針?lè)较?, 計(jì)算下列曲線積分: , , . 解(1) 從到的直線段, , 所以. (2) : 連接, , 三點(diǎn)的三角形從到從到從到從到. 所以3. 設(shè)為定義在平面曲線弧段上的非負(fù)連續(xù)函數(shù), 且在上恒大于零. (1) 試證明; (2) 試問(wèn)在相同條件下, 第二型曲線積分是否成立? 為什么?證(1) 設(shè)為光滑(或按段光滑)曲線, 且方程為則因?yàn)? 從而由推廣的積分第一中值定理存在得(2) 不一定成立, 因?yàn)橛邢蚯€的方向可能會(huì)影響符號(hào), 例如, 而曲線是直線上從到一段, 則. 1計(jì)算下列曲線積分：（1），其中L是由和所圍的閉曲線；（2），其中L為雙紐線解 由對(duì)稱(chēng)性，在第一象限雙紐線的參數(shù)方程為（3），其中L為圓錐螺線，（4）L為以為半徑，圓心在原點(diǎn)右半圓周從最上面一點(diǎn)到最下面一點(diǎn)； （5） 2設(shè)為連續(xù)函數(shù)，試就如下曲線：（1）L：連結(jié)的直線段；（2）L：連結(jié)三點(diǎn)的三角形（逆時(shí)針?lè)较颍?jì)算下列曲線積分：解 （1）L：從到的直線段，（2）L：連結(jié)三點(diǎn)的三角形，從到：從到：從到：3設(shè)為定義在平面曲線弧段上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且在弧上恒大于零證 （1）由于在弧段AB上連續(xù)，則在弧段