1、題型題型四四 規律探索題規律探索題類型一類型一數式規律數式規律(2015 年年 T13，2014 年年 T16，2010 年年 T9，2009 年年 T17)試題演練試題演練1. ( (1515 荊州荊州) )把所有正奇數從小到大排列把所有正奇數從小到大排列，并按如下規律分組：并按如下規律分組：(1)，(3，5，7)，(9，11，13，15，17)，(19，21，23，25，27，29，31)，現有等式現有等式 Am(i，j)表示正奇數表示正奇數 m是第是第 i 組第組第 j 個數個數(從左往右數從左往右數)，如如 A7(2，3)，則則 A2015()A. (31，50)B. (32，47)C

2、. (33，46)D. (34，42)2. ( (1515 綏化綏化) )填填在下面各正方形中的四個數之間都有一定的規律在下面各正方形中的四個數之間都有一定的規律，據此規律得出據此規律得出 abc .第第 2 題圖題圖3. ( (1515 恩施州恩施州) )觀察下列一組數：觀察下列一組數：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，其中每個數其中每個數 n 都連續出現都連續出現 n 次次，那么這一組數的第那么這一組數的第 119 個數是個數是.4. ( (1616 原創原創) )按一定順序排列的一組數：按一定順序排列的一組數：2，2，4，16，256，若若 a 表示這列數中

3、表示這列數中的第的第 8 個數個數，則則 a 的值為的值為.5. ( (1515 黔東南州黔東南州) )將全體正整數排成一個三角形數陣：根據上述排列規律將全體正整數排成一個三角形數陣：根據上述排列規律，數陣中數陣中第第10 行從左至右的第行從左至右的第 5 個數是個數是.第第 5 題圖題圖6. ( (1515 亳州模擬亳州模擬) )觀察下列等式觀察下列等式：124142，124146243，124146168344.(1)猜想并寫出第猜想并寫出第 n 個等式；個等式；(2)這個等式的結果能等于這個等式的結果能等于1980嗎？若能嗎？若能，請寫出這個等式；若不能請寫出這個等式；若不能，請說明理由

4、請說明理由.7. (15 安慶外國語學校二模安慶外國語學校二模)觀察下列等式：觀察下列等式：1223113221，1334114331，2335225332，3447337443，6228668226，以上每個等式中兩邊數字是分別對稱的以上每個等式中兩邊數字是分別對稱的，且每個等式中組成兩位數與三位數的數字之且每個等式中組成兩位數與三位數的數字之間具有相同規律間具有相同規律，我們稱這類等式為我們稱這類等式為“數字對稱等式數字對稱等式”(1)根據上述各式反映的規律填空根據上述各式反映的規律填空，使式子成為使式子成為“數字對稱等式數字對稱等式”：5225；396693；(2)設這類等式左邊兩位數的

5、十位數字為設這類等式左邊兩位數的十位數字為 a， 個位數字為個位數字為 b， 且且 2ab9， 寫出表示寫出表示“數數字對稱等式字對稱等式”一般規律的式子一般規律的式子(含含 a，b)，并證明并證明類型二類型二點坐標規律點坐標規律(2011、2008 年年 T18)試題演練試題演練1. ( (1515 衢州衢州) )已知已知，正六邊形正六邊形 ABCDEF 在直角坐標系內的位置如圖所示在直角坐標系內的位置如圖所示，A(2，0)，點點 B 在原點在原點，把正六邊形把正六邊形 ABCDEF 沿沿 x 軸正半軸作無滑動的連續翻轉軸正半軸作無滑動的連續翻轉，每次翻轉每次翻轉 60，經經過過 2015

6、次翻轉之后次翻轉之后，點點 B 的坐標是的坐標是第第 1 題圖題圖2. ( (1414 綏化綏化) )如圖如圖，在平面直角坐標系中在平面直角坐標系中，已知點已知點 A(1，1)、B(1，1)、C(1，2)，D(1，2)，把一根長為把一根長為 2014 個單位長度且沒有彈性的細線個單位長度且沒有彈性的細線(線的粗細忽略不計線的粗細忽略不計)的一端固定的一端固定在在 A 處處，并按并按 ABCDA的規律緊繞在四邊形的規律緊繞在四邊形 ABCD 的邊上的邊上，則細線的另一端所則細線的另一端所在位在位置的點的坐標是置的點的坐標是.第第 2 題圖題圖3. ( (1515 東營東營) )如圖放置的如圖放置

7、的OAB1，B1A1B2，B2A2B3，都是邊長為都是邊長為 1 的等邊三角的等邊三角形形，點點 A 在在 x 軸上軸上，點點 O，B1，B2，B3，都在直線都在直線 l 上上，則點則點 A2015的坐標是的坐標是.第第 3 題圖題圖4. 在平面直角坐標系中在平面直角坐標系中，一機器人從原點一機器人從原點 O 出發出發，按向上按向上、向左向左、向下向下、向下向下、向左向左、向上的方向依次不斷移動得向上的方向依次不斷移動得 A1，A2，A3，A4，A5，每次移動的距離分別為每次移動的距離分別為 1，1，1，2，2，2，3，3，3，其行走路線如圖所示：其行走路線如圖所示：(1)填寫下列各點的坐標：

8、填寫下列各點的坐標：A3(，)，A6(，)，A9(，)；(2)寫出點寫出點 A3n的坐標的坐標(n 是正整數是正整數)；(3)原點原點 O 到點到點 A33的距離是的距離是第第 4 4 題圖題圖5. 如圖如圖，在直角坐標系中在直角坐標系中，第一次將第一次將OAB 變換成變換成OA1B1，第二次將第二次將OA1B1變換變換成成OA2B2，第三次將第三次將OA2B2變換成變換成OA3B3，依此類推依此類推，已知已知 A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)觀察每次變化后的三角形觀察每次變化后的三角形，找出規律找出規

9、律，按此規律再將按此規律再將OA3B3變換成變換成OA4B4，則則A4的坐標為的坐標為（16，3），B4的坐標為的坐標為（32，0）；若按上述規律若按上述規律，將將OAB 進行進行 n 次次變變換換，得得OAnBn，比較每次變換三角形頂點的比較每次變換三角形頂點的變化規律變化規律，探索頂點探索頂點 An的坐標為的坐標為（2n，3），頂點頂點 Bn的坐標為的坐標為（2n1，0）第第 5 題題圖圖類型三類型三圖形規律圖形規律(2013 年年 T18，2012 年年 T17)試題演練試題演練1. ( (1515 珠海珠海) )如圖如圖，在在A1B1C1中中，已知已知 A1B17，B1C14，A1C1

10、5，依次連接依次連接A1B1C1的三邊中點的三邊中點，得得A2B2C2，再依次連接再依次連接A2B2C2的三邊中點得的三邊中點得A3B3C3，則則A5B5C5的周長為的周長為.第第 1 題圖題圖2. ( (1515 濰坊濰坊) )如圖如圖，正正ABC 的邊長為的邊長為 2，以以 BC 邊上的高邊上的高 AB1為邊作正為邊作正AB1C1，ABC 與與AB1C1公共部分的面積記為公共部分的面積記為 S1；再以正；再以正AB1C1邊邊 B1C1上的高上的高 AB2為邊作正為邊作正AB2C2， AB1C1與與AB2C2公共部分的面積記為公共部分的面積記為 S2； ， 以此類推以此類推， 則則 Sn(用

11、用含含 n 的式子表示的式子表示)第第 2 題圖題圖3. 一定數量的石子可以擺成如圖所示的三角形和四邊形一定數量的石子可以擺成如圖所示的三角形和四邊形，古希臘科學家把數古希臘科學家把數 1，3，6，10，15，21，稱為稱為“三角形數三角形數”；把把 1，4，9，16，25，稱為稱為“正方形數正方形數”同樣的同樣的，可以把數可以把數 1，5，12，22，稱為稱為“五邊形數五邊形數”第第 3 題圖題圖將三角形數、正方形數、五邊形數都整齊地由左到右填在所示表格里：將三角形數、正方形數、五邊形數都整齊地由左到右填在所示表格里：三角形數三角形數136101521a正方形數正方形數1491625b49五

12、邊形數五邊形數151222c5170(1)按照規律按照規律，表格中表格中 a，b，c；(2)觀察表中規律觀察表中規律，第第 n 個個“正方形數正方形數”是是n2；若第；若第 n 個個“三角形數三角形數”是是 x，則用含則用含 x、n 的代數式表示第的代數式表示第 n 個個“五邊形數五邊形數”是是.4. 如圖所示是一列用若干根火柴棒擺成的正方形組成的圖案：如圖所示是一列用若干根火柴棒擺成的正方形組成的圖案：第第 4 題圖題圖(1)請將下表補充完整：請將下表補充完整：正方形個數正方形個數123456n火柴棒根數火柴棒根數471013(2)某同學用若干根火柴棒按如上圖方式擺圖案，擺完了第某同學用若干

13、根火柴棒按如上圖方式擺圖案，擺完了第 1 個后個后，擺第擺第 2 個個，接著擺接著擺第第 3 個個，第第 4 個個，當他擺完第當他擺完第 n 個圖案時剩下個圖案時剩下 20 根火柴棒根火柴棒，要剛好再擺完第要剛好再擺完第 n1 個個圖案還差圖案還差 2 根根，問最后擺的圖案是第幾個圖案？問最后擺的圖案是第幾個圖案？5. 如圖所示如圖所示，已知等邊三角形已知等邊三角形 ABC 的邊長為的邊長為 1，按圖中所示的規律進行排列按圖中所示的規律進行排列第第 5 題圖題圖(1)用用 2015 個這樣的等邊三角形組成的四邊形的周長是個這樣的等邊三角形組成的四邊形的周長是；(2)如圖如圖，將圖將圖放在直角坐

14、標系中放在直角坐標系中，設第設第 1 個等邊三角形最右邊的頂點坐標是個等邊三角形最右邊的頂點坐標是(1，0)，則第則第 2015 個等邊三角形最右邊的頂點坐標是個等邊三角形最右邊的頂點坐標是第第 5 題圖題圖【答案】【答案】類型一類型一數式規律數式規律試題演練試題演練1.B1.B【解析解析】設設 20152015 在第在第n n組組，則則 1 13 35 57 7(2(2n n1)1)10081008，即即(1 12 2n n1 1)n n2 210081008，解得解得：n n 10081008 ，當當n n3131 時時，1 13 35 57 76161961961；當當n n3232 時

15、時，1 13 35 57 7636310241024；故第；故第 10081008 個數在第個數在第 3232 組組，第第 10241024 個數為：個數為：2 2102410241 120472047，第第3232 組的第一個數為：組的第一個數為：2 29629621 119231923，則則 20152015 是第是第( (20152015192319232 21)1)4747 個數個數，故故A A20152015(32(32，4747) )2. 110【解析解析】根據左上角根據左上角4左下角左下角，左上角左上角3右上角右上角，右下角左下角右下角左下角右上右上角角1，可得可得 64a，63

16、c，ac1b，即即 a10，c9，b91，所以所以 abc10919110.3. 15【解析】【解析】將這組數列表分析如下：將這組數列表分析如下：行數行數每行上的數每行上的數前前n n行數的個數和行數的個數和第一行第一行1 11 1第二行第二行2 2，2 21 12 23 3第三行第三行3 3，3 3，3 31 12 23 36 6第四行第四行4 4，4 4，4 4，4 41 12 23 34 41010第第n n行行n n，n n，n n( (n n個個) )1 12 23 3n n所以前所以前n n行一共有數行一共有數 w12nn（n1）2，當當 n14 時時，w105119；當當 n15

17、 時時，w120119，第第 119119 個數是第個數是第 1515 行倒數第行倒數第 2 2 個數個數，所以第所以第 119119 個數是個數是 1515.4. 264【解析解析】觀察可知觀察可知，從第從第 3 個數開始個數開始，第第 n 個數等于前個數等于前 n1 個數的乘積個數的乘積又又221，422，1624，25628，第第 6 個數為：個數為：2121222428216，第第 7 個數為：個數為：2121222428216232，第第 8 個數為：個數為：2121222428216232264，故，故 a 的值的值為為 264.5. 50【解析】【解析】第第n n行行每行最后一個

18、數每行最后一個數這個數與行序號的關系這個數與行序號的關系1 11 11 12 23 33 31 12 23 36 66 61 12 23 34 4101010101 12 23 34 4n nn n（n n1 1）2 21 12 23 3n n由表可知由表可知，每一行最后一個數是前面所有行數之和每一行最后一個數是前面所有行數之和；而每一行從第一個數開始向后而每一行從第一個數開始向后 ，后一后一個數比前一個數多個數比前一個數多 1，所以要求第所以要求第 10 行第行第 5 個數個數，先求第先求第 9 行最后一個數行最后一個數，即即 12399（91）245，第第 10 行的第行的第 1 個數為個

19、數為 46，第第 5 個數為個數為 46(51)50.6. 解：解：(1)12414612n（2n2）=n4（n1）；(2)能這個等式是能這個等式是12414613840194（191）1980.7. 解：解：(1)275，572；解法提示解法提示：5 52 27 7，左邊的三位數是左邊的三位數是 275275，右邊的三位數是右邊的三位數是 572572，52522752755725722525；63，36；解法提示解法提示：左邊的三位數是左邊的三位數是 396396，左邊的兩位數是左邊的兩位數是 6363，右邊的兩位數是右邊的兩位數是 3636，636339639669369336.36.(

20、2)左邊兩位數的十位數字為左邊兩位數的十位數字為 a，個位數字個位數字為為 b，左邊的兩位數是左邊的兩位數是 10ab，三位數是三位數是 100b10(ab)a，右邊的兩位數是右邊的兩位數是 10ba，三三位數是位數是 100a10(ab)b，一般規律的式子為一般規律的式子為(10ab)100b10(ab)a100a10(ab)b(10ba)證明：左邊證明：左邊(10ab)100b10(ab)a(10ab)(100b10a10ba)(10ab)(110b11a)11(10ab)(10ba)，右邊右邊100a10(ab)b10ba(100a10a10bb)(10ba)(110a11b)(10ba

21、)11(10ab)(10ba)，左邊右邊左邊右邊類型二類型二點坐標規律點坐標規律試題演練試題演練1. (4031， 3)【解析解析】在正六邊形翻轉過程中在正六邊形翻轉過程中，點點 B 翻轉時每經過六次翻轉就重新落翻轉時每經過六次翻轉就重新落在在x 軸上軸上，正六邊形每翻轉六次稱為一個翻轉周期正六邊形每翻轉六次稱為一個翻轉周期，在一個翻轉周期內點在一個翻轉周期內點 B 平移的距離為平移的距離為 12個單位個單位，又又201563355，2015 次翻轉實際上是次翻轉實際上是 335 個翻轉周期零個翻轉周期零 5 次次，第第 5次翻轉時次翻轉時 B 點的坐標為點的坐標為(11， 3)，2015 次

22、翻轉后次翻轉后 B 點的橫坐標為點的橫坐標為 33512114031，縱坐標為縱坐標為 3，故其坐標為故其坐標為(4031， 3).2. (1，1)【解析解析】矩形四個頂點坐標分別為矩形四個頂點坐標分別為：A(1，1)，B(1，1)，C(1，2)，D(1，2)ABCD2，BCAD3，矩形的周長為矩形的周長為 232310，則循環周期所則循環周期所需的單位長度是需的單位長度是 10，2014102014，細線的另一端在繞四邊形第細線的另一端在繞四邊形第 202 圈的第圈的第 4 個個單位長度的位置單位長度的位置， 其坐標為其坐標為(1，1)3. (20172，2015 32)【解析解析】如解圖如

23、解圖，過過 B1向向 x 軸作垂線軸作垂線 B1C，垂足為垂足為 C，由題意可得由題意可得：A(1，0)，AOA1B1，OB1C30，CB1OB1cos3032，B1的橫坐標為的橫坐標為：12，B1的的縱坐標為縱坐標為：32，B1(12，32)，點點 B1，B2，B3，都在直線都在直線 y 3x 上上，同理可得出：同理可得出：B2的橫坐標為：的橫坐標為：1，y 3，A2(2， 3)，An(1n2，3n2)A2015(20172，2015 32)第第 3 題解圖題解圖4.解：解：(1)A3(1，0)，A6(3，0)，A9(6，0)；(2)由由(1)得出規律為：點得出規律為：點 A3n的坐標為的坐

24、標為(12n(n1)，0)；(3)原點原點 O 到點到點 A33的距離是的距離是12111266.5. 解：解：(16，3)，(32，0)；(2n，3)，(2n1，0)解法提示解法提示：A A(1(1，3)3)，A A1 1(2(2，3)3)，A A2 2(4(4，3)3)，A A3 3(8(8，3)3)；縱坐標不變縱坐標不變，為為 3 3，橫坐標橫坐標都和都和 2 2 有關有關，為為 2 2n n，A An n(2(2n n，3)3)；B B(2(2，0)0)，B B1 1(4(4，0)0)，B B2 2(8(8，0)0)，B B3 3(16(16，0)0)；縱坐標縱坐標不變不變，為為 0

25、0，橫坐標都和橫坐標都和 2 2 有關有關，為為 2 2n n1 1，B Bn n(2(2n n1 1，0).0).類型三類型三圖形規律圖形規律試題演練試題演練1. 1【解析】【解析】由三角形的中位線定理得：線段由三角形的中位線定理得：線段 A2B2、B2C2、C2A2分別等于線段分別等于線段 A1B1、B1C1、C1A1的一半的一半，所以所以A2B2C2的周長等于的周長等于A1B1C1的周長的一半的周長的一半，以此類推可求出以此類推可求出A5B5C5的周長為的周長為A1B1C1的周長的的周長的124，A5B5C5的周長為的周長為124(745)116161.2.32(34)n【解析解析】等邊

26、三角形等邊三角形 ABC 的邊長為的邊長為 2，AB1BC，BB11，AB2，根據根據勾股定勾股定理理得得 AB1 3，S11234( 3)232(34)1；等邊三角形等邊三角形 AB1C1的邊長為的邊長為 3，AB2B1C1，B1B232，根據勾股定理得根據勾股定理得：AB232，S21234(32)232(34)2；依此依此類推：類推：Sn32(34)n.3. (1)28,36,35；(2)n2；22nx或或32xn或或2nxn（答案不唯一（答案不唯一） 4. 解：解：(1)補充完整的表如下：補充完整的表如下：正方形個數正方形個數1 12 23 34 45 56 6n n火柴棒根數火柴棒根數4 47 710101313161619193 3n n1 1解法提示：解法提示：觀察題中圖案的擺放方式觀察題中圖案的擺放方式，可知每增加可知每增加 1 1 個正方形火柴圖案個正方形火柴圖案，火柴棒的根，火柴棒的根數相應地增加數相應地增加 3 3 根根，若擺成若擺成 5 5 個