1、1 本章在掌握點和直線三面投影的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)平面的投影以及平面上點和直線的投影特性，正確判別直線與平面、平面與平面的相對位置。2第一節(jié)第一節(jié) 平面的投影平面的投影第二節(jié)第二節(jié) 平面上的點和直線平面上的點和直線第三節(jié)第三節(jié) 直線、平面與平面的相對位置直線、平面與平面的相對位置3baacbcaabcbcabcabcdd第一節(jié)第一節(jié) 平面的投影平面的投影cbaabcbaacbc平面的投影平面的投影4 1投影面垂直面：垂直于一個投影面且與其他兩個投影投影面垂直面：垂直于一個投影面且與其他兩個投影 面傾斜。面傾斜。 鉛垂面 正垂面 側(cè)垂面 2投影面平行面：平行于一個投影面且與其他兩個投影投影面平行面：平

2、行于一個投影面且與其他兩個投影 面垂直。面垂直。 水平面 正平面 側(cè)平面 3投影面傾斜面：和三個投影面都傾斜。：和三個投影面都傾斜。 平面的投影平面的投影5ZYXabccaba投影特性投影特性 abc 、 a b c 、 a b c 均為均為 ABC的類似形的類似形 aabbccbacYHXZYVABC一般位置平面一般位置平面6ZYXPPH投影特性投影特性 (1) abc重影為一條線重影為一條線 (2) a b c 、 a b c 為為 ABC的類似形的類似形 (3) abc與與OX、 OY的夾角的夾角反映反映 、 角的真實大小角的真實大小ABCacbabab ba b cccYHXZYV鉛垂

3、面鉛垂面7ZYXQQV 投影特性投影特性 (1) a b c 重影為一條線重影為一條線; (2) abc、 a b c 為為 ABC的類似形的類似形 (3) a b c 與與OX、OZ的夾角的夾角反映反映、 角的真實大小角的真實大小 Ac Ca b Bb ababacccYHXZYV正垂面正垂面8ZYXSWS投影特性投影特性 (1) a b c 重影為一條線重影為一條線 (2) abc、 a b c 為為 ABC的類似形的類似形 (3) a b c 與與OZ、 OY的夾角的夾角反映反映、角的真實大小角的真實大小 CabABcb ababacccYHXZYV側(cè)垂面?zhèn)却姑?ZYX 投影特性：投影特

4、性： (1) a b c 、 a b c 重影為一條線，具有積聚性重影為一條線，具有積聚性 (2) 水平投影水平投影 abc反映反映 ABC實形實形 CABabcbacabcca bbbaac cYHXZYV水平面水平面10ZYX 投影特性：投影特性： (1) abc 、 a b c 重影重影為一條線，具有積聚性為一條線，具有積聚性 (2) 正平面投影正平面投影 a b c 反映反映 ABC實形實形 bacabcbcaCBAcabbacbcaYHXZYV正平面正平面11ZYX 投影特性：投影特性： (1) abc 、 a b c 重影為一條線，具有積聚性重影為一條線，具有積聚性 (2) 側(cè)平面

5、投影側(cè)平面投影 a b c 反映反映 ABC實形實形 bcbacabcCABaabbbacccaYHXZYV側(cè)平面?zhèn)绕矫?2水平面跡線表示法水平面跡線表示法XPVZYXPVPP與與V面交線為正面跡線面交線為正面跡線PV，其具有重影性，其具有重影性， P與與H面沒有交面沒有交線，故不畫出。這種表示即為水平面的跡線表示。線，故不畫出。這種表示即為水平面的跡線表示。 其他依此類推。其他依此類推。13鉛垂面跡線表示法鉛垂面跡線表示法XPVZYXPHP PPVPHP與與H面交線為水平跡線面交線為水平跡線PH，其具有重影性，其具有重影性， P與與V面的交線面的交線PV垂垂直直X軸，故當(dāng)軸，故當(dāng)PH畫出后，

6、畫出后，PV可確定。故在一般情況下，可確定。故在一般情況下， PV可以可以省略。這種表示即為特殊位置平面的跡線表示。省略。這種表示即為特殊位置平面的跡線表示。 其他依此類推。其他依此類推。14MNQPKRn n nkk k mm m p pp qq q r rr 水平面正平面?zhèn)绕矫驺U垂面?zhèn)却姑嬲姑嫫矫娴耐队捌矫娴耐队?分析立體上各平面的投影特性。15ABCaabcbcXMN第二節(jié)第二節(jié) 平面上的點和直線平面上的點和直線mm nn （1）一直線經(jīng)過平面上的兩個點，則此直線一定屬于在該平上。一直線經(jīng)過平面上的兩個點，則此直線一定屬于在該平上。Ddd（2） 一直線經(jīng)過平面上一個點且平行于平面上的另

7、一直線，則此一直線經(jīng)過平面上一個點且平行于平面上的另一直線，則此直線一定在該平面上。直線一定在該平面上。1.1.平面上取直線平面上取直線平面上點線平面上點線162.2.平面上取點平面上取點ABCMNaabcbcXmm nn 如果點在平面內(nèi)的任一直線上，則此點一定在該平面上。如果點在平面內(nèi)的任一直線上，則此點一定在該平面上。平面上點線平面上點線17 例題一例題一 已知ABC給定一平面，試判斷點D是否屬于該平面。ddeeXacbcab平面上點線平面上點線18aabcbcX 已知在平行四邊形ABCD上開一燕尾槽，要求根據(jù)其正面投影作出其水平投影。d123412作圖步驟：作圖步驟：1，作出、的水平投影

8、1、2。2，延長34交bc 、ad于5、6，并作出水平投影5、6，以及在56上的3、4。3，連接1-4-3-2并完成燕尾槽的水平投影。56d5634平面上點線平面上點線191.1.平面上的投影面平行線平面上的投影面平行線aabcbcXddee平面上點線平面上點線AD為為ABC平面上的水平線平面上的水平線CE為為ABC平面上的正平線平面上的正平線20例題例題 已知點E 在ABC平面上，且點E距離H面15，距離V 面10，試求點E的投影。mnmnrsrs1015ee平面上點線平面上點線aabcbcX211 1平面上的平面上的最大斜度線最大斜度線是指平面上對某個投影面傾角最大的是指平面上對某個投影面

9、傾角最大的直線。它與投影面的傾角反映該平面與投影面的傾角。直線。它與投影面的傾角反映該平面與投影面的傾角。2平面上對某投影面的最大斜度線與該平面上對某投影面的平面上對某投影面的最大斜度線與該平面上對某投影面的平行線相互垂直。平行線相互垂直。3平面上的投影面最大斜度線有三組，即分別對正面投影面、平面上的投影面最大斜度線有三組，即分別對正面投影面、水平投影面及側(cè)面投影面三組最大斜度線。水平投影面及側(cè)面投影面三組最大斜度線。2.2.平面上的最大斜度線平面上的最大斜度線平面上點線平面上點線22PANnaM2m22平面上點線平面上點線M1m1 1HAM1為為平面平面P上上對對H面的最大斜度面的最大斜度線

10、線。且且am1an23aabcbcXddee 平面上點線平面上點線BM為為ABC平面上對平面上對H面的最大斜度線面的最大斜度線mm nn BN為為ABC平面上對平面上對V面的最大斜度線面的最大斜度線24Xabcdabcd|zD-zE|ee|zD-zE|為為平面平面上上對對面的最大斜度面的最大斜度線線25第三節(jié)第三節(jié) 直線、平面與平面的相對位置直線、平面與平面的相對位置PDCABP PQA1B1C1D1ABCD 如一直線與平面上任一如一直線與平面上任一直線平行，則此直線必定直線平行，則此直線必定與該平面平行。與該平面平行。 如一平面上的相交兩如一平面上的相交兩直線對應(yīng)地平行于另一平直線對應(yīng)地平行

11、于另一平面上的相交兩直線，則此面上的相交兩直線，則此兩平面必定平行。兩平面必定平行。平行問題平行問題26例題例題 試判斷直線AB是否平行于定平面 fgfg結(jié)論：直線AB不平行于定平面ddecceabba平行問題平行問題27BKA 直線與平面相交只有一個交點，它是直線與平面的共有點。兩直線與平面相交只有一個交點，它是直線與平面的共有點。兩平面相交的交線是一條直線，是兩平面的共有線。平面相交的交線是一條直線，是兩平面的共有線。AMNCBDEFP相交問題相交問題281.1.重影性法重影性法 如果兩相交的幾何元素之一在投影面上的投影具有重如果兩相交的幾何元素之一在投影面上的投影具有重影性，則它們的交點

12、或交線在該投影面上的投影可直接求影性，則它們的交點或交線在該投影面上的投影可直接求得，再利用平面上取點、直線或直線上取點的方法求出交得，再利用平面上取點、直線或直線上取點的方法求出交點或交線的其他投影。點或交線的其他投影。相交問題相交問題29求正垂線AB與傾斜面的交點K。ddececXaba b mmk k1(2)1 2 利用重影點判別可見性相交問題相交問題30求直線AB與鉛垂面EFGH的交點K。ee fh gXabb a ghfk 21k1 (2 ) 利用重影點判別可見性相交問題相交問題31求正垂面DEFG與傾斜面ABC的交線MN。dfcbecXaba egfgdm n mn判別可見性判別可

13、見性相交問題相交問題322.2.輔助平面法輔助平面法 當(dāng)相交兩幾何元素都不垂直于投影面時，則不能用重影性作圖，可以當(dāng)相交兩幾何元素都不垂直于投影面時，則不能用重影性作圖，可以通過輔助平面的方法求交點或求交線。通過輔助平面的方法求交點或求交線。一般位置一般位置相交相交（1）過已知直線作一輔助平面（一般為投影面垂直面）。）過已知直線作一輔助平面（一般為投影面垂直面）。（2）作出輔助平面與已知平面的交線。）作出輔助平面與已知平面的交線。（3）再作出該交線與已知直線的交點。）再作出該交線與已知直線的交點。一般位置一般位置相交相交（1）取一已知平面的兩條邊作兩輔助平面。）取一已知平面的兩條邊作兩輔助平面

14、。（2）分別作出兩輔助平面與已知平面的交線，并作出交線與已知直線的）分別作出兩輔助平面與已知平面的交線，并作出交線與已知直線的兩個交點。兩個交點。（3）連接兩交點，畫出交線。）連接兩交點，畫出交線。相交問題相交問題33求MN直線與ABC的交點K。ccXabbk k1a mnmnPHedde1 (2 )2利用重影點判別可見性3(4)3 4 相交問題相交問題34XPVQVcabbgdacfegdfelklk相交問題相交問題求ABC與DEFG的交線KL。分析：分析：取ABC的兩條邊AC和BC，分別求出它們與DEFG的交點。35Xcabgdacfegdfelk利用重影點判別可見性1 (2 )12b3

15、(4 )34相交問題相交問題lk36 直線與平面垂直，則直線直線與平面垂直，則直線垂直平面上的任意直線。垂直平面上的任意直線。cXabba cde f fek m kmd1.1.直線與平面垂直直線與平面垂直垂直問題垂直問題 反之，直線垂直平面上反之，直線垂直平面上的任意兩條相交直線，則直的任意兩條相交直線，則直線垂直該平面。線垂直該平面。37求點C到直線AB的距離。cXabba c 過過C C點作一平面與直線點作一平面與直線ABAB垂垂直，求出平面與直，求出平面與ABAB的交點的交點K K， K K即是即是C C點到點到ABAB的垂足。再求出的垂足。再求出CKCK的實長。的實長。垂直問題垂直問

16、題38cXabba cdd e e2 1 21kk ck實長實長垂直問題垂直問題作圖過程作圖過程39AKPRQ QBE2.2.兩平面垂直兩平面垂直反之，如兩平面互相垂直，反之，如兩平面互相垂直，則從第一平面上的任意一則從第一平面上的任意一點向第二平面所作的垂線，點向第二平面所作的垂線，必定在第一平面內(nèi)。必定在第一平面內(nèi)。 如直線垂直一平面，如直線垂直一平面，則包含此直線的一切平則包含此直線的一切平面都垂直于該平面。面都垂直于該平面。垂直問題垂直問題40垂直問題垂直問題已知正垂面ABC和K點，要求過K點作一平面垂直ABC。Xkbb a c cak m mll 分析分析：過：過K K點作點作ABC

17、ABC的垂線的垂線KLKL，包含包含KLKL的平面都垂直的平面都垂直ABCABC，因，因此有無數(shù)個解。由于此有無數(shù)個解。由于ABCABC是正是正垂面，垂面， KLKL必定是正平線。必定是正平線。eXcab 2-2(1)2-2(1)已知已知ABAB為正平線、為正平線、DEDE為水平線，完成五為水平線，完成五邊形邊形ABCDEABCDE的水平投影的水平投影。ddeabc解法一解法一eXcabddeca解法二解法二ffhhb431. 1. 投影面傾斜面的投影都是類似形，不反映實形和對投影面投影面傾斜面的投影都是類似形，不反映實形和對投影面傾角。傾角。 2. 2. 投影面垂直面有一個投影具有重影性，投

18、影面平行面有兩投影面垂直面有一個投影具有重影性，投影面平行面有兩個投影具有重影性。個投影具有重影性。3. 3. 在投影圖上反映平面傾角在投影圖上反映平面傾角1 1和和1 1的是的是 ，反，反映傾角映傾角1 1和和1 1的是的是 ，反映傾角，反映傾角1 1和和1 1的的是是 。 4. 4. 傾斜面上可以有直線平行某一投影面。傾斜面上可以有直線平行某一投影面。5. 5. 傾斜面上可以有直線垂直某一投影面。傾斜面上可以有直線垂直某一投影面。 6. 6. 垂直垂直V V面的平面都是正垂面。面的平面都是正垂面。7. 7. 過一條傾斜線可作一個鉛垂面。過一條傾斜線可作一個鉛垂面。8. 8. 過一條傾斜線可作一個水平面。過一條傾斜線可作一個水平面。 側(cè)垂面?zhèn)却姑驺U垂面鉛垂面正垂面正垂面449. 9. 在兩投影面體系中，點的兩個投影都處于平面的邊框圖形在兩投影面體系中，點的兩個投影都處于平面的邊框圖形內(nèi)，則該點一定在平面內(nèi)。內(nèi)，則該點一定在平面內(nèi)。10. 10. 平面上對平面上對V V面的最大斜度線必定垂直于平面的正平線。面的最大斜度線必定垂直于平面的正平線。11. 11. 平面對投影面的傾角就是平面上對該投影面的最大斜度平面對投影面的傾角就