1、滬科版數學八年級下冊全 冊 教 學 課 件全 冊 教 學 課 件（2021年春修訂）第第16章章 二次根式二次根式16.1 二次根式二次根式第第1課時課時 二次根式二次根式滬科版滬科版八年級數學下冊八年級數學下冊復習導入復習導入（2）3 的算術平方根是的算術平方根是_. （3） 有意義嗎？為什么？有意義嗎？為什么？ 5（4）一個非負數）一個非負數 a 的算術平方根應表示為的算術平方根應表示為_.（1）3 的平方根是的平方根是_.30a a 3正數有兩個平方根且互為相反數；正數有兩個平方根且互為相反數；0 有一個平方根就是有一個平方根就是 0；負數沒有平方根負數沒有平方根.平方根的性質：平方根的

2、性質：算術平方根的性質：算術平方根的性質：正數和正數和 0 都有算術平方根；都有算術平方根；負數沒有算術平方根負數沒有算術平方根.填一填填一填1.面積為面積為 3 的正方形的邊長為的正方形的邊長為_，面積為，面積為 S 的正方形的邊長為的正方形的邊長為_.3S2.一個長方形圍欄，長是寬的一個長方形圍欄，長是寬的 2 倍，倍，面積為面積為 130 m2，則它的寬為，則它的寬為_m.65推進新課推進新課3.一個物體從高處自由落下，落到地面所用一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間的時間 t（單位：（單位：s）與開始落下的高度）與開始落下的高度 h（單位：（單位：m）滿足關系）滿足關系 h =

3、5t2，如果用含有，如果用含有 h 的式子表示的式子表示 t ，則，則 t =_.思思 考考3655hS， ，5h分別表示什分別表示什么意義？么意義？觀觀 察察3655hS， ，這些式子有什么共同特征？這些式子有什么共同特征？ 都表示一個非負數（包括字母或式子都表示一個非負數（包括字母或式子表示的非負數）的算術平方根表示的非負數）的算術平方根.根據你的理解，請寫出二次根式的定義根據你的理解，請寫出二次根式的定義. . 把形如把形如_，用來表示一個非負數的算術平，用來表示一個非負數的算術平方根的式子，叫做二次根式方根的式子，叫做二次根式.a0aa二次根號二次根號被開方數被開方數讀作讀作“根號根號

4、a”二次根式二次根式表示非負數表示非負數 a 的算術平方根，的算術平方根， 0a a形如形如 的式子叫做二次根式的式子叫做二次根式. 0a a它必須具備如下特點：它必須具備如下特點：1.含有二次根號含有二次根號“ ”（根指數為（根指數為 2）；）；2.被開方數必須是非負數被開方數必須是非負數.思思 考考1.代數式代數式 是二次根式嗎？是二次根式嗎？a答答:代數式代數式 只有在條件只有在條件a0的情況下，才的情況下，才屬于二次根式！屬于二次根式！a屬于有特殊條件屬于有特殊條件的代數式的代數式.2. 是二次根式嗎？是二次根式嗎？22答：符合條件答：符合條件(1)被開方數被開方數 22 為非負數為非

5、負數; ; (2) 含有含有二次根號，所以二次根號，所以 是二次根式是二次根式223.代數式代數式 是二次根式嗎？是二次根式嗎？12(2),(0)aaxx答答:是的，二次根式的被開方數可以是整式或分式是的，二次根式的被開方數可以是整式或分式.做一做做一做下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 431133002200 x xxy xyxxy ， ， ， ， ， ， 當當a0 時時, 表示表示 a 的算術平方根，因的算術平方根，因此此 0；當；當a = 0 時，時， 表示表示 0 的算術平的算術平方根，因此方根，因此 = 0； 這就是說，這就是說

6、， （a0）是一個非負數）是一個非負數.具具有雙重非負性有雙重非負性.aaaaa思思 考考當當 x 是多少時，是多少時， 在實數范圍內有意義？在實數范圍內有意義？31x 分析：由二次根式的定義可知，被開方數一定分析：由二次根式的定義可知，被開方數一定要大于或等于要大于或等于 0，所以，所以 3x-10，才能有意義，才能有意義.解：由解：由 3x-10，得：，得：13x當當 x 時，時， 在實數范圍內有意義在實數范圍內有意義.1331x 練習 當當 a 是怎樣的實數時，下列各式在實數是怎樣的實數時，下列各式在實數范圍內有意義？范圍內有意義？(1)1;(2) 23;(3);(4) 5.aaaa a

7、132a a0a5形如形如 的式子叫做二次根式：的式子叫做二次根式： 0a a2. a 可以是數，也可以是式可以是數，也可以是式.3. 形式上含有二次根號形式上含有二次根號.5.既可表示開方運算，也可表示運算的結果既可表示開方運算，也可表示運算的結果.1.表示表示 a 的算術平方根的算術平方根.4. a0， 0 a歸納小結歸納小結( ( 雙重非負性雙重非負性). ).隨堂練習隨堂練習1.已知一個正方形的面積是已知一個正方形的面積是 3，那么它的邊長是，那么它的邊長是 . 2.使使 有意義的有意義的 x 的取值范圍是的取值范圍是 . 3.下列各式中一定是二次根式的是下列各式中一定是二次根式的是(

8、 )3xx-33A.1x2B. (1)x2C.1a1D.xB4.二次根式二次根式 中，字母中，字母 a 的取值范圍是的取值范圍是( ) A.a0 B.a0 C.a0 D.a0Da15.當當 a 是怎樣的實數時，下列各式在實數范圍內有意義？是怎樣的實數時，下列各式在實數范圍內有意義？2(1)2 , (2)3, (3) 5,(4)21.aaaa 解：解：(1) a-2; (2) a3; (3) a為任意實數；為任意實數；12(4) a6.當當 x 是怎樣的實數時，下列各式在實數范圍內有意義？是怎樣的實數時，下列各式在實數范圍內有意義？2211(1)1 , (2) (1) , (3), (4).21

9、xxxxx解：解：(1) x 為任意實數；為任意實數； (2) x 為任意實數；為任意實數； (3) x0，a+c-b0. 2abcbac= a+b-c+(a+c)-b= 2a 22443623 .xxxx 化化簡簡3 320,2xx解解：由由，得得 22443 23xxxx 22=2323xxx = 2 - x + 3 - 2x + 3x = 5.課堂小結課堂小結2(0)aaa2(0)0(0)(0)aaaaaaa課后作業課后作業1.完成教材習題完成教材習題16.1 第第2、5題，題，2.完成練習冊本課時的習題完成練習冊本課時的習題.謝謝大家16.2 二次根式的運算二次根式的運算1. 二次根式

10、的乘除二次根式的乘除第第 1 課時課時 二次根式的乘法二次根式的乘法滬科版滬科版八年級數學下冊八年級數學下冊新課導入新課導入 一個長方形的長和寬分別是一個長方形的長和寬分別是 和和 ，求這個長方形的面積求這個長方形的面積. 你列出的算式是什么？你列出的算式是什么？102 2102 2S 這個算式應怎這個算式應怎樣計算呢？樣計算呢？推進新課推進新課觀觀 察察計算下列各題，觀察有何規律？計算下列各題，觀察有何規律？ 1425,4 25;20.25100,0.25 100. 25=10100=100.510=525=50()0,abab ab一般地，有一般地，有300.ababab性質 如果，那么有

11、因為當因為當 a0，b0 時，時， 222=.ababab又又 ，2=ababab 的算術平方根只有一個，所以的算術平方根只有一個，所以.abab00abab ab ， 算術平方根的積等于各個被開方數積的算術平方根算術平方根的積等于各個被開方數積的算術平方根.a、b 必須都是非負數！必須都是非負數！例例1 計算：計算：162723 52 10.（ ）；（ ）解解31627= 6 27= 2 3 3 （ ）4= 23 =9 2.例例1 計算：計算：162723 52 10.（ ）；（ ）解解23 52 10=35210 （ ）2=6 5 10=6 52=30 2.練一練練一練計算：計算：1622

12、 6 272 3 . （ ）；（ ）解解 162= 6 2= 2 3 2=2 3.（ ）2 6 272 3 =62723 （ ）3=12 273=12 33=108.一般地，一般地，00abab ab ， 由等式的對稱性，反過來：由等式的對稱性，反過來：=00abab ab ， 做一做做一做化簡：化簡：23149 121216.ab c（ ）；（ ）解解149 121= 49121=7 11=77.（ ）2323221616444.ab cabca bccbcacbc ac（ ）化簡二次根式的步驟：化簡二次根式的步驟：1.把被開方數分解因式（或因數）把被開方數分解因式（或因數） ；2. 把各因

13、式（或因數）積的算術平方根化為每個把各因式（或因數）積的算術平方根化為每個因式（或因數）的算術平方根的積；因式（或因數）的算術平方根的積；3.如果因式中有平方式（或平方數），應用關系如果因式中有平方式（或平方數），應用關系式式 (a0)把這個因式（或因數）開出來，把這個因式（或因數）開出來，將二次根式化簡將二次根式化簡.2aa練一練練一練化簡：化簡：172（ ）；236 256（ ）；4353（ ）；2241312 .（ ）解解172= 36 2= 362=6 2.（ ）236 256= 36256=6 16=96.（ ）44353= 53=253=25 3.（ ）2241312 =13121

14、312 = 25=5.（ ）思考思考 )9()4()9()4(成立嗎？為什么？成立嗎？為什么？=00abab ab ， 非負數非負數 ( 4)( 9)366.隨堂練習隨堂練習1.4559 3 52874.化化簡簡= = =，同同理理可可得得 2.128=. 計計算算2 74 63.若直角三角形兩條直角邊的邊長分別為若直角三角形兩條直角邊的邊長分別為 cm和和 cm，那么此直角三角形的面積是，那么此直角三角形的面積是 .151223 5 cm4.下列各式正確的是下列各式正確的是( )DA. 25 95 945 B. ( 9) ( 4)94 22C. 72472431 22D. 2012(2012

15、)(2012)32 816 5.化簡或計算：化簡或計算： (1) 2427 ;(2) 6(15); (1) 2427 解：解：3 83 93 3 22 18 2. (2)6(15) 6 15 2 3 3 5 3 10. 11(3) 182075 ;(4)2;3xyx (3) 182075 解：解：2 94 53 25 3 22 55 330 30. 11(4)23xyx 1123xyx 2.3y 課堂小結課堂小結ab ab(a0，b0)0,()0abab二次根式的乘法計算：二次根式的乘法計算：ab課后作業課后作業1.完成教材課后習題，完成教材課后習題，2.完成練習冊本課時的習題完成練習冊本課時

16、的習題.謝謝大家第第 2 課時課時 二次根式的除法二次根式的除法滬科版滬科版八年級數學下冊八年級數學下冊復習導入復習導入1.二次根式的兩個基本性質二次根式的兩個基本性質:2a2a(0)0(0)(0)aaaaaa(0)aa(0,0)abab ab算術平方根的積等于各個被開方數積的算術平方根算術平方根的積等于各個被開方數積的算術平方根.00abab ab（，）積的算術平方根等于積中各因式的算術平方根積的算術平方根等于積中各因式的算術平方根之積之積. .2.二次根式的乘法：二次根式的乘法：3.如何化簡二次根式如何化簡二次根式關鍵：將被開方數因式分解或因數分解，使被開關鍵：將被開方數因式分解或因數分解

17、，使被開方數出現方數出現“完全平方數完全平方數”或或“”. .思思 考考試著舉出一些例子試著舉出一些例子推進新課推進新課思思 考考計算下列各題，觀察有何規律？計算下列各題，觀察有何規律？36361(),();4949992(),().1616（ ）（ ）67673434aabb 一般地，有一般地，有400.aaabbb性質 如果 ， ，那么有二次根式的除法法則：二次根式的除法法則： 兩個二次根式相除，等于把被開方數相兩個二次根式相除，等于把被開方數相除，作為商的被開方數除，作為商的被開方數. 當二次根式根號外因數不為當二次根式根號外因數不為 1 時，根據單時，根據單項式除以單項式法則類比，可得

18、項式除以單項式法則類比，可得000 .m amaabnnbn b ， ，例例2 計算：計算：4114052.312（ ）；（ ）解解240401405=822=2 2.55（ ）41414212164.3123123（ ）類似地，把類似地，把 反過來，就得到反過來，就得到aabb (0).0aaabbb ， 商的算術平方根，等于被除式的算術平方根除商的算術平方根，等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根以除式的算術平方根.利用它可以進行利用它可以進行二次根式的化簡二次根式的化簡. .404055 8405=2 25555 把分母中的根號化去，使分母變成有理數，這把分母中的根號化去，使分母變成

19、有理數，這個過程叫做分母有理化個過程叫做分母有理化.24040405=822=2 255還有其他解還有其他解法嗎？法嗎？解解做一做做一做計算：計算：3 68.455123366 30.12（ ）； （ ）；（ ）3 636216326 3（ ）8.48.42700.120.12（ ）555632.3635（ ）思考思考觀察上面各小題計算的最后結果：觀察上面各小題計算的最后結果：（1）你覺得這些結果能否再化簡，它們已經是最）你覺得這些結果能否再化簡，它們已經是最簡二次根式了嗎？簡二次根式了嗎？（2）這些結果有什么共同特點，你認為一個二次）這些結果有什么共同特點，你認為一個二次根式滿足什么條件就可

20、以說它是最簡了？根式滿足什么條件就可以說它是最簡了？ 可以發現這些式子有如下兩個特點：可以發現這些式子有如下兩個特點：（1）被開方數不含分母；被開方數不含分母；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式被開方數中不含能開得盡方的因數或因式我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式簡二次根式 簡記為：分母無根簡記為：分母無根號，根號無分母號，根號無分母.做一做做一做下列根式中，哪些是最簡二次根式？下列根式中，哪些是最簡二次根式？3, 8,2abxyxyx例例3 比較比較 與與 的大小：的大小：2 33 2解解2 34343123 2929 2181

21、218 1218 2 33 2你還能想到哪些方法你還能想到哪些方法比較它們的大小？比較它們的大小？隨堂練習隨堂練習1.如果等式如果等式 成立，那么成立，那么( )A. x0 B. x3C. x3D. x3B2.下列各式中，是最簡二次根式的是下列各式中，是最簡二次根式的是( )C2222A. 18B.C.D.3a bab 33xxxx 3.3(1)63(2)2 311(3)28(4) 27506(5) 6( 23) 計計算算：366 62 332 33 32 11281824 2 27 5069 2515 661 4.5 5.mmnmn 若若和和是是同同類類最最簡簡二二次次根根式式，則則5.32

22、4,.xx已已知知方方程程62 2解：解：SABC =2 312AC BC12 32BC3 15 3 5BC2222Rt(2 3)(3 5)57.ABCABACBC在在中中，由由勾勾股股定定理理得得： 6.如圖，在如圖，在 RtABC 中，中，C=90, AC= ，SABC = ，求，求 AB 的長的長.3 15ABC7.閱讀理解與運用閱讀理解與運用(1)當當x0, y0時時,同理可得：同理可得：22()()()(),xyxyxyxy 2.xxyy2()xy (2)a,b均為非負數，且均為非負數，且ab,化簡化簡 444.22abaabbabab 244422(2)(2)(2)=22abaab

23、bababababababab 解解：=22abab=42ab 課堂小結課堂小結1. . 利用商的算術平方根的性質化簡二次根式利用商的算術平方根的性質化簡二次根式. .2. . 二次根式的除法有兩種常用方法：二次根式的除法有兩種常用方法：00aaabbb ， （1）利用公式：）利用公式：（2）把除法先寫成分式的形式，再進行分母有）把除法先寫成分式的形式，再進行分母有理化運算理化運算. .3.最簡二次根式的概念最簡二次根式的概念被開方數不含分母；被開方數不含分母；被開方數中不含能開得盡方的因數或因式被開方數中不含能開得盡方的因數或因式4.如何化去分母中的根號，請舉例說明如何化去分母中的根號，請舉

24、例說明可以用二次根式的性質，乘除運算法則及分數基本性質化去可以用二次根式的性質，乘除運算法則及分數基本性質化去分母中的根號分母中的根號5.把一個二次根式化為最簡二次根式的依據是什么？把一個二次根式化為最簡二次根式的依據是什么？ 把一個二次根式化為最簡二次根式的依據是二次根式的把一個二次根式化為最簡二次根式的依據是二次根式的基本性質，二次根式的乘除運算，分數基本性質基本性質，二次根式的乘除運算，分數基本性質 課后作業課后作業1.完成教材完成教材P10練習練習1、2、3、4，2.完成練習冊本課時的習題完成練習冊本課時的習題.謝謝大家2. 二次根式的加減二次根式的加減滬科版滬科版八年級數學下冊八年級

25、數學下冊復習導入復習導入二次根式計算、化簡的結果符合什么要求？二次根式計算、化簡的結果符合什么要求？（1）被開方數不含分母；）被開方數不含分母；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式. 觀觀 察察下列二次根式有什么共同特征：下列二次根式有什么共同特征：2112,3 2,2,2,53（）223,17 3, 5 3,3,13（ ）每組的二次根每組的二次根式的被開方數式的被開方數相同相同.推進新課推進新課思考思考下列根式又有什么共同特征？下列根式又有什么共同特征？92818320.52， ，提示：化為最簡后再來比較！提示：化為最簡后再來比較！8=2 218=

26、3 232=4 210.5=2293=2222 經過化簡后，各根經過化簡后，各根式被開方數相同，像這式被開方數相同，像這樣的幾個二次根式被稱樣的幾個二次根式被稱為同類二次根式為同類二次根式.比一比比一比計算下列各式計算下列各式. .13 222 231= 323143aa如何計算？如何計算？1= 322314231323aaa-+-+我們把我們把 看作系數，每一項所含的二次根式相看作系數，每一項所含的二次根式相同同( )，計算過程就和合并同類項的方法一樣，計算過程就和合并同類項的方法一樣.13 222 231= 323143aa1= 3223142313,2321323aaa-+-+試一試試一

27、試計算：計算：183250解解1832503 24 25 234522 2與合并同類項類與合并同類項類似，把似，把被開方數被開方數相相同的二次根式同的二次根式的項合并的項合并. .二次根式加減法的一般過程：二次根式加減法的一般過程：1.先將二次根式化成最簡二次根式；先將二次根式化成最簡二次根式；2.再將被開方數相同的二次根式進行合并再將被開方數相同的二次根式進行合并.例例4 計算：計算：2 123 484 75解解2 123 484 754 312 320 34 3 二次根式加減法的步驟：二次根式加減法的步驟：一化一化二找二找三合并三合并活動：探究活動：探究二次根式的混合運算二次根式的混合運算

28、836+ + （） ；（1） （2） 4 2 3 62 2- - （） 計算：計算：思考思考 （1）中，先計算什么？后計算什么，）中，先計算什么？后計算什么，最后的目標是什么？（最后的目標是什么？（2）呢）呢？與有理數、實數運算一樣，在混合運算中先乘除，后與有理數、實數運算一樣，在混合運算中先乘除，后加減；加減； 對于（對于（1）：先算乘，再化簡，若有相同的二次根式）：先算乘，再化簡，若有相同的二次根式進行合并，最后的目標是二次根式是最簡二次根式；進行合并，最后的目標是二次根式是最簡二次根式； 對于（對于（2）：先算除，再化簡，若有相同的二次根式）：先算除，再化簡，若有相同的二次根式進行合并，

29、把所有的二次根式化成最簡二次根式進行合并，把所有的二次根式化成最簡二次根式836+ + （） ；（1） （2） 4 2 3 62 2- - （） 計算：計算：836863648184 3 3 2（1）（） ；+=+=+=+=+=+=+4 2 3 62 234 22 23 62 2232（2）（） - -=-=-=-=- 二次根式的加、減、乘、除混合運算與整式二次根式的加、減、乘、除混合運算與整式運算一樣，體現在：運算律、運算順序、乘法法運算一樣，體現在：運算律、運算順序、乘法法則、乘法公式仍然適用則、乘法公式仍然適用. .平方差公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;完全平方公式完

30、全平方公式：(ab)2=a22abb2.例例5 計算：計算：13131（ ）；解解 223131 =31 =31=2.解解2262 36 33 .（ ）262 36 3322=6262 32 36 36 3 =612 212186 3=6 312 2.例例6 計算：計算：38503045.解解38503045= 3 2 25 2303 5= 37 2653 56=7 6320=6.3隨堂練習隨堂練習1.二次根式：二次根式： 中，能中，能與與 合并的二次根式是合并的二次根式是( ) A.和和 B.和和 C.和和 D.和和32122 273；3C2. 計算計算 的結果是的結果是( ) A ABCD

31、2( 24 -3 152 2)23203-3 303203- 30323 30-3322 30-333.計算：計算：2311(1)2 81832;(2)( 4518)( 8125);2413(3)( 23)( 227);(4)8350.24aaaa 11(1)2 81832=24 解解：314 2+2-4 224 9=22(2)( 4518)( 8125)= 3 53 22 25 58 52 13(3)( 23)( 227)=24 233323 32244 112344 23(4)8350aaaa 222352aaaaa 2172aa4.:(2 3 -5)( 23).計計算算 (2 3 -5)

32、( 23)解解： =2 6+6- 10- 15=2 32+2 33- 52- 53 課堂小結課堂小結談一談本節課自己的收獲和感受？談一談本節課自己的收獲和感受？課后作業課后作業1.完成教材完成教材P12練習練習1、2、3、4，2.完成練習冊本課時的習題完成練習冊本課時的習題.謝謝大家章末復習章末復習滬科版滬科版八年級數學下冊八年級數學下冊內容整理內容整理開平方開平方二次根式二次根式概念與性質概念與性質運算運算加減加減乘除乘除知識回顧知識回顧1.1.二次根式：一般地，我們把形如二次根式：一般地，我們把形如 的式的式子叫做二次根式子叫做二次根式. .2.2.最簡二次根式滿足條件：最簡二次根式滿足條

33、件：被開方數不含被開方數不含 ；被開方數中不含能開得盡方的因數或因式的二次被開方數中不含能開得盡方的因數或因式的二次根式，叫做最簡二次根式根式，叫做最簡二次根式. .分母分母(0)a a 3.3.同類二次根式：同類二次根式： 二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數相二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數相同，則這幾個二次根式就是同類二次根式同，則這幾個二次根式就是同類二次根式. .8=2 218=3 232=4 210.5=2224.4.二次根式的性質：二次根式的性質：2aaa(a0)(a 0 時，方程時，方程 x2 = p 有兩個不等的實數有兩個不等的實數根根 . 當當 p = 0 時，方程

34、時，方程 x2 = p 有兩個相等的實數有兩個相等的實數根根 x1=x2=0. 當當 p 0 時，方程時，方程（x + m）2 = n 的兩根為的兩根為x1= m, x2 = m. 當當 n = 0 時，方程時，方程（x + m）2 = n 的兩根為的兩根為x1 = x2 = m. 當當 n 0212421492 14,3bbacxaxx 解：化簡，得解：化簡，得 x2 + 2x 3 = 0 a = 1，b = 2，c = 3 b2 4ac = 22 41(3) = 16 0212421622 13,1bbacxaxx 3. 若方程若方程 x2 9x + 18 = 0 的兩個根分別是的兩個根分

35、別是等腰三角形的底和腰的長，則這個三角形的等腰三角形的底和腰的長，則這個三角形的周長為（周長為（ ） A. 12 B. 15 C. 12或或15 D.無法確定無法確定B 4. 在正數范圍內有一種運算在正數范圍內有一種運算“*”，其運算，其運算規則為規則為 a * b = a + b2. 根據這個規則，方程根據這個規則，方程x*（x + 1）= 5 的根為（的根為（ ） A. x = 5 B. x = 1 C. x = 4 D. x1 = 4，x2 = 1B 5. 已知關于已知關于 x 的一元二次方程的一元二次方程 mx2 （3m 1）x + 2m 1 = 0，其根的判別式，其根的判別式 b2

36、4ac 的值為的值為 1，求，求 m 的值及方程的根的值及方程的根.解解 b2 4ac =（3m 1）2 4m（2m 1） = m2 2m + 1 m2 2m +1 = 1 m1 = 2，m2 = 0（舍去）（舍去）原方程可化為原方程可化為 2x2 5x + 3 = 0a =2，b = 5， c = 3，代入求根公式，得，代入求根公式，得 x1 = 1，x2 = .2554 2 351=44x （）32課堂小結課堂小結224 = 402bbacxbaca （）ax2 + bx + c = 0 （a 0且且b2 4ac0）1.從教材習題中選取，從教材習題中選取，2.完成練習冊本課時的習題完成練習

37、冊本課時的習題.課后作業課后作業謝謝大家滬科版滬科版八年級數學下冊八年級數學下冊第第 3 課時課時 因式分解法因式分解法新課導入新課導入前面我們用開平方法解方程前面我們用開平方法解方程 x2 = 9，你還能用其他方法解這個方程嗎？你還能用其他方法解這個方程嗎？想想 一一 想想新課探究新課探究將方程變形為將方程變形為 x2 9 = 0.再將方程左邊分解因式，得再將方程左邊分解因式，得（x 3）（）（x + 3 ）= 0. 如果兩個因式的積等于如果兩個因式的積等于 0，那么這兩個因，那么這兩個因式中至少有一個等于式中至少有一個等于 0；如果兩個因式中有一；如果兩個因式中有一個等于個等于 0，那么它

38、們的積就等于，那么它們的積就等于0.因此，有因此，有 x 3 = 0 或或 x + 3 = 0.解這兩個一次方程，得解這兩個一次方程，得 x1 = 3，x2 = 3. 這種通過因式分解，將這個一元二次方這種通過因式分解，將這個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來求解的方法叫程轉化為兩個一元一次方程來求解的方法叫做做.這里用到了什么樣這里用到了什么樣的數學思想方法？的數學思想方法？化歸方法化歸方法交流交流 1. 解下列方程，并與同學交流，檢查解得的解下列方程，并與同學交流，檢查解得的結果是否正確結果是否正確.（1）x2 + 3x = 0； （2）x2 = xx（x + 3）= 0 x1 = 0，

39、x2 = 3x（x 1）= 0 x1 = 0，x2 = 12.在解上面的方程（在解上面的方程（2）時，如果像下面這樣做：）時，如果像下面這樣做：兩邊同時除以兩邊同時除以 x，得，得 x = 1.故方程的根為故方程的根為 x = 1.這樣對嗎？為什么？這樣對嗎？為什么？不對，當不對，當 x 等于等于 0 時不能除以時不能除以 x. 3. 總結前面內容你能否歸納出缺項的二次方總結前面內容你能否歸納出缺項的二次方程：程：ax2 + c = 0（a，c 異號），異號），ax2 + bx = 0（a 0）的解法的解法.ax2 + c = 0 （a，c 異號）異號）把左邊分解因式把左邊分解因式 = 0cc

40、xxaa 1 = cxa 2 = cxaax2 + bx = 0（a 0）把左邊分解因式把左邊分解因式 x（ax + b）= 0.x1 = 0，x2 = ba例例4 解方程：解方程：x2 5x + 6 = 0.解解 把方程左邊分解因式，得把方程左邊分解因式，得 （x 2）（）（x 3）= 0. 因此，有因此，有 x 2 = 0 或或 x 3 = 0. 解方程，得解方程，得 x1 = 2，x2 = 3.例例5 解方程：（解方程：（x + 4）（）（x 1） = 6.解解 將原方化為標準形式，得將原方化為標準形式，得 x2 + 3x 10 = 0 把方程左邊分解因式，得把方程左邊分解因式，得 （x

41、 + 5）（）（x 2）= 0. 因此，有因此，有 x + 5 = 0 或或 x 2 = 0. 解方程，得解方程，得 x1 = 5，x2 = 2.分解因式的方法有分解因式的方法有哪哪些些? ?（1）提取公因式法）提取公因式法:（2）公式法）公式法:（3）十字相乘法）十字相乘法:am + bm + cm = m（a + b + c）.a2 b2 = (a + b)(a b)a2 + 2ab + b2 = (a + b)2.x2 +（a + b）x + ab = (x + a)(x + b).11ab用因式分解法解一元二次方程的步驟用因式分解法解一元二次方程的步驟 把方程變形為把方程變形為 x2

42、+ px + q = 0 的形式的形式 把方程變形為把方程變形為（x x1）（）（x x2）= 0 的形式的形式 把方程降次為兩個一次方程把方程降次為兩個一次方程 x x1 = 0 或或 x x2 = 0 的形式的形式 解兩個一次方程，求出方程的根解兩個一次方程，求出方程的根練習練習用因式分解法解下列方程：用因式分解法解下列方程：（1）3（x + 1）= x（x + 1）解解 原方程可化為原方程可化為 （x 3）（）（x + 1）= 0. 因此，有因此，有 x 3 = 0 或或 x + 1 = 0. 解方程，得解方程，得 x1 = 3，x2 = 1.（2）t（t + 3）= 28解解 原方程可

43、化為原方程可化為 （t + 7）（）（t 4）= 0. 因此，有因此，有 t + 7 = 0 或或 t 4 = 0. 解方程，得解方程，得 t1 = 7，t2 = 4.隨堂演練隨堂演練1. 一元二次方程一元二次方程 x（x 2）= 2 x 的根是（的根是（ ）A. 1 B. 2 C. 1和和2 D. 1和和2D2. 用適當方法解下列方程：用適當方法解下列方程：（1）(2x+3)2-25=0; （2）x2+5x+7=3x+11；解：化簡，得解：化簡，得 4 4x2+12x+9-25=0 x2+3x-4=0 分解因式，得分解因式，得 (x-1)(x+4)=0 x1=1, x2=-4解：化簡，得解：

44、化簡，得 x2+2x=4 x2+2x+1=5 (x+1)2=5121515,15xxx 3. 若一個三角形的三邊長均滿足方程若一個三角形的三邊長均滿足方程x2 7x + 12 = 0，求此三角形的周長求此三角形的周長.解：解：x2 7x + 12 = 0，則則（x 3）（）（x 4）= 0. x1 = 3，x2 = 4.三角形三邊長均為方程的根三角形三邊長均為方程的根.三角形三邊長為三角形三邊長為 4、3、3，周長為，周長為 10；三角形三邊長為三角形三邊長為 4、4、3，周長為，周長為 11；三角形三邊長為三角形三邊長為 4、4、4，周長為周長為 12；三角形三邊長為三角形三邊長為 3、3、

45、3，周長為周長為 9.4. 解關于解關于 x 的方程的方程 x2 + 2ax b2 + a2 = 0.解解 原方程可化為（原方程可化為（x + a）2 b2 = 0. 左邊分解因式，得左邊分解因式，得 （x + a + b）（）（x + a b）= 0. 因此，有因此，有 x + a + b = 0 或或 x + a b = 0. 解方程，得解方程，得 x1 = a b，x2 = a + b. 5. 用因式分解法解關于用因式分解法解關于 x 的一元二次方程的一元二次方程 x2 kx 16 = 0 時，得到的兩根均為整數，則時，得到的兩根均為整數，則 k 的值可以是的值可以是_.0，6，6，15

46、， 15課堂小結課堂小結解一元二次方程解一元二次方程直接開平方法直接開平方法配方法配方法公式法公式法因式分解法因式分解法1.從教材習題中選取，從教材習題中選取，2.完成練習冊本課時的習題完成練習冊本課時的習題.課后作業課后作業謝謝大家17.4 一元二次方程的根與系數的關系一元二次方程的根與系數的關系滬科版滬科版八年級數學下冊八年級數學下冊新課導入新課導入探究探究 你是否注意到每個方程中的兩根之間的關系？你是否注意到每個方程中的兩根之間的關系？兩根之和（兩根之和（x1 + x2）、兩根之積（）、兩根之積（x1x2）與該方程的）與該方程的各項系數之間有怎樣的關系？填寫下表，然后觀察各項系數之間有怎

47、樣的關系？填寫下表，然后觀察根與系數的關系：根與系數的關系：新課探究新課探究方程方程x1x2x1+x2x1x2x2 + 2x 15 = 03x2 4x + 1 = 02x2 5x + 1 = 05321513143135174 5174 5212 方程方程 ax2 + bx + c = 0（a 0）的根如）的根如果是果是 x1、x2，那么，那么 x1+x2 =_，x1x2 =_.ba ca你能證你的猜想嗎？你能證你的猜想嗎？ 我們知道，我們知道，一元二次方一元二次方 ax2+ bx + c = 0 （a 0）的兩根為）的兩根為214 = 2bbacxa 214 = 2bbacxa 所以所以 x

48、1 + x2 = + = =24 2bbaca 24 2bbaca 22ba ba x1x2 = = = 24 2bbaca 24 2bbaca 244acaca 如果如果 ax2+ bx + c = 0（a 0）的的兩根為兩根為 x1，x2，那么那么 x1 + x2 = ， x1x2 = .ba ca韋韋 達達 定定 理理 當一元二次方程的二次項系數為當一元二次方程的二次項系數為 1 時，它的標時，它的標準形式為準形式為 x2 + px + q = 0. 設它的兩個根為設它的兩個根為 x1，x2，這時韋達定理應是：這時韋達定理應是：x1 + x2 = p，x1x2 = q.練習練習不解方程，

49、求下列方程兩根的和與積不解方程，求下列方程兩根的和與積. .x2 3x = 15； 5x2 1 = 4x2 + x解：解：x1 + x2 = 3 x1x2 = 15解：化簡得解：化簡得 x2 x 1 = 0 x1 + x2 = 1 x1x2 = 1 例例 1 已知關于已知關于 x 的方程的方程 2x2 + kx 4 = 0 的一的一個根是個根是 4，求它的另一個根及，求它的另一個根及 k 的值的值.解解 設方程的另一個根是設方程的另一個根是 x2，則，則242kx 2442x 解方程組，得解方程組，得212x 7k 答：方程的另一個根為答：方程的另一個根為 ，k 的值為的值為 7.12想一想想

50、一想本題還有別的解法嗎？本題還有別的解法嗎？解解 將將 x = 4 代入方程，得代入方程，得2（ 4 ）2 +（ 4 ）k 4 = 0.解得解得 k = 7.將將 k = 7代入方程，得代入方程，得 2x2 + 7x 4 = 0， 解得解得112x 24x 例例 2 方程方程 2x2 3x + 1 = 0 的兩個根記作的兩個根記作x1，x2，不解方程，求，不解方程，求 x1 x2 的值的值.解解 由韋達定理，得由韋達定理，得 x1 + x2 = ， x1x2 = .3212（x1 x2）2 =（x1 + x2）2 4x1x223114224 x1 x2 =12 引申：若引申：若 ax2 bx

51、c 0（a 0 0）（1）若兩根互為相反數，則）若兩根互為相反數，則 b 0；（2）若兩根互為倒數，則）若兩根互為倒數，則 a c；（3）若一根為）若一根為 0，則，則 c 0；（4）若一根為）若一根為 1，則，則 a b c 0；（5）若一根為）若一根為 1，則，則 a b c 0；（6）若）若 a、c 異號，方程一定有兩個實數根異號，方程一定有兩個實數根.隨堂演練隨堂演練 1. 關于關于 x 的方程的方程 x2 + px + q = 0 的根為的根為 x1 = 1+ ，x2 = 1 ，則則 p = ，q= . 2. 已知方程已知方程 5x2 + kx 6 = 0 的一根是的一根是 2，則，

52、則另一根是另一根是 ， k .22 1 35 27 3. 求下列方程的兩根求下列方程的兩根 x1，x2 的和與積：的和與積： （1）x2 3x + 2 = 0； （2）x2 + x = 5x + 6解：解：x1 + x2 = 3 x1x2 = 2解：化簡得解：化簡得 x2 4x 6 = 0 x1 + x2 = 4 x1x2 = 6 4. x1，x2 是方程是方程 x2 5x 7 = 0 的兩根，不解的兩根，不解方程求下列各式的值：方程求下列各式的值： （1） ；（；（2） .1211xx 2212xx 解：解： x1，x2 是方程是方程 x2 5x 7 = 0 的兩根的兩根. 則則 x1 +

53、x2 = 5，x1x2 = 7 .1212121155(1)77xxxxx x 221222112212212122(2)22()252 ( 7)39xxxx xxx xxxx x 5. 已知關于已知關于 x 的方程的方程 x2 （2m + 3）x + m2 = 0 的的兩根之和等于兩根之積，求兩根之和等于兩根之積，求 m 的值的值.解：設方程解：設方程 x2 （2m + 3）x + m2 = 0 的兩根為的兩根為 x1，x2. x1 + x2 = 2m + 3，x1x2 = m2. 根據題意得根據題意得 m2 = 2m +3，解得，解得 m1= 3，m2 = 1. 當當 m = 3 時，原方

54、程為時，原方程為 x2 9x + 9 = 0，b2 4ac = 45 0. 方程有實數根方程有實數根. 當當 m = 1 時，原方程為時，原方程為 x2 x + 1 = 0，b2 4ac = 3 0. 方程無實數根，此方程無實數根，此 m 值舍去值舍去. m 的值為的值為 3.課堂小結課堂小結 如果如果 ax2+ bx + c = 0（a 0）的的兩根為兩根為 x1，x2，那么那么 x1+x2 = ， x1x2 = .ba ca韋韋 達達 定定 理理1.從教材習題中選取，從教材習題中選取，2.完成練習冊本課時的習題完成練習冊本課時的習題.課后作業課后作業謝謝大家17.3 一元二次方程根的判別式

55、一元二次方程根的判別式滬科版滬科版八年級數學下冊八年級數學下冊新課導入新課導入交流交流 在前面的學習中，你是否注意到：方在前面的學習中，你是否注意到：方程程 ax2 + bx + c = 0（a 0）有實數根的條）有實數根的條件是什么？何時有兩個相等的實數根？何件是什么？何時有兩個相等的實數根？何時有兩個不相等的實數根？時有兩個不相等的實數根？新課探究新課探究 通過配方得到了一元二次方程通過配方得到了一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a 0） 的求根公式的求根公式 224 = 402bbacxbaca （）因為因為 a 0，所以，所以 （1）當）當 b2 4ac 0 時，時， 是

56、正實是正實數，因此，方程有兩個不相等的實數根：數，因此，方程有兩個不相等的實數根： 24bac 214 = 2bbacxa 214 = 2bbacxa （2）當）當 b2 4ac = 0 時，時， ，因，因此，方程有兩個相等的實數根：此，方程有兩個相等的實數根： 240bac 12 = 2bxxa （3）當）當 b2 4ac 0方程有兩個不方程有兩個不等的實數根等的實數根 = b2 4ac = 122 494 = 0方程有兩個方程有兩個相相等的實數根等的實數根2x2 + 4x 3 = 2x 4 ； x（x + 4）= 8x + 12.化簡得化簡得 2x2 + 2x + 1 = 0 = b2 4

57、ac = 22 4 21 = 4 0方程有兩個不等的實數根方程有兩個不等的實數根隨堂演練隨堂演練 1. 一元二次方程一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a 0）有）有實數根，則實數根，則 b2 4ac 滿足的條件是（滿足的條件是（ ） A. b2 4ac = 0 B. b2 4ac 0 C. b2 4ac 0 D. b2 4ac 0D 2. 已知一元二次方程：已知一元二次方程： x2 + 2x + 3 = 0， x2 2x 3 = 0.下列說法正確的是（下列說法正確的是（ ） A.都有實數解都有實數解 B.無實數解，有實數解無實數解，有實數解 C.有實數解，無實數解有實數解，無實數

58、解 D.都無實數解都無實數解B 3. 無論無論 p 取何值，方程取何值，方程 (x 3)(x 2) p2 = 0 總總有兩個不等的實數根嗎？給出你的答案并說明理由有兩個不等的實數根嗎？給出你的答案并說明理由.解：方程化簡為解：方程化簡為 x2 5x + 6 p2 = 0, b2 4ac =(5)2 41(6 p2) = 4p2 + 1 1, 0 無論無論 p 取何值，方程取何值，方程 (x 3)(x 2) p2 = 0 總總有兩個不等的實數根有兩個不等的實數根. 4. 已知已知 2mx2 + 8m（x + 1）= x，當，當 m 為何為何值時，值時， （1）方程有兩個不相等的實數根；）方程有兩

59、個不相等的實數根； （2）有兩個相等的實數根；）有兩個相等的實數根； （3）沒有實數根）沒有實數根.解解：原方程可化為：原方程可化為 2mx2 + (8m + 1)x + 8m = 0因為因為 = b2 4ac = (8m + 1)2 42m8m = 16m + 1（1）當）當 = 16m + 1 0，即，即 m ，且，且m 0 時，方程有兩個不等的實數根；時，方程有兩個不等的實數根；116（2）當）當 = 16m + 1 = 0，即，即 m = 時，方時，方程有兩個相等的實數根；程有兩個相等的實數根；116（3）當）當 = 16m + 1 0，即，即 m 時，方時，方程沒有實數根程沒有實數根

60、.1165. 解方程解方程 ax2 5x + 5 = 0解解 當當 a = 0 時，時，x = 1. 當當 a 0 時，方程為一元二次方程，時，方程為一元二次方程， = 25 20a. 當當 0，即，即 a 時，時，x= ； 當當 = 0，即，即 a = 時，時，x=2； 當當 0，即，即 a 時，方程無解時，方程無解.54525202aa5454課堂小結課堂小結根的判別式根的判別式 = b2 4ac 當當 0 時，有兩個不相等的實數根；時，有兩個不相等的實數根；當當 = 0 時，有兩個相等的實數根；時，有兩個相等的實數根；當當 0 時，沒有實數根時，沒有實數根.1.從教材習題中選取，從教材習