1、第三章 導數及其應用 第 2 講 導數的應用 第 2 課時 利用導數研究函數的極值、最值練習理 北師大版基礎鞏固題組(建議用時：40 分鐘)一、選擇題1. (2016 四川卷)已知a為函數f(x) =x3 12x的極小值點，貝 Ua=()A. 4B. 2C.4D.22解析f(x) = 3x 12,.x0, 2x2 時，f (x)2 時,f (x)0 ,x=2 是f(x)的極小值點.答案 D122. 函數f(x) = qx Inx的最小值為()1十卄亠A. 2B.1C.0D.不存在2(x)0 ,得x1;令f(x)0 ,得 0 x0.令f3o27R母線長為I,則V=nRl= 27n,. I=R,要

2、使用料最省，只須使圓柱的側面積與下底面面積之和S最小.由題意，S=nR+ 2nRl=nR+ 2n54n.S= 2nR-y，令 S= 0,得 R= 3,則當 R= 3 時，S 最小.故選 A.答案 A5. (2017 東北四校聯考)已知函數f(x) =x3+ax2+ (a+ 6)x+ 1 有極大值和極小值，則實數a的取值范圍是()A.(1,2)B.(s,3)U(6,+s)C.(3,6)D.(s,1)U(2,+s)2解析Tf(x) = 3x+ 2ax+ (a+ 6),由已知可得f(x) = 0 有兩個不相等的實根.2 2A= 4a 4x3(a+ 6)0 ，即卩a 3a 180,.a6 或a 3.答

3、案 B二、填空題6. (2017 漢中模擬)已知函數f(x) =x3+ax2+ 3x 9，若x= 3 是函數f(x)的一個極值點，貝 U 實數 a=_ .解析f(x) = 3x2+ 2ax+ 3.依題意知，3 是方程f(x) = 0 的根，所以 3x( 3)2+ 2ax( 3) + 3= 0,解得a= 5.經檢驗，a= 5 時，f(x)在x= 3 處取得極值.答案5- 3x 3x,x0,解析當x0 時，f(x) = 2x0;當xW0時，f (x) = 3x2 3= 3(x 1)(x+ 1)，當x0,f(x)是增函數, 當一1x0 時，f(x)0 時，ex-1 , a= ex0,r0).(1)

4、求f(x)的定義域，并討論f(x)的單調性；a(2) 若-=400,求f(x)在(0,+)內的極值.解 (1)由題意可知x豐r，所求的定義域為(一m, r)U( r，+m).axaxf(x)= (x+r)2=x2+ 2rx+r2，2 2z , ,、a(x+ 2rx+r)ax(2x+ 2r)a(rx) (x+r)f(x) =；22=；4.(x+ 2rx+r)(x+r)所以當xr時，f (x)0 ；當一rx0.因此，f(x)的單調遞減區間為(一g，r)，(r，+3)；f(x)的單調遞增區間為(一r，r).由的解答可知f(r) = 0，f(x)在(0，r)上單調遞增，在(r，+)上單調遞減 因此，x

5、=r是f(x)的極大值點，ar a400所以f(x)在(0，+3)內的極大值為f(r)=(2r)2=100,f(x)在(0，+m)內無極小值；綜上，f(x)在(0，+3)內極大值為 100，無極小值.10.已知函數f(x) = (xk)e .(1) 求f(x)的單調區間；(2) 求f(x)在區間0，1上的最小值.x解(1)由題意知f( x) = (xk+ 1)e .令f(x) = 0，得x=k 1.f(x)與f(x)隨x的變化情況如下表：x(m，k 1)k 1(k 1，+m)f(X)0+f(x)r、k1e5所以，f(x)的單調遞減區間是(一g，k 1);單調遞增區間是(k 1，+m).當k K

6、 0，即卩kwi時，f(x)在0，1上單調遞增，6所以f(x)在區間0,1上的最小值為f(0) =k；當 0k 11，即 1k 1,即卩k2時，f(x)在0 , 1上單調遞減，所以f(x)在區間0 , 1上的最小值為f(1) = (1 k)e.綜上，當kwi時，f(x)在0 , 1上的最小值為f(0) =k；當 1k2時，f(x)在0 , 1上的最小值為f(1) = (1 k)e.能力提升題組(建議用時：25 分鐘)11. (2017 石家莊質檢)若a0,b0,且函數f(x) = 4x3ax2 2bx+ 2 在x= 1 處有極值，若t=ab,則t的最大值為()A.2B.3C.6D.9解析f(x

7、) = 12x2 2ax 2b,則f (1) = 12 2a 2b= 0,貝 Ua+b= 6, 又a0,b0,則t=abw竺 = 9，當且僅當a=b= 3 時取等號.答案 D一 13 2212. (2017 上饒調研)若函數f(x) =+x 3 在區間(a,a+ 5)上存在最小值，則實數a的取值范圍是()A. 5, 0)B.( 5, 0)C. 3, 0)D.( 3, 0)解析由題意，f (x) =x+ 2x=x(x+ 2)，故f(x)在(s, 2),(0, +s)上是增函數，在(一 2,0)上是減函數， 作出其圖像如圖所示 令 gx3+x2 I = I 得，x= 0 或x= 3，則結合圖像可知

8、，3wa0,答案 C13. 函數f(x) =x3 3ax+b(a0)的極大值為 6,極小值為 2,貝 Uf(x)的單調遞減區間是7解析 令f(x) = 3x2 3a= 0,得x=.a,8則f(X) ,f (X)隨x的變化情況如下表:答案(1, 1)_ 214.(2017 濟南模擬)設函數f(x) = ln(x+a) +x.(1)若當x= 1 時，f(x)取得極值，求a的值，并討論f(x)的單調性;(2)若f(x)存在極值，求a的取值范圍，并證明所有極值之和大于3卜 2x，依題意，有f(一 1) = 0,故a=23當一 2x0 ；1當一 1x 2 時，f (x) 1 時，f (x)0.2a. a 2 0,即a_2,則 2x+ 2ax+ 1 = 0 有兩個不同的實根，X1=廠-a+ 寸a 2X2=2X(-m,-羽羽) )-擊(-護，護)h/a,+m)f(x從而丿3_3a+b=2,所以f(x)的單調遞減區間是(一 1, 1).1解(1)f(X)=樂從而f(x)=(2X+1)(X+1，且f(x)的定義域為3 -km2十 f(x)在區間32,1,f(x)的定義域為(一a,+),+m上單調遞增，在,2x2+ 2ax+ 1f (x)=x+a1, 2