1、 引 言微分方程（differential equation）指含有自變量、未知函數及其導數的方程，是常微分方程和偏微分方程的總稱。 在17-18世紀社會生產力發展的需求與科學數學化進程的影響下，微積分本身進一步深入發展并在力學、物理學、聲學和幾何學等方面廣泛應用，刺激和推動了一系列應用分支的形成。微分方程理論正是在這一時代背景下產生的。 同期出現的還有微分幾何、變分法、無窮級數等，它們與微分方程理論相互影響，相互促進。微分方程是伴隨著微積分的產生和發展而成長起來的一門歷史悠久的學科，從誕生之日起很快就顯示出它在應用上的重要作用，特別是作為牛頓力學的得力助手，在天體力學和其它力學領域顯示出巨大

2、的功能。牛頓通過解微分方程證實了地球繞太陽的運動軌道是一個橢圓；海王星的存在是天文學家先通過微分方程的方法推算出來，然后才實際觀測到的。隨著科學技術的發展和社會的進步，微分方程的應用不斷擴大和深入。時至今日，可以說微分方程在所有自然科學領域和眾多社會科學領域都有著廣泛的應用。在數學學科內部的許多分支中，微分方程是常用的重要工具之一，也是整個數學課程體系中的重要組成部分。微分方程每一步進展都離不開其它數學分支的支援；反過來，微分方程進一步發展，又推動著其它數學分支的發展。微分方程是一門十分有用又十分有魅力的學科，自 1693 年微分方程概念的提出到動力系統的長足發展，常微分方程經歷漫長而又迅速的

3、發展，極大豐富了數學家園的內容。隨著社會技術的發展和需求，微分方程會有更大的發展，比如偏微分方程的迅速發展。有理由預測：隨著依賴數學為基礎的其它學科的發展 ,微分方程還會繼續擴展。 本文主要介紹以常微分方程作為工具，對一些實際問題建立微分方程模型，然后求出微分方程的解，從而解決相應的實際問題，進一步了解微分方程在描述客觀世界中的作用。一、微分方程模型在經濟學中的應用141.經濟增長分析模型 3 模型基本假設有:(1)全社會只生產一種產品，可以是投資品，也可以是消費品；（2）生產過程中只用兩種生產要素，即勞動力和資本，且這兩種要素之間相互不能替代；（3）儲蓄是國民收入的函數；（4）不存在技術進步

4、，也不存在資本折舊問題；（5）生產規模報酬不變；（6）勞動力按照一個固定不變的比率增長。解：設S(t)為 t 時刻的儲蓄，I(t)為t時刻的投資，Y(t)為t時刻的國民收入，可以建立如下的簡單經濟增長模型： ,上式中、均為正常數，為初期國民收入，0。 方程(1)表示儲蓄與國民收入成正比（ 稱為儲蓄率）， 方程(2)表示投資與國民收入的變化率成正比（稱為加速數）， 方程(3)表示儲蓄等于投資。 由前三個方程消去S(t)和I(t)，可得關于Y(t)的微分方程: ,即 ,兩邊同時積分得到 ,其通解為 ， （c為任意常數）由出初始條件 , 得，所以 。于是 。由0可知， 都是關于t的單增函數。 此模型

5、提出經濟增長的決定性變量是資本或儲蓄的形成，一個經濟增長的能力依賴于一個經濟的儲蓄能力，政府可以通過刺激資本積累、調節儲蓄水平來實現經濟的長期增長。2.市場均衡價格分析模型13模型：設某種商品，其價格主要由市場供求關系來決定，且該商品的市場價格 P= P( t)一般會隨時間的變化而變動,該商品的需求量，供給量，都只與該商品的價格P有關。解：設需求函數與供給函數分別為： ，當需求量與供給量相等時，即時，由(1)（2）式可得價格 （此時稱為該商品的均衡價格）。一般地，當市場上該商品供過于求()時，價格將下跌；供不應求()時，價格將上漲。因此，該商品的價格將隨著時間的變化而圍繞著均衡價格 上下波動。

6、假設t時刻價格P(t )的變化率與t時刻的超額需求量 成正比，即設 ， 其中K為正常數，反映了價格的調整速度。將（1）（2）代入（3）得 ，為一階可分離變量的微分方程，可化為： ， 分離變量得： ，兩邊同時積分，有： （為常數） ，解得： 。假設初始價格，代入上式得 ， 于是， ， 。該模型的結果說明，實際價格最終趨向于均衡價格。3. 廣告效果分析模型模型：信息時代使廣告成為提升商品銷售量的一種強有力手段，因此有必要研究銷售量與廣告之間具有什么樣的內在聯系。下面借助微分方程來進行研究。以銷售速度為研究對象，設s(t)為t時刻的產品銷售速度，認為廣告對產品的銷售速度有直接的促進作用并作以下假設：

7、 （i）在不考慮廣告作用的情況下，銷售速度具有自然衰減的性質，即隨著時間的推移，產品銷售速度在減少，滿足這一性質的銷售速度:， 其中為衰減因子。 (ii)廣告會使產品的銷售速度增加，但增加具有一定限度，當產品在市場上趨于飽和時，銷售速度將趨于極限值。這時無論采取哪種形式做廣告(不包括其他的促銷手段)，銷售速度都不會增加。當銷售速度達到飽和水平后，廣告已不起作用，銷售速度隨時間增加而自然衰減。假設M為銷售飽和水平，即市場對產品的最大容納能力，它對應著銷售速度的上限。同樣為衰減因子， > 0且為常數。 (iii) 廣告的投入水平與產品的銷售速度有關，設A(t)為t時刻的廣告投入水平(以費用表

8、示)，p為投入的響應系數，即投入水平A(t)對銷售速度的影響力，p為常數。解：據以上假設，有： ，(1)式右邊的第一項反映出廣告投入對銷售速度的影響，顯然當A(t)=0或s=M 時，都有 ，而(1)式右邊第二項表明銷售速度自然衰減的特征。 為確定A(t)的形式，假設選擇如下廣告策略： ，即在時間內平均投入常數A 的資金來做廣告，在此條件下求解(1)式。 在時間段(0，)內，假設已知用于廣告的總投入為a，那么單位時間投入，代人(1)式，有： ， ， ，令：，則有 ，其通解為： ，為積分常數。 由于初始時刻銷售速度，那么： .(3)當時，根據(2)式，A=0，則(1)式便為： ，其解為： ， .

9、(4)結合(3)式和(4)式，在(2)式下，銷售速度廣告模型的解為： 。二、微分方程模型在運動學中的應用21.自由落體運動模型9模型：在萬有引力的作用下，一質點從離地很高的地方從靜止開始下落。假設相對于質點來說，地球是固定的，且忽略空氣阻力等其它因素對質點的影響，試求質點的速度對距離的依賴關系；如果開始時質點離地心的距離為 ，那么質點到達地面的時間是多少?解：取地心為原點，X表示質點到地心的距離，作用在質點上的力F按萬有引力定律為： (m、M分別表質點、地球的質量)它在地面上就等于物體所受的重力，即其中R是地球的平均半徑。 由牛頓第二定律有： ，即 。 . (1）設，由于(1)式中a為向心加速

10、度，則 ，代入（1）式得一階微分方程： ，變量分離得： ，兩邊同時積分得： （C為常數），解得速度與距離的依賴關系： （為常數）。假設質點初始離地心的距離為，而初始時速度為0，則：，解得： ，則： ，即： ，分離變量得： ，積分有： ， ，由此可得：質點到達地面的時間為： 。.(2)2.飛機安全降落模型1模型：飛機在跑道上下降時先要滑跑一段時間，飛機的尾部會張開一幅降落傘， 目的是為了在機場跑道長度不夠時，用此降落傘裝置作為飛機的減速器。張開的減速傘，利用空氣對降落傘的阻力來減少飛機的滑行距離，從而使飛機在較短的跑道上也可以安全的著陸而不至于沖出跑道。利用此原理解決下面的問題：把阻力系數為kg

11、h的減速降落傘設備安裝在質量為9（T）的飛機上。已知該飛機降落的機場跑道長為1500m，該飛機的著陸速度為700km每小時，忽略飛機所受的其它外力。那么在這樣的跑道長度的情況下飛機能否安全著陸?解：由已知條件知道飛機降落到跑道上滑落過程中只受到降落傘所帶來的阻力，根據牛頓第二運動定律有F=ma，這里的F是飛機滑跑過程中所受到的合力。設從飛機一開始接觸跑道時開始計時，且設飛機的滑跑距離函數為X（t)；飛機的質量為m ；飛機滑跑過程中的阻力系數為k，加速度為a ；飛機的速度函數為,那么飛機所受合力，從而我們也可以得到：，由加速度a和速度的關系我們知道，所以我們有： 。判斷飛機是否能安全著陸就是要判

12、斷飛機停下時的滑行距離是否超過1500m,所以關鍵是求出滑行距離X（t)。由滑行距離和速度的關系有：，而且飛機剛接觸跑道時的滑行距離為0，滑行速度為700km/h ,即 ，現在問題轉化為了求以下兩個微分方程： .（1）， .（2）。（1）式求解得： ，兩邊同時積分得： （為常數）， (c為常數），代入初值條件可得 。下面對（2）式進行求解：則有：，分離變量有： ，積分得： ，代入初值條件：得：，因此 ， 由此可得： 。 . (3)將已知數據代入(3)式可得，而1400m<1500m，所以飛機可以安全著陸。3.子彈穿鋼板模型模型：在子彈穿透一塊鋼板的過程中，若已知子彈穿透鋼板所用時間為，而

13、且子彈射入鋼板時的速度為，子彈穿出鋼板時的速度為，還已知子彈在鋼板內的阻力與速度平方成正比，比例系數為k（k>0)，求鋼板的厚度。解：由已知可得，若設子彈的速度為，則子彈在鋼板內所受的阻力為，若設子彈的質量為m,加速度為a ,則由牛頓運動第二定律得：F=ma。 又由于加速度可以表示為速度對時間的一階導數，所以：，從而有： . (1)，滿足初始條件：，解（1）式有： 。積分得： 為常數）， 解得： ， . (2)(2)式代入初值得：, 所以： 。 . (3)當時, 。那么鋼板厚度： 。 . (4) 三、微分方程模型在醫學領域的應用1.血液中酒精含量的模型10模型假設：（i）討論均以市場上常

14、見的啤酒為例，每瓶500 mL，其他酒類可折合成啤酒，并且酒是在很短時間內喝的，即瞬間喝的；（ii）在任何情況下，個人體內的血液體積不變，人體密度是均勻的，而且酒精進入體液的時候馬上均勻分布，且血液和體液的酒精濃度是一樣的。 解：通過t時刻吸收的酒精量和排出的酒精量來建立變量間的關系式。體液中的酒精量通過胃腸吸收而得，但又隨著體液排出體外。() 設人在很短時間內喝下M (mL)的酒，則可根據酒的濃度計算酒精的質量，記為m (mg)；設酒精被吸收到體液中的速率與胃腸道中酒精質量成正比，比例常數為，同時假設喝酒后t時刻腸胃中的酒精質量為，由假設可得初值問題： ， . (1)解得 ， （c為常數）

15、， （為常數）代入初值 得： 。 . （2）() 在t時間內，吸收到體液中的酒精質量約為，因此從0到t時刻吸收到體液中的酒精質量約為。令體液中的酒精濃度在t時刻為mg100mL，又設單位時間內體排除體外的體液與人體體液比例為 ，則從0到t時刻排出體外的酒精質量為，而在t 時刻體液中酒精質量為，所以在t時刻體液中酒精濃度為： ，. (3)(3)式兩邊對t求導得： ， 令，那么結合（2）式可得到關于的微分方程： ， . （4）方程 ，變形得： ，利用積分因子法求解： ， ， ,則有： ，代入初值得： ，所以： 。 . （5） 分析(5)式可知，函數在 內單調遞減；在內單調遞增，且。表明開始時體液內

16、的酒精濃度以較快的速度增長，在 時濃度達到最大值，之后濃度又逐漸降低。隨著時間的無限推移，體液中酒精的濃度越來越低，以至于最后完全消失。2.傳染病模型8模型：假設在t時刻傳染病人人數為，每天每個傳染病人有效接觸的平均人數是常數日接觸率）。若被考察傳染性疾病所在地在傳播期內總人數N不變。解：模型1：將總人員分為已感染者和易感染者（即還沒感染的人），設t時刻他們在總人數中所占的比例分別為和（其中）。那么在t時刻已感染者人數為,而每天每個已感染者可使個健康者患病，所以每天共有個健康者被感染而患病，于是我們可以得到病人的變化率方程： ，記初始時刻，即t=0 時刻，病人人數為，那么有： ， .（1）解得

17、： ， .（2）和的圖形如下：由（1）式、（2）式及和的圖形可知：() 當時， 達到最大值 ，該時刻為：。這時病人數量增加得最快，說明傳染高峰的來臨，需要采取嚴格的措施加以控制。()當時，這表明，最后所有人都會變成病人。顯然，這樣的結果是不符合實際情況的，所以要考慮病人被治愈或被隔離等情況。 模型2:有些傳染病，即使治愈后也還可以被感染又變成病人。因此在模型1的基礎上再假設每天被治愈人數占總病人數的（治愈率），則為平均傳染周期， 而模型改進為： ， . （3）解(3)得 ： 。令，則是一個傳染期內每個病人有效接觸的平均人數，所以時： 。 . （4）分析(4)易知，是一個分界點：當時，病人比例越

18、來越小，最終趨于0；當時，的減小或增加取決于的大小，隨的增大而增大。3.胰臟檢查模型11模型：正常胰臟每分鐘吸收染色的40，而常用醫療檢測手段，就是利用這個原理把示蹤染色注射到胰臟里去檢查其功能。一醫生給某人的胰臟注射了o3克染色，經過30分鐘后該人胰臟中還剩下01克，問此人的胰臟是否正常？解：在人胰臟功能正常的情況下，假設在胰臟中注射染色后t分鐘時人胰臟中的染色量表示為，那么胰臟每分鐘吸收的染色為，又由初始條件可知，故該模型可表示為：，分離變量得： ，兩邊同時積分得： 為常數）， ，代入初值條件，得：。所以： ，那么30分鐘后正常人剩余染色量為：。而由已知條件得知此人經過30分鐘后還剩下0.

19、1克，所以此人胰臟不正常，應及時接受治療。4、 微分方程模型在社會學中的應用1、腐敗人數的預測模型15模型：由于某個官員因腐敗而被撤職時，一般又會牽連出一批的涉案分子。下面在已牽連出的涉案人數的基礎之上，通過建立一個微分方程模型，預測一下總的涉案人數。 設時間為t；涉案總人數關于時間t的函數為，其中t=0時牽連的人數為，為腐敗事件所牽連的人數的最大值；牽連人數的增長率為，為固有增長率，即 時的牽連人數的增長率；為追查過程中的阻力系數；為已被揪出的每個涉案人員每個月所供出的平均人數；為腐敗所牽連的人數在總人數中所占的比例，為t=O時刻腐敗所牽連的人數在總人數中所占的比例。 解：伴隨已經牽連出的涉

20、案人數的增加，潛在的涉案人數在逐步減少。涉案總人數關于時間t的函數為，而牽連人數的增長率與有一定的函數關系。假設是關于t的連續函數，其上界為 。 由假設知，為x 的線性函數，設為斜率），則當 時，人數增長率為0，因此，故可確定出 ，那么牽連人數增長率函數就可以表示為： 。 在不考慮困難程度和其他因素的影響時，建立如下的微分方程： , . （1）分離變量得：,可變形為： ,兩邊同時積分得： 為常數）,即： , ,代入初始值可得：，所以： ，解得： 。 . （2） 考慮追查過程中的其阻力時，建立如下的微分方程： , . （3）解得： 。 . （4）2、確定嫌疑犯模型5模型：一天下午一樁兇案發生在某

21、小鎮上，警方立即展開調查。經過反復排查，李某和張某被劃定為兩名犯罪嫌疑人。可是兩人都辯解說自己沒有殺人，都詳細說了自己當日下午活動的具體情況。李某說他下午一直在公司上班，4點30分左右接到 后才離開。張某說他下午一直在辦公室，直到5點下班后才離開。經警方調查，二人所說都被證實，都沒說謊。但從他們兩人上班地點到案發現場都只需要10分鐘。法醫在下午6點到達兇案現場，立即測得此時死者的溫度為34度，經過1小時后再次測得尸體的溫度為32度。若室溫為常溫21度，現在分析兩人能否都排除嫌疑。解：若假設死者的體溫在t時刻為，那么由牛頓冷卻定律（一個高溫物體在外界溫度恒定的系統中自然冷卻時，冷卻的速率與它的溫

22、度和外界的溫度之差成正比）可以把該模型表示為： ，. （1）(1)的微分方程是一個一階線性非齊次的常微分方程，把它改寫為： ， . （2）利用積分因子法求解(2)式： ，即： ，則有： ，所以： 為常數），解得： ，再由得： 即：c=13。再將，得： ，解得：，所以： 。 . （3）人的正常體溫約為37度，因此假設死者死亡時體溫為37度，那么T=37，所以死亡時間t滿足： ， . （4）解得： 小時。由此可以推斷出死者的死亡時間約為下午4:45左右，所以我們可以看出張某沒有作案時間，可以排除嫌疑，而李某不能被排除嫌疑。3、人口增長模型6模型1：假設:(1)總人口的增長率與當時的人口數成正比，比

23、例系數為常數；(2)t時刻總人口數量為N(t)，由于N(t)的數量很大，可視為時間t的連續可微函數，且在t=O時刻人口數量為。解： 時刻人口數量減去t時刻人口數量即為時間內人口數量的增長量，那么： ，建立模型：， . （1）分離變量可得： ， 兩邊同時積分得： 為常數），為常數），代入初值條件：，得：，所以： 。 這種指數增長模型的結論在地廣人稀的地方比較符合，且這個模型的結果與歐洲地區19世紀以前的人口統計數據相吻合，從而說明該模型的假設和模型本身具有一定的合理性。 但是該模型對于19世紀以后的人口統計數據有較大差異，說明模型存在一些不足，需要改進。因為伴隨著人口數量的增加，環境因素、自然資

24、源等對人口數量的影響作用也隨之加深明顯，所以人口的自然增長率要改進，使之更符合實際情況。模型2：在模型1的基礎之上，重新假設:(1)人口的自然增長率為關于總人口數的函數，這里假設；(2)令自然資源和環境條件下所能容納的最大人口數量為 ，所以 ，從而得到,所以： ，從而模型轉化為： ， . （2）解得： 。此模型結果同19世紀到本世紀30年代為止的美國人口統計數據吻合得相當好，說該模型比較符合實際。五、微分方程模型在其他方面的應用1.通風排二氧化碳模型4模型：經測定某地下室內空氣中含有0.2%的，該地下室容積為，現啟動通風設備，排出室內空氣的同時以的速度輸入新鮮空氣，且已知新鮮空氣中含0.05%

25、的 ，問三十分鐘后該地下室內所含的百分比。解：假設地下室內所含的百分比在t時刻為 ，則其的含量經過時間后變為： ，即： , 。分離變量得： ,且初始條件為：。兩邊同時積分得：,解得： 。 當t=30分鐘，即1800秒，代入上式得： ，所以通風30分鐘后，地下室內的含量約為0.05%，也就是說地下室內基本上已經都是新鮮空氣了。2、國民收入與債務模型12模型：在某段已知的時間內，某地區的國民收入增長率為，已知國民債務的增長率為國民收入的 ，還已知t=0時刻，國民債務為0.1（億元），國民收入為5（億元），試分析國民債務和國民收入與時間t的函數關系。解：設國民收入為，那么我們可以得到： ，解得： 為

26、常數）。代入初值條件，得c=5，所以： 。 假設國民債務為，那么我們可以得到： ， ，解得： 。代入初值條件，得到：。所以國民債務的函數為：。3.體重變化模型7模型：某位女士每天攝入2500卡路里的食物，1200卡路里用于基本的新陳代謝，而且她在日常鍛煉中每公斤體重消耗16卡路里，剩余的熱量轉化為這位女士身體的脂肪（設10000卡可轉化為1kg脂肪）。星期四那天她飽餐了一頓，共攝入了3500卡的食物，星期天上午，這位女士的體重是57.1526kg。現在我們要建立一個預測體重隨時間變化的數學模型，并用它來預測估計：（a） 這位女士在星期六的體重；（b） 為了能不增重，她每天最多能攝入多少卡路里的

27、食物；（c） 在不進食的情況下，她的體重在N周后會是多少；（d） 她每日的飲食應如何安排才可以使她的體重在N周后減為50.80kg解：假設表示t天時該女士的體重（單位kg），并且忽略呼吸所消耗的卡路里。令該女士每日純攝入卡路里數量為，所以他每日凈攝入卡路里的數量為：，那么每日她的脂肪的增加量便為：。 （i) 當0<t<3時，=1300，該女士體重的變化為： ， ，積分得： ，解得： ， . （1）代入 ，得： 。將和t=3代入（1），得到：。 （ii)當3<t<4時，（星期四），由1300變為2300，可求得： ， . (2)將和t=3為初值代入（2）式，得 ，從而可求

28、出 。 （iii)當后，食物攝入量又恢復正常，即=1300，此時， ， . (3)將和 t=4 代入(3)式，可得：=23.9968。 綜合（i)、(ii)、(iii)可得： 。因此：（a） 將t = 6代入 ，可得：；（b） 體重不增加也就是，則可得：卡路里，所以最多攝入1200+914=2114卡路里；（c）該女士每天都沒有能量攝入，那么 ，解得：所以N周后該女士的體重為： ；（d)為純攝入量，那么。又因為，所以，那么該女士想在N周后將體重減為50.80kg，就有： ，把和的表達式代入： 。所以把具體的N代入上式就可以得到每日最高可攝入的卡路里量。總結與體會2011年10月，我開始了我的畢

29、業論文工作，時至今日，論文基本完成。從最初的茫然，到慢慢的進入狀態，再到對思路逐漸的清晰，整個寫作過程難以用語言來表達。歷經了幾個月的奮戰，緊張而又充實的畢業論文終于落下了帷幕。回想這段日子的經歷和感受，我感慨萬千，在這次畢業設計的過程中，我擁有了無數難忘的回憶和收獲。 在與導師的交流討論中我的題目定了下來，是：微分方程模型在實際中的應用淺析。我當時便立刻著手資料的收集工作中，當時面對浩瀚的書海真是有些茫然，不知如何下手。我將這一困難告訴了導師，在導師細心的指導下，終于使我對自己現在的工作方向和方法有了掌握。 我首先把大二學習的常微分方程的書和以前上課的筆記本找出來復習了一遍，再次了解微分方程

30、。然后我便開始收集微分方程在各個領域的應用，我在學校圖書館查閱各類圖書，還在網上查找各類相關資料，將這些寶貴的資料全部記錄下來，盡量使我的資料完整、精確、數量多，這有利于論文的撰寫。然后我將收集到的資料仔細整理分類，及時拿給導師進行溝通。2012年4月底，論文的定稿已基本完成。在這幾個月中，我的論文導師夏安銀老師細心指導，耐心講解，再加上自己對相關資料文獻的查閱，了解到微分方程在實際中的應用是非常廣泛的，為各個領域的發展做出了巨大的貢獻。所以，我就以微分方程在經濟學、運動學、醫學、社會學以及其他方面的應用為例簡單說明微分方程模型在實際中的應用。我不會忘記這難忘的幾個月的時間。畢業論文的制作給了我難忘的回憶。在我徜徉書海查找資料的日子里，面對無數書本的羅列，最難忘的是每次找到資料時的激動和興奮；為了論文我曾趕稿到深夜，但看著親手打出的一字一句，心里滿滿的只有喜悅毫無疲憊。在今后的日子里，我仍然要不斷地充實自己，爭取在所學領域有所作為。腳踏實地，認真嚴謹，實事求是的學習態度，不怕困難、堅持不懈、吃苦耐勞的精神是我在這次設計中最大的收益。我想這是一次意志的磨練，是對我實際能力的一次提升，也會對我未來的學習和工作有很大的幫助。   致謝詞畢業論文暫告收尾，這也意味著我在西華大學四年的學習生活既將結束。回首既往，自己一生最寶貴的時光能于