1、3數列的創新考法與學科素養提分策略一探究命題情景應用能力此類問題多以新定義、新運算或實際問題為背景考查數列的有關計算問題.典例卜(2017高考全國卷I)幾位大學生響應國家的創業號召，開發了一款應用軟件.為激發大家學習數學的興趣，他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案：已知數列1,121,2,4,124,8,124,8,16,，其中第一項是20,接下來的兩項是20,21再接下來的三項是20,222,依此類推.求滿足如下條件的最小整數N:N>100且該數列的前N項和為2的整數哥.那么該款軟件的激活碼是()A.440B.330C.220D.110解析：

2、設第一項為第1組，接下來的兩項為第2組，再接下來的三項為第3組，依此類推，則第n組的項數為n,前n組的項數和為n n+ 12.,什一八人nn+1由題意可知，N>100,令七一>100,得n>14,nCN*,即N出現在第13組之后.易得第n組的所有項的和為F9=2n1,前n組的所有項的和為2(1J)n=2n+1-n1212-2.設滿足條件的N在第k+1(kCN*,k*3)組，且第N項為第k+1組的第t(tCN*)個數，若要使前N項和為2的整數哥，則第k+1組的前t項的和2t1應與一2k互為相反數，即2t1=k+2,.2t=k+3,，t=log2(k+3),13Xf13+1,當t

3、=4,k=13時，N=彳44=95V100,不滿足題意；當t=5,k=29時，一29Xf29+1,，一一，N=45=440;當t>5時，N>440,故選A.答案：A點評本題以軟件激活碼為背景考查工學生利用邏輯推理分析問題解決新問題的能力,實質上考查了數列求和的應用.對點訓練若數列an滿足一一-=d（nN*,d為常數），則稱數列an為“調和數列”，已知an+1an一一1、正項數列丁為倜和數列，且bi+b2+b2019=20190,則b2b2018的取大值是一一，1一“、一一，,，,解析：因為數列&是“調和數列"，所以bn+1bn=d,即數列bn是等差數列，2019b

4、2019l2019（b2+b2018（由以b-b2+b2S9=-20190，所以b2+b2018=20.1又7>0,所以b2>0）b2018>0,bn所以b2+b2018=20>2，b2b2018,即b2b2018100（當且僅當b2=b2018時等號成立），因此b2b2018的最大值為100.答案：100提分策略二引入數學文化考核心素養典例卜（2017高考全國卷n）我國古代數學名著算法統宗中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈（）

5、A.1盞B.3盞C. 5盞D.9盞解析：每層塔所掛的燈數從上到下構成等比數列，記為an,則前7項的和S=381,公比q=2,依題意，得S7=-）=381,解得a1=3.I2答案：B點評本例以古代傳統文化為食景,一一一考查工與等差數列的通項及前n一項和有關的讓算回對點訓練1. （2018衡水中學調研）今有良馬與弩馬發長安至齊，齊去長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里；弩馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復還迎弩馬，問：幾日相逢？（）A. 12 日B. 16 日C. 8日D. 9日解析：由題易知良馬每日所行里數構成一等差數列，其通項公式為an=103+13(n-1)一一一,

6、11=13n+90,弩馬每日所行里數也構成一等差數列，其通項公式為bn=97-2(n-1)=-n十等，二馬相逢時所走路程之和為2X1125=2250,所以na；anKWb；bn)=2250,1195n/103+13n+901nI9"H三)口2即22=2250,化簡得n2+31n360=0,解得n=9或n=40(舍去)，故選D.答案：D2.傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上畫點或用小石子表示數.他們研究過如圖所示的三角形數：)3610將三角形數1,3,6,10,記為數列an,將可被5整除的三角形數按從小到大的順序組成一個新數列bn,可以推測：(1) b2012是數列an中的第

7、項；(2) b2k1=(用k表本).解析：由題意可得an=1+2+3+n=”(“21)nCN,故b1=a4,b2=a5,b3=a9,b4=a10,b5=a14,b6=a15,由上述規律可知：b2k=a5k=k為正整數),b2k-1=a5k-1(5k1：(5k1+1)5k(5k1)=22，故b2012=b2X1006=a5X1006=a5030,即b2012是數列an中的第5030項.5k(5k1答案：(1)5030(2)T提分策略三引入臨界知識考學科潛力高等數學背景型臨界問題典例對于一切實數X,令x為不大于x的最大整數，則函數f（x）=x稱為高斯函c 3 2 , 1B. -n +-n22數或取

8、整函數.若an=f（n）,nCN*,&為數列an的前n項和，則Sn=（）A#-1nC. 3n2 2nD.29n2一|n解析：由題意，當n= 3k, n= 3k+ 1,- nn= 3k+2 時均有 an= f (-)=3k,所以&n=01 + n 1A. 4B. 3C. 2D. 1解析：對于， =0;當n是奇數時， 的極限.對于，卜11（- 5+Ian2| = |( -1) X22| =2X|( 1) 1| ,當 n 是偶數時，Ian2| |d2| =4,所以不符合數列an的極限定義，即2不是數列(1)nX2|an 2|11x3 + 3x5 +5x7 +-2 (2n1 (2n+1

9、)1 j2n+1 ' 4n+ 1= 1+2由>1，所以對于任意+0+1+1+£+2+2+£+(n1)+(n1)+(n1j+n=3x-2n-1)+n=2n2n.答案：A點評本題以高斯函數為背景考查數列求和問題.對點訓練設無窮數列an,如果存在常數A對于任意給定的正數s（無論多小），總存在正整數N,使得n>N時，恒有|anAv£成立，則稱數列an的極限為A給出下列四個無窮數列：n111'（-；LKL+畫中ZTi；C.1111一一一2一3n.I2+22+23+,"+*白1*2+2X2+3X2+nX2.其中極限為2的數列的個數為（）給

10、定的正數£（無論多小），不存在正整數N,使得n>N時，恒有|an2|ve,即2不是數.1111'，一,列:而+而+=+而二1正1f的極限.對于，由Ian21=.1111-1+2+ 了+了+ 2n1 2給定的正數£ （無論多小），總存在正整數 11111 :，一2是數列*1 + 2+22+了+ 2 泄極限.nx 2n2| = 2X 2 2+ 3X 2 3+ nx 2n>1, 正整數N,使彳導n>N時，恒有|才21V £N,使得n>N時，恒有| an21V £成立，所以 23對于，|an 2| =|1 X2 + 2X2 +3X

11、2 +所以對于任意給定的正數£ （無論多小），不存在即 2 不是數列1 X 2 + 2X 2 2+ 3X 2 3+ nX2 n22=智<e,得n>1-log2£,即對于任意的極限.綜上所述，極限為2的數列只有1個.答案：D課后訓練提升能力授課提示：對應學生用書第133頁一、選擇題1.在數列an中，nN*,若史二=k（k為常數），則稱an為“等差比數列”，下an+1an列是對“等差比數列”的判斷：k不可能為0;等差數列一定是“等差比數列”；等比數列一定是“等差比數列”；“等差比數列”中可以有無數項為0.其中所有正確判斷的序號是（）A.B.C.D.解析：由等差比數列

12、的定義可知，k不為0,所以正確，當等差數列的公差為0,即等差數列為常數列時，等差數列不是等差比數列，所以錯誤；當an是等比數列，且公比q=1時，an不是等差比數列，所以錯誤；數列0,1,0,1,是等差比數列，該數列中有無數多個0,所以正確.答案：C2.九章算術是我國古代的數學名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等.問各得幾何？”其意思為：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數列.問五人各得多少錢？” （“錢”是古代的一種重量單位）這個問題中，甲所得為（）A.5錢B.5錢33,、C.2錢4Dq錢3&

13、quot;231+ d= 331+ 9d,解析：設等差數列an的首項為31,公差為d,依題意有55231+ d=2，解得431 =3故選D.答案：D3.宋元時期杰出的數學家朱世杰在其數學巨著四元玉鑒中提出了一個“菱草形段”問題：“今有菱草六百八十束， 欲令落一形（同垛）之，問底子幾何？”他在這一問題中探討了 “垛積術”中的落一形垛（“落一形”即是指頂上一束，下一層3束，再下一層 6束）成三角錐的堆垛，故也稱三角垛,如圖,表示從上往下第二層開始的每層菱草束數,則本問題中三角垛倒數第二層菱草總束數為A. 91C. 1203解析：由題意得，從上往下第n層菱草束數為1+2+3+n=nn±l）

14、.n(n+1.1+3+6+七一I=680即2匕n+1 0n+ 1JH- 2n(n+ 1 ) =6n( n+ 1) (n+2) =680,，n(n+1)(n+2)=15X16X17,，n=15.故倒數第二層為第14層，該層菱草總束數為14X 15 =105.2答案：B4. （2018 成都聯考）等差數列3中的33,a2 017 是函數 f (x) =x36x2+4x 1 的兩個不同的極值點，則k唱：31m的值為（）B.A.21C.2D.-解析：由題易得f'(x)=3x212x+4,因為as,a2017是函數f(x)=x36x2+4x1的兩個不同的極值點，所以as,a2017是方程3x21

15、2x+4=0的兩個不等實數根，所以as+a017=4.又數列an為等差數列，所以as+32017=2ai010,即a1010=2,從而1口叫a1010="培+2=1 ,2,故選B.答案：B5.已知數列an的前n項和為S,點(n,S+3)(nCN)在函數y=3X2x的圖象上，等比數歹Ubn滿足bn+bn+1=an(nCN),其前n項和為Tn,則下列結論正確的是()A.$=2TnB.Tn=2bn+1C. Tn>anD.TnVbn+1答案：D6 .中國古代數學著作算法統宗中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還

16、.”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達目的地，則第二天走了()B. 96 里D. 24 里A.192里1叫1f-=378,解得 a1=192,2C.48里-1解析：設等比數列an的首項為a1,公比q=2,依題意有1-，一一一，則a2=192x2=96,即第二天走了96里，故選B.答案：B7 .我國古代數學名著九章算術中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：,1111第一步：構造數列1,2,3,4,，n.第二步：將數列的各項乘以n,得數列(記為)a1,a2,a3,，an.貝Uaa2+a2a3+an1an等于()A.

17、n2B.(n-1)2C. n(n1)D. n(n+1)解析：aia+a2a3+ an-®n.，n.n+，.n1 2十 2 3 十 n 1 nn1 n11=n2 - n-= n( n -1). n答案：C8. (2018 衡水中學期末改編)已知函數f(x)在R上的圖象是連續不斷的一條曲線，當x>0時，f(x)<2,對任意的x,yC R, f(x)+f(y) = f (x + y) + 2 成立，若數列an滿足 aan= f(0),且 f(an+1)=f(/),*n e N ,則a2 018的值為(A. 26B.2 X 3 2 017 -12C.2X32 °17 1

18、2D.2X 3 2 016 -1解析：令x = y= 0得f (0) =2,所以a1= 2.設x1, x2是R上的任意兩個數，且 XiVX2,則x2Xi>0,因為當x>0時，f (x) v 2,所以 f(x2xi) <2,即 f (X2) = f (X2-X1 + X1) = f (X2Xi) +f (Xi) - 2<2+ f (Xi) - 2= f (Xi), 所以f(x)在R上是減函數.an 13所以 an+1 = -即=-+1, an 十 3an+1an所以a+2=3(i + 2)11I所以U2是以1為首項，3為公比的等比數列,所以5+1=3nT，即an=777a

19、22人3所以a2018=2X32°17-1.故選C.答案：C、填空題9 .意大利著名數學家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發現有這樣的一列數:1,1,2,3,5,8,，該數列的特點是：前兩個數均為1,從第三個數起，每一個數都等于它99前面兩個數的和，人們把這樣的一列數組成的數列an稱為斐波那契數列，則Zaa+2-Za2+1的值為.解析：由題意，得aia3-32=1X21=1,32a4a3=1X34=1,a3a5a4=2x59=1,a4a6a2=3X825=1,，asa10a9=21x55342：=一1,a9ana2o=34x8955?=1,所以Zaai+2Za2+1=Z(aa+2a2

20、+1)=1.i=1i=1i=1答案：110 .“中國剩余定理”又稱“孫子定理”.“中國剩余定理”講的是一個關于整除的問題，現有這樣一個整除問題：將1到2016這2016個數中能被3除余1且被5除余1的數按從小到大的順序排成一列，構成數列an,則此數列的項數為.解析：能被3除余1且被5除余1的數就是能被15除余1的數，故an=15n14.由日=15n-14<2016,解得nw4,又nCN*,故此數列的項數為135.3答案：135111 .已知帚函數f(x)=x的圖象過點(9,3),令an=-(nCN),記數列anf(n+1廣f(n)的前n項和為Sn,則S018=.1一一.1解析：由備函數f

21、(x)=x"的圖象過點(9,3),可得9“=3,解得“=2,所以f(x)=x-,一n.所以 S2 018= a1 + a2+a2 018 = 72-1 + 7311二"n+1片f(n)=g+521-啦+、2019-+018=，2019-1.答案：-2019-112 .定義：如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個列叫作等差列，這個常數叫作等差列的公差.已知向量列an是以ai=(1,3)為首項,公差為d=(1,0)的等差向量列，若向量an與非零向量bn=(xn,用+以門7)垂直，則一=解析：易知a=(1,3)+(n1,0)=(n,3),因為向量

22、an與非零向量bn=(xn,xn+1)(nC* 一 一一N)垂直，所以xn+1n , x10x2x3x4=-所以=一 一 一xn3x1x1x2x3x5x6x7x8x9x10x4x5x6x7x8x9J23三、解答題13 .(2018臨川模擬)若數歹Ubn對于任意的nCN*,都有bn+2bn=d(常數)，則稱數4n1,n為奇數，列bn是公差為d的準等差數列.如數列Cn=*則數列Cn是公差為84n+9,n為偶數,的準等差數列.設數列an滿足ai=a,對于nN*,都有an+an+i=2n.(1)求證：an是準等差數列；(2)求an的通項公式及前20項和&0.*解析：(1)證明：:an+an+1=2n(nN),*an+1+an+2=2(n+1)(neN)一*一，得an+2an=2(nCN).an是公差為2的準等差數列.*.(2) a1=a,an+an+1=2n(nCN),.a+a2=2x