1、高考數學總復習第三講：數形結合   一、專題概述 -什么是數形結合的思想數形結合的思想，就是把問題的數量關系和空間形式結合起來加以考察的思想     恩格斯說：“純數學的對象是現實世界的空間形式和數量關系”“數”和“形”是數學中兩個最基本的概念，它們既是對立的，又是統一的，每一個幾何圖形中都蘊含著與它們的形狀、大小、位置密切相關的數量關系；反之，數量關系又常常可以通過幾何圖形做出直觀地反映和描述，數形結合的實質就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來，在解決代數問題時，想到它的圖形，從而啟發思維，找到解題

2、之路；或者在研究圖形時，利用代數的性質，解決幾何的問題實現抽象概念與具體形象的聯系和轉化，化難為易，化抽象為直觀     數形結合包括：函數與圖象、方程與曲線、復數與幾何的結合；幾何語言敘述與幾何圖形的結合等 二、例題分析1善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊含的數量關系     觀察是人們認識客觀事物的開始，直觀是圖形的基本特征，觀察圖形的形狀、大小和相互位置關系，并在此基礎上揭示圖形中蘊含的數量關系，是認識、掌握數形結合的重要進程     例1函數的圖象的一條對稱軸方程是： &#

3、160;   （A） （B） （C） （D）     分析：通過畫出函數的圖象，然后分別畫出上述四條直線，逐一觀察，可以找出正確的答案，如果對函數的圖象做深入的觀察，就可知，凡直線x=a通過這一曲線的一個最高點或一個最低點，必為曲線的一條對稱軸，因此，解這個問題可以分別將代入函數的解析式，算得對應的函數值分別是：，其中只有1是這一函數的最小值，由此可知，應選（A）     2正確繪制圖形，以反映圖形中相應的數量關系     觀察圖形，既要定性也要

4、定量，借助圖形來完成某些題時，僅畫圖示“意”是不夠的，還必須反映出圖形中的數量關系     例2問：圓上到直線的距離為的點共有幾個？     分析  由平面幾何知：到定直線L：的距離為的點的軌跡是平行L的兩條直線因此問題就轉化為判定這兩條直線與已知圓的交點個數     將圓方程變形為：，知其圓心是C(-1,-2)，半徑，而圓心到定直線L的距離為，由此判定平行于直線L且距離為的兩條直線中，一條通過圓心C，另一條與圓C相切，所以這兩條直線與圓C共有3個公共點 （如圖1）

5、 啟示：正確繪制圖形，一定要注意把圖形與計算結合起來，以求既定性，又定量，才能充分發揮圖形的判定作用     3切實把握“數”與“形”的對應關系，以圖識性以性識圖     數形結合的核心是“數”與“形”的對應關系，熟知這些對應關系，溝通兩者的聯系，才能把握住每一個研究對象在數量關系上的性質與相應的圖形的特征之間的關聯，以求相輔相成，相互轉化     例3判定下列圖中，哪個是表示函數圖象 分析  由=，可知函數是偶函數，其圖象應關于y軸對稱，因而否定（B）、（C），又

6、，的圖象應當是上凸的，（在第象限，函數y單調增，但變化趨勢比較平緩），因而（A）應是函數圖象     例4如圖，液體從一圓錐形漏斗注入一圓柱形桶中，開始時，漏斗盛滿液體，經過3分鐘注完已知圓柱中液面上升的速度是一個常量，H是圓錐形漏斗中液面下落的距離，則H與下落時間t（分）的函數關系用圖象表示只可能是（） 分析  由于圓柱中液面上升的速度是一個常量，所以H與t的關系不是（B），下落時間t越大，液面下落的距離H應越大，這種變化趨勢應是越來越快，圖象應當是下凸的，所以只可能是（D）     例5若復數z滿足，

7、且，則在復平面上對應點的圖形面積是多少？     分析  滿足的復數z對應點的圖形是：以C(1,1)為圓心，為半徑的圓面，該圓面與圖形的公共部分為圖中所示陰影部分（要注意到AOC=45°）     因此所求圖形的面積為：     4靈活應用“數”與“形”的轉化，提高思維的靈活性和創造性     在中學數學中，數形結合的思想和方法體現最充分的是解析幾何，此外，函數與圖象之間，復數與幾何之間的相互轉化也充分體現了數形結合

8、的思想和方法通過聯想找到數與形之間的對應關系是實現轉化的先決條件，而強化這種轉化的訓練則是提高思維的靈活性和創造性的重要手段例6已知C<0，試比較的大小     分析  這是比較數值大小問題，用比較法會在計算中遇到一定困難，在同一坐標系中，畫出三個函數：的圖象位于y軸左側的部分，（如圖）很快就可以從三個圖象的上、下位置關系得出正確的結論：例7  解不等式     解法一  （用代數方法求解），此不等式等價于：     解得  &#

9、160;  故原不等式的解集是     解法二  （采用圖象法）  設即     對應的曲線是以為頂點，開口向右的拋物線的上半支而函數y=x+1的圖象是一直線（如圖）    解方程可求出拋物線上半支與直線交點的橫坐標為2，取拋物線位于直線上方的部分，故得原不等式的解集是     借助于函數的圖象或方程的曲線，引入解不等式（或方程）的圖象法，可以有效地審清題意，簡化求解過程，并檢驗所得的結果  &#

10、160;  例8  討論方程的實數解的個數     分析：作出函數的圖象，保留其位于x軸上方的部分，將位于x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，便可得到函數的圖象（如圖）再討論它與直線y=a的交點個數即可     當a0時，解的個數是0；     當a=0時或a4時，解的個數是2；     當0a4時，解的個數是4；     當a=4時，解的個數是39已知直線和雙曲線有

11、且僅有一個公共點，則k的不同取值有（）     （A）1個（B）2個（C）3個  （D）4個     分析：作出雙曲線的圖象，并注意到直線是過定點（）的直線系，雙曲線的漸近線方程為     過（）點且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時k取兩個不同值，此外，過（）點且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時k取兩個不同的值，故正確答案為（D） 例9已知直線和雙曲線有且僅有一個公共點，則k的不同取值有（）   &#

12、160; （A）1個（B）2個（C）3個  （D）4個     分析：作出雙曲線的圖象，并注意到直線是過定點（）的直線系，雙曲線的漸近線方程為     過（）點且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時k取兩個不同值，此外，過（）點且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時k取兩個不同的值，故正確答案為（D）例10設點P(x,y)在曲線上移動，求的最大值和最小值     解  曲線是中心在（3，3），長軸為，短軸為的橢圓設，即

13、y=kx為過原點的直線系，問題轉化為：求過原點的直線與橢圓相切時的斜率（如圖所示）      消去y得          解得：     故的最大值為，最小值為     例11求函數（其中a,b,c是正常數）的最小值     分析  采用代數方法求解是十分困難的，剖析函數解析式的特征，兩個根式均可視為平面上兩點間的距離，故設法借助于幾何圖形求解如圖 

14、0;設A(0,a),B(b,-c)為兩定點，P(x,0)為x軸上一動點，     則 其中的等號在P為線段AB與x軸的交點外，即時成立     故y的最小值為     例12P是橢圓上任意一點，以OP為一邊作矩形O P Q R（O,P,Q,R依逆時針方向排列）使|OR|=2|OP|，求動點R的軌跡的普通方程     分析  在矩形O P Q R中（如圖），由POR=90°，|OR|=2|OP|可知，OR是OP逆時針旋

15、轉90°，并將長度擴大為原來的2倍得到的這一圖形變換恰是復數乘法的幾何意義，因此，可轉化為復數的運算，找到R和P的兩點坐標之間的關系，以求得問題的解決     解，設R點對應的復數為：，P點對應的復數為     則     故即由點在橢圓上可知有：     整理得：就是R點的軌跡方程，表示半長軸為2a，半短軸為2b，中心在原點，焦點在y軸上的橢圓 三解題訓練1求下列方程實根的個數：    

16、0;（1）     （2）     （3）     2無論m取任何實數值，方程的實根個數都是（）     （A）1個（B）2個（C）3個（D）不確定     3已知函數的圖象如右圖則（）     （A）b(-,0)（B）b(0,1)        （C）b(1,2)   （D）b(2,+ )

17、60;      4不等式的解集是（）      （A）（0，+）（B）（0，1）（C）（1，+）（D）（，0）     5不等式一定有解，則a的取值范圍是（）     （A）（1，+）（B）1,+ （C）(-,1)（D）(0,1        6解下列不等式：     （1）    （2）   &

18、#160; 7復平面內點A、B分別對應復數2，2+i，向量繞點A逆時針方向旋轉至向量，則點C對應的復數是_     8若復數z滿足|z|<2，則arg(z-4)的最大值為_        9若復數z滿足     10函數的圖象是平面上兩定點距離之差的絕對值等于定長的點的軌跡，則這兩定點的坐標是(  )      （A）（，）（，）（B）（，）（，）    （C）（2，2）

19、（2，2）（D）（2，2）（2，2）     11曲線與直線的交點個數是（）     （A）0（B）1 （C）2（D）3        12曲線與直線有兩個交點，則實數k的取值是（）     （A） （B） （C） （D）     13已知集合，滿足，求實數b的取值范圍     14函數的值域是（）     （A）        （B）     （C）   （D） 四、練習答案1（1）2個（2）63個（3）2個     提示：分別作出兩個函數的圖象，看交點的個數     2B、 提示：注意到方程右式，是過定點（，0）的直線系     3A、 提示：由圖象知f(x)=0的三個實根是0，1，2這樣，函數解析式可變形f(x)=ax(x-1)(