1、本章主要內容本章主要內容質點的運動函數(shù)質點的運動函數(shù) 位移和速度位移和速度 加速度加速度 勻加速運動勻加速運動圓周運動圓周運動 相對運動相對運動第一章 質點運動學第一章第一章 質點運動學質點運動學在是指力學中研究如何描述物體運動的那在是指力學中研究如何描述物體運動的那部分內容。部分內容。實際物體結構復雜，形狀各異。在很多情況下，物實際物體結構復雜，形狀各異。在很多情況下，物體的轉動和形狀變化與所研究的問題無關。這時可將物體的轉動和形狀變化與所研究的問題無關。這時可將物體的大小形狀忽略不計，引入一種理想模型，即體的大小形狀忽略不計，引入一種理想模型，即 具有一定質量的點。具有一定質量的點。1-1

2、 質點的運動函數(shù)1. 1. 參照系參照系 坐標系坐標系 例如：例如： 以固定在地面上的某標志物為參照以固定在地面上的某標志物為參照地面參照系地面參照系； 以實驗室的墻壁地板為參照以實驗室的墻壁地板為參照實驗室參照系實驗室參照系； 研究行星運動時以恒星為參照研究行星運動時以恒星為參照恒星參照系恒星參照系。物體的機械運動是指它的位置的變化，而描述物物體的機械運動是指它的位置的變化，而描述物體的位置及其變化（運動）具有體的位置及其變化（運動）具有相對性相對性。在描述物體運動時，必須指定其他物體或物體系在描述物體運動時，必須指定其他物體或物體系作為參照，這就是作為參照，這就是，或稱，或稱。1-1 質點

3、的運動函數(shù)笛卡兒坐標系笛卡兒坐標系球坐標系球坐標系柱坐標系柱坐標系為定量描述物體相對所確定的參照系的位置，必為定量描述物體相對所確定的參照系的位置，必須在參照系上建立的須在參照系上建立的。坐標系并不是物理概念。坐標系并不是物理概念。常用的坐標系：常用的坐標系： 三維三維直角坐標系直角坐標系 二維二維直角坐標系直角坐標系笛卡兒坐標系笛卡兒坐標系極坐標系極坐標系本課程主要用三維或二維笛卡兒坐標系。本課程主要用三維或二維笛卡兒坐標系。坐標系的原點和軸的方向可據(jù)具體問題任意選取。坐標系的原點和軸的方向可據(jù)具體問題任意選取。xyzOP),(zyxxyz),(rxzOPyr),(zxzOPyz三維笛卡兒坐

4、標系三維笛卡兒坐標系球坐標系球坐標系柱坐標系柱坐標系jik返回zeeeereexyO),(yxPxyxyO),(P二維笛卡兒坐標系二維笛卡兒坐標系極坐標系極坐標系 坐標系的坐標系的：笛卡兒坐標系：笛卡兒坐標系：),(kji球坐標系：球坐標系：),(eeer柱坐標系：柱坐標系：),(zeee),(ji),(ee極坐標系：極坐標系：eejitn 切向單位矢量切向單位矢量tn 法線單位矢量法線單位矢量圖圖1-1 質點的運動函數(shù)分解為三個矢量：分解為三個矢量：rkzj yi x，xyzOPr2. 2. 位置矢量位置矢量設質點在設質點在P點，相應的坐點，相應的坐標為標為( (x, ,y y, ,z z)

5、 )，自坐標原點，自坐標原點O向向P點引一矢量點引一矢量 OP。矢量矢量 OP 與質點的位置與質點的位置P對應，稱為對應，稱為（或簡（或簡稱為稱為位矢位矢和和矢徑矢徑），記為），記為 。),(zyxrxyzkzj yi xr),(r),(z 在在柱坐標柱坐標中中 在在球坐標球坐標中中rrxzOPryxzOPr),(zeeeyzereezeee單位矢量：單位矢量：單位矢量：單位矢量：rerrzezerr),(eeer注注：這兩種坐標系的單位矢量的方向除：這兩種坐標系的單位矢量的方向除 外都是可變化的。外都是可變化的。ze1-1 質點的運動函數(shù))(trr3. 3. 運動函數(shù)運動函數(shù)設質點的位置隨時

6、間設質點的位置隨時間t t 運動，運動，則則P點的坐標也隨時間變化，即有點的坐標也隨時間變化，即有函數(shù)關系：函數(shù)關系：用來描述質點的位置隨用來描述質點的位置隨時間變化的函數(shù)或方程即為時間變化的函數(shù)或方程即為。)()()(tzztyytxxxyzOPr),(zyxxyz用矢量表示：用矢量表示：矢量式矢量式 ktzjtyitxtr)()()()(分量式分量式 1-2 位移和速度ABrrrxyzOAArrBr1. 1. 位移位移B設質點在設質點在t t 時刻在時刻在A點，點，經(jīng)經(jīng) 時間后（即時間后（即 時刻）時刻）到達到達B點。點。ttt位移位移是矢量，只決定于始是矢量，只決定于始末位置；末位置；路

7、程路程是標量，與初態(tài)是標量，與初態(tài)和末態(tài)之間的過程有關。和末態(tài)之間的過程有關。矢量矢量 反映了質點的反映了質點的位置變化，被稱為位置變化，被稱為，記，記為：為：AB1-2 位移和速度kzj yi xr位移的分量表達式：位移的分量表達式：x = xB xAy = yB yAz = zB zA于是于是 A ( xA ， yA，zA ) B ( xB ， yB ，zB ) xyzOAArrBrB位移位移 在在x, y, z軸上的軸上的投影分別為：投影分別為：r1-2 位移和速度2. 2. 平均速度平均速度xyzOABArrBrtrv平均速度是對一段時間而言的。它只能平均速度是對一段時間而言的。它只能

8、粗略地粗略地表表示質點位置變化的急緩程度和變化方向。示質點位置變化的急緩程度和變化方向。質點在質點在 時間間隔內時間間隔內的的定義為相應的定義為相應的位移位移 與該時間間隔的比與該時間間隔的比值。即值。即rt1-2 位移和速度dtrdtrvt0limxyzOAArrBr3. 3. 瞬時速度瞬時速度B質點在任意時刻質點在任意時刻t t 的的為為 時時間里平均速度在間里平均速度在 下下的極限值。即的極限值。即ttt0t速度是一個矢量。速度是一個矢量。1-2 位移和速度kdtdzjdtdyidtdxdtrdvdtdzvdtdyvdtdxvzyxkvjvivzyx速度的分量表達式：速度的分量表達式：

9、瞬時速度可以瞬時速度可以精確地精確地描述質點位置變化的描述質點位置變化的情況。情況。kzj yi xr，所以，所以因因 瞬時速度的方向為位移矢量的極限方向，瞬時速度的方向為位移矢量的極限方向，也就是軌跡的也就是軌跡的。1-2 位移和速度速度的大小和方向的表示：速度的大小和方向的表示：大小大小：222zyxvvvv速度的大小稱為速度的大小稱為。速率也可定義為：速率也可定義為：其中其中s 為路程。當為路程。當0t時，有時，有 。rdtdsv 所以，所以，dtdstssrtrvtt00limlimABs = AB， = ABsr1-2 位移和速度222222222coscoscoszyxzzyxyz

10、yxxvvvvvvvvvvvv方向：方向：速度與速度與 x、 y、z 軸的夾軸的夾角為角為 、，且有，且有其中其中cos、cos、cos 稱稱為為 x、 y、z 方向的方向的方向余弦方向余弦。注：注： cos、cos、cos 只有兩個是獨立的只有兩個是獨立的，因為，因為cos2 cos2 cos2 1。vxyz1-2 位移和速度22cosyxxvvv如果是如果是平面平面問題，用二維坐問題，用二維坐標系標系O-xy來描述來描述，速度的方向只，速度的方向只需要用一個角度來表示，通常選需要用一個角度來表示，通常選擇速度與擇速度與 x 軸的夾角軸的夾角，則有，則有cos2 cos2 1vxyO如果是如

11、果是直線直線問題，用一維坐標系問題，用一維坐標系O-x來描述來描述，速度的方向可用，速度的方向可用 vx 的的符號符號來表來表示。示。xOvvvx 0 0vx 0 0，表示速度沿軸正方向；，表示速度沿軸正方向；當當 vx v)0(0v1-4 勻加速運動3. 3. 拋體運動拋體運動特點：曲線運動；特點：曲線運動； 在鉛直平面內（二維運動）；在鉛直平面內（二維運動）； 勻加速運動勻加速運動( (忽略空氣阻力忽略空氣阻力) ) 。 ga恒矢量恒矢量sin ,cos ; 0000000vvvvyxyx設設t = 0 時，質點位于原點時，質點位于原點O，并以初速率，并以初速率v0和仰角和仰角 拋出，拋出

12、，即即xyO0vgaayx , 0jgga查看Projectile Motion1-4 勻加速運動2220cos2tanxvgxy：速度函數(shù)速度函數(shù)：gtvgtvvvvvyyxxsin cos 0000運動函數(shù)：運動函數(shù)：2020021)sin(21 )cos( gttvgttvytvxy20021 ,t gtvrt gvv相應的矢量式相應的矢量式：為二次曲線為二次曲線拋物線拋物線1-4 勻加速運動射程射程gvX2sin200vxyOXYgvY2sin220最大高度最大高度gvTsin20飛行時間飛行時間0tTt 1-4 勻加速運動說明：說明： 0vxyO拋體運動是水平方向的勻速直線運動和鉛直

13、方拋體運動是水平方向的勻速直線運動和鉛直方向的勻加速直線運動的疊加，也可看作拋射方向的向的勻加速直線運動的疊加，也可看作拋射方向的勻速直線運動和鉛直方向的自由落體運動（勻速加勻速直線運動和鉛直方向的自由落體運動（勻速加直線）的疊加。直線）的疊加。任何一個復雜的運動可看作兩個或多個方向的任何一個復雜的運動可看作兩個或多個方向的簡單分運動的疊加。簡單分運動的疊加。20021)sin( )cos( gttvytvx2021t gtvrr1-4 勻加速運動 考慮空氣阻尼考慮空氣阻尼0vxyO一般阻尼力總是與速度反向，大小與速率有關，一般阻尼力總是與速度反向，大小與速率有關，故運動規(guī)律十分復雜。故運動規(guī)

14、律十分復雜。動力學問題動力學問題彈道學彈道學 例例 教材上習題教材上習題1.121.12（p. 4949）：）：v0 = 110 km/h , = 110 km/h , = 45 = 45, ,求：求：L = = ？xy0vLOxy解：解： 方法一方法一 沿水平方向取沿水平方向取x 軸。軸。tvx0221gty因因 = 45, ,故落地時有故落地時有 x = y ，此時有，此時有gvx202m2693600101108 . 92222cos2320gvxL 方法二方法二 沿斜面方向取沿斜面方向取x 軸。軸。cos00vvxsin00vvysingaxcosgay45cos220gttvx45c

15、os220gttvygvlxgvty20022 2 01-5 圓周運動1. 1. 圓周運動的加速度圓周運動的加速度質點作圓周運動時，不論速率是否變，速度方向不斷變質點作圓周運動時，不論速率是否變，速度方向不斷變化，因此，圓周運動的加速度總是存在的。化，因此，圓周運動的加速度總是存在的。加速度定義：加速度定義：tvat0lim21vvvtvtvtt2010limlimRABvvA1vvvvvRABvABA21 ,AvBvABOv1v2vAvBv1-5 圓周運動第一項大小：第一項大小：tdtdvnRva2第二項大小：第二項大小：tvtvatt2010limlimvvvvvRABvABA21 ,Rv

16、RvtABtvAAtt2010limlim 方向指向圓心方向指向圓心（ 的極限方向）的極限方向）1vdtdvtvtvAtt020limlim方向沿圓周切線方向沿圓周切線（ 的極限方向）的極限方向）2v引入引入法向單位矢量法向單位矢量 和和切向單位矢量切向單位矢量 ，加速度表示為：，加速度表示為：tn 分量分量normal acceleration分量分量tangential accelerationRvan2dtdvatv1v2vAvBvAvBvABO1-5 圓周運動說明：說明： 切向加速度反映了速度大小的變化，法向加速度切向加速度反映了速度大小的變化，法向加速度反映速度方向的變化。勻速率圓周

17、運動只有法向反映速度方向的變化。勻速率圓周運動只有法向加速度，且大小不變方向總是指向圓心，因此也加速度，且大小不變方向總是指向圓心，因此也稱稱。 tana曲率圓曲率圓 曲率半徑曲率半徑 切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度可以推廣到任意曲線運動：可以推廣到任意曲線運動：dtdvat2van 圓周運動的總加速度：圓周運動的總加速度：tanaa22ntaaatnaatan1-5 圓周運動2. 2. 角速度和角加速度角速度和角加速度用極坐標表示圓周運動的運動函數(shù)：用極坐標表示圓周運動的運動函數(shù)：常數(shù)常數(shù) Rr)(tOr質點的位置只需用一個坐標質點的位置只需用一個坐標 就可表示。就可表示。因此

18、，用角量描述圓周運動更為簡便。因此，用角量描述圓周運動更為簡便。可以引入角速度和角加速度來描述可以引入角速度和角加速度來描述作圓周運動質點的位置和速度變化。作圓周運動質點的位置和速度變化。dtdtt0lim：220limdtddtdtt：與角速度對應速與角速度對應速率率v 也稱為也稱為。1-5 圓周運動角量與線量的關系：角量與線量的關系：RvRatRRvan22用笛卡兒坐標表示勻角速圓周運動：用笛卡兒坐標表示勻角速圓周運動：)cos(0tRx)sin(0tRy0ORyx),(00yx關于角速度和角加速關于角速度和角加速度的積分關系：度的積分關系：tdt00tdt00 例例 一吊扇翼片長一吊扇翼

19、片長R=0.5mR=0.5m，以，以n=180r/minn=180r/min的轉速轉動。關閉電源開關后，的轉速轉動。關閉電源開關后，吊扇均勻減速，經(jīng)吊扇均勻減速，經(jīng)t tA A=1.5min=1.5min轉動停止。轉動停止。1 1，求吊扇翼尖原來的轉動速度，求吊扇翼尖原來的轉動速度w w0 0與線速度與線速度v v0 02 2，求關閉電源開關后，求關閉電源開關后t=80st=80s時翼尖的角加速度時翼尖的角加速度，切向加速度，切向加速度at，法向加，法向加速度速度an和總加速度和總加速度av解解：1) 1) 吊扇翼尖原來的轉動速度為吊扇翼尖原來的轉動速度為 w w0 0=2=2n原來線速度原來

20、線速度 v0=w w0 0R R解解：2) 2) 由于均勻減速，翼尖的角加速度恒定由于均勻減速，翼尖的角加速度恒定 w wt t=w=w0 0+ + t， = （w wt t-w-w0 0）/t翼尖的切向加速度恒定翼尖的切向加速度恒定 at= R R為求法向加速度，先求為求法向加速度，先求t t時刻的角速度時刻的角速度w w，有，有 w=w w=w0 0+ + t，翼尖的法向加速度恒定翼尖的法向加速度恒定 an= RwRw2 222ntaaaRn1-6 相對運動ABt車物r相對不同參照系，物體的運動狀態(tài)不同，但運動狀態(tài)相對不同參照系，物體的運動狀態(tài)不同，但運動狀態(tài)之間存在一定的聯(lián)系之間存在一定

21、的聯(lián)系。地車r地物rABtt車物r設由兩個相對平動的參照系（地面和車），物體從車設由兩個相對平動的參照系（地面和車），物體從車內內A點移到點移到B點，經(jīng)點，經(jīng) t 時間。考察相應的位移：時間。考察相應的位移：trtrtr0地車車物地物rrr0rrr或或0tuvvuvv 變換變換反變換反變換1-6 相對運動uvv速度變換：速度變換：dtuddtvddtvd加速度變換：加速度變換：0aaa 特別地，當特別地，當 常量時，常量時， ，有，有即相對作勻速直線運動的兩參照系中觀察質點的加速度是相等的即相對作勻速直線運動的兩參照系中觀察質點的加速度是相等的00dtudauaa地車r地物r車物rAABBtr

22、trtr00rrr不同參照系看相同？不同參照系看相同？問題問題：1-6 相對運動 Galileo速度變換的適用條件：速度變換的適用條件： 低速（低速（ ） 參照系相對運動為參照系相對運動為平動平動（無轉動）（無轉動）cu 高速下用相對論速度變換式高速下用相對論速度變換式變換變換不同參照系不同參照系合成合成同一參照系同一參照系 速度變換不同于速度合成速度變換不同于速度合成說明說明： Galileo速度變換是基于長度量和時間間隔測量的絕速度變換是基于長度量和時間間隔測量的絕對性的基礎上的。對性的基礎上的。 長度和時間間隔的測量值與參照系無關，即時間長度和時間間隔的測量值與參照系無關，即時間和空間具有絕對意義和空間具有絕對意義絕對時間絕對時間和和絕對空間絕對空間解解：去程船的行駛速度為：去程船的行駛速度為 例例 一條寬度為一條寬度為2L 的河，河水流速沿河的橫向按的河，河水流速沿河的橫向按的分布（岸邊流速為的分布（岸邊流速為0 0，河心流速