1、 第三章粘性流體運動第三章粘性流體運動粘性流體運動微分方程粘性流體運動微分方程NavierNavierStokesStokes方程方程對一維流動問題：對一維流動問題：對粘性流體流動問題：對粘性流體流動問題：目的目的關鍵：關鍵：尋尋求流體求流體應應力與變形力與變形速率速率之間之間的關系的關系N-SN-S方程方程牛頓流體的本構方程牛頓流體的本構方程引入的基本假設：引入的基本假設：為了尋求流體應力與變形速率之間的關系，為了尋求流體應力與變形速率之間的關系，StokesStokes提出三個提出三個基本假設：基本假設：應力與變形速率成線性關系應力與變形速率成線性關系; ;應力與變形速率之間的關系各向同性

2、；應力與變形速率之間的關系各向同性；靜止流場中，切應力為零，各正應力均等于靜壓力靜止流場中，切應力為零，各正應力均等于靜壓力pzzyyxx牛頓流體的本構方程：牛頓流體的本構方程：223yxxzxxvvvpxxyz 223yxzzzzvvvpzxyz 223yyxzyyvvvpyxyz yxxyyxvvyxyzyzzyvvzyxzzxxzvvxz本構方程的討論：本構方程的討論：正應力中的粘性應力：正應力中的粘性應力：線變形率與流體流動：線變形率與流體流動：正應力與線變形速率：正應力與線變形速率：223yxxzxxvvvpxxyz xx xxxxp 正應力與壓力：正應力與壓力：3xxyyzzp 這

3、說明：這說明：三個正壓力在數值上一般不等于壓力，但它們的平三個正壓力在數值上一般不等于壓力，但它們的平均值卻總是與壓力大小相等。均值卻總是與壓力大小相等。切應力與角邊形率：切應力與角邊形率：牛頓流體本構方程牛頓流體本構方程反映了流體應力與變形速率之間的關系，反映了流體應力與變形速率之間的關系，是流體力學的虎克定律（反映應力和應變的關系）。是流體力學的虎克定律（反映應力和應變的關系）。流體運動微分方程流體運動微分方程NavierNavierStokesStokes方程方程223xxxDvpfDtxxxx yxxzvvvvyyxzzx適用于牛頓流體適用于牛頓流體常見條件下常見條件下N NS S方程

4、的表達形式：方程的表達形式：222222113xxxxxDvpfDtxxxyz適用于牛頓流體適用于牛頓流體常粘度條件下常粘度條件下NS方程：方程：const222222113yyyyyDvpfDtyyxyz222222113zzzzzDvpfDtzzxyz矢量形式：矢量形式：211()3DvfpDt 2222221xxxxxDvpfDtxxyz適用于牛頓流體適用于牛頓流體不可壓縮流體的不可壓縮流體的NS方程：方程：const2222221yyyyyDvpfDtyxyz2222221zzzzzDvpfDtzxyz矢量形式：矢量形式：21DvfpDt 2222221xxxxxxxxyzxvvvvp

5、vvvftxyzxxyz適用于牛頓流體適用于牛頓流體常粘度條件下不可壓縮流體的常粘度條件下不可壓縮流體的NS方程：方程：const2222221yyyyyyyxyzyvvvvpvvvftxyzyxyz2222221zzzzzzzxyzzvvvvpvvvftxyzzxyz矢量形式：矢量形式：const21()vfpDt 非定常項非定常項定常流動為定常流動為0靜止流場為靜止流場為0對流項對流項靜止流場為靜止流場為0蠕變流時蠕變流時 0單位質量流體單位質量流體的體積力的體積力單位質量流體單位質量流體的壓力差的壓力差擴散項（粘性力項）擴散項（粘性力項）對靜止或理想流體為對靜止或理想流體為0高速非邊界層

6、問題高速非邊界層問題0流體流動微分方程的應用流體流動微分方程的應用N-S方程應用概述方程應用概述流動微分方程的應用求解步驟流動微分方程的應用求解步驟 根據問題特點對一般形式的運動方程進行根據問題特點對一般形式的運動方程進行簡化簡化，獲，獲得針對具體問題的得針對具體問題的微分方程或方程組微分方程或方程組。 提出相關的初始條件和邊界條件。提出相關的初始條件和邊界條件。 初始條件初始條件：非穩態問題：非穩態問題邊界條件邊界條件固壁流體邊界：固壁流體邊界：流體具有粘性，在與壁面接流體具有粘性，在與壁面接觸處流體速度為零。觸處流體速度為零。液體氣體邊界：液體氣體邊界：對非高速流，氣液界面上，對非高速流，

7、氣液界面上，液相速度梯度為零。液相速度梯度為零。液體液體邊界：液體液體邊界：液液界面兩側的速度或切應液液界面兩側的速度或切應力相等。力相等。兩平行平板間的層流流動兩平行平板間的層流流動(a)壓力梯度上板速v0(b)上板v0帶動(庫埃特流動)(c)靜止平板，壓力差驅動(a)壓力梯度上板速v0(a)壓力梯度上板速v0條件：條件：1. 穩態 2. 層流，流速x 方向0zyvv0t0tvtvtvzyx0zvyvxx02222zvyvxx 3. 連續性方程 （不可壓縮）0zvyvxvzyx0 xvx 4. 設板平行于地面，質量力gx=gz=0,gy=g(忽略質量力時，gy=0) 5. 平板沿z向相對于二

8、板距離為無限寬，忽略此方向上邊界面影響。將以上條件代入N-S方程，得)(1 22xpxvx(2) 0yp(3) 0zp解(1)式，得21221CyCydxdpvx邊界條件對(a) (b)情形： y=0時，vx=0; y=h時，vx=v0得（3-64）式：hyvhyydxdpvx0)(21特別對(b)情形：0dxdphyvvx0(3-65)0max,vvhyx 時(3-66)00211 vdyvhvhxx(3-67)WhvWhvQx021 流量(3-68)對(c)情形： v0=0，流體兩端壓力差 p = pxpx+LLpdxdpx)(21hyydxdpvx)(21yhyLpvx(3-69)Lph

9、vhyx2 ,22max,時(3-70)Lphdyvhvhxx121 20(3-71)LpWhQ12 3流量(3-72)(a)情形的流量是(b)情形和(c)情形的流量之和圓管內的一維穩態流動分析。圓管內的一維穩態流動分析。 不可壓縮流體在水平不可壓縮流體在水平 圓管內作一圓管內作一維穩態層流流動。試寫出該條件下的連維穩態層流流動。試寫出該條件下的連續性方程和運動微分方程。并證明管道續性方程和運動微分方程。并證明管道截面上任一點的總勢能和軸向壓力梯度截面上任一點的總勢能和軸向壓力梯度為常數。為常數。1圓圓管管內內的的穩穩定定層層流流 y r x o z流向流向 011 zvvrrrvrzr 連連

10、： zvvvrvrvvtvzzzzzrz 分分量量： 2222211zvvrrvrrrzzzz zvvrvvrvrvvtvrrzrrrr2 分分量量：222222211zvvrvrrvrrrrrrr zvvrvvvrvrvvtvzrr 分分量量： 2222222111zvvrvrrvrrrrr 化化簡簡條條件件： 流流動動穩穩定定 / t=0， 一一維維流流動動 vr=v =0， 軸軸向向對對稱稱， / =00 zvzpfzz 例題例題2max4RLv 2max1 Rrvv212121max02max202vrdrRrvRrdrvRAvdAuRR 引入：阻力系數（又稱范寧因子）22ufw 而由

11、牛頓粘性定律可知，圓管內層流時：而由牛頓粘性定律可知，圓管內層流時： Rrwdrdv uRvR 42max Re16168 uduRf 引入：摩擦因數Re644 f 2max1 Rrvv 一 速度勢函數 對于無旋流場，處處滿足： ，由矢量分析知，任一標量函數梯度的旋度恒為零，所以速度 一定是某個標量函數 的梯度，即: 因 則有: 即流場的速度等于勢函數 的梯度。因此，稱 為速度勢函數，簡稱速度勢；稱無旋流動為有勢流動，簡稱勢流。這與單位質量有勢力和有勢力場的勢函數的關系相類似。0 VVkvjvivtzyxVzyx),(kzjyixtzyx),(ztzyxtzyxvytzyxtzyxvxtzyx

12、tzyxvzyx),(),(),(),(),(),(v（735）（736）結論： 無旋條件是速度有勢的充要條件。無旋必然有勢，有勢必須無旋。所以無旋流場又稱為有勢流場。速度勢的存在與流體是否可壓縮、流動是否定常無關。 以上給出了在直角坐標系中速度勢函數和速度的關系，在柱坐標系中 ， ， ， 有勢流動的速度勢函數與速度的線積分有密切關系。若勢流中有一曲線AB，速度沿該曲線積分為 上式表明，有勢流動中沿AB曲線的速度線積分等于終點B和起點A的速度勢之差。由于速度勢是單值的，則該線積分與積分路徑無關。這與力做的功和位勢的關系相類似。當速度沿封閉軸線積分時 即，周線上的速度環量等于零。rvrrv1zv

13、ztzr,ABBAzyBAxABdzzdyydxxdzvdyvdxv)()(0)ddzvdyvdxvzyx（7-34）（7-35） 根據無旋條件，速度有勢： 代入不可壓縮連續性條件可得： 或 上述方程稱作不可壓無旋流動的基本方程。 在笛卡兒坐標系中： 在柱坐標系中： 式中 為拉普拉斯算子。滿足拉普拉斯方程的函數為調和函數，故速度勢是調和函數。 V0 V00202222222zyx22222222110rrrrz2二二 流函數流函數 在笛卡兒坐標系中，平面、不可壓縮流體的連續性方程可寫成: 若定義某一個函數（流函數） 令: 0yvxvVyx),(yxyvxxvy,平面不可壓縮流體流函數的基本性質

14、1. 沿同一流線流函數值為常數沿同一流線流函數值為常數平面流動中通過兩條流線間單位厚度的流量等于兩平面流動中通過兩條流線間單位厚度的流量等于兩條流線上的流函數的差值條流線上的流函數的差值3. 在有勢流動中流函數也是一調和函數在有勢流動中流函數也是一調和函數特性特性1s為坐標系為坐標系XOY的任意一條流線，的任意一條流線，在在s上任取一點作速度矢量，與上任取一點作速度矢量，與流線相切，該點的微元流線段在流線相切，該點的微元流線段在x、y軸上的投影為軸上的投影為dx、dy，在，在x、y軸上的投影為軸上的投影為vx、vy 或或 由由 ， 得到得到 在流線在流線s上，上，的增量的增量d為為0，說明沿流

15、線，說明沿流線（x，y，t）為常數，）為常數，而流函數的等值線，即而流函數的等值線，即（x，y，t）=C就是流線。因此，找到流就是流線。因此，找到流函數后，可以知道流場中各點速度，還可以畫出流線。函數后，可以知道流場中各點速度，還可以畫出流線。 yxvvdydx0dyvdxvxyyvx0ddyydxxyvx特性特性2 設設1、2是兩條相鄰流線，作其間一曲線是兩條相鄰流線，作其間一曲線AB，求通，求通過過AB兩點間單位厚度的流量。兩點間單位厚度的流量。(見下圖見下圖） 在在AB上作微元線段上作微元線段 , 過微元線段處的速度過微元線段處的速度為，為， ,單位厚度的流量單位厚度的流量dq應為通過應

16、為通過dx的流量的流量vydx和通過和通過dy的流量的流量vxdy之和，之和，（ vy0 ）沿沿AB線段積分，線段積分，由于沿流線流函數為常數，因此由于沿流線流函數為常數，因此 jdyidxsdjvivvyxddxxdyydxvdyvdqyxBAABBAddqq12q 特性特性3對平面勢流對平面勢流 有有 將將 ， 代入上式得到代入上式得到即即 ，滿足，滿足Laplace方程。所以在平面勢流中函方程。所以在平面勢流中函數也是調和函數。數也是調和函數。 0)(21zvyvyzxzvyvyzyvxxvy02三三 流函數和勢函數的關系流函數和勢函數的關系 在平面勢流中有在平面勢流中有 ， ，交叉相乘

17、得交叉相乘得 說明等勢線族說明等勢線族(x,y,z,t)=C1與流函數族與流函數族(x,y,z,t)=C2相互正交。相互正交。 在平面勢流中，流線族和等勢線族組成正交網格，稱在平面勢流中，流線族和等勢線族組成正交網格，稱為為流網流網。 xvxyvyyvxxvy0yyxx極坐標極坐標(r , )中，徑向的微元線段是中，徑向的微元線段是dr，圓周的微元線，圓周的微元線段是段是rd，速度勢函數，速度勢函數(r , , t)與與vr、v的關系是的關系是 ，速度流函數速度流函數(r , , t)與與vr、v的關系是的關系是 ， 速度勢函數和流函數的關系是速度勢函數和流函數的關系是 ，rvrvrvrrvr

18、rvrrvrr例例1 例例2例例3 流線是一族以流線是一族以x軸和軸和y軸為漸近線的雙曲線，等勢線是以軸為漸近線的雙曲線，等勢線是以直角平分線為漸近線的雙曲線族。直角平分線為漸近線的雙曲線族。將將x軸看成是固壁，并且只觀察上半平面，則流動沿軸看成是固壁，并且只觀察上半平面，則流動沿y軸軸垂直的自上而下流向固壁，然后在原點處分開，流向兩垂直的自上而下流向固壁，然后在原點處分開，流向兩側。側。幾種簡單的平面無旋流動幾種簡單的平面無旋流動一一 均勻流均勻流二二 點源和點匯點源和點匯三三 點渦點渦一一 均勻流均勻流 圖圖2 均勻流示意圖均勻流示意圖二二 點源和點匯點源和點匯 圖圖3a 點源點源 圖圖3

19、b 點匯點匯三三 點渦點渦定義：流體質點沿著同心圓的軌跡運動，且其速度定義：流體質點沿著同心圓的軌跡運動，且其速度大小與向徑大小與向徑r成反比的流動。又被稱為自由渦。成反比的流動。又被稱為自由渦。 將坐標原點置于點渦處，設點渦的強度為，則任一將坐標原點置于點渦處，設點渦的強度為，則任一半徑半徑r處流體的速度可由處流體的速度可由stokes定理得到定理得到 , 那么那么 而而 求點渦的速度勢函數和流函數求點渦的速度勢函數和流函數 對上面兩式積分，并令積分常數等于零，得到：對上面兩式積分，并令積分常數等于零，得到： 等勢線是等勢線是 的線，流線是以坐標原點為圓心的同心的線，流線是以坐標原點為圓心的

20、同心圓。點渦的復勢是圓。點渦的復勢是或或 常數rv2rv 20rv0rrvrrrrv2drdrvdrvdr2drrdrvdrvdr22rln2)(2)(ln2ln22ireiiririiWziWln2 圖圖4 點渦示意圖點渦示意圖勢流的疊加勢流的疊加勢流疊加原理勢流疊加原理有兩個流動，它們的速度分布函數、速度勢函數、流函有兩個流動，它們的速度分布函數、速度勢函數、流函數、復勢函數分別為數、復勢函數分別為 、1 、1 、W1和和 、2 、2 、W2 ，由于和都滿足線性，由于和都滿足線性Laplace方程，可以將和分方程，可以將和分別進行疊加。將兩流動合起來的復合流動，其相應量分別進行疊加。將兩流

21、動合起來的復合流動，其相應量分別為別為 、 、 、W，存在以下關系：，存在以下關系：212121WWWxxxvvxxxv2121yyyvvyyyv2121因此因此21vvv流動變成流動變成n個，同樣將個，同樣將n個流動疊加，復合流動的相應量個流動疊加，復合流動的相應量定義：疊加多個流動時，所得合成流動的復勢即為分流定義：疊加多個流動時，所得合成流動的復勢即為分流動的復勢的代數和，此即勢流的疊加原理。動的復勢的代數和，此即勢流的疊加原理。n21n21nWWWW21nvvvv21第二節第二節 蠕動流動蠕動流動 蠕動流動：雷諾數很低的流動。 特點：流動的尺度和流動的速度均很小 如：熱電廠鍋爐爐膛氣流

22、中繞煤粉顆粒、 油滴等的流動；滑動軸承間隙中的流 動等等。 一、蠕動流動的微分方程一、蠕動流動的微分方程 對于定常流動，忽略慣性力和質量力，在直角坐標系下，可把納維爾斯托克斯方程組簡化成 ： )()()(222222222222222222zvyvxvzpzvyvxvypzvyvxvxpzzzyyyxxx一、蠕動流動的微分方程一、蠕動流動的微分方程如果流動是不可壓縮流體，則連續性方程為： 將式（818）依次求 、 、 ，然后相加，并結合連續性方程，即得： 即蠕動流動的壓力場滿足拉普拉斯方程。0zvyvxvzyx22xp22yp22zp02222222pzpypxp二、繞球的蠕動流動 對如圖所示

23、的無窮遠來流以速度 均勻平行流沿 軸繞半徑為 的靜止圓球流動，得速度與壓 強分布為： 300330030231( , )cos (1)2231( , )sin (1)443( , )cos2rrrv rrrrrv rrrrp rprVx0r二、繞球的蠕動流動 式中 為無窮遠處來流的壓力。 圓球以很小的速度在靜止流體中作等速運動時，在流場中通過x軸的平面上的流譜如圖所示。 p二、繞球的蠕動流動在圓球的前后兩駐點A和B處的壓強是壓強的最高點和最低點，分別為：在前駐點A（ 180 ） 在后駐點B（ 0）： 而切應力的最大值，發生在C（ 90）為： 等于A、B點處的壓強與無窮遠處的壓強之差的絕對值。0

24、23rVppA023rVppB02/3rVc二、繞球的蠕動流動 球面上的壓強和剪切應力也可根據速度分布公式算出，為： 對上述兩式積分，可分別得到作用在球面上的壓強和切應力的合力。將這兩個合力在流動方向的分量相加，可得到流體作用在圓球上的阻力為： 這就是圓球的斯托克斯阻力公式。式中d=2 為圓球的直徑。 00,00,03()2cos213()()sin2rr rr rrrr rvppprrvvvvrrrrr 063DFrd 0r第三節第三節 邊界層的概念邊界層的概念 邊界層：物體壁面附近存在大的速度梯度的薄層。 我們可以用如圖所示的繞平板的流動情況說明邊界層的概念。邊界層的定義 粘性流體繞流物體

25、時，由于粘性的作用，在物體的表面附近，存在一速度急劇變化的薄層邊界層。 例如：來流 的流體繞流平板時，在平板表面形成邊界層。 在平板的前部邊界層呈層流狀態，隨著流程的增加，邊界層的厚度也在增加，層流變為不穩定狀態，流體的質點運動變得不規則，最終發展為紊流，這一變化發生在一段很短的長度范圍，稱之為轉捩區，轉類區的開始點稱為轉捩點。轉類區下游邊界層內的流動為紊流狀態。 在轉捩區和紊流區的壁面附近，由于流體的質點的隨機脈動受到平板壁面的限制，因此在靠近壁面的更薄的區域內，流動仍保持為層流狀態，稱為層流底層和粘性底層。 邊界層的定義V邊界層的特點 邊界層內速度梯度很大，旋渦強度大，有旋流動慣性力和粘性

26、具有相同的數量級，同時考慮。 邊界層外部速度梯度很小，可以作為理想流體的勢流處理。 邊界層厚度隨 的增大而增大，隨 的增大而減小。 由于邊界層很薄，因而可以近似認為，邊界層任一截面上各點壓強相等。VeR邊界層的分類按流動狀態，可分為層流邊界層和紊流邊界層。判別準則雷諾準則： 平板上的臨界雷諾數 = 邊界層的構成： 1.層流邊界層，當 較小時，邊界層內全為層流，稱為層流邊界層。 2.混合邊界層：除前部起始部分有一小片層流區，其余大部分為紊流區，稱為混合邊界層。eR51056103eR邊界層的厚度 兩個流動區域之間并沒有明顯的分界線。 邊界層的厚度：通常，取壁面到沿壁面外法線上速度達到勢流區速度的

27、99處的距離作為邊界層的厚度，以表示，這一厚度也稱邊界層的名義厚度。 邊界層的厚度取決于慣性和粘性作用之間的關系，即取決于雷諾數的大小。雷諾數越大，邊界層就越薄；反之，隨著粘性作用的增長，邊界層就變厚。沿著流動方向由繞流物體的前緣點開始，邊界層逐漸變厚。 第四節第四節 平面層流邊界層的微分方程平面層流邊界層的微分方程 在這一節里，將利用邊界層流動的特點如流體的粘度大小、速度與溫度梯度大和邊界層的厚度與物體的特征長度相比為一小量等對N-S方程進行簡化從而導出層流邊界層微分方程。在簡化過程中，假定流動為二維不可壓定常流，不考慮質量力，則流動的控制方程N-S方程為： 222222221()1()0

28、xxxxxyyyyyxyyxvvvvpvvvxyxxyvvvvpvvvxyyxyvvxy （a）第四節第四節 平面層流邊界層的微分方程平面層流邊界層的微分方程 將上述方程組無量綱化。為此考慮如圖所示的一半無窮繞流平板，假定無窮遠來流 的速度 ，流動繞過平板時在平板附近形成邊界層，其厚度為 ，平板前緣至某點的距離為 。取 和 為特征量，可定義如下 的無量綱量： / / /（ ）V/xx yy /xxvvv/yyvvvpp 2v/代入方程組（a），整理后得： 式中雷諾數 /2/2/2/2/2/22/2/2/2/2/1()Re111 11()11()Re1111()()011xxxxxylyyxyl

29、yxvvvvpvvxyxxyvvvvpvvxyyxyvvxy Relv l第四節第四節 平面層流邊界層的微分方程平面層流邊界層的微分方程（b） 與 相比較是很小的 ，即 或 / 1，同時注意到， 與 、 與 、 與 具有同一數量級，于是 、 、 和 的量級均為1，并可以得到： 1 1 1 為了估計其他各量的數量級，由連續性方程可得： 1xvvxyxvxyp/xvx2/2xvx/yvx2/2yvx2/1/yvy/xvx第四節第四節 平面層流邊界層的微分方程平面層流邊界層的微分方程第四節第四節 平面層流邊界層的微分方程平面層流邊界層的微分方程 因此 ，于是又得到： 1 通過分析方程組（b）各項的數

30、量級，方程組（b）中第二式中各慣性項可以忽略掉 ，同時可以略 去 、 、 。于是在方程組（b）的粘性 項中只剩第一式中的一項 。 /yv/xvy2/2xvy/yvy2/2yvy/12/2xvx2/2xvy2/2yvy2/2yvx 如果僅保留數量級為1的項，而將數量級比1小的各項全部略去，再恢復到有量綱的形式，便可以得到層流邊界層的微分方程組為： 沿邊界層上緣由伯努利可知： 常數 上式對 求導，得： 00122yvxvypyuxpyvvxvvyxxyxx2/2bbpxbbbdpddxdx 第四節第四節 平面層流邊界層的微分方程平面層流邊界層的微分方程 這樣，層流邊界層的微分方程又可寫為： 方程組

31、（c） 即為在物體壁面為平面的假設下得到的邊界層微分方程 。 022yvxvyvdxdVVyvvxvvyxxbbxyxx第四節第四節 平面層流邊界層的微分方程平面層流邊界層的微分方程（c）第五節第五節 邊界層的動量積分關系式邊界層的動量積分關系式邊界層的動量積分方程是對邊界層內流動的再簡化。其推導過程有兩種方法：一種是沿邊界層厚度方向積分邊界層的方程組，一種是在邊界層內直 接應用動量守恒原理。下面的推導采用第二種方法。邊界層動量積分方程的推導邊界層動量積分方程的推導 如圖所示為不可壓縮流體的定常二維邊界層流動 ，設物體表面型線的曲率很小。 取一個單位厚度的微小控制體，它的投影面ABDC 。 用

32、動量定理來建立該控制體內的流體在單位時間內沿x方向的動量變化和外力之間的關系。 邊界層動量積分方程的推導邊界層動量積分方程的推導 設壁面上的摩擦應力為 根據邊界層的控制方程組，邊界層內的壓強僅近似地依賴于 而與 無關，設AB面上的壓強為 ，DC上的壓強為 控制面AC為邊界層的外邊界 其外部為理想流體的勢流 ，只有與之垂直的壓力 ，設AC上的壓強為A，C兩點壓強的平均值 。作用在控制體上的表面力沿方向的合力為： wppd xx12ppdxx1sin2xwppFppdx dspdxddxxxyp邊界層動量積分方程的推導 式中為邊界層外邊界AC與方向的夾角，由幾何關系可知： ，上式經整理并略去高階小

33、量，得： 單位時間內沿方向經過AB流入控制體的質量和動量分別為： 經過CD面流出的質量和動量分別為： 定常流動條件下，可知從控制面AC流入控制體中的流量為： 由此引起流入的動量為： sindsadxwpFd xd xx 0A Bxmd y 20ABxkdy0()xCDxvmvdx dyx2200 CDxxkvdydxvdyx0()CDABxdmmv dy dxdx0ACbxdkv dxv dydx邊界層動量積分方程的推導 式中V為邊界層外邊界上的速度。這樣，可得單位時間內該控制體內沿x方向的動量 變化為 根據動量定理， ，則可得邊界層的動量積分方程為： 上式也稱為卡門動量積分關系式。該式是針對

34、邊界層流動在二維定常流動條件下導出的，并沒有涉及邊界層的流態，所以其對層流和紊流邊界層都能適用。 xk200 xCDABACxbxddkkkkv dyvv dy dxdxdxxxFk200wxbxdpddv dyVv dydxdxdx（d）積分方程的求解 實際上可以把 、 和 看作已知數，而未知數只有 、 和 三個。 再補充兩個關系式： 一、沿邊界層厚度的速度分布 = (y) 二、切向應力與邊界層厚度的關系式 一般在應用邊界層的動量積分關系式（d）來求解邊界層問題時，邊界層內的速度分布是按照已有的經驗來假定的。假定的 愈接近實際，則所得到的結果愈正確。所以選擇邊界層內的速度分布函數 是求解邊界

35、層問題的重要關鍵。 ( ) ( )xvv y( )v ybVdpdxxwxx第六節邊界層的位移厚度和動量損失厚度 邊界層的厚度 ，表示粘性影響的范圍。 位移厚度 動量損失厚度 根據伯努力方程可知： 又由于： 帶入（d）得 或 （d1）bbdvdpvdxdx00bbbbdvdvdpvdyv dydxdxdx 000bbxbxxdvddvv dyv v dyv dydxdxdx20000bbxxbxbwdvdvddv dyv v dyv dyv dydxdxdxdx00()()bbxxbxwdvdvv dyvvvdydxdx12邊界層厚度計算式的推導 因此在邊界層內由于粘性影響使體積流量的減小量

36、，即上式中第一項積分。 位移厚度或排擠厚度 可表示成： （d2） 同理動量損失厚度 可表示為： （d3） 將 和 代入式（d）, 得 （d4）0()xVv dy11001()(1)xbxbbvvv dydyvv2221()bbbwdvdvvdxdx12201()(1)xxxbxbbbvvv vv dydyvvv 2邊界層厚度計算式的推導 式（d4）是另一種形式的平面不可壓縮粘性流體邊界層動量積分關系式 。 、 和 都是未知數，它們決定于邊界層內速度的分布規律。 將式（d4）化為無因次形式，統除以 ，得 （d5） 或 式中H 。計算曲面邊界層時，用上式較為方便。 12w2V022121(2)bb

37、bdvddxvdxv022122(2)bbbdvdHdxvdxv21/第七節 平板邊界層流動的近似計算 平板層流邊界層的近似計算 對于式（d），如果邊界層外部的壓強梯度為零，方程變為： (d6） 假定平板非常薄，對流動沒有影響。邊界層外層流動： 則上式可變為： (d7） 兩個補充關系式:一、馮卡門假定，二、牛頓內摩擦定律。 平板紊流邊界層的近似計算 采用將邊界層內的速度分布與圓管內充分發展紊流的速度分布規 律進行類比的方法。0()wxbxdv vv dydx0()wxbxdvvvdydx平板層流邊界層的近似計算 選擇一三次項式速度分布： (e) 根據下列邊界條件來確定待定系數 和 . (1)在

38、平板壁面上的速度為零，即在 處 (2)在邊界層外邊界上的速度等于來流速度,即在 處 ， (3)在邊界層外邊界上，摩擦切應力 為零，即在 處 ， (4)由于在平板壁面上的速度為零，即 ，由方程組（d）的第一式得 332210yayayaavx210aaa、3a0y0 xvxvvyvxy0)(yxyv0yxvv01)(dxdpyvyx平板層流邊界層的近似計算 速度分布的四個系數可確定為： 于是，層流邊界層中速度的分布規律為 (e1) 第二個補充關系式：利用牛頓內摩擦定律和式（ e1 ）得出 (e2)式中為動力粘性系數。將速度分布方程（e1）帶入方程（e2）并積分得：分離變量，并積分得： (e3)0

39、0a 132va20a 332va 331( ) ( )( ) 22xyyvyv023xwydvvdy（）23292280VdVdx4.644.64/Rexxv x平板層流邊界層的近似計算式中為 運動粘性系數，為基于長度的雷諾數 。合并方程（e2）和(e3)得到： (e4)如果表面摩擦系數 為： (e5) 那么 ，為： (e6) 根據動量損失厚度的定義式（d3），并考慮式（e3），可得動量損失厚度為： (e7) 同理，位移厚度為: (e8)上述計算結果是依賴于所假設的速度分布規律的，不同階次的速度分布，可以得出不同的結果。表1 給出幾種不同的情況。Rex20.323RewxvfC0212fCv

40、fC0.646RefxC 20.646Rexx11.740Rexx表1不同階次的速度分布所得結果比較 VvxxxRexxRe1xxRe220ReVx22yy4222yyy32123yy二、二、平板紊流邊界層的近似計算 如前所述由于流動的混參以及速度和壓力的波動，紊流邊界層的速度分布都采用一些模型假定。普朗特建議，當邊界層雷諾數 時，邊界層內的速度分布可采用 次方規律，即： （f） 該式不能直接應用于邊界層的內邊界。通常認為粘性底層內的速度分布為線形分布。 雷諾數取 時的摩擦阻力系數為： 當時 普朗特和施利希廷 （ H. Schlichting）采用對數速度分布，得到如下的半經驗公式： 7Re1

41、0 x7117( )xyvV575 10Re10l150.074ReflC9710Re10l2.580.455(lg Re )flC層流與紊流邊界層的近似計算公式匯總 q平板的層流邊界層和紊流邊界層的重大差別有：q紊流邊界層內沿平板壁面發向截面上的速度比層流邊界層的速度增加得快 q沿平板壁面紊流邊界層的厚度比層流邊界層的厚度增加得快 q在其它條件相同的情況下，平板壁面上的切向應力 沿著壁面的減小在紊流邊界層中要比層流邊界層減小得慢。q在同一 下，紊流邊界層得摩擦阻力系數比層流邊界層的大得多 實際情況下，邊界層是層流和紊流同時存在的混合邊界層 xRe071yVvx5151Re37.037.0 xxxVx51Re0462. 0125. 0 xx51Re036. 01 . 0 xx512512Re0289.00289.0 xVxVV512Re036. 0lVbl4322yyyVvx21Re84. 584. 5xxVx21Re752. 13 . 0 xx21