1、 )(e)(jthtytfd)(e)(jhtd)(eejjhtd)(e)j (jhH)j (ejHt其中其中 若信號f(t)的Fourier存在，則可由虛指數(shù)信號ejt(t)的線性組合表示，即de )j (21)(j tFtf 由系統(tǒng)的線性時不變特性，可推出信號f(t)作用于系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf (t)。de )j ()j (21j tHFde )j (21jtFTttHFFTjje )j ()j (21e )j (21由積分特性由均勻性ttHTjje )j (ede)j ()j (21)()(j tfHFtfTty即Yf (j)(j| )j (|)j (eHH LTI系統(tǒng)把頻譜為F(j) 的

2、輸入改變成頻譜為H(j) F(j) 的響應(yīng)，改變的規(guī)律完全由H(j) 決定。 H(j)稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，定義為d)(e)j (jhH)j ()j ()j (FYHf或Yf (j)= H(j) F(j)4. H(j)與與h(t)的關(guān)系的關(guān)系)()j (thFH即H(j)等于系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的Fourier變換由H(j)的定義，顯然有 H(j)的物理意義：的物理意義：H(j)反映了系統(tǒng)對輸入信號不同頻率分量的傳輸特性H(j) 由描述LTI系統(tǒng)的微分方程直接計算； 由LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的傅里葉變換計算； 由電路的零狀態(tài)頻域等效電路模型計算。解：解：利用Fourier變換的微分特性，微分方程的

3、頻域表示式為)j ()j (2)j (j3)()j (2FYYjYfff由定義可求得)j ()j ()j (FYHf2)j (3)j (12例例1 1 已知描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為 y(t) + 3y(t) + 2y(t) = f(t)， 求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(j)。 已知某的為 h(t) = (e-te-2t) u(t)，求系統(tǒng)的。解：解： 利用H(j)與h(t)的關(guān)系)()j (thFH2j11j12)j (3)j (12例3 圖示RC電路系統(tǒng)，激勵電壓源為f(t)，輸出電壓 y(t)為電容兩端的電壓vc(t)，電路的初始狀態(tài)為零。求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(j)和沖激響應(yīng)h(t)。+-Ry(t

4、)+f (t)C+-RY(j)+F(j)1/jCRC電路的頻域(相量)模型如圖，)j ()j ()j (FYHCRCj1j1RCRC/1j/1由Fourier反變換，得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)為)(e1)()/1 (tuRCthtRC由電路的基本原理有1/RC0j2/RC3/RC4/RC0 隨著頻率的增加，系統(tǒng)的幅度響應(yīng)|H(j)|不斷減小，說明信號的頻率越高，信號通過該系統(tǒng)的損耗也就越大。由于|H(j(1/RC)|=0.707，所以把c=1/RC稱為該系統(tǒng)的3db截頻。低通濾波器 )()( )()(01)1(1)(tyatyatyatyannnn)()( )()(01)1(1)(tfbtfbt

5、fbtfbmmmm方程兩邊進行Fourier變換，并利用時域微分特性，有)j ()j ()j ()j (0111fnnnnYaaaa)j ()j ()j ()j (0111Fbbbbmmmm解此代數(shù)方程即可求得零狀態(tài)響應(yīng)的頻譜Yf (j)。)j ()j ()j ()j ()j ()j ()j ()j (01110111FaaaabbbbYnnnnmmmmf)j ()j ()j (HFYf)j ()(1ffYFty對Yf (j)進行Fourier反變換，可得 系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)頻域分析方法與卷積積分法的關(guān)系：兩種分析方法實質(zhì)相同，只不過是表達信號的基本信號不同。Fourier變換的時域卷積定理是聯(lián)系

6、兩者的橋梁。例例1 1 已知描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為 y(t) + 3y(t) + 2y(t) = 3f (t)+4 f(t)，系統(tǒng)的輸入激勵 f(t) = e3t u(t)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf (t)。解：解： 由于輸入激勵f(t)的頻譜函數(shù)為3j1)j (F系統(tǒng)的頻率響應(yīng)由微分方程可得)2j)(1j (4)j (32)j (3)j (4)j (3)j (2H故系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf (t)的頻譜函數(shù)Yf (j)為)3j)(2j)(1j (4)j (3)j ()j ()j (HFYf)(e25e2e21)j ()(321tuYFtytttfftttf,sin)(0由Euler公式可得)

7、ee (j21)()( j)( j00tttf 利用虛指數(shù)信號ejt作用在系統(tǒng)上響應(yīng)的特點及系統(tǒng)的線性特性，可得零狀態(tài)響應(yīng)y(t)為)j (0)j (000e )j(e )j (j21)(ttHHty)(sin()j (000tH)(sin()j ()sin(0000tHtT同理)(cos()j ()cos(0000tHtT 結(jié)論：正、余弦信號作用于線性時不變系統(tǒng)時，其輸出的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)仍為同頻率的正、余弦信號。 輸出信號的幅度y(t)由系統(tǒng)的幅度響應(yīng)|H(j0)|確定 輸出信號的相位相對于輸入信號偏移了(例例2 2 已知一連續(xù)時間系統(tǒng)的頻響特性如圖所示，輸入信號時，試求該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

8、y(t)。 1033)j (H利用余弦信號作用在系統(tǒng)上的零狀態(tài)響應(yīng)的特點，即 )(cos()j ()cos(0000tHtT可以求出信號f(t)作用在系統(tǒng)上的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 tHtHHtfT4cos)4 j (2cos)2 j (3)0 j (5)(t 2cos5 t將周期為T0的周期信號f(t) 用Fourier級數(shù)展開為)/2(e)(00j0TCtftnnn利用虛指數(shù)信號ejt作用在系統(tǒng)上響應(yīng)的特點及線性特性可得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為ntnnenHC0 j0)j (e)(0jtnnnTCty例例3 3 求圖示周期方波信號通過LTI系統(tǒng)H(j) = 1/(a+j) 的響應(yīng)y(t)。f(t)AtT0-T0 0解：解： 對于周期方波信號，其Fourier系數(shù)為2Sa00nTACn可得系統(tǒng)響應(yīng)0j01jeRe2Sa2)(0aannTATAtytnnntnnnHCty0 j0e )j ()(優(yōu)點：求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時，可以直觀地體現(xiàn)信號通過系統(tǒng)后信號