1、 解三角形內容分析及教學建議北京市立新學校北京市立新學校 朱朋朱朋提綱 整體思考 教學片段 經典習題知知識識結結構構近幾年北京高考試題情況：近幾年北京高考試題情況：年份年份2013理科題號理科題號15文科題號文科題號5說明說明文理差別較大文理差別較大20121111文理略不同文理略不同201199文理略不同文理略不同20101010文理題目題號都相同文理題目題號都相同200912后一空、后一空、15 13后一空后一空文理題目相同，題號不同文理題目相同，題號不同2008無無4理無，文有理無，文有20071112文理題目相同，題號不同文理題目相同，題號不同20061213文理題目略不同，題號不同文

2、理題目略不同，題號不同2005無無12理無，文有理無，文有把握考題題號位置和題目的難度，注意文理區別，題目相同時，文科填空設計臺階初、高中解三角形問題對比：初、高中解三角形問題對比：初中初中高中高中方式方式 構造構造直角三角形直角三角形直接計算直接計算范圍范圍特殊性特殊性一般性一般性工具工具內角和內角和勾股定理勾股定理銳角三角函數銳角三角函數內角和內角和正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理任意角三角函數任意角三角函數方法方法幾何法幾何法代數法代數法解三角形解三角形正、余弦定理正、余弦定理主要問題主要問題程序化程序化交匯交匯長度長度角度角度面積面積整整體體定定位位兩個兩個銜接：銜接：三角形全等、

3、解直角三角形三角形全等、解直角三角形三個三個結合結合：三角函數、向量、解析法三角函數、向量、解析法四個滲透：四個滲透：一般與特殊化一般與特殊化思想、思想、分類討論分類討論思想、思想、 數形結合思想、數形結合思想、轉化與化歸轉化與化歸思想思想五個提升：五個提升：4. 研究對象從靜態圖形擴展到動態圖形；研究對象從靜態圖形擴展到動態圖形；2. 從幾何法到代數法；從幾何法到代數法；3. 從定性分析到定量分析從定性分析到定量分析 ； 1. 從特殊到一般；從特殊到一般； 5. 由解題到實操由解題到實操.余弦定理教學片斷 三角形三角形是最簡單的平面圖形，也是認識是最簡單的平面圖形，也是認識許多其他圖形的基礎

4、許多其他圖形的基礎: :一角一個要素一邊兩角兩個要素 兩邊一角一邊SSSSASASAAAS三個要素實際是三角形全等的判定定理問題1：一般從哪些角度研究三角形問題？問題2：要確定一個三角形至少需要幾個要素？4,3,60 ,abCc引例：知求邊已3 333sin60,3cos6022ADCD52BDBCCD2213ABADBDABC,a bCc變式：在中，已及求邊知設計意圖：喚醒學生的記憶，為一般情形做鋪墊設計意圖：喚醒學生的記憶，為一般情形做鋪墊ABCD,ABCa bCcC在中，已知及，求邊 的長(為了方便起見，假設.為最大的角)ABC,a bCc變式：在中，已及求邊知方法1：1C（） 為直角2

5、22cabC（2） 為鈍角222sinC- cos)cab aC（） （2222coscababCABCDabcABCabcC（3） 為銳角222sinC- cos)cab aC（） （ABCDabcA 為銳角A 不是銳角ABCDabc222sinC- cos)cba bC（） （設計意圖1. 符合學生的認知規律，體現轉化思想：化斜為直；2. 凸顯勾股定理是余弦定理的特殊情況；3. 分類討論，訓練學生思維的邏輯性、嚴謹性.ABC,a bCc變：在中，已知求邊及方法2(解析法）( cos, sin)aC aC,0b222-cos0- sin)cbCaC（） （根據兩點間的距離公式2222cosc

6、ababC設計設計意圖意圖1. 1. 溝通溝通了三角函數與三角形的聯系，數與形完美統一；了三角函數與三角形的聯系，數與形完美統一；2. 2. 從從定性分析提升到定量計算；定性分析提升到定量計算；3. 3. 用用代數方法研究幾何問題的典范，解析法的初步代數方法研究幾何問題的典范，解析法的初步嘗試嘗試. .問學生思考能否避免討論？問學生思考能否避免討論？ABCabcyx思考：解析法是如何避免討論的？思考：解析法是如何避免討論的？ABC,a bCc變：在中，已知求邊及方法3(向量法）設計意圖設計意圖1. 1. 體現了向量的工具性作用；體現了向量的工具性作用；2 2. . 揭示揭示了三角形、三角函數、

7、向量的內在了三角形、三角函數、向量的內在統一性統一性. .2222|()cABABCBCA 222CBCB CACA 222cosababC 向量有兩個要素：一個是方向（角度），一個是向量有兩個要素：一個是方向（角度），一個是模的大小（即長度），而三角形的邊角關系恰好涉及模的大小（即長度），而三角形的邊角關系恰好涉及三角形的內角及邊長兩個量，能否用向量證明？三角形的內角及邊長兩個量，能否用向量證明？ABCabc三角形的內角可以看成兩個向量的夾角，邊長可以三角形的內角可以看成兩個向量的夾角，邊長可以看成向量的模看成向量的模. .(2011(2011陜西高考）陜西高考）敘述并證明余弦定理敘述并證明

8、余弦定理1 1、三角形問題數與形緊密結合，解析法與向量法只是、三角形問題數與形緊密結合，解析法與向量法只是從不同的角度實現數形結合從不同的角度實現數形結合; ;2 2、處理解三角形問題時，多畫圖，解題后思考一下、處理解三角形問題時，多畫圖，解題后思考一下數據背后的幾何背景；數據背后的幾何背景；3 3、不要就題論題，而是要將習題承載的數學思想、不要就題論題，而是要將習題承載的數學思想、數學方法形成數學方法形成高位高位理解理解, ,可以遷移到其它背景之中可以遷移到其它背景之中. .余弦定理：余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的

9、余兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的弦的積的兩倍兩倍.2222cosabcbcA2222cosbacacB2222coscababC延伸：延伸：bcacbA2cos222222cos2cabBca222cos2abcCab222Cabc為直角222Cabc為銳角222Cabc為鈍角SSSSAS題型SSS（）SAS（）abc3(6,5), ( 2,8)(4,1)0.1ABCABCA例 、如圖，的頂點為和，求 （精確到）.2( 8,3),( 2, 4)2cos|36584.0ABACAB ACAABACA 法 ：( 1,0), (4,0) (0, )(1)(2)3.ABCABCcAC

10、BCccACB 已知三個頂點的坐標分別為，若，求 的值；若，求的余弦值正弦定理教學片斷,sinacA,sinbcBsinsinsinabcABCABCDbacABCabc直角三角形銳角三角形鈍角三角形ABCDsinsinbAaBsinsinabAB同理sinsinacAC兩條思維主線1、特殊到一般2、化斜為直sin,CDbAsinCDaB問題1：在銳角三角形中，上述結論成立嗎？問題2：在鈍角三角形中，上述結論成立嗎？111sinsinsin222abCbcAcaB由方法2：(面積法)換個視角可得到三角形的面積公式：1sin,2SabC1sin ,2SbcA1sin2SacBABCabcABCD

11、ABCDbacsinsinsinabcABC得：sinsinsinabckABC設 上述結論說明三角形任意一邊與對角的正弦之比為同一個常數.反過來常數k由三角形一個內角及其對邊即可確定. 但滿足一個角及其對邊相等的三角形有無數多個，這無數個三角形有什么特殊關系？這個常數k具有什么特殊含義？=sinckC比如：ABCCsinsinsinabckABC設 上述結論說明三角形任意一邊與對角的正弦之比為同一個常數.反過來常數k由三角形一個內角及其對邊即可確定.=sinckC比如：ABCC探求過程：特殊探求過程：特殊-一般一般-特殊特殊2sinsincckRCC上述求上述求k k的過程實際上提供了一種新

12、的證明方法的過程實際上提供了一種新的證明方法方法3：幾何法(設ABC為銳角三角形,鈍角三角形用類似的方法討論)：ABCODabc2 sincRC上述求上述求k k的過程實際上提供了一種新的證明方法的過程實際上提供了一種新的證明方法方法3：幾何法(設ABC為銳角三角形,鈍角三角形用類似的方法討論)：ABCODabc2 sincRCABCODabc2 sinbRB上述求上述求k k的過程實際上提供了一種新的證明方法的過程實際上提供了一種新的證明方法方法3：幾何法(設ABC為銳角三角形,鈍角三角形用類似的方法討論)：ABCODabc2 sincRCABCODabc2 sinbRBABCOabcD2

13、sinaRA方法4:(向量法)建議不講1. 不容易想到；2. 證法比較繁瑣.2sinsinsinabcRABC2 sin,2 sin,2 sinaRA bRB cRC例：判斷下列三角形是否有解，如果有做出解答(1)7,8,105 ;(2)10,5 6,60 ;(3)2 3,6,30abAbcCabA策略一：運用正弦定理策略一：運用正弦定理難點：如何判斷解的個數？難點：如何判斷解的個數？題型：已知兩邊及其中一邊的對角，解三角形. 策略二：運用余弦定理策略二：運用余弦定理質疑：是否會產生增根或丟根？質疑：是否會產生增根或丟根？具體實施：學生板演具體實施：學生板演小組討論小組討論糾錯糾錯總結總結策略

14、一：運用正弦定理；策略一：運用正弦定理；難點：如何判斷解的個數？難點：如何判斷解的個數？1.直接解答，然后檢驗解的合理性；2.畫圖，預判解的個數；策略一：運用正弦定理；策略一：運用正弦定理；難點：如何判斷解的個數？難點：如何判斷解的個數？1.直接解答，然后檢驗解的合理性； 3.利用“大邊對大角”，預判解的個數.2.畫圖，預判解的個數；,ABCa bA在中，已知和 時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式解個數一二一一sinabAsinbA a b abab(1)7,8,105 ;abA1(78sin105sin8sinsin1051.17BB方法 直接解）據正弦定理，無解baBA方法

15、2（大邊對大角），不可能A1058b 7a C方法3（畫圖分析）21sin0.382,58 (21BBB舍）(3)2 3,6,30abA策略一：運用正弦定理策略一：運用正弦定理2 36sin30sin3sin2601206090 ,4 312030 ,2 3BBBBCcBCc根據正弦定理或當時，當時,策略二：運用余弦定理策略二：運用余弦定理2222 3 =626cos304 32 34 360902 312030cccccBCcBC 根據余弦定理（）解得，或當時，當時,，思考思考：運用余弦定理，是否會產生增根或丟根呢？：運用余弦定理，是否會產生增根或丟根呢？ABC2 3,6,30BabA變式：

16、已知中，求角 用余弦定理 得到的一元二次方程的正根的個數就是三角形解的個數：.cos2),(, 222解的個數問題解的個數問題確定三角形個數問題確定三角形個數問題為銳角為銳角設設由由AbxxbaAxcbAa , 0 )cos2(222 abxAbxAbxxbacos2222 ),sin (4222Aba ,*,sin0）有有兩兩個個實實根根方方程程（Aba 個個；兩兩根根異異號號，三三角角形形有有一一若若, ba 角角形形有有一一個個；只只有有一一正正根根一一零零根根，三三若若, ba ACbba BaACbba Ba兩兩個個；兩兩根根均均為為正正，三三角角形形有有若若,sinbaAb ACb

17、Absinaa.cos2),(, 222解的個數問題解的個數問題確定三角形個數問題確定三角形個數問題為銳角為銳角設設由由AbxxbaAxcbAa , 0 )cos2(222 abxAbxAbxxbacos2222 ),sin (4222Aba ., 0cos*,sin0三角形有一個三角形有一個）有兩個相等實根）有兩個相等實根方程（方程（ AbxAba ACbBacx .*,sin0三角形不存在三角形不存在）沒有實根）沒有實根方程（方程（Aba ACbacx 用余弦定理 得到的一元二次方程的根的個數就是三角形解的個數：26()924 2 2 6335cIcIc 錯解：據余弦定或理解得 3c 為增

18、根120133,2 6,2.cos( ).ABCabBAAc 、（北京理）在中,()求的值； 求 的值3,2 6,232 6sinsin22sincos2 66cos.sin33abBAABCAAAAAA 解：()因為所以在中，由正弦定理得所以，故錯因何在？錯因何在？63cos,sin332 2,sinsinsin370140AAabBABBB另法：（符合大由得或邊對大角）32 62 23CD 2 6b CAD1B2B2BA sinsin2BA？2226cos,35327075(2 6)32 2 6 3cos75AABACc 近似計算：269242 2 633 3 5 5 ccccc 修正1：

19、據余弦定理解得或經檢驗不合題意222212 ,cos2cos132 6 (32 3cos35) 5BABAccBccc 修正2：據余弦定理或解得想一想：修正想一想：修正2 2為什么不會產生增根？為什么不會產生增根？222212 ,cos2cos1332 2sin,sin33coscos()cos()6coscossi ()nsin932 62 3 2 6cos255BABAABCABABABABcCc 修正3：據余弦定理標準答案標準答案22263( )cos,sin1 cos.3312,cos2cos1.32 2sin1 cos.35 3sinsin()sincoscossin.9sin5.s

20、inAAABABABBABCCABABABaCcA 由知所以又因為所以在中,所以思考：以上四種解法哪個解法最簡潔？思考：以上四種解法哪個解法最簡潔？評注：此題評注：此題“看似平常，有點味道！看似平常，有點味道！”題后反思：題后反思：4. 養成養成“數形結合數形結合”好習慣好習慣 2. 要加強對題目條件的分析；要加強對題目條件的分析；3.“數數”應該反應出應該反應出“形形” ； 1. 死記硬背有問題；死記硬背有問題；ABC21330A :1:42, :1: 39 ABCA BPa bABC、（課本習題）在中，已知，求的三個內角22013, , , ,2 ,1,3,ABCA B Ca b cBA

21、abc、（山東文）的內角的對邊分別為若則（ ）A.2 3.2B.1D. 2C32012, , , ,5 ,2 ,ABCA B Ca b cbc CBC、（天津理）在中，內角所對的邊分別是已知8則cos（ ）7A. 257B. 257C. 2524D. 2513sinsin2AA3cos2A2cos2cos1CB30 ,60 ,90ABC反思反思：要加強課本習題的挖掘：要加強課本習題的挖掘例題對應的練習：6,6 3,120 ,.ABCbaAB1、在中，求角24,30 ,.ABCbAaB2、在中，當 為下列各值時，求角(1)12a (3)8 3a (2)8a (4)12( 62)a 解三角形問題梳

22、理解三角形問題梳理SSSSASASS三邊（）解三角形 兩角一邊兩邊一角余弦定理正弦定理余弦定理均可 例例2. 如圖在如圖在ABC中，中，A的平分線的平分線AD與邊與邊BC相交于點相交于點D，求證：，求證：BDABDCAC180 DABC證明：在證明：在ABD和和CAD中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得sinsinBDABsinsin(180)DCACBDABDCACDABC 例例2. 如圖在如圖在ABC中，中，A的平分線的平分線AD與邊與邊BC相交于點相交于點D，求證：，求證：BDABDCAC證明：在證明：在ABD和和CAD中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得sinsinBDABsinsin

23、(180)DCACBDABDCACDABCEABDECDBDABDCEC,BDABACECDCAC又定量分析定量分析定性分析定性分析, , ,(2)coscos .12,1,.6ABCA B Ca b cacBbCBDBCCADCDc在中，所對應的邊分別為，且（）求角 的大小；（ ）若點 為邊的中點，求 的值DABC60c30111sin30sinADACDC在中，1sin(90)sin60ADABDC在中，3sin22C090 ,3060CC或30=1Cc當時，；60=2.Cc當時，60B 應用舉例教學片斷實際問題應用模型實際問題應用模型 “解三角形應用解三角形應用”解題解題流程：流程：1.

24、 實際實際問題數學化；問題數學化；2. 利用利用現有儀器設計解現有儀器設計解決方案；決方案；3. 實際實際數據測量；數據測量；4.數據處理計算數據處理計算.ABCDABCC B DD 先不先不考慮測角儀的高度考慮測角儀的高度ABCC B DD ABCDBCD 分析限制條件：2.可用儀器：測角儀，皮尺。1.地形限制：底部不可到達；常見測量模型例例4、AP1Q2Q1(120300sin15sin20120sinsin159.9QxAx方法 解三角形）據正弦定理由，得Q139.7 或Q40.3 （舍）代入，得222()( 150,150 3)10 2QP10 25( 150 10 2 )(150 3

25、10 2 )1209.9119.06Axtyttt 方法2 解析法直線的參數方程為解得APQxy東北45601530012020 x 練習題P14 練習A 1,2,3P20 6俯角、仰角、方位角經典習題（一）重視基礎題目的落實（一）重視基礎題目的落實（二）（二）選擇適當的選擇適當的邊角轉化邊角轉化策略策略（2）在ABC中，若acosAbcosB， 試判斷三角形的形狀.（課本P6習題）例2 （1）在ABC中，若bcosAacosB，試判斷三角形的形狀.coscossin2s222218in9002aAbBAABABBABCABC或解法一（邊化角）或為等腰三角形或直角三角形2222222222222222222222coscos22()()()()0aAbBbcaacbabbcaca bcab acbababcababcABC 解法二（角化邊）展開整理，可得或為等腰三角形或直角三角形222sinsinsin316ABCABCP例 、（）（課本習題改編）在中