1、放不穩，然后稍微挪動幾15 分故f( )g( ) =0必成立09級數模試題1. 把四只腳的連線呈長方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地,次，就可以使四只腳同時著地，放穩了。試作合理的假設并建立數學模型說明這個現象。 解：對于此題，如果不用任何假設很難證明，結果很可能是否認的。因此對這個問題我們假設 ：1地面為連續曲面2長方形桌的四條腿長度相同3相對于地面的彎曲程度而言，方桌的腿是足夠長的4方桌的腿只要有一點接觸地面就算著地。那么，總可以讓桌子的三條腿是同時接觸到地面。現在，我們來證明：如果上述假設條件成立，那么答案是肯定的。以長方桌的中心為坐標原點作直角 坐標系如下列圖，方桌的四條

2、腿分別在 A、B、C、D處，A、B,C、D的 初始位置在與x軸平行，再假設有一條在x軸上的線ab,那么ab也與 A B, C、D平行。當方桌繞中心 0旋轉時，對角線ab與x軸的夾 角記為 。容易看岀，當四條腿尚未全部著地時，腿到地面的距離是不確定的。為消除這一不確定性，令f()為A、B離地距離之和,g()為CD離地距離之和，它們的值由唯一確定。由假設1,f ( ), g()均為 的連續函數。又由假設3，三條腿總能同時著地,不妨設f (0) 0, g(0) 0g假設g(0)也為o,那么初始時刻已四條腿著地，不必再旋轉，于是問題歸結為： f( ), g()均為 的連續函數,f (0) 0, g(0

3、)0且對任意 有f( 0)g( 0) 0，求證存在某一 °，使 f ( 0)g( 0)0證明：當b =n時，AB與CD互換位置，故f( )0, g( )0。作h( ) f( ) g()，顯然，h()也是 的連續函數，h(0) f (0)g(0)0而h( ) f( ) g( )0，由連續函數的取零值定理，存在0 , 00 ，使得h( 0) 0，即f( 0) g( 0)。又由于f( 0)g( 0) 0，故必有f ( 0) g ( 0)0，證畢。2. 學校共1000名學生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。學生 們要組織一個10 人的委員會，試用合理的方法分配各宿

4、舍的委員數。15分解：按各宿舍人數占總人數的比列分配各宿舍的委員數。設：A宿舍的委員數為x人，B宿舍的委員數為y人，C宿舍的委員數為z人。計算岀人數小數點后面的小數局部最大的整數進1,其余取整數局部。那么X+y+z=10 ;x/10=235/1000y/10=333/1000z/10=432/1000,x,y,z 為正整數;y=3z=43. 一飼養場每天投入 5元資金用于飼料、設備、人力，估計可使一頭80公斤重的生豬每天增加2公斤目前生豬出售的市場價格為每公斤8元，但是預測每天會降低0.1元，問該場應該什么時候出售這樣的生豬可以獲得最大利潤。15分解：設在第t天出售這樣的生豬初始重 80公斤的

5、豬可以獲得的利潤為z元。每頭豬投入：5t元產出：8-0.1t 80+2t 丨元利潤：Z = 5t + 8-0.1t 80+2t=-0.2 tA2 + 13t +640=-0.2tA2-65t+4225/4 +3405/4當 t=32 或 t=33 時，Zmax=851.25(元)因此，應該在第32天過后賣出這樣的生豬，可以獲得最大利潤。4. 一奶制品加工廠用牛奶生產 A1, A2兩種奶制品，1桶牛奶可以在設備甲上用 12小時加工成3公斤A1, 或者在設備乙上用8小時加工成4公斤A2。根據市場需求，生產的 A1, A2全部能售出，且每公斤 A1獲利 24元，每公斤A2獲利16元。現在加工廠每天能

6、得到 50桶牛奶的供應，每天工人總的勞動時間為480小時，并且設備甲每天至多能加工100公斤A1,設備乙的加工能力沒有限制。1試為該廠制訂一個生產計劃，使每天獲利最大。233元可買到1桶牛奶，買嗎？ 3假設買，每天最多買多少 ？4可聘用臨 時工人，付出的工資最多是每小時幾元？ (5)A1的獲利增加到30元/公斤，應否改變生產方案？15分(1)解：設：每天生產將x桶牛奶加工成A1, y桶牛奶加工成A2,所獲得的收益為Z元。加工每桶牛奶的信息表產品A1A2所需時間12小時8小時產量3公斤4公斤獲利/公斤24元16元x+y<=5012 x8y48003x100y 0Z=24*3x + 16*4

7、y=72x+64yg - jriit max 72x+64y stX+U<5B 12x+By<U80 3x<1O0end韁 pert? Window 'LP OPTIMUMFOUND AT STEP2OBJECTIUE FUNCTIOM UALUE3360.oaoVARIABLEUALUEREDUCED COSTX20.0000000,000000V30.000000Qi. BoaaoaR02SLACK OR SURPLUSDUAL PRICES2)0ODOOOO3>2. mood4)000000Q.000000MO. ITERATIONS=2RnriGES i

8、n1 CH THE BASIS ISUNGHftHGEl>:OBJCOEFFICrEHT RANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLQUA8LECOEFINCREASEDECREfiSEX72.0SDODOz期.ooaaoa8-800000V64.000000S,00000016.000000RlCnTHftND SIDE RANGESnouCURRENT口 LLOIJ 角 RLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE25a.09090019-OO0O0S6-6666673489.000000&3-S93392S8-60BBOB4100.

9、090(100INFINITEIl 0.60D68G解得， 當 x=20 , y=30 時，Zmax=3360 元那么此時，生產生產方案為 20桶牛奶生產A1, 30桶牛奶生產A2。2設：純利潤為W元。W=Z-33*(x+y)=39x+31y=3360-33*50=1710( 元)>0貝U,牛奶33元/桶可以買。(3) 假設不限定牛奶的供應量，那么其優化條件變為:12x 8 y48003x100y 0W=39x+31y<urrit3t12x+8y<>j8 0 3x<1 00end陶 7亡!口rt安 i.VnCdwLP OPTIMUMFOUND ft! STEP1O

10、BJECT IUE FUNCI ION UALIJE1)1860,000UARIAQLEVALUEREDUCED COSTXo.aaaooaVo.eaiiaaaQ.ooatoaROUSLACK OR SURPLUSDUAL PRICES2)O.000OSO時146,900009ND ITERATIONS-1RRhGES IMVHICH THEISIJNCHRNGED：OBJCOEFFICIENT RANGESUARIABLECURRENTALLOWABLEALLD孫加LECOEFINCREASEDEGREASE科39.0601007.500000INFINITEVai.coooooINFINI

11、TY5.009901RIGHTHAND SIDE RANGESROUCURRENTALLOUABLEALLOIMBLERUMINCREASEDECREASE2usu.fioflfioaIHFIHITVMQ.0OO90Q3loe.tiooooo1NF1N1TVMMM解得，當 x=0， y=60 時，Wmax=1860元那么最多購置60桶牛奶。(4) 假設將全部的利潤用來支付工人工資，設工資最高為n元n=Wmax/480=3.875元(5) 假設A1的獲利為30元，那么其優化條件不變。Z1=90x+64y曙 untitled >l2«*8y<4B6gnd喟 Reports W

12、indojvLP OPTlMUh FOUND ft! S1EPOBJECT1UE FUNCTION UAL0UEREDUCED COST6.900000UhREARLE 斗9840.901UALULG. saeoao60.91900ROUSLACKSURPLUSDUAL PfilCES2)0.4190013)100.000000o. ootmNO. ITEfifiTI0N5=BRftMGES ItiVH1CH THE BASIS ISUNCHANGED；OBJCOE阡IGIEHT RANGESUARinBLECURRENTALLOWABLEALLOllftBLE£OEFINCREAS

13、EDEGRERSE90. O(180HQA.oaamIHFINIT?¥6000100INFINITYU,006000RIGHTHAND SIDE RANGES»0UCURRENTALLOWABLEftLLOBLERH£INCREASEDECREASE2i«S£l. OOOOCUIHFIHITYMSO.0000603ics.ooaooaINFINITV190.300068解得， 當 x=0， y=60 時，Z1max=3840元因此，不必改變生產方案。5.在冷卻過程中，物體的溫度在任何時刻變化的速率大致正比于它的溫度與周圍介質溫度之差，這一結論稱

14、為牛頓冷卻定律，該定律同樣用于加熱過程。一個煮硬了的雞蛋有98C，將它放在18C的水池里，5分鐘后，雞蛋的溫度為38 'C,假定沒有感到水變熱，問雞蛋到達 20 C，還需多長時間？ 15分解：題意沒有感到水變熱，即池水中水溫不變。設：雞蛋的溫度為T,溫度變化率就是dT/dt其中t為時間，水的溫度為 T1，那么雞蛋與水溫差為 T-T1 由題意有：T- T仁kdT/dt (其中k為比例常數)方程 化為 ：dt=kdT/ T- T1 2對2兩邊同時積分之后并整理一下就得到：t=k*ln T- T1+C貝U k*ln 98-18+ C=05=k*ln 38-18+ck5ln20ln80t1=k

15、*ln(20-18)+c-k*ln(38-18)+c= min所以，還需min。6. 報童每天清晨從報社購進報紙零售，晚上將沒有賣完的報紙退回。設每份報紙的購進價為，零售價為， 退回價為，應該自然地假設。這就是說，報童售出一份報紙賺，退回一份報紙賠。報童如果每天購進的報 紙太少，不夠賣的，會少賺錢；如果購進太多，賣不完，將要賠錢。請你為報童籌劃一下，他應該如何確 定每天購進報紙的數量，以獲得最大的收入。15分解：設：報紙具有時效性每份報紙進價b元，賣出價a元，賣不完退回份報紙 c元。設每日的訂購量為 n，如果訂購的多了，報紙剩下會造成浪費，甚至陪錢。訂的少了，報紙不夠賣，又會少賺錢。為了獲得最

16、大效 益，現在要確定最優訂購量n。n的意義。n是每天購進報紙的數量，確定n方面可以使報童長期以內擁有一個穩定的收入，另一方面也可以讓報社確定每日的印刷量，防止紙張浪費。所以，筆者認為n的意義是雙重的。此題就是讓我們根據a、b、c及r來確定每日進購數 n。根本假設1、 假設報童現在要與報社簽定一個長期的訂購合同，所以要確定每日的訂購量n。2、 假設報紙每日的需求量是r，但報童是一個初次涉足賣報行業的菜鳥，毫無經驗，無法掌握需求 量r的分布函數，只知道每份報紙的進價 b、售價a及退回價c。3、假設每日的定購量是 n。4、報童的目的是盡可能的多賺錢。建立模型應該根據需求量r確定需求量n,而需求量r是

17、隨機的，所以這是一個風險決策問題。而報童卻因為自身的局限，無法掌握每日需求量的分布規律，已確定優化模型的目標函數。但是要得到n值，我們可以從賣報紙的結果入手，結合r與n的量化關系，從實際出發最終確定n值。由常識可以知道賣報紙只有賺錢、不賺錢不賠錢、賠錢會有三種結果。現在用簡單的數學式表示這 三種結果。1、賺錢。賺錢又可分為兩種情況：r>n，那么最終收益為(a-b)n(1)r<n，那么最終收益為(a-b)r-(b-c)(n-r)>0整理得：r/n>(b-c)/(a-c)(2)2、由(2)式容易得出不賺錢不賠錢。r/n=(b-c)/(a-c)3、賠錢。模型的求解首先由 (1

18、) 式可以看出 n 與最終的收益呈正相關。收益越多， n 的取值越大。但同時訂購量 n 又由需 求量 r 約束，不可能無限的增大。所以求 n 問題就轉化成研究 r 與 n 的之間的約束關系。然后分析 (3) 、(4) 兩式。因為 (3) 、(4) 分別代表不賺錢不賠錢及賠錢兩種情況，而我們確定 n 值是 為了獲得最大收益，所以可以預見由 (3) 、(4) 兩式確立出的 n 值不是我們需要的結果，所以在這里可以排 除，不予以討論。最后重點分析 (2) 式。顯然式中 r 表需求量， n 表訂購量， (b-c) 表示退回一份兒報紙賠的錢。因為 (a-c) 無法表示一個顯而 易見的意義， 所以現在把它放入不等式中做研究。 由 a>b>c, 可得 a-c>a-b ，而 (a-b) 恰好是賣一份報紙賺得 的錢。然后采用放縮法，把 (2) 式中的 (a-c) 換成 (a-b) ，得到r/n<(b-c)/(a-b) (5) 不等式依然成立。由(5) 式再結合 (1) 式可知收益與 n 正相關，所以要想使訂購數 n 的份數越多，報童每份報紙賠錢 (b-c) 與賺錢 (a-b) 的比值就應越小。 當報社與報童簽訂的合同使報童每份報紙賠錢與賺錢之比越小，訂購數就應越多。7. 談談你對數學建模的認識