1、.上海交大附中2010-2011學(xué)年度第一學(xué)期 高三數(shù)學(xué)第一次月考試卷 2010-10-08一、填空題：本大題共14小題，每小題4分，共56分。1集合，則。解：，。2設(shè)， 全集，則右圖中陰影表示的集合中的元素為。解：，。3. 有個命題：很多男生愛踢足球；所有男生都不愛踢足球；至少有一個男生不愛踢足球；所有女生都愛踢足球。其中是命題“所有男生都愛踢足球”的否定命題的是 。4. 函數(shù)，則。解：，。5. 不等式的解集為。解：或或。6若點既在函數(shù)的圖象上，又在它的反函數(shù)的圖象上，則函數(shù)的解析式是。解：。7設(shè)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，那么的取值范圍是。解：，對稱中心為。8. 若 ，是的反函數(shù)，則。解：當(dāng)時，

2、；時，。9若，的最小值是。解：，。即當(dāng)且僅當(dāng)時，的最小值是為。10. 已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)增加，則滿足的取值范圍是。解： 在上，則在上。11函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是。解：，的值域為；，的值域為可以取到所有的正實數(shù)當(dāng)時，的最小值。12. 建造一個容積為, 深為的長方形無蓋水池，如果池底和池壁每的造價分別為元和元，那么水池的最低造價為元。解：設(shè)水池的長與寬分別為，(單位：)，總造價為，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時，總造價有最小值為。13已知函數(shù)，給出下列四個命題：為奇函數(shù)的充要條件是；的圖象關(guān)于點對稱；當(dāng)時，方程的解集一定非空；方程的解的個數(shù)一定不超過兩個。其中所有正確命題的序號是 ， 。解：。由圖像

3、易得、正確；當(dāng)時，總有解，正確；當(dāng)，時，的解集為，錯。14請把下列命題補(bǔ)充完整，并使之成為真命題：若函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則函數(shù)=(填上你認(rèn)為可以成為真命題的一種情況即可，兩個空位都填對，方能得分)。以下兩個答案供參考： 直線；=； 直線；=。二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。15. 命題“對任意的，都有”的否定是 ( ) 不存在，使得 存在，使得 存在，使得 對任意的，都有16. 已知函數(shù)是偶函數(shù)，其定義域為，則點的軌跡是 （ ） 線段 直線的一部分 點 圓錐曲線解：偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，點的軌跡為。17. 若不等式在上恒成立，則的取值范圍 （ ） 一切實

4、數(shù) 解：構(gòu)造函數(shù)，則函數(shù)的值域為。18. 對于函數(shù)和實數(shù)、，下列結(jié)論中正確的是 ( ) 若，則 若，則； 若，則； 上述命題都不正確。解：是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，且，且，所以在上遞增，在上遞減。三、解答題：本大題共5題，74分。19.（本小題滿分12分）命題：“函數(shù)在區(qū)間上遞增”；命題：“ 在區(qū)間上遞增”。若命題與命題有且僅有一個真，求實數(shù)的集合。解：當(dāng)時，在區(qū)間上遞增， 2分當(dāng)時，。即當(dāng)時，真； 5分當(dāng)時，在區(qū)間上遞增， 7分當(dāng)時，。即當(dāng)時，真； 10分滿足題意的的集合為。 12分(或。)20.（本小題滿分12分，第1小題7分，第2小題5分）甲、乙兩商場同時促銷原售價為元的某種型號的彩電，

5、甲商場一律按銷售價的折促銷，即按原價的銷售；乙商場按如下方式促銷，買一臺優(yōu)惠，買兩臺優(yōu)惠，買三臺優(yōu)惠，以此類推，即每多買一臺，每臺再優(yōu)惠個百分點，但每臺最低價不能低于元，某公司需購買這種型號的彩電臺（），若到甲商場購買的費用為元，到乙商場購買的費用為元。(1) 分別求出函數(shù)、的關(guān)系式；(2) 問去哪家商場購買花費較少？并說明理由。解：(1) 到甲商場購買，易得 ， 3分到乙商場購買，按每多買一臺每臺多優(yōu)惠個百分點計，買臺的費用為，但每臺最低價不會低于元，即， 。 7分 (2) ，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。 10分當(dāng)時，去甲商場；當(dāng)時，甲乙都可；當(dāng)時，去乙商場。 12分21.（本小題滿分14分，第1

6、小題6分，第2小題8分）已知正數(shù)、滿足，(1) 求證：；(2) 求的最大值。解：(1) 。 3分且不能同時成立， 5分。 6分(2) 10分當(dāng)且僅當(dāng)時，等號取得， 12分當(dāng)且僅當(dāng)時，的最大值為。 14分【說明】如學(xué)生先解出(2)再證明(1)正確，也算對。22.(本小題滿分18分，第1小題4分，第2小題8分，第3小題6分)已知函數(shù)，其中。(1) 若，求的值；(2) 證明：當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，并指出是增還是減；(3) 若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求的取值范圍。解：(1) 由，可得：，得 4分(2) 任取，令 = 6分因為，所以 8分若，則，在單調(diào)遞減。 10分綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在為單調(diào)減函數(shù)。(3) 任取，因為單調(diào)遞增，所以，又，那么必須恒成立 14分，相加得 16分所以。 18分23.（本小題滿分18分，第1小題6分，第2小題6分，第3小題6分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，（為常數(shù)）。(1) 求函數(shù)的解析式；(2) 當(dāng)時，求在上的最小值，及取得最小值時的，并猜想在上的單調(diào)遞增區(qū)間（不必證明）；(3) 當(dāng)時，證明：函數(shù)的圖象上至少有一個點落在直線上。 解：(1) 時， 則 函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，即，即 ， 3分又可知 。 4分函數(shù)的解析式為