1、總復習必須掌握的數列經典解題技巧 精選高中數學數列分類典型試題及答案【典型例題】一研究等差等比數列的有關性質1. 研究通項的性質例題1. 數列滿足. 1求；2證明：.解：1. 2證明：由，故， 所以證得. 例題2. 數列的前項和記為求的通項公式；等差數列的各項為正，其前項和為，且，又成等比數列，求. 解：由可得，兩式相減得：，又 故是首項為1，公比為3的等比數列 設的公比為，由得，可得，可得故可設，又，由題意可得，解得等差數列的各項為正， 例題3. 數列的前三項與數列的前三項對應相同，且對任意的都成立，數列是等差數列. 求數列與的通項公式；是否存在，使得，請說明理由. 點撥：1左邊相當于是數列

2、前n項和的形式，可以聯想到求的方法，當時，. 2把看作一個函數，利用函數的思想方法來研究的取值情況. 解：1時，得，求得，在中令，可得得，所以N*. 由題意，所以，數列的公差為，. 2，當時，單調遞增，且，所以時， 又，所以，不存在，使得. 例題4. 設各項均為正數的數列an和bn滿足：an、bn、an+1成等差數列，bn、an+1、bn+1成等比數列，且a1 = 1， b1 = 2 ， a2 = 3 ，求通項an，bn 解： 依題意得： 2bn+1 = an+1 + an+2 a2n+1 = bnbn+1 an、bn為正數， 由得， 代入并同除以得： ， 為等差數列 b1 = 2 ， a2

3、= 3 ， ， ，當n2時，又a1 = 1，當n = 1時成立， 2. 研究前n項和的性質例題5. 等比數列的前項和為，且. 1求、的值及數列的通項公式；2設，求數列的前項和.解：1時，.而為等比數列，得，又，得，從而.又.2， ，得，.例題6. 數列是首項為1000，公比為的等比數列，數列滿足 ，1求數列的前項和的最大值；2求數列的前項和. 解：1由題意：，數列是首項為3，公差為的等差數列，由，得，數列的前項和的最大值為. 2由1當時，當時，當時，當時，. 例題7. 遞增的等比數列滿足，且是，的等差中項. 1求的通項公式；2假設，求使成立的的最小值. 解：1設等比數列的公比為qq1，由 a1

4、q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2a1q2+2，得：a1=2，q=2或a1=32，q=舍an=22n1=2n2 ，Sn=12+222+323+n2n2Sn=122+223+n2n+1，Sn=2+22+23+2nn2n+1=n12n+12，假設Sn+n 2n+130成立，那么2n+132，故n4，n的最小值為5. 例題8. 數列的前n項和為Sn，且成等差數列，. 函數. I求數列的通項公式；II設數列滿足，記數列的前n項和為Tn，試比擬的大小. 解：I成等差數列， 當時，. 得：，當n=1時，由得， 又是以1為首項3為公比的等比數列，II， ，比擬的大小，只需比擬與312的大小即

5、可. 當時，當時，當時，. 3. 研究生成數列的性質例題9. I 數列，其中，且數列為等比數列，求常數；II 設、是公比不相等的兩個等比數列，證明數列不是等比數列. 解：因為cn+1pcn是等比數列，故有cn+1pcn2= cn+2pcn+1cnpcn1，將cn=2n3n代入上式，得2n1+3n1p2n3n2=2n2+3n2p2n+13n+12n+3np2n13n1， 即2p2n+3p3n2=2p2n+1+3p3n+1 2p2n1+3p3n1，整理得2p3p2n3n=0，解得p=2或p=3. 設an、bn的公比分別為p、q，pq，cn=an+bn. 為證cn不是等比數列只需證c1c3. 事實上

6、，=a1pb1q2=p2q22a1b1pq，c1c3=a1b1a1 p2b1q2= p2q2a1b1p2q2. 由于pq，p2q22pq，又a1、b1不為零，因此c1c3，故cn不是等比數列. 例題10. n2 n4個正數排成n行n列：其中每一行的數成等差數列，每一列的數成等比數列，并且所有公比相等a24=1，求S=a11 + a22 + a33 + + ann 解： 設數列的公差為d， 數列i=1，2，3，n的公比為q那么= a11 + k1d ， akk = a11 + k1dqk1依題意得：，解得：a11 = d = q = 又n2個數都是正數， a11 = d = q = ， akk

7、= ，兩式相減得：例題11. 函數的圖象經過點和，記1求數列的通項公式；2設，假設，求的最小值；3求使不等式對一切均成立的最大實數.解：1由題意得，解得， 2由1得， 得. ，設，那么由得隨的增大而減小時，又恒成立， 3由題意得恒成立 記，那么是隨的增大而增大 的最小值為，即.二證明等差與等比數列1. 轉化為等差等比數列.例題12. 數列中，且滿足，.求數列的通項公式；設，求；設=，是否存在最大的整數，使得對任意，均有成立？假設存在，求出的值；假設不存在，請說明理由. 解：1由題意，為等差數列，設公差為，由題意得，.2假設，時，故 3，假設對任意成立，即對任意成立，的最小值是，的最大整數值是7

8、. 即存在最大整數使對任意，均有例題13. 等比數列與數列滿足N*. 1判斷是何種數列，并給出證明；2假設. 解：1設的公比為q，。所以是以為公差的等差數列. 2所以由等差數列性質可得2. 由簡單遞推關系證明等差等比數列例題14. 數列和滿足：，且是以為公比的等比數列. I證明：；II假設，證明：數列是等比數列；III求和：. 解法1：I證：由，有，. II證：，. 是首項為5，公比為的等比數列. III解：由II得，于是. 當時，. 當時，. 故解法2：I同解法1I. II證： ，又，是首項為5，公比為的等比數列. III由解法1中II的類似方法得，. . 例題15. 設數列1證明：數列是等

9、比數列；2設數列的公比，數列滿足，bn=f bn1nN*，n2，求數列的通項公式；3設，求數列的前n項和n. 1證明：由相減得：數列是等比數列2解：是首項為，公差為1的等差數列，. . 3解：時 得：所以：. 例題16. 的各個頂點分別為，設為線段的中點，為線段OC的中點，為線段的中點. 對每一個正整數為線段的中點. 令的坐標為，. 1求及；2證明：3記，證明：是等比數列. 1解：因為y1=y2=y4=1， y3=，y5=，所以 得a1=a2=a3=2. 又由，對任意的正整數n有an+1=an 恒成立，且a1=2， 所以an為常數數列， an=2，n為正整數2證明：根據， 及=an=2， 易證

10、得yn+4=13證明：因為bn+1=11=，又由b1=1y4=， 所以bn是首項為，公比為的等比數列. 【模擬試題】一、填空題1. 在等差數列a中，a=2，a+a=13，那么a+a+a等于= . 2. 數列的通項，那么其前項和 . 3. 首項為24的等差數列，從第10項開始為正，那么公差的取值范圍是 . 4. 在等比數列中，和 是二次方程 的兩個根，那么的值為 . 5. 等差數列an中，a1=1，a3+a5=14，其前n項和Sn=100，那么n= . 6. 等差數列an的前m項和為30，前2m項的和為100，求它的前3m項的和為_ 7. 兩個等差數列和的前項和分別為A和，且，= ，假設為正整數

11、，n的取值個數為_。8. 數列對于任意，有，假設，那么. 9. 記數列所有項的和為，第二項及以后各項的和為，第三項及以后各項的和為 ，第項及以后各項的和為，假設，那么等于 . 10. 等差數列共有項，其中奇數項之和為319，偶數項之和為290，那么其中間項為_.11. 等差數列中，假設且，那么的值為 .12. 設為等差數列的前項和. ，那么等于 . 13. 函數定義在正整數集上，且對于任意的正整數，都有，且，那么_ _. 14. 三個數成等比數列，且，那么b的取值范圍是 . 15. 等差數列中，前項和為，首項. 1假設，求2 設，求使不等式的最小正整數的值. 點撥：在等差數列中知道其中三個就可

12、以求出另外一個，由可以求出首項與公差，把分別用首項與公差，表示即可. 對于求和公式，采用哪一個都可以，但是很多題目要視具體情況確定采用哪一個可能更簡單一些. 例如：判斷的正負. 問題2在思考時要注意加了絕對值時負項變正時，新的數列首項是多少，一共有多少項. 16. 等差數列的前項和為，. I求數列的通項與前項和為；II設，求證：數列中任意不同的三項都不可能成為等比數列. 17. 在直角坐標平面上有一點列，對一切正整數n，點位于函數的圖象上，且的橫坐標構成以為首項，為公差的等差數列. 求點的坐標；設拋物線列中的每一條的對稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點為，且過點，設與拋物線相切于的直線的斜率為，

13、求：. 設，等差數列的任一項，其中是中的最大數，求的通項公式. 18. 數列滿足，1求數列的通項公式；2假設數列滿足nN*，證明：是等差數列.【試題答案】1. 422. 3. 4. 5. 106. 2107. 8.5；5個解法一：點撥 利用等差數列的求和公式及等差數列的性質“假設，那么解析：=解法2： 點撥 利用“假設為等差數列，那么這個結論，根據條件找出和的通項. 解析：可設，那么，那么=由上面的解法2可知=，顯然只需使為正整數即可，故，共5個. 點評：對等差數列的求和公式的幾種形式要熟練掌握，根據具體的情況能夠靈活應用. 反思：解法2中，假設是填空題，比例常數k可以直接設為1. 8. 49. 解：. 10. 解：依題意，中間項為，于是有解得.11. 解：由題設得，而，又，. 12. 解：， ，. 。13. 解：由知函數當從小到大依次取值時對應的一系列函數值組成一個等差數列，形成一個首項為2，公差為4的等差數列，. 14. 解：設，那么有. 當時，而，；當時，即，而，那么，故. 15. 解：1由，得：，又由. 即，得到. 2由假設5，