1、)(tc)()()(tctctcsst其中： 為暫態響應， 為穩態響應)(tct)(tcss)sin()(tAtrm)sin()(tMAeMAtcmtm為了更好地理解頻率特性的概念，我們在這舉一個為了更好地理解頻率特性的概念，我們在這舉一個這是一個簡單的例子。如圖所示為一階這是一個簡單的例子。如圖所示為一階RCRC電路，如電路，如果我們設電容兩端的電壓為果我們設電容兩端的電壓為UcUc為輸出響應，則當激為輸出響應，則當激勵為正弦周期信號時，由此電路的傳遞函數，可得：勵為正弦周期信號時，由此電路的傳遞函數，可得：RCUiUc+i)(11)()()(sURCssUsGsUiiC由于正弦周期信號由于

2、正弦周期信號)sin()(tAtum的拉氏變換式為：的拉氏變換式為：22)(sAsUmi所以，該一階所以，該一階RCRC電路輸出響應的拉氏變換式為：電路輸出響應的拉氏變換式為：22221111)()()(sTsAsRCsAsUsGsUmRCTmiC兩邊取拉氏變換，則有：兩邊取拉氏變換，則有：)arctan(sin)(1)(1)(22TtTAeTAtumTtmc暫態分量暫態分量穩態分量穩態分量則：則： 為該一階為該一階RCRC電路的幅頻特性，它是指輸出正電路的幅頻特性，它是指輸出正弦響應信號的最大值與輸入正弦激勵信號最大值之間弦響應信號的最大值與輸入正弦激勵信號最大值之間的比值；稱的比值；稱 為

3、該一階電路的相頻特性，它是指為該一階電路的相頻特性，它是指輸出正弦信號的初相位與輸入正弦信號初相位之差輸出正弦信號的初相位與輸入正弦信號初相位之差（相位差）。（相位差）。由此我們定義：所謂頻率特性就是指正弦激勵下線由此我們定義：所謂頻率特性就是指正弦激勵下線性系統的性系統的正弦穩態響應正弦穩態響應。并且從其穩態分量表達式。并且從其穩態分量表達式中，我們知道：對于線性電路而言，其輸出的穩態中，我們知道：對于線性電路而言，其輸出的穩態響應是一個與輸入激勵同頻率的正弦函數信號，只響應是一個與輸入激勵同頻率的正弦函數信號，只不過經過系統傳送后，相對于輸入激勵的幅值和初不過經過系統傳送后，相對于輸入激勵

4、的幅值和初相位而言，它的幅值（大小）和初相位（起即位置）相位而言，它的幅值（大小）和初相位（起即位置）發生了一定的變化而已。若令：發生了一定的變化而已。若令： 22)(111)(1)(TATAAAMmmmcm)arctan()()()(Tic)(M)(暫態響應暫態響應穩態響應穩態響應srad /20此時輸入信號有角頻率438. 01438. 0)(20ArAcM26026)()(20rc實驗結果表明：當輸入的正弦激勵信號的角頻率為實驗結果表明：當輸入的正弦激勵信號的角頻率為=20rad/s=20rad/s時，該一階時，該一階RCRC電路穩態時輸出的仍然是電路穩態時輸出的仍然是同頻率的正弦信號。

5、但是其輸出的正弦響應信號的同頻率的正弦信號。但是其輸出的正弦響應信號的幅值為幅值為|Ac|=0.438|Ac|=0.438，相位滯后了，相位滯后了 。因此在這。因此在這一頻率信號的作用下，此時的頻率特性是：一頻率信號的作用下，此時的頻率特性是：26srad /50此時輸入信號有角頻率193. 01193. 0)(50ArAcM實驗結果表明：當輸入的正弦激勵信號的角頻率為=50rad/s時，該一階RC電路穩態時輸出的仍然是同頻率的正弦信號。但是與輸出的正弦響應信號的幅值為|Ac|=0.193，相位滯后了 。因此在這一頻率信號作用下，此時的頻率特性為：9 .789 .7809 .78)(50rc當

6、我們選擇足夠多的頻率點后，通過幅值與頻率，相當我們選擇足夠多的頻率點后，通過幅值與頻率，相位與頻率之間一一對應的關系，我們最后可以繪制出位與頻率之間一一對應的關系，我們最后可以繪制出如圖所示的幅頻率特性曲線與相頻率特性曲線。并由如圖所示的幅頻率特性曲線與相頻率特性曲線。并由此曲線來分析該電路的性質此曲線來分析該電路的性質結論：這是一個低通濾波電路結論：這是一個低通濾波電路現在，我們從理論上進一步分析，首先設系統輸入的現在，我們從理論上進一步分析，首先設系統輸入的正弦激勵信號的表達式為：正弦激勵信號的表達式為：)sin()(rrtAtr則其輸出的正弦穩態響應信號為：則其輸出的正弦穩態響應信號為：

7、)sin()sin()(crcctMAtAtc在上式中，在上式中，MAMAr r是輸出正弦穩態響應信號的最大值，而是輸出正弦穩態響應信號的最大值，而 是以度（是以度（degdeg）為單位的輸出正弦穩態響應信號）為單位的輸出正弦穩態響應信號的初相位。現設線性系統的傳遞函數是的初相位。現設線性系統的傳遞函數是G G（s s）, ,那么那么輸入激勵與與輸出穩態響應之間的輸入激勵與與輸出穩態響應之間的LaplaceLaplace變換關系變換關系就是：就是：)()()(sRsCsGR（S）C（S）)(sGc對于正弦穩態分析來說，我們將自變量對于正弦穩態分析來說，我們將自變量S S由由S=+jS=+j，替

8、換成替換成S=j,S=j,則上面的式子就變成了：則上面的式子就變成了：如果將如果將C C（jj）寫成相量的形式，則有：）寫成相量的形式，則有：()()()ccC jC jC jA輸出穩態響應的幅值輸出穩態響應的幅值輸出穩態響應的初相位輸出穩態響應的初相位)()()()()(jRjCsRsCsGjs現在我們以同樣的辦法將輸入激勵信號現在我們以同樣的辦法將輸入激勵信號R R（jj）也寫）也寫成相量的形式，則有：成相量的形式，則有：rrAjRjRjR)()()(這樣該線性系統的傳遞函數就變成了：這樣該線性系統的傳遞函數就變成了：()()()()()()()()()()()ccrrC jC jC jG

9、 jR jR jR jC jC jR jR jAMA正弦激勵的幅值正弦激勵的幅值正弦激勵的初相位正弦激勵的初相位由前面做過的演示實驗可知，上式中的由前面做過的演示實驗可知，上式中的 和和 都是角都是角頻率頻率的函數，所以上面的式子最終可以寫成：的函數，所以上面的式子最終可以寫成：)()()()()(MjGjGjG其中：正弦穩態傳遞函數的幅值為：其中：正弦穩態傳遞函數的幅值為：rCAAjAjCMjG)()()()(而正弦穩態傳遞函數的相位是：而正弦穩態傳遞函數的相位是：rcjRjCjG)()()()(M所以，我們就稱所以，我們就稱M ( () )稱為系統的幅值頻率特性，簡稱為系統的幅值頻率特性，

10、簡稱幅頻特性稱幅頻特性(Magnitude Characteristic)(Magnitude Characteristic)。 稱稱 ( () )稱為系統的相位頻率特性，簡稱為相稱為系統的相位頻率特性，簡稱為相頻特性頻特性(Phase Characteristic)(Phase Characteristic)。 兩者統稱為兩者統稱為頻率特性頻率特性(Frequency Characteristic)(Frequency Characteristic)或或幅相頻率特性幅相頻率特性(Magnitude-Phase Characteristic)(Magnitude-Phase Character

11、istic)用用G G 特別是當輸入的正弦信號為單位正弦信號，即：特別是當輸入的正弦信號為單位正弦信號，即：01sin)sin()(ttAtrrr則系統的頻率特性就是：則系統的頻率特性就是：)()(01)()()()()(MAAjRjCjRjCjGccccjssGjG)()()()(jGM)()(jG)()()()()()()(00000000jGjCAMjRjGjCrr信號時當輸入激勵為單位正弦這是一個簡單的一階這是一個簡單的一階RCRC電路，在前面的演示中我們已電路，在前面的演示中我們已經討論過這個電路，即如果設電容兩端的電壓為經討論過這個電路，即如果設電容兩端的電壓為UoUo，則該一階則

12、該一階RCRC電路的傳遞函數為：電路的傳遞函數為：RCUiUo+i由頻率特性的定義，則有：由頻率特性的定義，則有：( )11( )( )11oTRCiUsG sU sRCsTs)()()(1)(11)(11111111)(222jVURCRCjRCRCRCjjRCjRCRCjRCjjG進行分母有理化這正是系統頻率特性在復數平面內的一種典型表示方這正是系統頻率特性在復數平面內的一種典型表示方法，這種表示方法我們稱之為直角坐標表示法。法，這種表示方法我們稱之為直角坐標表示法。根據復函數理論，我們可以分別求根據復函數理論，我們可以分別求出上式中的幅值與相位，即：出上式中的幅值與相位，即：幅值：幅值：

13、1)(11)(1)(1)()()(2222222RCRCTRCVUM相位：相位：)arctan()(11)(1arctan)()(arctan)(22RCRCRCRCUV)()(U)(V+1+j由此可見，當正弦信號通過由此可見，當正弦信號通過RCRC電路時，其輸出的穩態電路時，其輸出的穩態信號將是輸入信號同頻率的正弦信號，但它的幅值和信號將是輸入信號同頻率的正弦信號，但它的幅值和相位不僅與頻率相位不僅與頻率的變化有關，而且還與一階的變化有關，而且還與一階RCRC電路電路的參數結構有關（的參數結構有關（RCRC）有關，為此我們分別取）有關，為此我們分別取R=1R=1，C=0.1FC=0.1F、0

14、.01F0.01F、0.001F0.001F等實驗參數時，并利用等實驗參數時，并利用MATLABMATLAB軟件來看一看其輸出信號的幅值、相位與頻率軟件來看一看其輸出信號的幅值、相位與頻率及電路參數及電路參數R R、C C之間的關系。之間的關系。當當=20rad/s=20rad/s時時的幅值與相位的幅值與相位當當=45rad/s=45rad/s時的幅值與相時的幅值與相位位截止頻率截止頻率p=10rad/sp=10rad/s相頻特性觀察點相頻特性觀察點: :此此時輸出信號產生了時輸出信號產生了近近-45-45度的相移度的相移幅頻特性觀察點幅頻特性觀察點: :此時此時輸出信號的幅值衰減輸出信號的幅

15、值衰減至輸入幅值的至輸入幅值的0.7070.707倍倍當實驗參數：當實驗參數：R=1R=1，C=0.1FC=0.1F時時截止頻率截止頻率p=100rad/sp=100rad/s相頻特性觀察相頻特性觀察點點: :此時輸出信此時輸出信號產生了近號產生了近-45-45度的相移度的相移幅頻特性觀察點幅頻特性觀察點: :此時此時輸出信號的幅值衰減輸出信號的幅值衰減至輸入幅值的至輸入幅值的0.7070.707倍倍當實驗參數：當實驗參數：R=1R=1，C=0.01FC=0.01F時時截止頻率截止頻率p=1000rad/sp=1000rad/s相頻特性觀察相頻特性觀察點點: :此時輸出信此時輸出信號產生了近號

16、產生了近-45-45度的相移度的相移幅頻特性觀察點幅頻特性觀察點: :此時此時輸出信號的幅值衰減輸出信號的幅值衰減至輸入幅值的至輸入幅值的0.7070.707倍倍當實驗參數：當實驗參數：R=1R=1，C=0.001FC=0.001F時時T=RC=0.001T=RC=0.001隨著頻率的增加，當隨著頻率的增加，當，其輸出信，其輸出信號的幅值會衰減至零并產生約為號的幅值會衰減至零并產生約為-90-90度最度最大相移。大相移。ppBWrrMr)()()()()()()(MjGjGjVUjG)()()( MjG)()(M在繪制幅相頻率特性曲線時，先選取幾個特殊在繪制幅相頻率特性曲線時，先選取幾個特殊點

17、（如點（如=0=0， =1/=1/T T， 等）求得對應等）求得對應的的M M與與 ，然后再有選擇地選取若干個與，然后再有選擇地選取若干個與數數值點對應的值點對應的M M與與 ，再按，再按由由00的順序的順序, ,逐逐點繪制出曲線圖形。如一階點繪制出曲線圖形。如一階RCRC電路電路, ,當當R=1R=1，C=0.001C=0.001時時, ,其奈氏曲線的繪制方法與步驟。其奈氏曲線的繪制方法與步驟。第一步：求出系統的幅頻及相頻特性表達式：2222)(1)(111)(1)(1)(TTjTRCRCjRCjGRCT令1)001. 0(11)(11)(1)(1)(222222TTTTM)001. 0ar

18、ctan()arctan(1)(11)(arctan)(22TTTT因為該一階RC電路的頻率特性為：所以有：幅頻特性：相頻特性：第二步：選取幾個特殊的點：取=0，則可計算出：0)001. 0arctan()(11)001. 0(1)(002M取=1/T=1/0.001，則可計算出：45)001. 01001. 0arctan()001. 0arctan()(707. 0211)001. 01 (001. 0(11)001. 0(1)(22M取，則可計算出：90)001. 0arctan()(01)001. 0(1)(2M第三步：按由0的順序，逐點、光滑地繪制出曲線圖形00)()()()()(j

19、eMjVUjG)()(lnln)(ln)(ln)(ln)()(jMeMeMjGjj在指數表達式的兩邊取自然對數，有：在指數表達式的兩邊取自然對數，有：對數幅頻特性對數幅頻特性對數相頻特性對數相頻特性對數頻率特性對數頻率特性)(lg2)(lg3026. 2lg)(lg)(lnMMeMM利用換底公式dBMMLM)()(lg20)()(lg2)()(ln分貝貝爾例如：在一階RC電路中，當=p時，其輸出幅值衰減至輸入信號幅值的0.707倍，如采用對數幅頻特性來描述的話，則在此頻率下，其對數幅值為：dBL3)15. 0(20707. 0lg20)()()(lg20)(dBML對數幅頻特性對數幅頻特性對數

20、相頻特性對數相頻特性三級半對數坐標三級半對數坐標相頻特性（單位度相頻特性（單位度) )幅頻特性（單位分貝幅頻特性（單位分貝) )角頻率角頻率角頻率角頻率一個一個lglg單位單位1010倍頻程倍頻程(dec)(dec)(lg20MKsRsCsG)()()(0)()()(jKjRjCjG 0lg20dBKL 20lgK1101000.11101000.1L()伯德圖伯德圖 L L L L比例環節放大倍數比例環節放大倍數K K變化，系統的變化，系統的L L（）上下平）上下平移，但相頻特性移，但相頻特性 不變不變。 sKTssRsCsG1)()()(2/11)()()(jeTKTjjTjRjCjG90

21、2)()lg(20)1lg(20)(TTLlg20lg20lg20)1lg(20lg20)(KTTL比例環節比例環節理想積分環節理想積分環節 90ssRsCsG)()()(2/)()()(jejjRjCjG902)()lg(20)(Llg20lg20lg20)(L比例環節比例環節理想微分環節理想微分環節lg20 9011)()()(TssRsCsG)arctan(2221)(11)(1)(111)()()(TjeTTTjTTjjRjCjG)arctan()(1)(lg201)(1lg20)(22TTTLTT110-900L()-45-20=1/T110第二步：低頻段近似T1當T1，也即1當T1

22、，也即1/T，這時由于T1，所以忽略1后有：90)arctan()()lg(201)(lg20)(2)(2TTTTTL0-900L()-45-20=1/T110-20dB-20dB斜率的輔助線斜率的輔助線第四步：交接頻率T=1處的計算當T=1，也即=1/T，這時有：45)1arctan()arctan()(31)1(lg201)(lg20)(22TTTdBTTTLL()0-900-45-20=1/T110-3dB-3dB修正修正-45-450 0修正修正低頻漸近線高頻漸近線L()0-900-45-20=1/T110-3修正后的對數頻率特性修正后的對數頻率特性第五步：對幅頻及相頻漸進線用相應的修

23、正1)()()(ssRsCsG1)(1)()()(2jjRjCjG)arctan()(1)(lg20)(2L121)()()(22TssTsRsCsG2212arctan2222)2()1 (1)()()(TTeTTjRjCjG22222)(12arctan)()2()(1lg20)(TTTTL- -+G1G2H)()()()()(21sHsGsGsHsG則可知其對應的前向通道的開環頻率特性則可知其對應的前向通道的開環頻率特性一定為一定為: :)()()()()()()()()()()(212121jHjGjGjHjGjGjHjGjGjHjG由此可見：串聯環節總的對數幅頻特性等于各環節串聯環節

24、總的對數幅頻特性等于各環節對數幅頻特性的和，其總的對數相頻特性等于各環對數幅頻特性的和，其總的對數相頻特性等于各環節對數相頻特性的和。節對數相頻特性的和。 )()()()()(lg20)(lg20)(lg20)()()(lg20)(321321321MMMMMML由此可求出其對應的對數頻率特性為由此可求出其對應的對數頻率特性為: :)()()()()()()()()()()(212121jHjGjGjHjGjGjHjGjGjHjG105. 0111) 15 . 0(110) 105. 0)(1() 15 . 0(10)20)(1()2(100)(sssssssssssssG)20)(1()2(

25、100)(sssssG試求取系統的開環對數頻率特性曲線。解：1）分析系統是由哪些典型環節串聯組成，并將這些典型環節的傳遞函數都化成標準形式。2）由小到大計算各環節的轉折頻率作慣性環節及一階微環節的Bode圖由此系統的開環傳遞函數可知，該系統有三個具有轉折頻率的環節。它們是：) 15 . 0(s一階微分環節：，其轉折頻率為：sradc/25 . 0/1211s慣性環節：，其轉折頻率為：sradc/12105. 01s慣性環節：，其轉折頻率為：sradsradc/20/05. 0122）選定幅頻特性的橫坐標軸的比例尺（頻率范圍）。 一般取最低頻率為系統最低轉折頻率的1/10左右，而最高頻率為系統最

26、高轉折頻率的10倍左右。 如有積分環節存在，則最低頻率中一定要有時，系統各典型環節的相角之和。在本例中，我們可以估計出該系統開環對數相頻特性的最大相移為-180度。故所選半對數標尺如下圖所示。4）計算系統的開環放大倍數繪制比例環節的Bode圖0)(2010lg20lg20)(KL5）計算系統的積分環節個數v繪制比例環節的Bode圖90)(lg20)()lg20()(1LvLv按轉折頻率，由小到大，作出各慣性環節及比例微分環節的伯德圖。按轉折頻率分段，將所有環節的伯德圖加在一起。式中，T1、T2均為正值，且設T2=10T1。求它們的對數幅頻特性與對數相頻特性。解:由G1(s)、G2(s)、G3(

27、s)有,(1) 對數幅頻特性 即：這三個開環傳遞函數具有相同的對數幅頻特性。(2) 對數相頻特性 （3）對數頻率頻特性曲線伯德圖由上圖可見， 離橫軸“距離”最小，G1(s)為最小相位系統。 1如果系統的開環傳遞函數是最小相位系統。如果系統的開環傳遞函數是最小相位系統。則可則可直接分析系統是由哪些典型環節串聯組成的，并將直接分析系統是由哪些典型環節串聯組成的，并將這些典型環節的傳遞函數都化成標準形式這些典型環節的傳遞函數都化成標準形式( (分母常分母常數項為數項為1)1)，并計算各典型環節的轉折頻率。，并計算各典型環節的轉折頻率。 105. 0111) 15 . 0(110) 105. 0)(1

28、() 15 . 0(10)20)(1()2(100)(sssssssssssssG) 15 . 0(s一階微分環節：，其轉折頻率為：srad /25 . 01211s慣性環節：，其轉折頻率為：srad /11105. 01s慣性環節：，其轉折頻率為：srad /2005. 013根據比例環節的根據比例環節的K K值，計算值，計算20lgK20lgK。在選定半對數。在選定半對數坐標紙的標尺后，作出比例環節的對數幅頻特性。坐標紙的標尺后，作出比例環節的對數幅頻特性。值得注意的是：選擇作標尺度時，要首先確定系統值得注意的是：選擇作標尺度時，要首先確定系統的開環傳遞函數中是否有積分環節。如果有，則無的

29、開環傳遞函數中是否有積分環節。如果有，則無論有幾個積分環節，在坐標尺度上都應該有論有幾個積分環節，在坐標尺度上都應該有 如有積分環節存在，則在在半對數坐標紙上，找到如有積分環節存在，則在在半對數坐標紙上，找到橫坐標為橫坐標為=1=1、縱坐標為、縱坐標為L L（）=20lgK=20lgK的點，過該的點，過該點作斜率為點作斜率為-20-20 dB/dec dB/dec的斜線，其中的斜線，其中 為積分環為積分環節的數目。這條斜線一直作到出現第一個轉折頻率為節的數目。這條斜線一直作到出現第一個轉折頻率為止。在本例中，由于只有一個積分環節，所以過（止。在本例中，由于只有一個積分環節，所以過（1 1， 20lgK20lgK）點的斜線斜率為）點的斜線斜率為-20 dB/dec-20 dB/dec。vv按所計算出來的各典型環節的轉折頻率，由低到高順序作每個環節的伯德圖，注意每個環節的伯德圖都只作到下一個轉折頻率出現為止。并用以下原則來依次改變L（）下一條斜線的斜率；若轉折頻率之后是一個慣性環節，則轉折頻率后的斜線斜率減去20dB/dec；若轉折頻率之后是一個比例微分環節，則過